函数周期性在解题中的应用

函数周期性在解题中的应用

发表时间：2018-01-31T16:23:57.120Z 来源：《中小学教育》2018年第310期作者：孙永慧

[导读] 解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。

孙永慧广灵二中山西大同037503

函数的周期性是新教材第四章中的难点，也是高考常考的内容之一，一些学生对解周期性的问题无从下手、无所适从。根据笔者近几年的教学实践，现将函数周期性问题的解法归纳总结如下。解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中

T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。

一、在求函数周期上的应用

例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），则函数f（x）的一个周期是______。

解：∵ f（x+2）=-f（x），∴作代换将x换为x+2，得f[（x+2）+2]=-f（x+2），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的一个周期是4。

二、在求函数值上的应用

例2.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（π）=______。

解：∵x∈（-∞，+∞），f（x+2）=-f（x），故将x换为x+2得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的奇函数，∴f（π）=f（-1×4+π）= f（π-4）= f[-（4-π）]=- f（4-π）。而4-π∈[０,１]且x∈ [０,１]时f（x）=x，∴f（π）=- f（4-π）=-（4-π）=π-4。

三、在求函数解析式上的应用

例3.设奇函数f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，当x∈[０,2] 时，f（x）=2x-x2。当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式。

分析：要求x∈[2,4]时f（x）的解析式，须将x换为x+2k（k∈Z）,且使x+2k∈[０,2]，则可由已知条件求得f（x）的解析式。

解：∵ x∈[2,4]，∴ -x∈[-4,-2], ∴4-x∈[０,2]；又∵x∈[０,2] 时， f（x）=2x-x2 ∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8；又∵ f（4-x）=f （-x）=-f（x），∴-f（x） =-x2+6x-8，即 f（x） =x2-6x+8，x∈[2,4]。

四、在判断函数性质方面的应用

例4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[０,2]上是增函数，则（）。

A. f（-25）＜f（11）＜f（80）

B. f（80）＜f（11）＜f（-25）

C. f（11）＜f（80）＜f（-25）

D. f（-25）＜f（80）＜f（11）

解：∵ f（x）是奇函数且 f（x）在[０,2]上是增函数，∴ f（x）在[-2,2]上也是增函数；又∵f（x-4）=-f（x），令x=x-4，则有 f（x-8）=-f （x-4）=f（x）；∴函数 f（x）以8为周期，∴ f（-25）=f（-25+3×8）=f（-1），f（11）=f（3+8）=f（3）=-f（3-4）=-f（-1）=f（1），f （80）=f（0+10×8）=f（0）。∵ -1＜0＜1，且x∈[-2,2]时f（x）单调递增，∴ f（-1）＜f（0）＜f（1），即f（-25）＜f（80）＜f（11），故选D。

五、在数列上的应用

例5.已知数列{an}满足an+1=an-an-1（n≥2），a1=a,a2=b，记Sn=a1+a2+a3+……+an，则下列结论正确的是（）。

A. a100=-a,S100=2b-a

B.a100=-b,S100=2b-a

C. a100=-b,S100=b-a

D. a100=-a,S100=b-a

分析：∵a1=a，a2=b,在n+1=an-an-1中令 n=2、3、4、5、6，分别求得a3=b-a、a4=-a、a5=-b、a6=-b+a、a7=a。由上面结论可推测数列{an}可能是周期为6的周期数列，为此得其解法如下：

解：设f（n）=an，n∈N*，则由已知有：f（n=6）=f（n+5）-f（n+4）=f（n+4）-f（n+3）-f（n+4）=-f（n+3）=-[f（n+2）-f

（n+1）]=-[f（n+1）-f（n）-f（n+1）]=f（n），∴f（n）=an的周期是6，∴ a100=f（100）=f（16×6+4）=f（4）=a4=-a。又

a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 且an的周期是6，∴S100=S16×6+4=S4=2b-a，故选A。

六、在确定函数图像与X轴交点的个数及确定方程根的情况上的应用

例6.设函数f（x）对任意实数x满足f（2+x）=f（2-x）,f（7+x）=f（7-x）且f（0）=0，判断函数f（x）图像在区间[-30,30]上与X轴至少有多少个交点。

解：由题意可知函数f（x）图像关于直线x=2和x=7对称，又由函数的性质得f（x）是以10为周期的函数，在一个周期区间[0，10]上，f （0）=0，f（4）=f（2+2）=f（2-2）=f（0）=0 且f（x）不恒为零，故f（x）图像与X轴至少有2个交点。而区间[-30,30]有6个周期，故在闭区间[-30,30]上f（x）的图像与X轴至少有13个交点。

例7.已知f（x）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x）, f（7+x）=f（7-x）且x=0 是方程f（x）=0的一个根，求方程f（x）=0在区间

[-1000，1000]上至少有几个根。

解：∵f（4）=f（0）=f（10）=0，∴在区间（0,10]上，方程f（x）=0至少有两个根：x1=4,x2=10。又由函数的对称性及周期的关系知f（x）是以10为周期的周期函数，且在每个周期上至少有两个根，故方程f（x）=0在区间[-1000，1000]上至少有1+2× =401个根。

以上总结了函数周期性在解题中常见的几种应用，并对一些常用的方法作了初步的归纳总结。可能还有其他方面的应用，疏漏之处在所难免，恳请同行们予以补充，不妥之处请不吝赐教。