变分法-数值求解

mg 2
1 3
1 3
2 带入波函数中，即得基态能级的上限为：
31 E 2 2
2 3
2 g 2 m
2 g 2 0.94494 m

1 3
对于波函数
| x| （a, x) N (1 ),| x | a a
x dx x
2 x2
dx x x



dxe
1 y 2 dye
（2）
粒子的哈密顿量
2 d 2 H x T V 2 2m dx
按照（1），（2）式可得，能量期望值为：
0
d d


E
2
2m
1 6

g
2

可以解得：
2 g 2 0.81289 m
1 3
4 g 2 m2 4

3 g 22 E 2 2m

1 3
同理：对于试探波函数 容易求得 2
（，x) e
2
|x|
22 d T dx 2m 2m dx

V g
x dx 2 g
2

0
பைடு நூலகம்xe
2 x
g dx 2
由极值条件
求得结果如下为： E 0
22 g E T V 2m 2
d dx e 2m dx
2 2 2m
1 2 2 2 x 2
2 2m



dx x e
4 2 2 x 2



dyy2e y
2
2 2 22 2m 2 4m
以及计算<V>有;

例题—无限深势阱
题目：粒子在无限深势阱（-a<x<a）中运动，求 基态能量和波函数。 常规法求得 精确解： 1 x 1 ( x) cos , a x a
a 2a 2 E1 1.233701 2 2 8m a ma
22
例题—无限深势阱
变分法求解 1、波函数的选取 (3) 首先，应满足边界条件 ( x) 0, x a 用多项式展开
(5) 及 H * * 由(4)得 H (6)
由(5)可知，拉格朗日不定乘子实际上是体系的本 征能量。
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
薛定谔方程
H n E n ( ７ )
* (8) 在归一化条件下 d 1 对波函数作一微小的变动
变分法-解基态
具体做法： 1、尝试波函数的选取 ( ) 2、计算能量平均值 * Hd H ( ) (14) * d 3、将 H 对λ取极小值 ( H ( )) 0 (15)


4、将得到的λ带回 H ( ) 和 ,即得到基态能量E 和 波函数的近似值。
* n * n * n
利用（10）及 H n (H n ) En n
2
得
* En En n d En n n d 0 (13)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
从而证实，满足薛定谔方程的本征函数， 使本征能量 En 取最小值
由极值条件E a 0 求得最佳a及E（a）最小值 1 1 1 2 2 2 2 为 1 g 3 g 3 3 1 2 2 3
a mg
E
8
123
2g 2 3 E0 0.80862 基态能级的精确值为： m
相应的 n 态的平均能量或能量本征值 En的变化为
* * En En En ( n n )H ( n n )d (11)
* * * En [ n H n n H n n H n ]d
En [ H n H n ]d + ( H n )d (12)
0.85854 m m 1
31 （a） E 2 2
(b)
2 3
g m
2
2
g 0.94494 m
2
1 3
2

1 3
2 g 2 3 g 22 E 0.81289 2 2m m

x 2 x 4 C0 C 2 ( ) C 4 ( ) （4） a a
其次，取前三项，根据条件得
x 2 x 4 ( , x) N 1 ( ) (1 )( ) (5) a a
例题—无限深势阱
变分法求解 1、波函数的选取 再次，归一化
1 g 3 E 123 m 8 2 2
1 3
1 3
2g 2 E0 0.80862 m

1 3
1 3
(c)
三种变分法结果以（b）结果为最好，比精确值高0.5%； （c）结果比精确值高6%；（a）结果最差，比精确值高 17%。究其原因，主要在于：真正的基态波函数，在x=0 处 及 d dx 均应连续，而且由于 为偶宇称， 0 0 三种试探波函数中只有（b）满足这些条件，在 x ~ 0 处 的性质比较接近真实情况，因此所 （概率最大的区域） 得能量值更接近于真实的基态能级。
1、通过变分原理导出定态薛定谔方程。 2、通过定态薛定谔方程在变分原理下， 推出了结论：满足薛定谔方程的归一化本 征函数，必然使平均能量，即相应于本征 态的本征能量取极小值。 3、给出了变分法求基态与激发态能量和 波函数的方法。 4、用变分法解无限深势阱与常规方法进 行比较。

12.8粒子在势场 V（x)=g|x| , g>0 中运动，试用变分法求基态能级 的上限，并和精确值比较，试探 波函数取下列几种类型：
0， | x | a
2
a为变分参数，N为归一化常数，容易求出
T 2 2m 3 2 d dx a d x 2m a2
a a 2
N2
3 2a
x ag V 2 g N 2 x 1 dx 0 a 4 3 2 ag E T V 2m a2 4
0
0
变分法-解第一激发态
做法 1、给尝试波函数加上条件

* 0 ( )d 0
2、重复上述2、3、4步骤，即得到第一激发 态能量和波函数的近似值。
变分法小结
变分法只给出能量的上限 优点：计算简单 缺点：无法估计误差大小 变分法可采用单参数，也可采用多参数 重中之重在于波函数的选取
2 2 2
再根据节点交错定理和宇称交错定理，第一激发态有一个 节点为奇宇称态。此外，由于势函数没有奇异性，束缚定态 的波函数还应该满足波函数以及一阶导数连续的条件。 根据以上的考虑，基态的波函数我们可以考虑选 1 2 x2 1 等的形式。 4 x4 2
e
， e
2
而第一激发态的试探波函数则可以考虑选择 1 | x| 2 x2 等的形式。 xe , 2
* *
其中λ是约束条件(2)的拉格朗日不定乘子。
H d d 0 (3)
(1)薛定谔方程的变分原理
由(3)及 H 的厄米性，得
0 d { H H ( )}
* * * *

0 d { * ( H ) ( H * * * )} (4)
变分法
第九小组
主讲内容
变分法的原理 变分法解基础例题 变分法波函数的选取 变分法研究势场中存在束缚态的条件 变分法解氦原子

（1）变分法的引入
微扰论虽然是量子力学近似最有效的方案之一，但它也有很 多局限性。 首先要在哈密顿量H中分出H0和微扰H^，而且H0的本征值和 本征函数也要给定。其次，如果要算高级近似，其计算工作量实 际上非常大。 另外，在量子场论的微扰计算中，往往出现发散困难，即 虽在计算最低级近似时，微扰论的结果收敛，但在计算二级或高 级修正后，微扰矩阵元的积分发散。为克服发散困难，通常要用 重整法或维数规则化等方法。 事实上，微扰级数的收敛性质是很难证明的。往往只计算 一级或二级修正，再将所得结果与实验结果比较来看它的符合程 度。

2 1
a
a
得
315 N a (6) 2 16( 8 28)
2
例题—无限深势阱
变分法求解 2、能量平均值

2 a d 2 E 2 dx (7) a 2m dx
3 112 36 60 2 (8) 得 E ( ) 2 2 4 8 28 m a
(1)薛定谔方程的变分原理

经典力学中 变分原理 => 哈密顿方程 量子力学中 变分原理 => 薛定谔方程
S 0

(1)薛定谔方程的变分原理
由
H H d (1)
*

及归一化条件
(2) d 1
*
* 另外由于 是复数， 与 可视为独立变量，在
的约束条件下的极值条件得
V
2g



dxe
gx 2
Ve
gx 2




dxe
1 2 x2 2
g xe
1 2 x2 2




0
dyye y
2
g

又因为有：
E H V T
22
4m

g
由极值条件求得最佳的 及能量的最小值为：
H



dxe
1 2 x2 2
T V e
1 2 x2 2
T V
上式中的<T>,<V>的计算如下给出：
T
2



dxe
1 2 x2 2
Te
1 2 x2 2




dxe
1 2 x2 2
2 x2 2 d 2 1 2 e 2m dx2
例题—无限深势阱
变分法求解 3、取极值 E ( )


得两根
0 (9)
1 1.2207500 , 2 8.317712
2 E1 代入E得 E (1 ) 1.233719 2 1.0000147 ma 2 E (2 ) 12.7663 2 ma
回顾
n n n , (9)
* n * n
* n
* n
则归一化条件变为 即
(
* n
* n
)( n n )d 1
2
[
* n
n
n ]d n d (10)
(2)相应于本征态的本征能量取极小值
（a）
（，x) e|x|
1 2 x2 2
（，x) Ne
a
| x| （b ） （a, x) N (1 ), | x | a
（c）
0， | x | a
解：基态应该是偶宇称，三种试探波函数显然都符合 这个条件。 那么具体是怎样选择试探波函数了？下面我们来分 析一下。 首先题中给出的势场V（x)=g|x|，满足 d H | x| V(x)=V(-x),这样哈密顿量 2m dx 在宇称变换P下不变，一维定态问题的束缚态并不简 并，应有确定的宇称，其中基态无节点必为偶宇称 态。
xe
,
我们先来看看计算结果，是否符合这样的判断。
现在取试探波函数 （ ，x ) Ne 来计算基态波函数及其能量。 1 按照变分法，先计算在 2 x2 2 （ ， x ) N e 下的能量的期望值： （1） dx x H x

1 2 2 x 2
H

而波函数的模平方