奥数题 专题训练之比和比例应用题

比和比例

比和比例

比和比例一直是学数学容易弄混的几大问题之一，其实它们之间的问题完全可以用一句话概括：

比，等同于算式中等号左边的式子，是式子的一种（如：a:b）；

比例，由至少两个称为比的式子由等号连接而成，且这两个比的比值是相同（如：a:b=c:d）。

所以，比和比例的联系就可以说成是：

比是比例的一部分；而比例是由至少两个比值相等的比组和而成的。

比的意义是两个数的除又叫做两个数的比,而比例的意义是表示两个比相等的是叫做比例。比是表示两个数相除，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等，有四项。比和比例的意义也不同。

比和比例应用题

[例1]、生产队饲养的鸡与猪的只数比为26∶5，羊与马的只数比为25∶9，猪与马的只数比为10∶3。求鸡、猪、马和羊的只数比。

[分析] 该题给出了三个单比，要求写出它们的连比。将几个单比写成连比，关键是利用比的基本性质将各个比中表示同一个量的值化为相同的值。

[解] 由题设，

鸡∶猪=26∶5，羊∶马=25∶9，

猪∶马=10∶3，

由比的基本性质可得：

猪∶马=10∶3=30∶9，

羊：马=25∶9，

鸡：猪=26∶5=156∶30，

从而鸡∶猪∶马∶羊=156：30∶9∶25。

答：鸡、猪、马、羊的只数比为156∶30∶9∶25。

[注] 将单比化为连比时，还可先化为三个量的连比，再化为四个量的连比。如，鸡∶猪=26∶5，猪∶马=10∶3，由此可得，鸡∶猪∶马=52∶10∶3；再注意到羊∶马=25∶9可得，鸡∶猪∶马∶羊=156∶30∶9∶25。

[例2]．下列各题中的两个量是否成比例?若成比例，请说明成正比例还是成反比例。

(1)路程一定时，速度与时间；

(2)速度一定时，路程与时间；

(3)播种面积一定时，总产量与单位面积的产量；

(4)圆的面积与该圆的半径；

(5)两个相互啮合的大小齿轮，它们的转速与齿数。

[分析] 利用正比例、反比例的概念进行判定与说明。

[解] (1)由于速度与时间的乘积等于路程，所以，当路程一定时，速度与时间成反比例。

(2)由于路程与时间的比值为速度，所以，当速度一定时，路程与时间成正比例。

(3)由于总产量与单位面积的产量的比值为播种面积，所以，当播种面积一定时，总产量与单位面积的产量成正比例。

(4)设圆的半径为R，则圆的面积为∏R²，所以圆的面积与半径的积为∏R³，随半径的变化而变化，即圆的面积

与半径不成反比例；而圆的面积与半径的比值为∏R，也随半径的变化而变化，即圆的面积与半径不成正比例。综上，圆的面积与半径不成比例。

(5)由于齿轮的转速与齿数的积等于单位时间内齿轮转过的总齿数，而两个相互咬合的大小齿轮在单位时间内转过的总齿数相等，所以，它们的转速与齿数成反比例。

[注] 若两个相关联的量成正比例，则一个量变大(小)时，另一个量也变大(小)；若两个相关联的量成反比例，则一个量变大(小)时，另一个量反而变小(大)。因此，在上例的(4)中，注意到半径愈大，圆的面积也愈大，故只需判断圆的面积与半径不成正比例，就可断定圆的面积与半径不成比例。

[例3] 某小学共有学生697人，已知低年级学生数的1/2等于中年级学生数的2/5，低年级学生数的1/3等于高年级学生数的2/7，求该校低、中、高年级各有多少名学生?

[分析] 由题设条件可得低、中、高各年级的学生数的比，从而可按比例分配求得各年级的学生数。

[解] 设低年级的学生数为“1”，则中年级的学生数为1/2÷2/5=5/4，高年级的学生数为1/3÷2/7=7/6手：舌，从而，低、中、高年级的学生数的比为：低∶中∶高=1∶5/4∶7/6=12∶15∶14，按比例分配得，低年级学生数：697×12/12+15 +14=204(人)，

中年级学生数：697×15/12+15 +14=255(人)，

高年级学生数：：697×14/12+15 +14=238(人)。

答：该校低、中、高年级的学生数分别为204人、255人、238人。

[注] 按比例分配时，可先出每份对应的量，再求出相应的量。如：697÷(12+15+17) =17(人)。从而，低年级有17×12=204(人)，中年级有17×15=255(人)，高年级有17×14=238(人)。

[例4] 雏鹰小分队为“希望小学”搞了一次募捐活动。她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。已知购得的甲商品与乙商品的数量之比为5∶6，乙商品与丙商品的数量之比为4∶11，且购买丙商品比购买甲商品多花了210元，求这次募捐所得的钱数。

[分析] 根据已知条件可先求出甲、乙、丙三种商品的数量比。即甲、乙、丙三种商品的份数比，再根据甲、丙商品的份数关系及单价，求出每份商品的实际数量，从而求出甲、乙、丙商品的数量，由此可得募捐所得的钱数。

[解] 已知：甲商品数∶乙商品数=5：6，乙商品数∶丙商品数=4∶11。

于是，甲商品数∶乙商品数∶丙商品数=10∶12∶33，即甲、乙、丙商品分别有10份、12份、33份。

由于购买丙商品比购买甲商品多花210元，所以，每份的商品数为210÷(10×33—30×10) =7(件)。

于是，甲商品数为：7×10=70(件)，乙商品数为：7×12=84(件)，丙商品数为：7×33=231(件)。由此，募捐所得到的钱数为：30×70+15×84+10×231=5670(元)．

答：募捐所得到的钱为5670元。

“比和比例”应用题错解例析

2008-05-07 作者：佚名来源：网友投稿

例1某车间要加工2220个零件，单独做，甲、乙、丙三人所需工作时间的比是4∶5∶6。现在由三人共同加工，问完成任务时，三人各加工了多少个？

错解由甲、乙、丙三人单独做所需工作时间的比是4∶5∶6，推出甲、乙、丙三人工作效率的比是6∶5∶4，