(新)高中数学三角函数复习专题

高中数学三角函数复习专题

一、知识点整理:

1、角的概念的推广：

正负，范围，象限角，坐标轴上的角； 2、角的集合的表示：

①终边为一射线的角的集合：⇔{}Z k k x x ∈+=,2απ={}

|360,k k Z ββα=+⋅∈ ②终边为一直线的角的集合：⇔{}

Z k k x x ∈+=,απ；

③两射线介定的区域上的角的集合：⇔{}

Z k k x k x ∈+≤<+,22απβπ ④两直线介定的区域上的角的集合：⇔{}Z k k x k x ∈+≤<+,απβπ；

3、任意角的三角函数：

（1） 弧长公式：R a l = R 为圆弧的半径，a 为圆心角弧度数，l 为弧长。

（2） 扇形的面积公式：lR S 2

1

= R 为圆弧的半径，l 为弧长。

（3） 三角函数定义：角α中边上任意一点P 为),(y x ，设r OP =||则：

,cos ,sin r x r y ==αα x

y =αtan r=

22b a + 反过来，角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα比如：公式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 的证明

（6）

如图，角α 垂足为M 过点A(1,0)作x （7 ①倒数关系： 1cot tan =a a ②商数关系：a

a cos tan =

③平方关系：1cos sin 22=+a a

三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限

三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;

即：函数名改变，符号看象限:

比如sin cos cos 444x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛

⎫+=-=- ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

⎝⎭⎝⎭ cos sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫

+=- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

4.两角和与差的三角函数： （1）两角和与差公式：

βββαsin sin cos cos )cos(a a =± βββsin cos cos sin )sin(a a a ±=±

β

β

βtan tan 1tan tan )(tan a a a a ±=

± 注：公式的逆用或者变形．．．．．．．．． （2）二倍角公式：

a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a

a a

a 2

tan 1tan 22tan -=

(3)几个派生公式： ①辅助角公式：)cos()sin(cos sin 2222ϕϕ-+=++=+x b a x b a x b x a

例如：sin α±cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

±4πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛±4πα．

sin α±3cos α＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝

⎛±3πα＝2cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛

±3πα等．

②降次公式：

ααα2sin 1)cos (sin 2

±=± 221cos 21cos 2cos ,sin 22

αα

αα+-==

③)

tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα⋅-+=+

5

6、.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：

（本节知识考察一般能化成形如)sin(ϕω+=x A y 图像及性质） （1） 函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是ω

π

2=

T

（2） 函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是ω

π

=

T （3） 五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设ϕω+=x t ，取0、

2π、π、2

3π、π2来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总

是对字母x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:

函数的平移变换：

①)0)(()(>±=→=a a x f y x f y 将)(x f y =图像沿x 轴向左（右）平移a 个单位 （左加右减）

②)0()()(>±=→=b b x f y x f y 将)(x f y =图像沿y 轴向上（下）平移b 个单位 （上加下减）

函数的伸缩变换：

①)0)(()(>=→=w wx f y x f y 将)(x f y =图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的w

1倍（1>w 缩短， 10<

②)0)(()(>=→=A x Af y x f y 将)(x f y =图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍（1>A 伸长，10<

①)()(x f y x f y -=→=) 将)(x f y =图像沿y 轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于y 轴对称）

②)()(x f y x f y -=→=将)(x f y =图像沿x 轴翻折180°（整体翻折）

（对三角函数来说：图像关于x 轴对称）