用变分法求解最优控制问题
最优控制应用基础-第二章
xdt x t
T T tf
0
tf
t0
x dt
T
分部积分公式
tf
t0
udv uv
tf t0
vdu
t0
tf
1 T 2 J x x x t t f x t t0
那么，如果u*(t) 、x*(t) 、tf*分别是最优控制、最优轨线和最优 终端时间， 则它们同λ*(t)一起在区间[t0，tf]上必须满足：
13
波尔札问题—tf未定
(1) 系统方程 (2) 伴随方程 (3) 控制方程 (4) 横截条件
H x * H x H 0 u
T T T
哈米尔登函数的一个重要性质：如果哈米尔登函 数H不显含t，那么，它沿着最优轨线等于常数。
11
波尔札问题—tf固定
(4) 在微分方程等式约束下性能泛函取极值的充分条件 对于实际工程问题，极值的性质是明显的，比如 最短时间问题和最少燃料问题的最优解一定使性能泛 函取极小，而最大平飞速度问题的最优解一定使性能 泛函取极大。因此，取极大值还是极小值，可直接根 据问题本身的性质来确定。
N[x(t f ),t f ] x1 (1) x2 (1) 1 0
1 (1)
2 (1)
N T * (t * ) f x t t* x f
16
例题
1 1 x1 c1t 3 c2t 2 c3t c4 6 2 1 x2 c1t 2 c2t c3 2 1 c1
第二章
极小值原理
在大量的实际最优控制问题中，控制变量和(或)状态 变量要受到物理条件限制，常常带有闭集性约束条件。使 用基本预备定理导出的结果不适用于带有闭集性约束条件 的最优控制问题。 利用变分法求解最优控制问题的中心内容是求解欧拉 方程和相应的横截条件。但是，要求n维状态矢量x(t)和m 维控制矢量u(t)都不受闭集性约束条件限制。然而，如果 最优控制问题存在不等式约束，那么用经典变分法来求解 是十分困难的。即使采用上一章介绍的化不等式约束为等 式约束来处理，也只能针对具体问题具体分析，得不出具 有普遍意义的关系式。
最优控制问题的变分法解析
最优控制问题的变分法解析在控制论中，最优控制问题是寻找系统在给定约束条件下的最佳控制策略，以使所定义的性能指标取得最优值。
变分法是一种重要的数学工具，被广泛应用于解决最优控制问题。
本文将通过对最优控制问题的变分法解析，探讨其原理、应用和解决方法。
一、最优控制问题的基本原理最优控制问题的基本原理可以通过变分法进行分析。
变分法是数学中研究函数极值问题的一种方法，其关键思想是将函数的变分（变化量）与被考察函数的变化率联系起来。
在最优控制问题中，我们希望找到一个控制函数，使得系统的性能指标（如代价函数）取得最优值。
二、最优控制问题的数学描述最优控制问题通常使用微分方程或差分方程来描述系统的动力学行为。
假设系统的动力学方程为：```dx(t)/dt = f(x(t), u(t))```其中，x(t)为系统的状态向量，u(t)为系统的控制向量，f(x(t), u(t))表示系统的动力学行为。
我们的目标是通过选择合适的控制函数u(t)来最小化一个代价函数J，即：```J = ∫ L(x(t), u(t)) dt + Φ(x(T))```其中，L(x(t), u(t))为运动学指标函数，Φ(x(T))为终点状态指标函数。
通过变分法我们可以得到最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程：```L_x - d/dt(L_u) = 0```其中，L_x表示L对x的偏导数，L_u表示L对u的偏导数。
三、最优控制问题的解决方法解决最优控制问题的一种常用方法是动态规划。
基本思想是将问题分解为一系列子问题，并利用最优子结构性质递归求解。
通过将最优控制问题转化为一组哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，可以得到最优控制的解析解。
此外，还可以采用数值方法，如离散化法和优化法，求得数值近似解。
四、最优控制问题的应用领域最优控制问题在许多领域都有着广泛的应用。
在经济学中，最优控制可用于优化投资组合、经济增长模型等；在工程领域，最优控制可用于优化控制系统、自动驾驶等；在生物学中，最优控制可用于优化生态系统管理、生物过程模型等。
5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
变分法与最优控制问题
变分法与最优控制问题在数学和物理学中，变分法是一种用于求解最优化问题的数学方法，特别适用于求解函数als^565^到l=0的极值点。
最优控制问题是指在给定约束条件下，寻找使得控制系统性能指标最优的控制策略。
本文将介绍变分法与最优控制问题的基本概念和应用。
一、变分法的基本概念变分法是一种通过将问题转化为变分问题，再利用变分法原理对变分问题进行求解的方法。
变分法关注的是函数als^565^的泛函ls^565^= ∫f(als^565^, al'=I0'~I1'，其中als^565^是取决于一个或多个独立变量al的函数。
变分问题就是要找到使得泛函ls^565^达到极值的函数als^565^。
二、变分法的应用变分法在数学和物理学中有广泛的应用，特别是在最优控制问题中。
最优控制问题是指在给定的系统模型和性能指标下，寻找使得性能指标最优的控制策略。
变分法在最优控制问题中起到了重要的作用。
在最优控制问题中，我们需要根据系统的状态变量和控制变量，构建系统的数学模型。
然后，通过构建性能指标，将最优控制问题转化为求解一个泛函的极小值问题。
利用变分法的原理，我们可以获得泛函的欧拉-拉格朗日方程，从而得到系统的最优控制策略。
最优控制问题的解决可以为实际应用提供最佳的控制策略。
三、变分法与最优控制问题的应用举例为了更好地理解变分法与最优控制问题，我们举一个简单的例子来说明其应用。
假设有一辆汽车行驶在一段道路上，我们的目标是寻找一种最优的加速度控制策略，使得汽车在最短的时间内到达目的地。
在这个问题中，车辆的位置可以用参数x表示，车辆的速度可以用参数v表示，我们的目标是找到使得到达目的地时间最短的速度曲线v(t)。
首先，我们需要建立车辆的数学模型，这里我们假设车辆的运动服从牛顿第二定律。
通过构建性能指标，我们可以得到泛函的表达式：ls^565^ = ∫[1 + (dht/dt)^2]dt其中dht/dt=t。
最优控制第三章用变分法解最优控制问题
Ja
[x(t f ),t f ]
tf {F(x,u,t) T [ f (x,u,t) x]}dt
t0
令哈密尔顿函数:
H (x,u, ,t) F (x,u,t) T f (x,u,t)
则
Ja
[x(t f ),t f ]
tf [H (x,u,,t) T x]dt
J
[x(t f ),t f ]
tf t0
F ( x, u, t )dt
式中 x Rn u R p 和F为纯量函数
最优控制问题就是寻求最优控制 u* (t) 及最优状态轨迹 x* (t) 使性能指标J取极值.
一.初始时刻 t0 及始端状态 x(t0 ) 给定, t f 给定,终端自由
t0
J a
(
x
)T
x
t t f
பைடு நூலகம்
t f [(H )T x (H )T u (H )T xT Tx]dt 0
t0 x
u
注意到:
tf t0
T xdt
T x
tf t0
t f Txdt
t0
x(t0 ) 0
(t f
)
[
x
(M x
)T v]
tt f
7
三. 初始时刻 t0 及始端状态 x(t0 ) 给定, t f 自由,终端约束
设终端约束为 M [x(t f ), t f ] 0
构造增广泛函
Ja
[x(t f ),t f ] vT M[x(t f ),t f ]
tf [H (x,u,,t) T x]dt
最优控制问题的变分方法
最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中，最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略，以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支，它通过对系统建模和优化理论的应用，旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法，则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法，在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分，并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题，从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分，即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程，可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中，泛函可以表示系统性能的指标，如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域：1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中，变分法能够通过求解变分问题，得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法，变分法能够通过解反向动态规划方程，得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中，变分法可以通过求解变分问题，得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分，并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛，能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法，我们能够有效地求解最优控制问题，并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
无穷维空间上的变分方法和最优控制
无穷维空间上的变分方法和最优控制在数学和控制理论中，变分方法和最优控制是两个相关且重要的概念。
它们是为了解决在无穷维空间中的问题而开发的技术和工具。
本文将介绍无穷维空间上的变分方法和最优控制的基本原理和应用。
一、无穷维空间中的变分问题在传统的微分方程理论中，我们通常考虑有限维空间上的问题。
然而，在某些情况下，我们需要考虑无穷维空间上的问题，例如描述连续介质的偏微分方程、描述量子力学的波函数等等。
在无穷维空间上，我们无法通过代数方程来求解问题，而是需要使用变分法。
变分法是一种基于变分原理的数学方法，它通过求解一个函数的极值问题来获得函数的解。
在无穷维空间中，我们需要考虑无穷维函数的变分问题。
其中最基本的概念是泛函，泛函是一个将函数映射到实数的映射。
我们可以定义一个泛函的变分，并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
二、无穷维空间中的最优控制最优控制是一种寻找系统在一定性能指标下的最优控制策略的方法。
在有限维空间中，最优控制问题可以使用动态规划等方法求解。
然而，在无穷维空间中，最优控制问题更加复杂。
例如，在描述连续介质的方程中，我们需要确定一个无穷维函数，使得系统在一定约束条件下的性能指标最优。
为了解决无穷维空间中的最优控制问题，我们需要使用变分方法。
首先，我们可以构建一个性能指标函数，它是一个泛函，并且依赖于控制和系统状态。
然后，我们可以通过求解变分问题来得到最优控制策略。
最优控制问题的解通常是一个偏微分方程，这是由于在无穷维空间中，控制策略本身是一个无穷维函数。
三、无穷维变分和最优控制的应用无穷维变分方法和最优控制方法在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，它们被用来描述量子力学和连续介质的性质。
在工程学中，它们被用来优化控制系统的性能，并设计高级控制策略。
在经济学中，它们被用来优化经济系统的决策和规划。
例如，变分方法和最优控制方法在航空航天领域有重要的应用。
通过应用变分方法，我们可以找到航天器的最佳轨道和姿态控制策略，以实现最佳的任务执行和能源利用。
第6章 用变分法求解最优控制问题
x(t) = x*(t) +εη(t) = x*(t) +δ x(t)
§6－2 泛函与变分的基本概念
3.泛函的变分 ● 泛函的增量 由自变量函数 x(t) 的变分δ x(t)引起泛函 J[ x(t)]的增量
∆J = J[ x*(t) +δ x(t)] − J[x*(t)] 为泛函 J[ x(t)] 的增量。
§6－2 泛函与变分的基本概念
一. 泛函与泛函的变分 1. 泛函的定义 对于某一类函数集合{x(t)} 中的每一个函数 x(t)，均有一个确定的数 J 与之对应，则称 J 为依赖于函数 x(t) 的泛函，记作
J = J[x(⋅)] = J[x(t)]
函数值。 例泛函：
J[x(t)] 中的 x(t)应理解为某一特定函数的整体，而不是对应于 t 的
α = ∫ 2[x(t) + δ x(t)]δ x(t)dt α=0
0
1
= ∫ 2x(t)δ x(t)dt
0
1
§6－2 泛函与变分的基本概念
二. 泛函的极值 1. 泛函极值的定义 如果泛函 J[x(t)] 在 x(t) = x (t) 的邻域内，其增量
*
∆J = J[x(t) − x*(t)] = J[x(t)] − J[x*(t)] ≥ 0
∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = 0 ∂α ∂ J[x*(t) +αδ x(t)] α=0 = δ J[x*(t)] = 0 ∂α
§6－3 无约束条件的变分问题
引理：如果函数 F(t) 在区间 [t0, t f ] 上是连续的，而且对于只满足某些 一般条件的任意选定的函数
η(t) 有
第六章 用变分法求解最优控制问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
泛函变分由（5-2）式改为
Jtf t0
XT X Fd d(t X F ) d tXT X F tt0 f
向量欧拉——拉格朗日方程为
式中
F X
X Fd dt( X F )0
F
x1
F
x
2
F
x n
F
x 1
F
F X
x 2
F
x n
(5-11)
F xx ,x x ,t F x ,x ,t d
t
tt0 f F xx F x & x & o (x )2 ,(x & )2 d t
上式中 o[(x)2,(x & )2]是高阶项。
（泰勒级数展开）
根据定义，泛函的变分 J 是 J的线性
主部，即
J
tf t0
F xx F x x dt
第五章 用变分法解最优控制 —泛函极值问题
本章主要内容
➢ 5.1 变分法基础 ➢ 5.2 无约束条件的泛函极值问题 ➢ 5.3 有约束条件的泛函极值——动态系
统的最优控t f 制问题 ➢ 5.4 小结
在动态系统最优控制问题中，性能指标是一个 泛函，性能指标最优即泛函达到极值。解决泛函极 值问题的有力工具是变分法。所以下面再次列出变 分法中的一些主要结果，可对照微分学中的结果来 理解，以加深印象及理解。
的线性主部。
6、泛函的极值：若存在 0 ，对满足的 X X* 一切X，J(X)J(X*)具有同一符号，则
称 J (X ) 在 XX*处有极值。
定理：J (X ) 在 XX*处有极值的必要条件是对 于所有容许的增量函数 X（自变量的变分）， 泛函 J (X )在 X *处的变分为零
J(X*,X)0
横截条件为（自由端点情况）
F X
0
（分以下 t t0 和 t t f 两种情况：）
例5-1 求通过点（0，0）及（1，1）且使
J 1(x2 x2)dt 0
取极值的轨迹 x * (t )。
解 这是固定端点问题，相应的欧拉——拉格朗日方
程为 即
2x d (2x) 0 dt
x x0
它的通解形式为
则称J (X )在 Xˆ 处是连续的。
3、线性泛函：满足下面条件的泛函称为线性泛函
齐次性： JXJX
叠加性： J(X Y ) J(X ) J(Y )
这里是实数，X和 Y是函数空间中的函数。
4、自变量函数的变分：自变量函数 X (t)的变分 X
是指同属于函数类X(t)中两个函数X1(t) 、X2(t) 之差
5.2.2 泛函的自变量函数为向量函数的情况
现在，将上面对 x(t) 是标量函数时所得到的公式推 广到X (t)是n维向量函数的情况。这时，性能泛函为
式中
J tf F(X,X,t)dt t0
x1(t)
X
x
2
(
t
)
x n (t)
x1 ( t )
X
x2
(
t
)
xn
(
t
)
(5-9) (5-10)
x(t)AchB t sht
式中：
Sht—双曲正弦函数 Cht—双曲余弦函数
ch e tt et , she tt et
2
2
由初始条件 x(0) 0 ，可得A=0。
再由终端条 件 x(1) 1 ，可得 B1 sh1， 因而极值轨迹为
为了判别是极大还是极小，要计算二阶变 分 2J。但在实际问题中根据问题的性质容易
判别是极大还是极小，故一般不计算 2J 。
5.2 无约束条件的泛函极值问题
5.2.1 泛函的自变量函数为标量函数的情况
为简单起见，先讨论自变量函数为标量函数 （一维）的情况。我们要寻求极值曲线 x(t)x*(t)， 使下面的性能泛函取极值
5.1 变分法基础回顾
相关的定义：
1、泛函： 如果对某一类函数X(t)中的每一个函
数X (t)，有一个实数值J与之相对应，则称J为依赖于
函数X (t) 的泛函，记为
JJX(t)
简单来说，泛函是以函数为自变量的函数。
2、泛函的连续性：若对任给的 0，存在 0
当 X(t)Xˆ(t) 时，就有
J(X)J(Xˆ)
XX 1(t)X2(t)
这里, t 看作为参数。当 X (t) 为一维函数时，X 可用图5-1来表示。
图5-1自变量函数的变分
5、泛函的变分：当自变量函数 X (t)有变分X时， 泛函的增量为
J J X X J X
JX,XX
这里，JX,X是X 的线性泛函，若 X 0时， 有 0，则称JX,X是泛函 JX的变分。J 时，（5-4）式自然为零。
2、自由端点的情况
这时 x(t0 )和 x(t f ) 可以发生化，x(t0)0,x(tf)0，
而且可以独立地变化。于是要使（5-2）中第二项 为零，由（5-4）式可得
F (x )ttf
x(tf )0
F (x)tt0
x(t0)0
（5-5） （5-6）
对上式第二项作分部积分，按公式
可得
tf t0
u
dvu
vtf t0
tf vdu t0
Jtf t0
F xd d(t F x )xd tF x xtt0 f
（5-2）
J取极值的必要条件是 J 等于零。因 x是 任意的，要使（5-2）中第一项（积分项）为 零，必有
Fd(F)0 x dt x
（5-3）
上式称为欧拉——拉格朗日方程。
（5-2）式中第二项为零的条件要分两种情况来讨论：
1、 固定端点的情况
这时 x(t0)x0,x(tf)xf ，它们不发生变化，所 以 x(t0)x(tf)0。而（5-2）中第二项可写成
F tf F
F
x x t0
(x )ttf
x(tf)(x )tt0
x(t0)
J tf Fx(t),x (t)t,dt t0
（5-1）
为此，让自变量函数 x (t )、x(t)在极值曲线x * (t)、x*(t)附
近发生微小变分x、x，即
x(t)x*(t)x(t)
x (t) x * (t)x (t)
于是泛函J 的增量J 可计算如下（以下将*号省去）
Jtf t0
因为这里讨论 x (t )是标量函数的情况，x(t0 ) 和 x(t f ) 也是标量，且是任意的，故（5-5）、（5-6）可化 为
（5-7）
（5-8）
（5-7）、（5-8）称为横截条件。
当边界条件全部给定（即固定端点）时，不需 要这些横截条件。当 x(t0 ) 给定时，不要（58）。当 x(t f ) 给定时，不要（5-7）。