函数周期性在解题中的应用
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳
函数的奇偶性与周期性考点和题型归纳、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝f (x)?，那么函数f(x) 是偶函都有f(－x)＝－f(x)?，那么函数f(x)是奇函数图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f(x)≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：f －x(1) f(－x)＝f(x)? f(－x)－f(x)＝0? f x＝1?f(x)为偶函数；fx2．函数的周期性(1) 周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的任何值时，都有T)＝f (x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T，使 f (x＋T) ＝f(x)为恒等式，即自变量x 每增加一个T后，就会重复出现一次．(2) 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．二、常用结论(2)f(－x)＝－f(x)? f(－x)＋f(x)＝0? ＝－1? f(x)为奇函数．f(x＋函数值f(x)fx1．函数奇偶性常用结论(1) 如果函数 f(x)是奇函数且在 x ＝0 处有定义，则一定有 f(0) ＝0；如果函数 f(x)是偶函 数，那么 f(x)＝ f(|x|)．(2) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性．(3) 在公共定义域内有： 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶， 奇×奇＝偶， 偶×偶＝偶， 奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对 f(x) 定义域内任一自变量 x ：(1) 若 f(x ＋a)＝－ f(x)，则 T ＝2a(a>0)．1(2) 若 f(x ＋ a)＝ ，则 T ＝ 2a(a>0)． fx1 (3)若 f(x ＋a)＝－ f x ，则 T ＝2a(a>0)．fx3．函数图象的对称性(1) 若函数 y ＝ f(x ＋ a)是偶函数，即 f(a －x)＝f(a ＋x)，则函数 y ＝f( x)的图象关于直线 x ＝ a 对称．(2) 若对于 R 上的任意 x 都有 f(2a －x)＝f(x)或 f(－x)＝f(2a ＋x)，则 y ＝f(x)的图象关于直 线 x ＝ a 对称．(3) 若函数 y ＝f(x ＋b)是奇函数，即 f(－x ＋b)＋f(x ＋b)＝0，则函数 y ＝f(x)关于点 (b,0)中 心对称．考点一 函数奇偶性的判断［典例 ］ 判断下列函数的奇偶性： 36－x 2(1) f(x)＝|x ＋3－|－3；(2) f(x)＝ 1－x 2＋ x 2－ 1； log 2 1－ x 2 (3)f(x)＝ |x －22－|－2 ；义域为 (－6,0)∪ (0,6］，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数．(4)f(x)＝x 2＋x ，x<0，x 2－x ，x>0.［解］ (1) 由 f(x)＝36－x 2≥0，|x ＋ 3|－－ 6 ≤ x ≤ 6，故函数 f( x)的定x ≠0且x ≠－6，|x ＋3|－31－x 2≥ 0，(2) 由 ? x 2＝1? x ＝±1，故函数 f(x)的定义域为 { － 1,1} ，关于原点对称， 且x 2－1≥0f(x)＝0，所以 f(－x)＝f(x)＝－ f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数．1－ x 2>0 ， (3)由 ? －1<x<0 或 0<x<1，|x － 2|－ 2≠0定义域关于原点对称．2 2 2 log 2 1－ x log 2 1－x log 2 1－ x此时 f(x)＝ 2＝ 2＝－ 2x ， |x －2|－2 2－ x －2 x22log 2[1 － － x ] log 2 1－ x＝－ f(x) ，－x所以函数 f(x)为奇函数．(4) 法一：图象法故 f(－x)＝x 2－x ＝f(x)，故原函数是偶函数．法三： f(x)还可以写成 f(x)＝ x 2－ |x|(x ≠0)，故 f(x)为偶函数．[题组训练 ]1． (2018 福·建期末 )下列函数为偶函数的是 ( )πA ． y ＝ tan x ＋4 B ．y ＝x 2＋e |x|C ．y ＝xcos xD ． y ＝ ln|x|－ sin x解析：选 B 对于选项 πA ，易知 y ＝tan x ＋ 4 为非奇非偶函数；对于选项B ，设 f(x) ＝＋e |x|，则 f(－x)＝(－x)2＋e |－x|＝ x 2＋ e |x|＝ f (x)，所以 y ＝ x 2＋ e |x|为偶函数；对于选项 C ，设 f(x)＝xcos x ，则 f(－x)＝－ xcos(－x)＝－xcos x ＝－ f (x)，所以 y ＝ xcos x 为奇函数； 对于故有 f(－ x)＝－ 画出函数 f(x)＝x 2＋x ， x<0，故 f(x)为偶函数．法二：定义法x 2－x ， x>0的图象如图所示， 图象关于 y 轴对称，易知函数 f(x)的定义域为 (－∞，0)∪(0，＋ ∞ )，关于原点对称，当 x>0 时， f(x)＝ x 2－ x ， 则当 x<0 时，－ x>0，故 f(－x)＝x 2＋x ＝ f(x)； 当x<0 时， f(x) ＝ x 2＋ x ，则当 x>0 时，－ x<0，选项D，设 f(x)＝ln|x|－sin x ，则 f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2 ≠ f(2)，所以 y＝ln|x|－sin x 为非奇非偶函数，故选 B.e x － e－xf(x)＝ 2 ，则下列结论错误的是A ．|f(x)|是偶函数B ．－ f(x)是奇函数C ．f(x)|f(x)|是奇函数D ．f(|x|)f(x)是偶函数∴f(x)是奇函数． ∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴ f(|x|)f(x)是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用［典例］ (1)(2019 福·建三明模拟 )函数 y ＝f(x)是 R 上的奇函数，当 x<0时， f(x)＝2x，则 当 x>0 时， f(x)＝ ( )A ．－ 2xB ．2－xC ．－ 2－xD ．2x(2)(2018 贵·阳摸底考试 )已知函数 f(x)＝a －e x ＋21(a ∈ R)是奇函数，则函数 f(x)的值域为()A ．(－1,1)B ． (－ 2,2)C ．(－3,3)D ． (－ 4,4)［解析］ (1)当 x>0 时，－ x<0，∵x<0时，f(x)＝2x ，∴当x>0 时，f(－x)＝2－x .∵f(x)是 R上的奇函数，∴当 x>0 时， f (x)＝－ f(－ x)＝－ 2－x2．设函数 解析： 选 D ∵f(x)＝e x－e－x则 f(－ x)＝e －x －e x＝－ f(x)．(2)法一： 由 f(x)是奇函数知 f(－x)＝－ f(x)，所以 a －2e－x＋1＝－ a ＋2e x ＋1，2得 2a ＝e x ＋ 12 1 e x 2 1 ＋－x，所以a＝x＋x＝1，所以f(x)＝1－x .因为 e ＋1>1，所以0< x<1，e－x＋1 e x＋1 e x＋1 e x＋ 1 e x＋1－1<1 －x2 <1，所以函数f(x)的值域为(－1,1)．e＋1法二：函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所2 1 2以f(x)＝1－x .因为e x＋1>1，所以0< x <1，－1<1－x <1，所以函数f(x)的值域为e x＋1e x＋ 1 e x＋1(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．(3) 求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f(x) ±f(－x)＝0 得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组) ，进而得出参数的值．(4) 画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019 ·贵阳检测)若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≥0 时，f(x)＝log2(x＋2)－1，则f(－6)＝()A．2B．4C．－2 D ．－4解析：选C根据题意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－ 2.2．已知函数f(x)为奇函数，当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当x<0 时，函数 f (x)的最大值为解析：法一：当x<0 时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)1 1 1＝－f(－x)＝－x2－x＝－x＋22＋4，所以当x<0 时，函数f(x)的最大值为4.1 1 1法二：当x>0 时，f(x) ＝x2－x＝x－22－4，最小值为－4，因为函数f(x)为奇函数，所1以当x<0 时，函数f(x) 的最大值为4.答案：143．(2018 合·肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝__ .解析：∵f(x)＝xln( x＋a＋x2)为偶函数，∴f (－x)＝f(x)，即－xln( a＋x2－x) ＝xln( x＋a＋x2)，从而ln［( a＋x2) 2－x2］＝0，即ln a＝0，故a＝ 1.答案：1考点三函数的周期性［典例］ (1)(2018 开·封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2］时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )1A ． 5 B.2C．2 D ．－2(2)(2018 江·苏高考)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2］上，f(x) ＝πxcos2，0<x≤2，2则f(f(15)) 的值为_____________________ ．1x＋2，－2<x≤0，［解析］ (1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为 4 的周期函数，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－ 2.(2)由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，11所以f(15)＝f(－1)＝－1＋2＝2，所以f(f(15))＝ f 21＝cos4π＝22.［答案］ (1)D (2) 22[ 题组训练 ]1 1．(2019 山·西八校联考 )已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x ＋2)＝－f x ，当2≤x ≤3 fx11时， f(x)＝x ，则 f － 2 ＝ _____ .1解析： ∵f(x ＋2)＝－ f x ，∴f(x ＋4)＝f(x)， fx55 － 1152 ＝ 2，∴f －2 ＝ 2.答案 ：522．(2019 哈·尔滨六中期中 )设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3的函数，当 x ∈[－2,1)时，f(x)4x 2－ 2，－ 2≤x ≤0，21 则f f 241 ＝ __________ .解析：21 3 3 3 1 1 1由题意可得 f 241 ＝f 6－34 ＝f －34 ＝ 4×－34 2－2＝1，f 1 ＝1. 答案： 14[课时跟踪检测 ]A 级1．下列函数为奇函数的是 ()31－ xA ． f(x)＝ x 3＋ 1B ．f(x)＝ln1＋xC ．f(x)＝e xD ． f(x)＝ xsin x解析： 选 B 对于 A ，f(－x)＝－x 3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于 B ，f(－ x)＝1 ＋ x 1－ x ln ＝－ ln ＝－ f(x)，所以其是奇函数；对于 C ，f(－ x)＝ e －x ≠ －f(x)，所以其不是奇函 1－ x1＋ x数；对于 D ，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x ＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B.9x＋12． (2019 ·南昌联考 )函数 f(x)＝ 3x 的图象 ( )112f 25 ，又 2≤x ≤3 时，f(x)＝x ，1 4A ．403B ．405111又当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，所以 f 2 ＝ 2 2－ 2＝6．(2019 ·益阳、 湘潭调研 )定义在 R 上的函数 f(x)，满足 f(x ＋ 5)＝f(x)，当 x ∈(－3,0］时， f(x)＝－x －1，当 x ∈(0,2］时，f(x)＝log 2x ，则 f(1)＋f(2)＋f(3)＋⋯＋f(2 019)的值等于 ()A ．关于 x 轴对称 C ．关于坐标原点对称 B ．关于 y 轴对称 D ．关于直线 y ＝ x 对称解析： 选 B 因为 f(x)＝93＋x 1＝ 3x ＋ 3－x ，易知 f(x)为偶函数，所以函数 f(x)的图象关于y 轴对称．log 2 x ＋1 ，x ≥ 0，3．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝则 f(－ 7)＝( )gx ，x <0，A ．3B ．－ 3C ．2D ．－ 2解析： 选 B 因为函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，log 2 x ＋ 1 ，x ≥0， 且 f(x) ＝g x ， x <0，所以 f(－7)＝－ f(7)＝－log 2(7＋1)＝－ 3.4．若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)＋g(x)＝e x ，则 g(x)＝( )－1－A ．e x － e －xB.21(e x ＋e －x )1 － 1－C.21(e －x －e x )D.21(e x － e －x )解析： 选 D 因为 f(x)＋ g(x)＝e x ，所以 f(－ x)＋ g(－x)＝f(x)－ g(x)＝e －x ，1所以 g(x)＝2(e x － e －x )．5．设 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当 50≤x ≤1 时， f(x)＝x 2－x ，则 f －2 ＝ ()A ．B ．C.14D.2解析： 选 C 因为 f(x)是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，所以52＝1 2.15 14，则 f－2 14.解析：选 B 定义在R 上的函数f(x) ，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为 5.又当x ∈(0,2］时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0］时，f(x) ＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－ 1.故f(1) ＋f(2)＋ f (3)＋⋯＋f(2 019)＝403×［f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)］＋f(2 016) ＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2) ＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.17．已知函数f(x)是偶函数，当x> 0时，f(x)＝ln x，则 f f e2 的值为_____ ．11解析：由已知可得 f e2 ＝ln e12＝－2，1所以 f f e2 ＝f(－2)．又因为f(x)是偶函数，1所以 f f e2 ＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.答案：ln 218．(2019 惠·州调研)已知函数f(x)＝x＋x－1，f(a)＝2，则f(－a)＝__ .x1解析：法一：因为f(x)＋1＝x＋x1，x设g(x)＝f(x)＋1＝x＋x1，1易判断g(x)＝x＋x为奇函数，11故g(x)＋g(－x)＝x＋x－x－x＝0，即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－ 2.所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－ 4.1法二：由已知得f(a)＝a＋1－1＝2，a1 1 1即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－a＋－1＝－3－1＝－ 4.a a a答案：－49．(2019 ·陕西一测)若函数f(x)＝ax＋b，x∈［a－4，a］的图象关于原点对称，则函数g(x)a＝bx ＋x ，x ∈［－4，－ 1］的值域为．x解析： 由函数 f(x)的图象关于原点对称，可得 a － 4＋a ＝0，即 a ＝2，则函数 f(x)＝2x ＋2b ，其定义域为 ［－2,2］，所以 f(0)＝0，所以 b ＝ 0，所以 g(x)＝x ，易知 g(x)在［－ 4，－ 1］上单1 调递减，故值域为 ［g(－1)，g(－4)］，即 －2，－ 2 .1答案 ： － 2，－ 1210．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 若当 x ∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg x ，则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是 ____ ．解析： 当 x>0 时， lg x>0 ，所以 x>1，当 x<0 时，由奇函数的对称性得－ 1<x<0 ， 故填(－1,0)∪(1，＋ ∞)． 答案 ：(－1,0)∪(1，＋∞ )11．f(x)为 R 上的奇函数，当 x>0 时，f(x)＝－2x 2＋3x ＋1，求 f(x)的解析式．解：当 x<0 时，－ x>0，则 f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－ 2x 2－3x ＋1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)＝－ f(－x)， 所以当 x<0 时， f(x)＝2x 2＋ 3x －1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数，故 f(0)＝ 0.－2x 2＋ 3x ＋1，x>0， 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)＝0， x ＝ 0，2x 2＋3x － 1， x<0.(1)证明 y ＝ f(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)＝ 2，求 f(2)＋ f(3)的值． 33解： (1)证明：由 f 2＋ x ＝－ f 2－x ，且 f(－x)＝－ f(x)，知 f(3＋x)＝f 23＋ 23＋x所以 y ＝f(x)是周期函数，且 T ＝3 是其一个周期．(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)＝ 0，且 f(－1)＝－f(1)＝－2，又 T ＝3 是 y ＝f(x)的一个周期，所以 f(2)＋f(3)＝f(－1)＋12．设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数x 有f 23＋x ＝－f 23－x成立．＝－f 23－ 32＋x ＝－ f(－x)＝f(x)，f(0)＝ －2＋0＝－ 2.B 级1．已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0≤x<2 时， f(x)＝ x 3－ x ，则函数 y ＝f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点的个数为 ( )A ． 6B ．7C ．8D ． 9解析： 选 B 因为 f( x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0≤ x<2 时，f(x)＝x 3－x ＝x(x － 1)(x ＋1)，所以当 0≤x<2 时，f(x)＝0 有两个根，即 x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当 2≤x<4 时， f(x)＝0 有两个根，即 x 3＝ 2， x 4＝ 3；当4≤x ≤6 时， f(x)＝0 有三个根，即 x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故 f(x)的图象在区间 ［0,6］上与 x 轴的交点个 数为 7.2．(2019 洛·阳统考 )若函数 f( x) ＝ ln(e x＋ 1)＋ ax 为偶函数，则实数 a ＝ .解析： 法一： (定义法 )∵函数 f(x)＝ ln(e x ＋ 1)＋ ax 为偶函数，∴ f(－ x)＝ f(x)，即 ln(e －x ＋ 1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ ax ，－xxe －x＋ 1 1∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x ＋1)＝ln e x ＋1 ＝ ln e x ＝－ x ，1∴ 2a ＝－ 1，解得 a ＝－ 12.法二： (特殊值法 )由题意知函数 f(x)的定义域为 R ，由 f(x)为偶函数得 f(－ 1)＝f(1)，－ 11 －1 1 e 1 ＋ 11 ∴ ln(e －1＋ 1)－a ＝ ln(e 1＋ 1)＋a ，∴ 2a ＝ln(e －1＋ 1)－ ln(e 1＋1) ＝ln e ＋1 ＝ln e ＝－ 1， e ＋ 1 e∴a ＝－ 1.21答案 ：－12－x 2＋2x ，x>0，3．已知函数 f(x) ＝0， x ＝0， x 2＋mx ， x<0是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数f(x)在区间［－1，a－2］上单调递增，求实数 a 的取值范围．解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f( x)，于是x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在［－1，a－2］上单调递增，a －2>－ 1 ，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1< a≤3，a－2≤1，故实数 a 的取值范围是(1,3］．。
借助函数性质，妙用“二级结论”解题
ʏ林春斌在解决一些涉及函数性质(奇偶性㊁周期性㊁对称性等)问题时,往往可以巧妙应用对应的 二级结论 ,直接得出相应的结果,这样可以避免烦琐的推理过程,从而达到提高解题效率的目的㊂一㊁借助奇函数的 二级结论 解题结论1:如果f (x )是奇函数且在x =0处有意义,那么f (0)=0㊂结论2:若奇函数f (x )在关于原点对称的区间上有最值,则f (x )m a x +f (x )m i n =0㊂结论3:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,则g (-x )+g (x )=2c ㊂结论4:若f (x )是奇函数,且g (x )=f (x )+c ,g (x )在定义域上有最值,则g (x )m a x +g (x )m i n =2c ㊂例1 已知函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1的最大值为M ,最小值为m ,则M +m 的值为㊂分析:通过化简并变形f (x )的表达式,构建函数g (x )=x2|x |+1,结合奇函数的 二级结论 直接确定对应函数的最大值与最小值之和㊂解:根据题意得函数f (x )=2|x |+1-x +22|x |+1=2ˑ2|x |-x +22|x |+1=2-x2|x |+1㊂令函数g (x )=-x2|x |+1,其定义域为R ,则f (x )=2+g (x )㊂因为函数g (-x )=--x 2|x |+1=x2|x |+1=-g (x ),所以g (x )是奇函数㊂结合奇函数的 二级结论 得f (x )m a x +f (x )m i n =M +m =2ˑ2=4㊂在利用奇函数的 二级结论 时,要对题设条件中的原函数的解析式进行合理的恒等变形,借助构建的奇函数,利用奇函数的 二级结论 进行分析与求解㊂二㊁借助周期函数的 二级结论 解题已知函数f (x )的定义域内任一自变量x 的值,a ,b 为非零常数㊂结论1:若满足f (x +a )=f (x -a ),f (x +a )=-f (x ),f (x +a )+f (x )=c (c ɪR ),f (x +a )=1f (x )或f (x +a )=-1f (x ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2a ㊂结论2:若满足f (x )=f (x +a )+f (x -a ),则函数f (x )是周期函数,且一个周期为6a ㊂结论3:若函数f (x )的图像关于直线x =a 与x =b 对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论4:若函数f (x )的图像关于点(a ,0)对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为2|b -a |(b ʂa )㊂结论5:若函数f (x )的图像关于直线x =a 对称,又关于点(b ,0)对称,则函数f (x )是周期函数,且一个周期为4|b -a |(b ʂa )㊂注意:对于结论3,结论4,结论5的巧妙记忆为 两次对称成周期,两轴两心二倍差,一轴一心四倍差㊂例2 函数f (x )的定义域为R ,若f (x +1)是奇函数,且f (x -1)是偶函数,则( )㊂A .f (x +3)是偶函数B .f (x )=f (x +3)C .f (3)=0D .f (x )是奇函数分析:根据题设条件,利用抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,通过关系式的变形与转化,利用奇函数的 二级结论 ,周期函数4知识结构与拓展 高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的 二级结论 得到函数值,以及图像的周期性,进而对所求函数值进行转化与处理㊂解:因为f (x +1)是奇函数,所以f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x -1)是偶函数,所以f (x -1)=f (-x -1),所以f (x +1)=f (-x -3)㊂所以-f (-x +1)=f (-x -3),所以f (x )+f (x -4)=0,所以f (x )+f (x +4)=0,所以f (x +8)=-f (x +4)=f (x ),即函数f (x )的周期为T =8㊂对于A ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (x +5)=-f (x +1)=f (-x +1),所以f (x +3)=f (-x +3),即f (x +3)是偶函数,A 正确㊂对于B ,函数f (x )是周期为8的周期函数,B 错误㊂对于C ,由f (x )+f (x +4)=0,可得f (3)=-f (-1),不能得到f (3)的值,C 错误㊂对于D ,由f (x +1)=f (-x -3),f (x )+f (x +4)=0,可得f (0)=f (-2)=-f (2)=-f (4),不能得到f (0)的值,D 错误㊂应选A㊂涉及周期函数的 二级结论 及其应用,解题的关键是借助题设条件,合理构建对应的抽象函数之间满足的关系式,结合 二级结论 进行分析与求解㊂三㊁借助对称函数的 二级结论 解题结论1:若函数f (x +a )是偶函数,则函数f (x )的图像关于直线x =a 对称㊂结论2:若函数f (x +a )是奇函数,则函数f (x )的图像关于点(a ,0)中心对称㊂例3 已知函数f (x )的定义域为R ,f (x +1)为奇函数,f (x +2)为偶函数,当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ㊂若f (0)+f (3)=6,则f (2024)的值是( )㊂A.-12 B .-2C .6D .12分析:根据题设条件,先利用对称函数的二级结论 得到函数图像的对称性,结合抽象函数的奇偶性构建相应的关系式,再利用周期函数的 二级结论 得到函数图像的周期性,最后求出函数的值㊂解:因为f (x +1)为奇函数,所以函数f (x )的图像关于点(1,0)对称,所以f (1)=0,且f (x +1)=-f (-x +1)㊂因为f (x +2)为偶函数,所以函数f (x )的图像关于直线x =2对称,所以f (x +2)=f (-x +2)㊂结合周期性可知函数f (x )的周期为T =4|1-2|=4㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x+b ,结合f (x +1)=-f (-x +1)与f (x +2)=f (-x +2)得f (0)=-f [-(-1)+1]=-f (1+1)=-f (2)=-(4a +b ),f (3)=f (1+2)=f (-1+2)=f (1)=2a +b ㊂又f (0)+f (3)=6,所以-(4a +b )+(2a +b )=-2a =6,解得a =-3㊂当x ɪ[1,2]时,f (x )=a ㊃2x +b ,因为函数f (x )的图像关于(1,0)对称,所以f (1)=0,所以f (1)=2a +b =0,所以b =-2a =6㊂由f (x +1)=-f (-x +1),可得f (0)=-f (2)㊂因为当x ɪ[1,2]时,f (x )=6-3㊃2x,所以f (2024)=f (506ˑ4)=f (0)=-f (2)=-(6-3㊃22)=6㊂应选C ㊂解答本题的关键是从对称函数的 二级结论 入手,过渡到周期函数的 二级结论 ,结合逻辑推理与数学运算进行分析与求解㊂定义在[0,1]上的函数f (x )满足f (0)=0,f (x )+f (1-x )=1,fx 5=12f (x ),且当0ɤx 1<x 2ɤ1时,f (x 1)ɤf (x 2),则f 35等于㊂提示:易得f (1)=1㊂将x =1代入fx5 =12f (x )得f 15 =12,将x =15代入f (x )+f (1-x )=1得f 45 =12㊂因为15<35<45,所以f 15 ɤf 35 ɤf45 ,故f35 =12㊂作者单位:江苏省姜堰中学(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2023年10月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
《函数的基本性质(函数的奇偶性、对称性、周期性)灵活应用》
备战高考数学“棘手”问题培优专题讲座---函数的基本性质（函数的奇偶性、对称性、周期性）灵活应用一．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．函数y＝f(x)满足：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则函数的周期为2a；(4)若f(x＋a)＝1f(x)，则函数的周期为2a；(5)若函数f(x)关于直线x＝a与x＝b对称，那么函数f(x)的周期为2|b－a|；(6)若函数f(x)关于点(a,0)对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函数f(x)关于直线x＝a对称，又关于点(b,0)对称，则函数f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函数f(x)是偶函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为2a；(9)若函数f(x)是奇函数，其图象关于直线x＝a对称，则其周期为4a.【方法点拨】1.函数奇偶性、对称性间关系：(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；一般的，若对于R上的任意x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x=a+b2对称．(2)若函数y＝f(x＋a)是奇函数，即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝0，则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；一般的，若对于R 上的任意x 都有f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ， 则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )中心对称．2. 函数对称性、周期性间关系：若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍， 为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． (注：如果遇到抽象函数给出类似性质，可以联想y ＝sin x ，y ＝cos x 的对称轴、对称中心和周期之间的关系)3. 善于发现函数的对称性（中心对称、轴对称），有时需将对称性与函数的奇偶性相互转化. 【典型题示例】例1.已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有根之和为________.【分析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 对任意的x ∈R 恒成立，得f (x )关于直线x ＝12对称，由函数f (x ＋1)是奇函数，f (x )关于点（1,0）中心对称，根据函数对称性、周期性间关系，知函数f (x )的周期为2，作出函数f (x )的图象即可.【解析】因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以f (1－x )＝f (x )，所以f (x ＋1)＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )， 所以 函数f (x )的周期为2，且图象关于直线x ＝12对称．作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得f (x )＝－12在区间[－3,5]内有8个零点，且所有根之和为12×2×4＝4.【答案】4 二、典型例题1.奇偶性与周期性的综合问题1.已知偶函数y ＝f (x )(x ∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f (1－x )＋f (1＋x )＝0，给出下列判断：①f (5)＝0； ②f (x )在[1,2]上是减函数； ③函数f (x )没有最小值； ④函数f (x )在x ＝0处取得最大值； ⑤f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 其中正确的序号是________．解：因为f (1－x )＋f (1＋x )＝0，所以f (1＋x )＝－f (1－x )＝－f (x －1)，所以f (2＋x )＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数．由题意知，函数y ＝f (x )(x ∈R)关于点(1,0)对称，画出满足条件的图象如图所示，结合图象可知①②④正确．答案：①②④2. 已知定义在R 上的偶函数()f x 满足：当(]1,0x ∈-时，()2x f x =，且()1f x +的图像关于原点对称，则20192f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2B C ．2-D ．【解题思路】根据偶函数及()1f x +的图像关于原点对称可知，函数的周期；根据周期性及()1f x +为奇函数，可得20192f ⎛⎫⎪⎝⎭的值．解：由题可知函数()f x 的图像关于直线0x =和点()1,0对称，所以函数()f x 的周期为4，则12201933114252222222f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 答案:C3.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1，则( )A ．f (－3)<f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52B ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<f (2)C ．f (2)<f (－3)<f ⎝⎛⎭⎫52D ．f (2)<f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3) 解： ∵f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的周期T ＝2．当x ∈[－1，1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x －1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x －1e x ＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，因此f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12，f (－3)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)． 当0 ≤x ≤1时，函数y ＝x 与y ＝1－2e x ＋1均为增函数且都不小于0， 所以f (x )＝x ⎝⎛⎭⎫1－2e x ＋1在区间[0，1]上是增函数，∴f (1)>f ⎝⎛⎭⎫12>f (0)，即f (－3)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)． 答案:D4.（2018年全国2卷）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.【答案】C点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．5. 已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝( )A.3＋1B.3－1 C ．－3－1D ．－3＋1解：由题可知f (x ＋2)＝f (x )＝－f (－x )，所以f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝f ⎝⎛⎭⎫1 008＋32＝f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－32＝－f ⎝⎛⎭⎫12. 又当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝3－1，则f ⎝⎛⎭⎫2 0192＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－3＋1. 答案：D奇偶性与周期性综合问题的解题策略函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．6. 已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______ 解：∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1， ∴2a －3a ＋1＜1，即a －4a ＋1＜0，解得－1＜a ＜4. 答案：(－1,4)7. 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解：∵f (x )的周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12， 又∵当－1≤x ＜0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：18. 若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎫2×4－76＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76 ＝－316＋sin π6＝516.答案：5169.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝________.解：由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)＝2.5. 答案：2.510.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________. 解：由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (3)－f (4)＝－1.答案：－111.已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝15，且对任意的x 都有f (x ＋3)＝－1f （x ），则f (8)＝________；f (2 015)＝________. 解：由f (x ＋3)＝－1f （x ），得f (x ＋6)＝－1f （x ＋3）＝f (x )， 故函数f (x )是周期为6的周期函数.故f (8)＝f (2)＝15，f (2 015)＝f (6×335＋5)＝f (5)＝－1f （2）＝－115＝－5.答案：15；－513.奇函数f (x )的周期为4，且x ∈[0,2]，f (x )＝2x －x 2，则f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)的值为________．解：函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1. 答案：－114.已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝________.解：由函数f (x )是周期为2的奇函数得f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫－45＝－f ⎝⎛⎭⎫45， 又当x ∈[0,1)时，f (x )＝lg(x ＋1)， 所以f ⎝⎛⎭⎫2 0165＝－f ⎝⎛⎭⎫45＝－lg 95＝lg 59， 故f ⎝⎛⎭⎫2 0165＋lg 18＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 答案：115.设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1.则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 答案： 216.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________.解：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.① 由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22， 即b ＝－2a .② 由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10. 答案：－1017.已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________.解：因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，所以f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，所以f (3)＝f (5)＝0.故函数y ＝f (x )的图像在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7. 答案：718.设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x ，则有 ①2是函数f (x )的周期；②函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数； ③函数f (x )的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________.解：在f (x ＋1)＝f (x －1)中，令x －1＝t ，则有f (t ＋2)＝f (t )，因此2是函数f (x )的周期，故①正确；当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x 是增函数，根据函数的奇偶性知，f (x )在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知， 函数f (x )在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f (x )在[0,2]上的最大值f (x )max ＝f (1)＝2，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝f (2)＝20＝1， 且f (x )是周期为2的周期函数.∴f (x )的最大值是2，最小值是1，故③错误. 答案：①②1. 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[0，1)上单调递增，记a ＝f ⎝⎛⎭⎫12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＞b ＝c B.b ＞a ＝c C.b ＞c ＞a D.a ＞c ＞b解：依题意得，f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )是以2为周期的函数，f (2)＝f (0)＝0，又f (3)＝－f (2)＝0，且f (x )在[0，1)上是增函数， 于是有f ⎝⎛⎭⎫12＞f (0)＝f (2)＝f (3)，即a ＞b ＝c . 答案：A2.奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2解：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)， 即f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )， 则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.3. 已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数， 那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数 解：由题意知f (x ＋2)＝1f (x ＋1)＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数， 则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数．选A7.设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x ＜π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( )A.12B.32 C ．0 D ．－12解：∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π，又∵当0≤x ＜π时，f (x )＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12. 故选A. 8.已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( )A ．0B ．－4C ．－8D ．－16解：由题可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f(x＋12)＝f[(x＋6)＋6]＝－f(x＋6)＝f(x)，∴函数f(x)的周期T＝12.把y＝f(x－1)的图象向左平移1个单位得y＝f(x－1＋1)＝f(x)的图象，关于点(0,0)对称，因此函数f(x)为奇函数，∴f(2 014)＝f(167×12＋10)＝f(10)＝f(10－12)＝f(－2)＝－f(2)＝－4，故选B.9.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2 014)等于( )A.0B.3C.4D.6解：依题意，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)＝f(2)，即2f(2)＝f(2)，f(2)＝0，f(x＋4)＝f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f(2014)＝f(2)＝0.故选A.答案：A11.奇函数f(x)的定义域为R. 若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1 C．0 D．1解：因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1. 故选D12.f(x)是R上的偶函数，f(x＋2)＝f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)－|log5x|的零点个数为( )A．4 B．5 C．8 D．10解：由零点的定义可得f(x)＝|log5x|，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点。
函数周期性的题型和解题方法
函数周期性的题型和解题方法在高一数学教材中，函数的基本性质重点讲了函数的单调性和奇偶性，对于函数的另一个重要性质——周期性却基本没怎么涉及，但是不管是平时考试还是高考，函数周期性都是非常重要的考点，并且以不同方式告诉函数的周期。
在函数周期性的学习中，我们首先要能快速识别给出的函数是否是周期函数，其次需要学会利用函数周期性来解题。
一、判断周期函数若f(x+T)=f(x)，那么f(x)就是以T为周期的周期函数。
在学习过程中，需要重点掌握以下几个函数的周期：①f(x+a)=f(x+b)，T=|a-b|；特别地，f(x+a)=f(x-a)，T=|2a|；②f(x+a)=-f(x)，T=|2a|；③f(x+a)=±1/f(x)，T=|2a|；④若f(x)的图像有两条对称轴x=a和x=b，那么f(x)的一个周期为T=2|a-b|；⑤若f(x)的图像有两个对称中心(x1,y1)和(x2,y2)，那么f(x)的一个周期为T=2|x1-x2|；⑥若f(x)的图像既是轴对称又是中心对称图形，若对称轴是x=a，对称中心是(b,c)，则T=4|a-b|。
二、求值利用函数周期性求函数值，通常会告诉函数在某个区间上的解析式，但是所求的函数值是在已知区间外的，此时需要利用周期性将所求函数值转换到已知的区间内。
比如上面的例题，利用周期性将f(-6)转化为f(0)，将f(6)转化为-f(-1)的值。
三、求周期求函数的周期，除了掌握周期性的定义以及(一)中所讲的几种基本类型外，作出函数也是一个非常重要的方法。
作出图像后，直接在图像上找到图像循环部分对应点的横坐标之间的最小距离就是该函数的最小正周期，也是解题中最常用到的周期值。
四、周期性＋奇偶性本题中，先根据关系式f(x-4)=-f(x)算出f(x)的周期为T=8，再根据单调性和奇偶性作出满足要求的一个函数图像，并根据函数图像分析解决问题。
如果f(x)的对称轴是直线x=a，其图像与直线y=b相交于x1,x2两点，那么必有x1+x2=2a。
精品推荐：函数的周期性和对称性解题模板
函数的周期性和对称性【考点综述】函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。
在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。
因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。
【解题方法思维导图预览】【解题方法】解题方法模板一：抽象函数的周期性使用情景：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 常见的结论包括：结论1若对于非零常数m 和任意实数x ，等式f (x +m )=－f (x )恒成立，则f (x )是周期函数，且2m 是它的一个周期.结论2定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()f x 是周期函数，a b -是函数的一个周期.结论3定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有()()f x a f x b +=-+(其中,a b 为常数，a b ≠)，则函数()f x 是周期函数，2a b -是函数的一个周期.结论4定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，若有1()()f x a f x +=，(或1()()f x a f x +=-)(其中a 为常数，0a ≠)，则函数()f x 是周期函数，2a 是函数的一个周期.结论5定义在R 上的函数()f x ，对任意的x R ∈，有f (a +x )=f (a －x )且f (b +x )=f (b －x )， (其中a ，b 是常数，a ≠b )则函数y =f (x )是周期函数，2|a －b |是函数的一个周期.结论6若定义在R 上的函数y =f (x )对任意实数x ∈R ，恒有f (x )=f (a +x )+f (x －a )成立(a ≠0)，则f (x )是周期函数，且6|a |是它的一个周期.结论7若对于非零常数m 和任意实数x ，等式1()()1()f x f x m f x ++=-成立，则f (x )是周期函数，且4m 是它的一个周期.第三步 运用函数的周期性求解问题.例1 定义域为R 上的奇函数()f x 满足()()11f x f x -+=+，且()11f -=，则()2017f =( ) A . 2 B . 1 C . －1 D . －2【答案】C 【解析】 解题模板选择：本题中所给的函数是一个抽象函数，可以利用递推关系确定周期性，故选取解题方法模板一抽象函数的周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 由()()11f x f x -+=+可得()()()2f x f x f x =-=-- 第二步 熟记常见结论，准确求出函数的周期性； 据此可得函数的周期为4；第三步 运用函数的周期性求解问题.由于201750441=⨯+，故()()()2017111f f f ==--=-. 故选：C .【典型例题】1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x +2)= - f (x ).当x ∈[0，2]时，f (x )=2x -x 2. （1）求证:f (x )是周期函数;（2）当x ∈[2，4]时，求f (x )的解析式; （3）求f (0)+f （1）+f （2）+…+f (2015)的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）f (x )=x 2-6x +8；（3）0. 【解析】 【分析】（1）由已知(2)()f x f x +=-，取x 为2x +证得结论；（2）求出[2x ∈-，0]时的函数解析式，又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]，再结合周期函数求得[2x ∈，4]时的函数解析式；（3）求出()00f =，()20f =，()11f =，()31f =-，利用周期性得答案． 【详解】 解:（1）证明：(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=． ()f x ∴是周期为4的周期函数．（2）当[2x ∈-，0]时，[0x -∈，2]， 由已知得22()2()()2f x x x x x -=---=--． 又()f x 是奇函数，2()()2f x f x x x ∴-=-=--，2()2f x x x ∴=+．又当[2x ∈，4]时，4[2x -∈-，0]， 2(4)(4)2(4)f x x x ∴-=-+-．又()f x 是周期为4的周期函数．22()(4)(4)2(4)68f x f x x x x x ∴=-=-+-=-+．∴当[2x ∈，4]时，2()68f x x x =-+．（3） ()00f =，()20f =，()11f =，()31f =-． 又()f x 是周期为4的周期函数，()()()()()()()()01234567f f f f f f f f +++=+++=⋯ (2008)(2009)(2010)(2011)f f f f =+++(2012)(2013)(2014)(2015)f f f f =+++0=．()()()()01220150f f f f ∴++++=．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的解析式的求法，周期的求法函数的奇偶性的应用，考查计算能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()y =f x 满足()(1)(2)0()f x f x f x x ++++=∈R ，(1)f a =，(2),(3)f b f c ==，求(2015)f .（提示：注意()f x 的周期性） 【答案】b 【解析】【分析】根据()(1)(2)0f x f x f x ++++=，证得函数是周期为3的周期函数，根据周期性化简()2015f ，由此求得()2015f 的值. 【详解】()(1)(2)0f x f x f x ++++=，(1)(2)(3)0f x f x f x ∴+++++=两式相减得()=(+3)f f x x ，()f x ∴是周期为3的周期函数于是(2015)(36712)(2)f f f b =⨯+==.【点睛】本小题主要考查抽象函数周期性，考查根据函数的周期性求函数值，属于基础题. 3．已知()f x 是定义在R 上的函数，满足()()()111f x f x f x -+=+.（1）证明：2是函数()f x 的周期；（2）当[)0,1x ∈时，()f x x =，求()f x 在[)1,0x ∈-时的解析式，并写出()f x 在[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时的解析式；（3）对于（2）中的函数()f x ，若关于x 的方程()f x ax =恰好有20个解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）当[)1,0x ∈-时，()2xf x x =-+，当[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时，()[)[)2,21,2,222,2,21.x k x k k f x x k x k x k k -⎧-∈-⎪=+-⎨⎪-∈+⎩（3）1111,,19212119a ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据()()()111f x f x f x -+=+，代换得到()()()()11211f x f x f x f x -++==++得到证明. （2）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，代入化简得到答案. （3）画出函数图像，根据函数()f x 的图像与直线y ax =的交点个数得到答案. 【详解】（1）因为()()()111f x fx f x -+=+，所以()()()()()()()()11111211111f x f x f x f x f xf x f x fx ---+++===-++++，所以2是函数()f x 的周期.（2）当[)1,0x ∈-时，[)10,1x +∈，则()11f x x +=+，又()()()111f x f x f x -+=+，即()()111f x x f x -=++，解得()2xf x x =-+. 所以当[)1,0x ∈-时，()2x f x x =-+，所以()[)[),1,0,2,0,1.x x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩()f x 的周期为2，当[)21,21x k k ∈-+（k ∈Z ）时，()[)[)2,21,2,222,2,21.x k x k k f x x k x k x k k -⎧-∈-⎪=+-⎨⎪-∈+⎩（3）作出函数的图像，则方程()f x ax =解的个数就是函数()f x 的图像与直线y ax =的交点个数.若0a =，则2x k =（k ∈Z ）都是方程的解，不合题意.若0a >，则0x =是方程的解，要使方程恰好有20个解，在区间1,19上，()f x 有9个周期，每个周期有2个解，在区间[)19,21上有且仅有一个解.则191,211,a a <⎧⎨>⎩解得，112119a <<.若0a <，同理可得111921a -<<-. 综上1111,,19212119a ⎛⎫⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的周期，函数解析式，方程解的个数问题，意在考查学生对于函数方程知识的综合应用. 4．已知定义在N 上的函数()f n 满足：(2)(1)()+=+-f n f n f n ． （1）求证：()f n 是周期函数，并求出其周期； （2）若(1)1,(2)3==f f ，求(2012)f 的值． 【答案】（1）见解析，周期为6；（2）3 【解析】 【分析】（1）利用周期函数的定义和已知条件证明周期即可； （2）根据周期函数的定义得()(2012)3f f =，即可得出答案. 【详解】解：（1）因为(2)(1)()+=+-f n f n f n ，所以[](3)(2)(1)(1)()(1)()f n f n f n f n f n f n f n +=+-+=+--+=- 所以()()(6)(3)f n f n f n f n +=-+=--=⎡⎤⎣⎦. 所以()f n 是周期函数，周期为6.（2）因为()f n 是周期为6的函数，且(1)1,(2)3==f f ， 所以，()(2012)(33562)23f f f =⨯+==. 【点睛】本题主要考查抽象函数周期的证明方法，属于中档题.5．已知函数()y f x =的周期为4，试求(21)y f x =+的一个周期． 【答案】一个周期为2 【解析】 【分析】可利用周期函数的定义来探求． 【详解】解 令函数()(21)=+g x f x ，则求()y g x =的周期．∵()y f x =的周期为4，所以对任意x ∈R ，有(4)()f x f x +=成立． ∴()(21)(214)[2(2)1](2)=+=++=++=+g x f x f x f x g x ．∴2是()y g x =的一个周期． 【点睛】本题考查求抽象函数周期，掌握周期的定义是解题关键．解题方法模板二：三角函数的周期性使用情景：所给的函数为三角函数，需要利用函数的周期处理所给的问题 解题模板：第一步 将所给的三角函数式进行化简第二步 利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期. 第二步 结合三角函数的周期性即可解决所给的问题 例2已知()sin (1)(1)33f x x x ππ⎡⎤⎡⎤=+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则(1)(2)(3)...(2020)f f f f ++++=_____【解析】 解题模板选择：本题中所给的问题是一个三角函数的问题，故选取解题方法模板二三角函数的周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 将所给的三角函数式进行化简()sin (1)(1)2sin 333f x x x x πππ⎡⎤⎡⎤=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，第二步 利用化简所得的三角函数式，结合周期公式计算三角函数的周期. ∴函数()f x 的最小正周期为263T ππ==，第二步 结合三角函数的周期性即可解决所给的问题由于(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，且202033664=⨯+，(1)(2)(3)...(2020)(1)(2)(3)(4)f f f f f f f f ∴++++=+++=，【典型例题】1．已知函数()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-⋅+. （1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）若()0,απ∈，且48f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）最小正周期为2π，单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（2）2. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角降幂公式和辅助角公式将函数()y f x =的解析式化为()f x =424x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用周期公式可得出函数()y f x =的最小正周期，然后解不等式()3242242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得出角α的值，再利用两角和的正切公式可计算出tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】 （1）()()2112cos 1sin 2cos 4cos 2sin 2cos 422f x x x x x x x=-+=+()1sin 4cos 444sin 4cos cos 4sin 2222244x x x x x x ππ⎫⎫=+=+=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭424x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∴函数()y f x =的最小正周期为242T ππ==， 令()3242242k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，解得()5216216k k x k Z ππππ+≤≤+∈.所以，函数()y f x =的单调递减区间为()5,216216k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）482f απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin 14πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，3444πππα∴-<-<. 42ππα∴-=，故34πα=，因此3tantan43tan 2331tan tan 43πππαππ+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+【点睛】本题考查三角函数基本性质，考查两角和的正切公式求值，解题时要利用三角恒等变换思想将三角函数的解析式化简，利用正弦、余弦函数的性质求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2．已知)22()2sin cos cos sin f x x x x x =-． （1）求函数()y f x =的最小正周期和对称轴方程； （2）若50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()y f x =的值域． 【答案】（1）对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）()[1,2]f x ∈- 【解析】 【分析】(1)利用正余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数解析式进行化简得到()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由周期公式和对称轴公式可得答案；(2)由x 的范围得到72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的性质即可得到值域. 【详解】（1）)22()2sin cos cossin f x x x x x =-sin 222sin 23x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭令2x k (k Z)32πππ+=+∈，则()f x 的对称轴为()212k x k Z ππ=+∈，最小正周期T π=；（2）当50,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72x ,336πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 因为sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减， 在2x π=取最大值，在76x π=取最小值， 所以1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()[1,2]f x ∈-． 【点睛】本题考查正弦函数图像的性质，考查周期性，对称性，函数值域的求法，考查二倍角公式以及辅助角公式的应用，属于基础题.3．已知函数()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，[,],63k k k Z ππππ-++∈ （2）15,24【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式，化简得到1()sin(2)126f x x π=-+，利用正弦型函数的周期公式可得T π=，令222262k x k πππππ-+≤-≤+，可得()f x 的单调递增区间（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的图像及性质，可得分别当262x ππ-=-，266x ππ-=时，函数取得最小值，最大值【详解】（1）()22sin cos 6f x x x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭1cos(2)1cos 2322cos 2111(cos 22)2221112cos 2)221sin(2)126x x x x x x x x ππ+--=+=-+⨯=+-=-+ 故()f x 的最小正周期22T ππ== 令222262k x k πππππ-+≤-≤+可得63k x k ππππ-+≤≤+故()f x 的单调递增区间为[,],63k k k Z ππππ-++∈（2）当5,,2[,]36666x x πππππ⎡⎤∈--∈-⎢⎥⎣⎦故当262x ππ-=-时，即6x π=-时，min 11()122f x =-+= 当266x ππ-=时，即6x π=时，min15()144f x =+= 【点睛】本题考查了正弦型函数的图像及性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 4．已知()3sin ,cos a x x =，()cos ,cos b x x =，()()21,f x a b m x m R =⋅+-∈.（1）求()f x 关于x 的表达式，并求()f x 的最小正周期； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 的最小值为5，求m 的值. 【答案】（1）π；（2）6m =. 【解析】 【分析】（1）首先化简函数()f x ，根据公式求周期；（2）由（1）可知先求26x π+的范围，再求函数值域，根据最小值为5，求m 的值.【详解】（1）()2cos 2cos 1f x x x x m =++-2cos 2x x m =++2sin 26x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数的最小正周期22T ππ==； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ∴的值域是[]1,2m m -+，由题意可知15m -=，解得：6m =. 【点睛】本题考查三角函数的性质，三角恒等变形，重点考查转化与化归的思想，属于基础题型.5．已知函数2()sin cos f x x x x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）若α为锐角且7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，β满足()3cos 5αβ-=，求sin β．【答案】（Ⅰ）T π=，5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）415【解析】 【分析】（Ⅰ）把2()sin cos 22f x x x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭使用降幂公式、逆用二倍角公式以及两角和的正弦公式化成只有正弦函数，然后代入正弦函数的周期公式和递增区间即可求其周期和增区间.（Ⅱ）化简7129f πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求出7cos 29α=-，进一步求出α的正弦及余弦，令()βααβ=--，利用两角差的正弦公式代入计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）()22sin cos f x x x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．所以()f x 的最小正周期T π=， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 解得51212x k k ππππ-+≤≤，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈． （Ⅱ）由（Ⅰ）得7sin 2cos 21229f ππααα⎛⎫⎛⎫+=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，227cos 22cos 112sin 9ααα=-=-=-因为α为锐角，所以1cos 3α=，sin 3α=， 又因为()3cos 5αβ-=， 所以()4sin 5αβ-=±，所以()()()4sin sin sin cos cos sin 15βααβααβααβ=--=⋅--⋅-=⎡⎤⎣⎦． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的性质、三角函数的诱导公式以及三角恒等变换公式，中档题．解题方法模板三：分段函数的类周期性使用情景：所给的函数不具有周期性，但是可以经过伸缩变换将所给的函数变形为周期函数 解题模板：第一步 确定函数在一个区间上的函数图像第二步 结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质 常见的伸缩变换结论包括： 结论1若 f (x )=kf (x + m )，即f (x +m )=1kf (x )(m > 0，k > 0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m 个单位的同时，函数值变为原来的1k倍；向左平移m 个单位的同时函数值变为原k 来的k 倍. 结论2若f (x )=f (x + m )+k ，即f (x +m )=f (x )－k (m > 0，k > 0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象向右平移m 个单位的同时，向下平移k 个单位；向左平移m 个单位的同时，向上平移k 个单位.结论3若f (x )=f (mx )，即f (mx )= f (x )(m >0，k >0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m 倍时，函数值不变.结论4若f (x )=kf (mx )，即()()1f mx f x k =(m >0，k >0)，则只需将函数在一个“周期”内的图象的横坐标伸长为原来的m 倍时，函数值变为原来的1k ，横坐标缩短为为原来的1m时，函数值变为原来的k 倍.第三步 解决所给的问题，得到结论例3 设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 解题模板选择：本题中说给的函数即()()(]()1,0,12,10x x x f x f x x x ⎧-∈⎪=⎨≥<⎪⎩或，故选取解题方法模板三分段函数的类周期性进行解答. 解题模板应用：第一步 确定函数在一个区间上的函数图像 绘制函数在区间(]0,1上的图像如图所示：第二步 结合所给的递推关系式和伸缩变换的结论确定函数在定义域内的图象性质(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，第三步 解决所给的问题，得到结论 令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=， 1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍)，(,]x m∴∈-∞时，8()9f x≥-成立，即73m≤，7,3m⎛⎤∴∈-∞⎥⎝⎦，故选B ．【典型例题】1．设函数11,(,2) (){1(2),[2,)2x xf xf xx--∈-∞=-∈+∞，则函数()()1F x xf x=-的零点的个数为( )A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】试题分析：，转化为如图，画出函数和的图像，当时，有一个交点，当时，，，此时，是函数的一个零点，，，满足，所以在有两个交点，同理，所以在有两个交点，，所以在内没有交点，当时，恒有，所以两个函数没有交点所以，共有6个．考点：1．分段函数；2．函数的零点．3数形结合求函数零点个数．2．若函数()y f x=，x M∈，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有()()af x f x T=+恒成立，此时T为()f x的类周期，函数()y f x=是M上的a级类周期函数．若函数()y f x =是定义在区间[)0,+∞内的2级类周期函数，且2T =，当[)0,2x ∈时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩函数()212ln 2g x x x x m =-+++．若[]16,8x ∃∈， ()20,x ∃∈+∞，使()()210g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．13,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f （x ）在[0，2）上的最值， 结合a 级类周期函数的含义，分析可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其 求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值；进而分析，将原问题转化为g （x ）min ≤f （x ）max 的问题，即可得32+m ≤8，解可得m 的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，()()212,01,22,12,x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩分析可得：当0≤x ≤1时，f （x ）=12﹣2x 2，有最大值f （0）=12，最小值f （1）=﹣32，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2﹣x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣32＜f （x ）＜12，又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2； 则在∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x ﹣6），则有﹣12≤f （x ）≤4， 则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；对于函数()212ln 2x x x x m =-+++ ，有g ′（x ）=﹣2x +x+1=22(1)(2)x x x x x x+--+=， 分析可得：在（0，1）上，g ′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g ′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数， 则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值f （1）=32+m ， 若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立， 必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即32+m ≤8， 解可得m ≤132，即m 的取值范围为（﹣∞，132]； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查函数的最值问题和新定义，注意将题目中“∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞）， 使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立”转化为函数的最值问题．3．定义“函数()y f x =是D 上的a 级类周期函数” 如下: 函数(),D y f x x =∈，对于给定的非零常数a ，总存在非零常数T ，使得定义域D 内的任意实数x 都有()()af x f x T =+恒成立，此时T 为()f x 的周期. 若()y f x =是[)1,+∞上的a 级类周期函数，且1T =，当[)1,2x ∈时，()()221xf x x =+,且()y f x =是[)1,+∞上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)2,+∞C ．10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)10,+∞【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】∵x ∈[1,2)时,f(x)=2x (2x+1)，∴当x ∈[2,3)时,f(x)=af(x −1)=a ⋅2x −1(2x −1)；当x ∈[n,n+1)时,f(x)=af(x −1)=a 2f(x −2)=…=a n f(x −n)=a n ⋅2x −n (2x −2n+1) 即x ∈[n,n+1)时,f(x)=a n⋅2x −n(2x −2n+1),n ∈N ∗， ∵f(x)在[1,+∞)上单调递增，∴a>0且a n ⋅2n −n (2n −2n+3)⩾a n −1⋅2n −(n −1)(2n −2n+5)， 解得103a ≥，∴实数a 的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 故选C.4．已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2)x ∈时，21,01()(2),12x x f x f x x ⎧-≤≤⎨-<<⎩，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++.若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】13(,]2-∞ 【解析】 【分析】由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，可得函数f （x ）在[0，2）上的最值，结合a 级类周期函数的含义，可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为g （x ）min ≤f （x ）max 的问题求解． 【详解】根据题意，对于函数()f x ，当[)x 0,2∈时，()()21x ,01f x 2,12x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨<<⎪⎩，可得：当0x 1≤≤时，()2f x 1x =-，有最大值()f 01=，最小值()f 10=，当1x 2<<时，()()f x f 2x =-，函数()f x 的图像关于直线x 1=对称，则此时有()0f x 1<<，又由函数()y f x =是定义在区间[)0,∞+内的2级类周期函数，且T 2=； 则在[)x 6,8∈上，()()3f x 2f x 6=⋅-，则有()0f x 4≤≤，则()()()f 82f 64f 48=== ()()f 216f 08==， 则函数()f x 在区间[]6,8上的最大值为8，最小值为0；对于函数()21g x 2lnx x x m 2=-+++，有()22x x 2g x |x x x --==' ()()x 1x 2x--=，得在()0,1上，()g x 0'<，函数()g x 为减函数，在()1,∞+上，()g x 0'>，函数()g x 为增函数，则函数()g x 在()0,∞+上，由最小值()3f 1m 2=+. 若[]1x 6,8∃∈，()2x 0,∞∃∈+，使()()21g x f x 0-≤成立，必有()()min max g x f x ≤，即3m 82+≤，解可得13m 2≤，即m 的取值范围为13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 故答案为13,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 【点睛】 本题考查了函数的最值问题，数学转化思想方法，利用了导数求函数的最值，属于中档题．5．已知函数y=f （x ），若给定非零实数a ，对于任意实数x ∈M ，总存在非零常数T ，使得af （x ）=f （x+T ）恒成立，则称函数y=f （x ）是M 上的a 级T 类周期函数，若函数y=f （x ）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x ∈[0，2）时，f （x ）=()2101212x x f x x ⎧-≤≤⎪⎨-<<⎪⎩，，，又函数g （x ）=﹣2lnx+12x 2+x+m ．若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）﹣f （x 1）≤0成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，112] B ．（﹣∞，132] C ．[112+∞，） D ．[132+∞，） 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数f （x ）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f （x ）在[0，2）上的最值，结合a 级类周期函数的含义，分析可得f （x ）在[6，8]上的最大值，对于函数g （x ），对其求导分析可得g （x ）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为 min max g x f x ≤（）（） 的问题求解．【详解】根据题意，对于函数f （x ），当x ∈[0，2）时，()2101 212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，（），， 可得：当0≤x ≤1时，f （x ）=1-x 2，有最大值f （0）=1，最小值f （1）=0，当1＜x ＜2时，f （x ）=f （2-x ），函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f （x ）＜1， 又由函数y=f （x ）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；则在x ∈[6，8）上，f （x ）=23•f （x-6），则有0≤f （x ）≤4，则f （8）=2f （6）=4f （4）=8f （2）=16f （0）=8，则函数f （x ）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0； 对于函数2122g x lnx x x m =+++（）﹣， 有()2(1)2221x x x x g x x x x x-++-'=-++==（） ， 得在（0，1）上，g ′（x ）＜0，函数g （x ）为减函数，在（1，+∞）上，g ′（x ）＞0，函数g （x ）为增函数，则函数g （x ）在（0，+∞）上，由最小值312f m =+（）， 若∃x 1∈[6，8]，∃x 2∈（0，+∞），使g （x 2）-f （x 1）≤0成立，必有g （x ）min ≤f （x ）max ，即382m +≤， 解可得132m ≤ ，即m 的取值范围为13]2-∞（，． 故选B ．【点睛】本题考查函数的最值问题，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．。
题型02 函数的4大基本性质解题技巧(单调性、奇偶性、周期性、对称性)(解析版)
题型02函数的4大基本性质解题技巧（单调性、奇偶性、周期性、对称性）技法01函数单调性的应用及解题技巧知识迁移1.同一定义域内①增函数（↗）+增函数（↗）=增函数↗ ②减函数（↘）+减函数（↘）=减函数↘③)(x f 为↗，则)(x f -为↘，)(1x f 为↘ ④增函数（↗）-减函数（↘）=增函数↗⑤减函数（↘）-增函数（↗）=减函数↘ ⑥增函数（↗）+减函数（↘）=未知（导数）2.复合函数的单调性()()()()()()结论：同增异减复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数复合函数，，外函数内函数叫做外函数，叫做内函数，则设函数⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧↓⇒↑↓↓⇒↓↑↑⇒↓↓↑⇒↑↑===u h x f x g u x g h x f ,,【高考数学】答题技巧与模板构建A ．是奇函数，且在()∞+，0单调递增B ．是奇函数，且在()∞+，0单调递减C ．是偶函数，且在()∞+，0单调递增D ．是偶函数，且在()∞+，0单调递减()3x x h =在定义域内()∞+，0是增函数，()31xx g =在定义域内()∞+，0是减函数，所以331()f x x x =-在()∞+，0单调递增【答案】A1．（2023·宁夏银川·统考模拟预测）已知函数【答案】C【分析】根据给定的函数，利用奇偶性定义及复合函数单词性判断作答.【详解】函数()22112121x x x f x -=-=++的定义域为R ，()2112()2112x x x xf x f x -----===-++，即函数()f x 是奇函数，AB 错误，因为函数21x y =+在R 上递增，则函数221xy =+在R 上递减，所以函数()f x 是增函数，D 错误，C 正确.故选：C【答案】C【分析】首先确定()f x 定义域关于原点对称，又有()()f x f x -=，可知()f x 为偶函数；利用复合函数单调性的判定方法可确定1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减，由对称性可知1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，由此得到结果.【详解】由310310x x ⎧+>⎪⎨->⎪⎩得：13x ≠±，()f x ∴定义域为1111,,,3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ；又()()ln 31ln 31ln 31ln 31f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴为定义域内的偶函数，可排除BD ；当1,3x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()()2ln 31ln 31ln 91f x x x x =--+-+=-，291t x =- 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，ln y t =单调递增，()f x ∴在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，可排除A ；()f x 为偶函数且在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在1,3⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题对于函数单调性的判断的关键是能够根据x 的范围得到()f x 的解析式，利用复合函数单调性的判断，即“同增异减”的方法确定函数在区间内的单调性.【答案】A【分析】根据真数大于零，可得函数的定义域；结合复合函数“同增异减”的原则，可确定函数的单调递减区间.【详解】由260x x -++>得，()2,3x ∈-所以函数()()213log 6f x x x =-++的定义域为()2,3-令26t x x =-++，则13log y t =是单调递减函数又26t x x =-++，在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减由复合函数的单调性可得函数()()213log 6f x x x =-++的单调递减区间为12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：A.【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的定义域，对数函数的性质，属于中档题.技法02 函数奇偶性的应用及解题技巧知识迁移①具有奇偶性的函数定义域关于原点对称（大前提）②奇偶性的定义：奇函数：())(x f x f -=-，图象关于原点对称，偶函数：()()x f x f =-，图象关于y 轴对称③奇偶性的运算由题知()()()()222π1sin 1cos 21cos2fx x ax x x ax x x a x x ⎛⎫=-+++=-++=+-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，【法一】奇偶性的运算()()221cos f x x a x x =+-++只需02=-a 即可【法二】寻找必要条件（特值法）所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =1．（2023·全国·统考高考真题）若(f x 【答案】B【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =，当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-，故此时()f x 为偶函数.故选：B.【答案】D【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.【答案】C【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.4．（2020·山东·统考高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.【答案】12-； ln 2．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠-1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-，由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+---1()1ax a f x lnbx++-=++ 函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=-1222241,22b ln b ln a b ln ln-==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211xf x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意．故答案为：12-；ln 2．技法03 函数周期性的应用及解题技巧知识迁移①若()()x f a x f =+，则()x f 的周期为：a T =②若()()b x f a x f +=+，则()x f 的周期为：ba T -=③若()()x f a x f -=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）④若()()x f a x f 1±=+，则()x f 的周期为：a T 2=（周期扩倍问题）例3．（全国·高考真题）已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，所以()()11--=-x f x f ，即()()11--=+x f x f ，所以周期为4【答案】C1．（2023上·海南省·高三校联考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()13f =，()()51f x f x -=--，则()()20242023f f +=（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．6【答案】A【分析】由函数为奇函数可得()0f x =，()()f x f x -=-，再根据()()51f x f x -=--求出函数的周期，再根据函数的周期即可得解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()0f x =，()()f x f x -=-，因为()()51f x f x -=--，所以()()51f x f x +=-+，则()()4f x f x +=-，所以()()()84f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以8为周期的一个周期函数，所以()()20242023f f +()()253825381f f =⨯+⨯-()()01f f =+-()()01f f =-()()013f f =-=-.故选：A ．2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=，所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.【答案】【分析】利用赋值法依次求得()()()0,3,,11f f f ，再利用赋值法推得()f x 的周期为12，从而利用函数的周期性即可得解.【详解】因为()()()()12f x y f x y f x f y ++-=，令0x y ==，有()()212002f f =，则()00f =或()04f =．若()00f =，则令1x =，0y =，有()()()121102f f f =，得()10f =，与已知()1f =()04f =．令1x y ==，有()()()212012f f f +=，则()(212462f +=⨯=，得()22f =．令2x =，1y =，有()()()()131212f f f f +=，得()30f =．令3x =，2y =，有()()()()151322f f f f +=，得()5f =-令5x =，2y =，有()()()()173522f f f f +=，得()7f =-．令7x =，2y =，有()()()()195722f f f f +=，得()90f =．令9x =，2y =，有()()()()1117922f f f f +=，得()11f =令0x =，有()()()()102f y f y f f y +-=，得()()-=f y f y ，令3x =，有()()()()133302f y f y f f y ++-==，即()()33f y f y +=--，所以()()()6f y f y f y +=--=-，故()()()126f y f y f y +=-+=，所以()f x 的周期为12．又因为()()()()()()13579110f f f f f f +++++=，所以()()()()()202312113404513370k f k f f f f =-=+++=+⨯=∑ 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用赋值法推得()f x 的周期性，从而得解.技法04 函数对称性的应用及解题技巧知识迁移轴对称①若()()x f a x f -=+，则()x f 的对称轴为2a x =②若()()b x f a x f +-=+，则()x f 的对称轴为2b a x +=点对称①若()()x f a x f --=+，则()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2a ②若()()c b x f a x f =+-++，则()x f 的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+2,2c b a 例4-1．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【法一】函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点．故选项B 正确【法二】关于x=1对称即()()x f x f +=-11，即()()x f x f -=2【答案】B【详解】[方法一]：直接法.由()()-2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x +='=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．[方法二]：特值法.由()()-2f x f x =-得()()-+2f x f x =不妨设因为()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-∴当2m =时，11222x y x y m +++==，故选B ．[方法三]：构造法.设()()1s x f x =-，则()()()()11s x f x f x s x -=--=-=-，故()s x 为奇函数.设()11t x y x=-=，则()()t x t x -=-，故()t x 为奇函数.∴对于每一组对称点'0i i x x +='=0i i s t +.将1i i s y =-，''1i i t y =-代入，即得'0i i x x +='=2i i y y +∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．[方法四]：由题意得,函数()()f x x ∈R 和()2()f x f x -=-的图象都关于(0,1)对称,所以两函数的交点也关于(0,1)对称,对于每一组对称点(,)i i x y 和''(,)i i x y ，都有''0,2i i i i x x y y +=+=.从而1()22mi i i mx y m =+=⋅=∑.故选B.【答案】B例4-3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ .【答案】D1．（2023上·江苏南通·高三统考阶段练习）已知曲线【答案】B【分析】令()32399f x x x x =--++，由()()114f x f x -+--=-和321y x =-++可确定两曲线均关于()1,2--中心对称；利用导数可求得()f x 单调性和极值，结合321y x =-++的单调性可确定两曲线在()1,-+∞上的图象，由此可确定交点个数，结合对称性可求得结果.【详解】令()32399f x x x x =--++，则()()()()3231131919122f x x x x x x -=----+-+=-+-，()()()()3231131919122f x x x x x x --=------+--+=--，()()114f x f x ∴-+--=-，()f x ∴关于()1,2--中心对称；()2131232111x x y x x x -++-===-++++ ，121x y x -∴=+关于()1,2--中心对称；()()()2369331f x x x x x '=--+=-+- ，∴当()(),31,x ∈-∞-⋃+∞时，()0f x '<；当()3,1x ∈-时，()0f x '>；()f x ∴在()(),3,1,-∞-+∞上单调递减，在()3,1-上单调递增，∴()f x 极小值为()3272727918f -=--+=-，极大值为()1139914f =--++=；当()1,x ∈-+∞时，321y x =-++单调递减，且3221y x =-+>-+，当1x =时，31214112y =-+=-<+；作出()f x 与121xy x -=+在1x >-时的图象如下图所示，由图象可知：()f x 与121xy x -=+在()1,-+∞上有且仅有两个不同的交点，由对称性可知：()f x 与121xy x -=+在(),1-∞-上有且仅有两个不同的交点，()()()()()4123412341122222i i i x y x x x x y y y y =∴+=+++++++=-⨯⨯+-⨯⨯∑12=-.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查函数对称性的应用，解题关键是能够根据函数的解析式，确定两函数关于同一对称中心对称，结合两函数图象确定交点个数后，即可根据对称性求得交点横纵坐标之和.【答案】C 【分析】由题意()()()()()()()()()()2132136f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x +=+-⇒+=+-+⇒+=-⇒+=，从而()f x 是周期函数，又()2y f x =的图象关于直线12x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称，由()()()()()()122,3,4,5,6f f f f f f =⇒，从而即可求解.【详解】因为()()()21f x f x f x +=+-，所以()()()321f x f x f x +=+-+，从而可得()()3f x f x +=-，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()2y f x =的图象关于直线12x =对称，所以()()1212f x f x -=+， 即函数()f x 的图象关于直线1x =对称．又()12f =，()()()210f f f =-，所以()()201f f ==，所以()()()()()()()()301,412,521,601f f f f f f f f =-=-=-=-=-=-==，所以()()()1260f f f ++⋅⋅⋅+=．由于23除以6余5，所以231()(1)k f k f ==+∑(2)(5)(6)1f f f +⋅⋅⋅+=-=-．故选：C ．【点睛】易错点点睛：对于“系数不为1”的复合型函数，一般情况下，内函数多为一次函数型()f kx b +，涉及奇偶性（图象的对称性）时处理方法有：①利用奇偶性（图象的对称性）直接替换题中对应的变量；②类比三角函数；③引入新函数，如令()()g x f kx b =+，则()()()g x f k x b -=-+．本题中，()2y f x =的图象关于直线12x =对称，令()()2g x f x =，则1122g x g x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而112222f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()1212f x f x -=+，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，不能误认为函数()f x 的图象关于直线12x =对称．【答案】AC【分析】对于A ：根据对称轴的定义分析证明；对于B ：举例说明即可；对于C ：根据零点的定义结合倍角公式运算求解；对于D ：举例说明即可.【详解】对于A ：因为()()()()112πcos 2πcos cos 4π2cos2-=-+=+=-f x x x f x x x，所以()f x 的图象关于直线πx =轴对称，故A 正确；对于B ：因为()02f =，1π2f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象不关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，B 错误.对于C ：因为()()()23222cos 12cos 2cos 112cos cos 1cos 2cos 12cos 12cos 1+-+-+=+==---x x x x x f x x x x x ，注意到22112cos 2cos 12cos 022⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭x x x ，令()0f x =，得cos 1x =-，即()21π,=+∈x k k Z ，故()f x 的所有零点为()21π,+∈k k Z ，故C 正确；对于D ：因为()()02,π0==f f ，所以π不是()f x 的周期，故D 错误；故选：AC.【答案】ABD【分析】由函数奇偶性的定义即可判断A 项，运用周期定义即可判断B 项，结合A 项、B 项即可判断C 项，运用完全平方公式、二倍角公式化简函数()f x ，结合换元法即可求得函数的最小值进而可判断D 项.【详解】对于A 项，因为πcos 0ππ,Z ,Z 2sin 02πx x k k k x k x x k ⎧≠≠+⎧⎪⇒∈⇒≠∈⎨⎨≠⎩⎪≠⎩，所以函数()f x 的定义域为π,Z 2k x x k ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭，又()()()()()()3333sin cos sin cos cos sin cos sin x x x xf x f x x x x x---=+=--=---，所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 项正确；对于B 项，()()()()()()3333sin πcos πsin cos πcos πsin πcos sin x x x xf x f x x x x x +++=+=+=++，所以π是函数()f x 的一个周期，故B项正确；对于C 项，由B 项知()()πf x f x +=，由A 项知()()f x f x =--，所以()()πf x f x +=--，所以()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 项错误；对于D 项，()3344sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+=+==⋅()22222211sin 2sin cos 2sin cos 22sin21sin cos sin2sin22xx x x xx x xx x -+-⋅==-⋅，令sin2t x =，又π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()20,πx ∈，所以0sin21x <≤，即01t <≤，所以2y t t =-，（01t <≤），又2y t t=-在(0,1]上单调递减，所以当1t =时，2y t t =-取得最小值为2111-=，故D 项正确.故选：ABD.技法05 函数4大性质的综合应用及解题技巧知识迁移1.周期性对称性综合问题①若()()x a f x a f -=+，()()x b f x b f -=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：b a T -=2②若()()x a f x a f --=+，()()x b f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：ba T -=2③若()()x a f x a f -=+，()()xb f x b f --=+，其中b a ≠，则()x f 的周期为：ba T -=42.奇偶性对称性综合问题①已知()x f 为偶函数，()a x f +为奇函数，则()x f 的周期为：a T 4=②已知()x f 为奇函数，()a x f +为偶函数，则()x f 的周期为：aT 4=因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-，因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+，所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==，故()()()1510f f f -===，其它三个选项未知.【答案】B1．（2021·全国·统考高考真题）设函数【答案】D【分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．[方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①；因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故选：D ．【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．2．（2023·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)f x -为奇函数，(2)f x -为偶函数．若(2)2f =，则(2024)f =（ ）A ．2-B ．0C ．2D ．2024【答案】A【分析】根据函数的奇偶性以及对称性即可得函数周期性，进而可求解.【详解】由(1)f x -为奇函数，(2)f x -为偶函数，可知函数()f x 的图像关于点(1,0)-中心对称，且关于直线2x =-轴对称，故()()()()()2244f x f x f x f x f x =---=--=---=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是周期为4的函数，由(1)0f -=．(2)2f =得(0)(2)(2)2f f f =--=-=-，所以(2024)(50640)(0)2f f f =⨯+==-．故选：A【点睛】方法点睛：（1）若函数()y f x =的图像同时关于直线x a =与x b =轴对称，则函数()f x 必为周期函数，且2||T a b =-．（2）若函数()y f x =的图像同时关于点(,0)a 与点(,0)b 中心对称，则函数()f x 必为周期函数，且2||T a b =-．（3）若函数()y f x =的图像既关于点(,0)a 中心对称，又关于直线x b =轴对称，则函数()f x 必为周期函数，且4||T a b =-．【答案】5【分析】根据函数奇偶性的性质分析得出该函数的对称性，借助双对称性的周期将求()2022f 转换为求()2f 即可得.【详解】由()12f x +-为奇函数，可得()()1212f x f x +-=--++，则()f x 的图象关于点()1,2对称，又()f x 的定义域为R ，则有()12f =．由()2f x +为偶函数得()()22f x f x +=-+，则()f x 的图象关于直线2x =对称，则()()()4242f x f x f x =--=-+，从而()()24f x f x +=--，则()()=f x f x -，则()()()222f x f x f x +=-+=-，故()f x 是周期为4的偶函数，所以()()()2022450522f f f =⨯+=．而()()()()()1011020f f f f f -+==+=+，所以()01f =-，()()2405f f =-=，故()20225f =.故答案为：5.【答案】1-【分析】推导出函数()f x 是周期为8的周期函数，根据题中条件求出()()1,2,3,,8f k k = 的值，结合函数的周期性可求得()20231k f k =∑的值.【详解】因为函数()y f x =的定义域为R ，且()1f x +为偶函数，()1f x -为奇函数，则()()11f x f x -=+，()()11f x f x --=--，所以，函数()f x 的图象关于直线1x =对称，也关于点()1,0-对称，所以，()()2f x f x -=+，()()2f x f x -=--，所以，()()22f x f x +=--，则()()()84f x f x f x +=-+=，所以，函数()f x 是周期为8的周期函数，当[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，则()10f =，()()710f f =-=，()()801f f ==，()()201f f ==，()()310f f =-=，()()()4621f f f =--=-=-，()()()5310f f f =-=-=，()()()6801f f f =--=-=-，所以，()81010101010k f k ==++-+-++=∑，又因为202382531=⨯-，所以，()()()20238112538011k k f k f k f ===-=-=-∑∑.故答案为：1-.【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：（1）若函数()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（2）若函数()f x 的图象关于点(),0a 和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2T a b =-；（3）若函数()f x 的图象关于直线x a =和点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4T a b =-.。
巧用有关函数对称性和周期性的结论解题
所以 f (2023) = -2.
因为 f (x + 1) 是奇函数，
所以根据奇函数的定义，
将
函数式进行转换，
得到 f (x) = -f (2 - x) ，
根据结论 2 可知
函数 f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称.而由 f (x) = f (x - 8)，
个函数同时具有对称性和周期性，那么该函数就比较
设点 A 的横坐标为 x ，
特殊，且具有一些特殊的性质，我们可根据其图象和
解析式得出很多相关的结论.
结 论 1. 若 f (x) = f (2a - x)或f (a - x) = f (a + x) ，则 函
数 f (x) 的图象必然关于 x = a 对称.反过来，若函数
可知函数的周期是 8，即可根据函数的周期性求得问
题的答案.
在解答与函数周期性、对称性有关的问题时，要
明确自变量的意义，各个变量与自变量之间的关系，
从而抓住问题的本质，据此建立关系式.必要时可将
数学篇
40
数形结合起来，借助图形来明确函数图象的变化情
况，以确定函数的对称性和周期性，顺利求得问题的
图5
π
如图 5，
所以 f (-x + 1) = -f (x + 1) ，
由于 (-x + 1) +(x + 1) = 2 ，
所以 f (x) = -f (2 - x) ，
即函数 f (x) 关于点 (1,0) 对称.
由于 f (x + 5) = f (x - 3) ，
所以 f (x + 5 - 5) = f (x - 3 - 5) ，
2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性解题方法总结
2020届高中数学 第 1 页 共 1 页 2020届高中数学：函数的奇偶性与周期性、对称性解题方法总结1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有(1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f (x )为奇函数的充要条件是函数f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数的充要条件是函数f (x )的图象关于y 轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f (x )是周期函数，且周期为T ，则函数f (ax ＋b )(a ≠0)也为周期函数，且周期T ′＝T |a |. 5．函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x ＞0，则－x ＜0；若1＜x ＜2，则3＜x ＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用(1)f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)；(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(3)若f (x )既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x 轴上．。
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析在高中数学中，函数的奇偶性与周期性是重要的概念，对于解题具有很大的指导作用。
本文将通过具体的题目举例，分析奇偶性与周期性的应用，帮助高中学生更好地理解和运用这些概念。
一、奇偶函数的性质与应用奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，它们在数学中有着重要的应用。
首先，我们来看一个例子：例题1：已知函数$f(x)=x^3-2x$，求证$f(x)$是奇函数。
解析：要证明$f(x)$是奇函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。
我们将$f(-x)$代入并化简，得到$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$。
然后，我们将$-f(x)$化简，得到$-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$。
可以看出，$f(-x)$和$-f(x)$的结果是相等的，因此$f(x)$是奇函数。
这个例题中，我们通过代入$x$和$-x$，并对函数进行化简，证明了函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的一个重要性质是，当自变量$x$取正值和负值时，函数值的符号相反。
在解题中，我们可以利用奇函数的性质进行简化计算，例如可以通过奇偶性关系得到一些特殊点的函数值。
二、周期函数的性质与应用周期函数是指函数在一定区间内满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中$T$为函数的周期。
周期函数在数学中有着广泛的应用。
接下来，我们来看一个例子：例题2：已知函数$f(x)=\sin(2x)$，求证$f(x)$是周期函数，并求出它的最小正周期。
解析：要证明$f(x)$是周期函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(x+T)=f(x)$成立。
我们将$f(x+T)$代入并化简，得到$f(x+T)=\sin(2(x+T))=\sin(2x+2T)$。
然后，我们将$f(x)$化简，得到$f(x)=\sin(2x)$。
要使得$f(x+T)=f(x)$成立，必须满足$\sin(2x+2T)=\sin(2x)$。
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的周期性和对称性问题
掌握中考数学解题技巧如何应对函数的周期性和对称性问题掌握中考数学解题技巧：应对函数的周期性和对称性问题函数的周期性和对称性在中考的数学考试中是常见的问题类型。
正确理解和掌握这些概念，并能熟练应用解题技巧，对于得高分非常重要。
本文将为大家介绍一些应对函数的周期性和对称性问题的解题技巧。
一、函数的周期性问题函数的周期性指的是函数图像在一定的横坐标范围内重复出现。
掌握周期性的关键是了解函数的周期和周期性质。
以下是几种常见的函数周期及其解题技巧：1. 常数函数的周期性问题：常数函数的特点是图像为一条水平直线，不具有周期性。
例题：已知函数y=f(x)在区间[0, 2π]上的图像如下图所示，请问该函数的周期是多少？解题思路：根据函数的周期性定义，如果函数在一个周期内重复出现，则函数的值在一个周期内应该是重复的。
根据图像可知，函数在[0, 2π]上重复出现了一次，因此可以得出结论，该函数的周期是2π。
2. 正弦函数与余弦函数的周期性问题：正弦函数和余弦函数都属于三角函数，其特点是图像在一定的横坐标范围内以一定的频率重复波动。
例题：已知函数y=sin(x)的图像在区间[0, 2π]上重复出现了3次，请问该函数的周期是多少？解题思路：根据函数在[0, 2π]上重复出现了3次的条件，可以得出结论，该函数的周期是2π/3。
3. 指数函数和对数函数的周期性问题：指数函数和对数函数的特点是图像在一定的横坐标范围内呈指数或对数增长或衰减。
例题：已知函数y=2^x在区间[0, 4]上的图像如下图所示，请问该函数的周期是多少？解题思路：根据函数的性质，指数函数不存在固定的周期。
因此，可以得出结论，该函数没有周期。
二、函数的对称性问题函数的对称性是指函数图像在某条直线上关于该直线对称。
以下是几种常见的函数对称性及其解题技巧：1. 奇函数和偶函数：奇函数的特点是关于原点对称，也就是函数图像关于y轴对称。
偶函数的特点是关于y轴对称，也就是函数图像关于原点对称。
数学三角函数的周期性与奇偶性教案
数学三角函数的周期性与奇偶性教案引言:三角函数是数学中重要的一类函数，其中包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
本教案将重点讲解三角函数的周期性与奇偶性，帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、周期性的定义及性质周期性是指函数在某一区间内的值与在另一区间内的值具有相同的规律性重复出现。
对于三角函数而言，周期性是其重要的特征之一。
1. 正弦函数的周期正弦函数以2π为一个完整周期，在区间[0，2π]上，它的值从0逐渐增加到1，再减小到0。
随后，在区间[2π，4π]、[4π，6π]以此类推，其值又重复了之前的规律。
2. 余弦函数的周期余弦函数同样以2π为一个完整周期，在区间[0，2π]上，余弦函数的值从1逐渐减小到0，再减小到-1，最后又回升到1。
在后续的相同区间中，其值再次按照这一规律重复。
二、奇偶性的定义及性质奇偶性是指函数的性质是否与自身的轴对称有关。
在三角函数中，奇偶性与函数的图像关系密切。
1. 正弦函数的奇偶性正弦函数是一个奇函数，即f(x) = -f(-x)，在函数的图像中，关于y轴对称。
对于正弦函数而言，当x取负值时，对应的y值相反，图像关于y轴对称。
2. 余弦函数的奇偶性余弦函数是一个偶函数，即f(x) = f(-x)，在函数的图像中，关于y轴对称。
对于余弦函数而言，当x取负值时，对应的y值不变，图像关于y轴对称。
三、周期性与奇偶性在解题中的应用周期性和奇偶性是解三角函数问题时常常使用的重要工具，能够简化计算和推导的过程。
1. 利用周期性求解函数值对于三角函数而言，当我们得知函数在一个完整周期内的取值情况后，就可以通过周期性来求解其他区间内的函数值。
例如，已知正弦函数在[0，π/2]上的值是1/2，那么根据正弦函数的周期为2π，可以很容易地计算出正弦函数在[π/2，3π/2]、[3π/2，5π/2]等区间上的值。
2. 利用奇偶性简化计算在一些特定情况下，奇偶性可以帮助我们简化计算。
例如，已知某函数是奇函数，且已知在一个区间的取值情况，我们就可以利用奇偶性推导出其他区间内函数值的情况，而不需要进行繁琐的计算。
函数的周期性极其解题研究
函数的周期性极其解题研究陕西省西安中学 王 扬摘要：本文就有关函数周期性问题，从它给出的形式上做了五个方面的归纳总结，并以实例介绍了处理各种类型问题的一些常用方法。
近年来，有关函数周期性的问题在数学竞赛试题及一些刊物的问题征解中屡次出现，因其问题的表现形式具有较高的抽象性、综合性，故使一般学生不易入手，在此，我们拟从问题的给出形式上作以归纳总结，同时介绍处理这类问题的一些常用方法，不妥之处请同行不吝赐教。
1． 以几何性质给出问题有些代数问题往往以函数的几何性质来刻画题目的结构，然后让学生判断该函数的周期性或再据此来解决相关问题。
例1． 若函数)(x f 在R 上有定义，且对一切实数x ，满足 )2()2(x f x f -=+，)7()7(x f x f -=+设 0)(=x f 的一个根是x=0,记0)(=x f 在区间]1000,1000[-中根的个数为N ，求N 的最小值。
（第2届美国数学邀请赛试题之一）解：∵ )2()2(+-=+x f x f ； （1） )7()7(x f x f -=+； （2）∴ )())2(2())2(2()4())3(7())3(7()10(x f x f x f x f x f x f x f =+-=-+=-=+-=++=+ ∴ 函数 )(x f y =是以10为周期的周期函数。
又 0))(0()22()22()4(==-=+=已知f f f f0)0()22()22()4()37()37()10(==-=+==-=+=f f f f f f f即 )(x f y =在（0，10）上至少有两个根，从而，)(x f y =在]1000,1000[-上至少有401个根。
本题蕴涵了如下一个一般化形式的结论：若函数)(x f y =（x ∈R ）的图象关于二直线 )(,a b b x a x >==皆对称，则函数)(x f y =是以)(2a b -为周期的周期函数。
函数周期性解题策略
函数周期性解题策略作者：刘艳来源：《新一代》2011年第05期摘要：函数的周期性是函数的基本性质之一，在近几年的高考中经常考查，主要以客观题形式出现。
下面例谈一下周期性的解题策略。
关键词：函数；周期性；解题策略中图分类号：G630 文献标识码：A 文章编号：1003-2851（2011）05-0165-01一、对于函数f(x)若存在非零实数T,使得f(x+T)=f(x),对任意定义域内的x成立,则T是f(x)的一个周期, f(x)是周期函数.二、⑴对于非零实数a,b,若函数f(x)满足f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)必有一个周期a-b.证明:令x=x-b,则f(x-b+a)=f(x-b+b)=f(x),所以函数f(x)必有一个周期a-b.⑵对于非零实数a，若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)，则函数f(x)必有一个周期2a.证明：令x=x+a则f(x+a+a)=-f(x+a)=f(x)即f(x+2a)=f(x)应用：例1、(2009山东卷文)已知定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.f(-25)C.f(11)【解析】:因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),由结论2知函数是以8为周期的周期函数。
（下略）(2009山东卷理)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= ,【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-4)=f(x),所以,由f(x)为奇函数,所以函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数,又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1答案:-8例2、（2010江西理数）9．给出下列三个命题：③若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2-x)，则f(x)为周期函数。
函数周期性在解题中的应用
函数周期性在解题中的应用函数的周期性是新教材第四章中的难点，也是高考常考的内容之一，一些学生对解周期性的问题无从下手、无所适从。
根据笔者近几年的教学实践，现将函数周期性问题的解法归纳总结如下。
解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。
一、在求函数周期上的应用例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），则函数f（x）的一个周期是______。
解：∵ f（x+2）=-f（x），∴作代换将x换为x+2，得f[（x+2）+2]=-f（x+2），即f（x+4）=-f （x+2）=f（x），∴函数f（x）的一个周期是4。
二、在求函数值上的应用例2.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（π）=______。
解：∵x∈（-∞，+∞），f（x+2）=-f（x），故将x换为x+2得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的奇函数，∴f（π）=f（-1×4+π）= f（π-4）= f[-（4-π）]=- f（4-π）。
而4-π∈[０,１]且x∈ [０,１]时f（x）=x，∴f（π）=- f（4-π）=-（4-π）=π-4。
三、在求函数解析式上的应用例3.设奇函数f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，当x∈[０,2] 时，f（x）=2x-x2。
当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式。
分析：要求x∈[2,4]时f（x）的解析式，须将x换为x+2k（k∈Z）,且使x+2k∈[０,2]，则可由已知条件求得f（x）的解析式。
解：∵ x∈[2,4]，∴ -x∈[-4,-2], ∴4-x∈[０,2]；又∵x∈[０,2] 时， f（x）=2x-x2 ∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8；又∵ f（4-x）=f（-x）=-f（x），∴-f（x） =-x2+6x-8，即 f（x）=x2-6x+8，x∈[2,4]。
中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目
中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目解决三角函数的题目是中考数学中的一项重要内容，对于学生来说，熟练掌握解题技巧可以提高解题效率和准确性。
本文将为大家介绍几种解决三角函数题目的技巧，希望能对中考数学备考有所帮助。
一、化简角度在解决三角函数的题目时，角度的化简是一个常用的技巧。
通过将角度化简为特定的值，可以利用特定的三角函数值进行计算，从而简化解题过程。
例如，对于sin(π/4 + α)的题目，可以利用sin(A + B)的公式，化简为sin(π/4)cos(α) + cos(π/4)sin(α)，再利用π/4的值为√2/2，可以得到sin(π/4 + α) = (√2/2)cos(α) + (√2/2)sin(α)。
二、利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，利用这一特性可以简化解题过程。
对于周期性函数，可以将其角度转化为对应周期内的角度，从而得到相同的函数值。
例如，对于sin(2π/3)的题目，可以利用sin(θ + 2π) = sin(θ)的性质，将2π/3转化为0～2π范围内的角度，即2π/3 = 2π/3 - 2π = -4π/3，因此sin(2π/3) = sin(-4π/3)。
三、运用三角函数的性质解决三角函数题目时，还可以利用三角函数的基本性质和平凡解法来求解。
例如，对于tan(α) = 1的题目，可以利用tan(α) = sin(α)/cos(α)的定义，将其转化为sin(α) = cos(α)的形式，然后利用sin²(α) + cos²(α) = 1的性质，得到1 = 1 - cos²(α)，进一步化简得到cos²(α) = 0，从而得到cos(α) = 0。
根据cos(α) = 0的解，可以得到α为90°的整数倍。
因此，tan(α) = 1的解为α = 45°、225°等。
四、应用正弦定理和余弦定理对于一些复杂的三角函数题目，可以运用正弦定理和余弦定理来求解。
高中数学解题技巧之函数周期性分析
高中数学解题技巧之函数周期性分析在高中数学中，函数周期性分析是一个重要的解题技巧，它能够帮助我们更好地理解和解决与函数周期性相关的问题。
本文将通过具体的例子，详细说明函数周期性分析的考点和应用方法，并给出一些解题技巧，希望能对高中学生和他们的父母有所帮助。
首先，我们来看一个例子。
假设有一个函数f(x)，它的图像在区间[0, 2π]上呈现周期性，且满足f(x + π) = -f(x)。
我们需要分析函数f(x)的周期和性质。
首先，我们注意到f(x + π) = -f(x)这个条件，这意味着函数f(x)在每个周期内的对称轴是x = π/2。
根据这个条件，我们可以推断出函数f(x)的周期是2π。
接下来，我们可以进一步分析函数f(x)的性质。
由于函数f(x)的周期是2π，我们只需要在一个周期内进行分析即可。
我们选择[0, 2π]这个周期进行分析。
首先，我们可以找到函数f(x)的最小正周期。
最小正周期是指函数f(x)在一个周期内最小的正数值。
在本例中，函数f(x)在[0, 2π]内的最小正周期是π。
因为当x = 0时，f(x) = f(0) = 0；当x = π/2时，f(x) = f(π/2) = -f(0) = 0。
这说明函数f(x)在[0, 2π]内的最小正周期是π。
接下来，我们可以观察函数f(x)在一个周期内的变化规律。
我们可以选择一些特殊的x值进行计算，以便更好地理解函数f(x)的性质。
首先，我们计算x = 0、x = π/4、x = π/2这三个点的函数值。
当x = 0时，f(x) = f(0) = 0；当x = π/4时，f(x) = f(π/4) = -f(0) = 0；当x = π/2时，f(x) = f(π/2) = -f(0) = 0。
这说明函数f(x)在[0, 2π]内的这三个点上的函数值都是0。
接下来，我们计算x = π/8、x = 3π/8、x = 5π/8这三个点的函数值。
当x = π/8时，f(x) = f(π/8) = -f(0) = 0；当x = 3π/8时，f(x) = f(3π/8) = -f(π/4) = 0；当x = 5π/8时，f(x) = f(5π/8) = -f(π/2) = 0。
高中数学函数的奇偶性与周期性
高中数学函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性和周期性是高中数学中一个非常重要的概念，也是解题中经常需要考虑的因素。
在这篇文章中，我将详细介绍函数的奇偶性和周期性，以及它们在解题中的应用。
首先，我们来看函数的奇偶性。
一个函数被称为奇函数，如果对于任意的x，有f(-x)=-f(x)成立；一个函数被称为偶函数，如果对于任意的x，有f(-x)=f(x)成立。
简单来说，奇函数关于原点对称，而偶函数关于y轴对称。
奇函数和偶函数具有一些特殊的性质。
首先，奇函数和偶函数的图像都具有对称性，这一点可以通过将函数的图像沿着对称轴折叠来验证。
其次，奇函数和偶函数的性质可以用来简化函数的计算。
例如，对于奇函数，我们只需要计算正半轴上的函数值，然后利用对称性得到负半轴上的函数值。
同样地，对于偶函数，我们只需要计算一个半轴上的函数值，然后利用对称性得到另一个半轴上的函数值。
接下来，让我们来看函数的周期性。
一个函数被称为周期函数，如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)成立。
简单来说，周期函数的图像在横轴方向上具有重复的模式。
周期函数有很多种形式，其中最简单的是正弦函数和余弦函数。
它们的周期都是2π，即f(x+2π)=f(x)。
这意味着，我们只需要计算一个周期内的函数值，就可以得到整个函数的图像。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，我们只需要计算0≤x≤2π范围内的函数值，然后利用周期性得到其他范围内的函数值。
函数的奇偶性和周期性在解题中起着重要的作用。
让我们通过具体的例题来说明。
例题1：已知函数f(x)是一个奇函数，且f(π/2)=3，求f(3π/2)的值。
解析：由于f(x)是一个奇函数，我们知道f(-x)=-f(x)。
因此，f(π/2)=-f(-π/2)=-3。
又因为f(x)是奇函数，所以f(3π/2)=-f(-3π/2)=-(-3)=3。
因此，f(3π/2)的值为3。
例题2：已知函数f(x)是一个周期函数，且f(0)=2，f(π/3)=1，求f(11π/3)的值。
周期性求解题技巧
周期性求解题技巧周期性求解题是一种解题的方法，针对一类问题进行分析和求解。
在这类问题中，出现的情况或数据会以一定的规律重复出现，我们可以利用这个规律来简化问题，找到周期性的解法。
以下是一些周期性求解题的技巧和步骤：1. 了解周期性问题的特点：周期性问题通常会以一定的规律重复出现，例如循环、重复事件、周期函数等。
了解问题的特性有助于我们从整体把握问题的本质。
2. 观察找规律：仔细观察问题中的数据或情况，寻找重复出现的规律。
可以从时间、空间、数字等不同维度进行观察和分析。
3. 分析规律：一旦找到了规律，我们需要对其进行分析和归纳，找出规律的本质。
这可以通过列举几个连续的周期来进行推断。
4. 编写周期函数：根据规律的分析，我们可以将其抽象成一个周期函数。
这个函数可以描述问题中的重复规律。
5. 求解问题：通过周期函数，我们可以得到周期性问题的解。
通过计算函数在某个特定时刻的取值，可以得到答案。
6. 处理边界条件：在使用周期函数求解时，需要考虑边界条件。
这些边界条件包括周期的起点、终点、长度等。
举例说明：假设有一个问题：有一辆车每隔5分钟经过一个收费站，问在100分钟内经过了多少次收费站。
观察：每隔5分钟经过一个收费站，那么在较小的时间内可以很容易计算出来，例如5分钟内经过了1次，10分钟内经过了2次。
分析：可以看到，问题中的规律是每隔5分钟经过一个收费站，因此可以将问题抽象成一个周期函数。
周期函数：f(x) = x / 5，其中x表示时间，f(x)表示在x分钟内经过的收费站数量。
求解：根据周期函数，我们可以计算在100分钟内经过的收费站数量：f(100) = 100 / 5 = 20因此，在100分钟内经过了20次收费站。
这是一个简单的周期性问题，可以通过简单的计算得到答案。
对于更复杂的周期性问题，我们可能需要考虑更多的因素和规律。
但是基本的步骤和技巧不变，通过观察、分析和求解，可以找到问题的周期性解法。
高中数学根据函数性质解题技巧总结
高中数学根据函数性质解题技巧总结在高中数学中，函数是一个重要的概念，它是数学中的一种基本关系，描述了自变量和因变量之间的对应关系。
掌握了函数的性质，我们就能够更加灵活地解决各种与函数相关的问题。
本文将总结一些根据函数性质解题的技巧，并通过具体的题目举例说明。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值的变化规律。
对于一个函数f(x)，如果满足f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
例题1：已知函数f(x) = x^3 - x，判断该函数的奇偶性。
解析：我们可以将函数的定义代入判断。
对于任意的x，有f(-x) = (-x)^3 - (-x)= -x^3 + x。
与f(x)进行比较，发现f(-x) = -f(x)，所以该函数是奇函数。
通过这个例题，我们可以看到，判断函数的奇偶性可以通过将自变量取相反数，然后与原函数进行比较，从而得到结论。
这个技巧在解题中非常实用。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数在某个区间内的函数值具有重复的规律性。
对于一个函数f(x)，如果存在正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数，T称为函数的周期。
例题2：已知函数f(x) = sin(x)，求f(x)的周期。
解析：根据三角函数的性质，我们知道sin(x+2π) = sin(x)，所以函数f(x)的周期为2π。
周期函数在解题中经常出现，掌握函数的周期性可以帮助我们快速求解问题。
例如在解决函数在某个区间上的最值问题时，我们可以利用函数的周期性将区间缩小，从而简化计算。
三、函数的单调性函数的单调性是指函数在某个区间上的函数值的变化规律。
对于一个函数f(x)，如果在某个区间上，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)，则称该函数在该区间上为递增函数；如果在某个区间上，当x1 < x2时，有f(x1) > f(x2)，则称该函数在该区间上为递减函数。
函数周期性在数列问题中的妙用
函数周期性在数列问题中的妙用
梁小红
【期刊名称】《数理化解题研究：高中版》
【年(卷),期】2016(000)001
【摘要】数列是一种特殊函数,即定义域为正整数集或它的有限子集的函数,这样,我们就可以用函数中的性质来求解数列中的问题.周期性是函数的一个重要性质,利用函数的思想方法和函数的周期性类比解决周期数列的有关问题,不仅实现了函数思想方法的正迁移还有利于知识的构建与重整.本文对利用周期性解决数列有关问题进行分类解析并作一定深层次挖掘.
【总页数】1页(P7-7)
【作者】梁小红
【作者单位】甘肃省金塔县中学,735300
【正文语种】中文
【中图分类】G632
【相关文献】
1.函数的对称性、周期性及其关系在抽象函数问题中的应用 [J], 怙悛
2.别把数列不当函数——对数列问题中n的范围之限定 [J], 宋卫东
3.构造函数在数列解题中的几例妙用 [J], 劳德耀;
4.构造函数在数列解题中的几例妙用 [J], 劳德耀;
5.还原数列本质提高解题效率——例析函数思想在解决数列问题中的应用 [J], 严正旺;
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函数周期性在解题中的应用
发表时间：2018-01-31T16:23:57.120Z 来源：《中小学教育》2018年第310期作者：孙永慧
[导读] 解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。
孙永慧广灵二中山西大同037503
函数的周期性是新教材第四章中的难点，也是高考常考的内容之一，一些学生对解周期性的问题无从下手、无所适从。
根据笔者近几年的教学实践，现将函数周期性问题的解法归纳总结如下。
解决函数周期性问题的要点是通过代换、变形，使f（x+T）=f（x）成立（其中
T≠0为常数），借此确定函数的周期，然后再通过函数的其他性质去解决问题。
一、在求函数周期上的应用
例1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-f（x），则函数f（x）的一个周期是______。
解：∵ f（x+2）=-f（x），∴作代换将x换为x+2，得f[（x+2）+2]=-f（x+2），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）的一个周期是4。
二、在求函数值上的应用
例2.设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（x+2）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x,则f（π）=______。
解：∵x∈（-∞，+∞），f（x+2）=-f（x），故将x换为x+2得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是以4为周期的奇函数，∴f（π）=f（-1×4+π）= f（π-4）= f[-（4-π）]=- f（4-π）。
而4-π∈[０,１]且x∈ [０,１]时f（x）=x，∴f（π）=- f（4-π）=-（4-π）=π-4。
三、在求函数解析式上的应用
例3.设奇函数f（x）是定义在R上的周期为4的周期函数，当x∈[０,2] 时，f（x）=2x-x2。
当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式。
分析：要求x∈[2,4]时f（x）的解析式，须将x换为x+2k（k∈Z）,且使x+2k∈[０,2]，则可由已知条件求得f（x）的解析式。
解：∵ x∈[2,4]，∴ -x∈[-4,-2], ∴4-x∈[０,2]；又∵x∈[０,2] 时， f（x）=2x-x2 ∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）2=-x2+6x-8；又∵ f（4-x）=f （-x）=-f（x），∴-f（x） =-x2+6x-8，即 f（x） =x2-6x+8，x∈[2,4]。
四、在判断函数性质方面的应用
例4.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[０,2]上是增函数，则（）。
A. f（-25）＜f（11）＜f（80）
B. f（80）＜f（11）＜f（-25）
C. f（11）＜f（80）＜f（-25）
D. f（-25）＜f（80）＜f（11）
解：∵ f（x）是奇函数且 f（x）在[０,2]上是增函数，∴ f（x）在[-2,2]上也是增函数；又∵f（x-4）=-f（x），令x=x-4，则有 f（x-8）=-f （x-4）=f（x）；∴函数 f（x）以8为周期，∴ f（-25）=f（-25+3×8）=f（-1），f（11）=f（3+8）=f（3）=-f（3-4）=-f（-1）=f（1），f （80）=f（0+10×8）=f（0）。
∵ -1＜0＜1，且x∈[-2,2]时f（x）单调递增，∴ f（-1）＜f（0）＜f（1），即f（-25）＜f（80）＜f（11），故选D。
五、在数列上的应用
例5.已知数列{an}满足an+1=an-an-1（n≥2），a1=a,a2=b，记Sn=a1+a2+a3+……+an，则下列结论正确的是（）。
A. a100=-a,S100=2b-a
B.a100=-b,S100=2b-a
C. a100=-b,S100=b-a
D. a100=-a,S100=b-a
分析：∵a1=a，a2=b,在n+1=an-an-1中令 n=2、3、4、5、6，分别求得a3=b-a、a4=-a、a5=-b、a6=-b+a、a7=a。
由上面结论可推测数列{an}可能是周期为6的周期数列，为此得其解法如下：
解：设f（n）=an，n∈N*，则由已知有：f（n=6）=f（n+5）-f（n+4）=f（n+4）-f（n+3）-f（n+4）=-f（n+3）=-[f（n+2）-f
（n+1）]=-[f（n+1）-f（n）-f（n+1）]=f（n），∴f（n）=an的周期是6，∴ a100=f（100）=f（16×6+4）=f（4）=a4=-a。
又
a1+a2+a3+a4+a5+a6=0 且an的周期是6，∴S100=S16×6+4=S4=2b-a，故选A。
六、在确定函数图像与X轴交点的个数及确定方程根的情况上的应用
例6.设函数f（x）对任意实数x满足f（2+x）=f（2-x）,f（7+x）=f（7-x）且f（0）=0，判断函数f（x）图像在区间[-30,30]上与X轴至少有多少个交点。
解：由题意可知函数f（x）图像关于直线x=2和x=7对称，又由函数的性质得f（x）是以10为周期的函数，在一个周期区间[0，10]上，f （0）=0，f（4）=f（2+2）=f（2-2）=f（0）=0 且f（x）不恒为零，故f（x）图像与X轴至少有2个交点。
而区间[-30,30]有6个周期，故在闭区间[-30,30]上f（x）的图像与X轴至少有13个交点。
例7.已知f（x）对一切x∈R都有f（2+x）=f（2-x）, f（7+x）=f（7-x）且x=0 是方程f（x）=0的一个根，求方程f（x）=0在区间
[-1000，1000]上至少有几个根。
解：∵f（4）=f（0）=f（10）=0，∴在区间（0,10]上，方程f（x）=0至少有两个根：x1=4,x2=10。
又由函数的对称性及周期的关系知f（x）是以10为周期的周期函数，且在每个周期上至少有两个根，故方程f（x）=0在区间[-1000，1000]上至少有1+2× =401个根。
以上总结了函数周期性在解题中常见的几种应用，并对一些常用的方法作了初步的归纳总结。
可能还有其他方面的应用，疏漏之处在所难免，恳请同行们予以补充，不妥之处请不吝赐教。