第一章 导数及其应用

第一章 导数及其应用

第1节 函数的变化率与导数、导数的计算

【知识总结】

1、函数()y f x =从1x 到2x 的平均变化率为________________；

若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-，则平均变化率可表示为____________． 2、函数()y f x =在0x x =处的导数

(1)定义：称函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率________________＝_________为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0'()f x 或0'|x x y =，即

00'()lim

x y

f x x

∆→∆==∆________________．

(2)几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数0'()f x 的几何意义是在曲线()y f x =上点________处的____________．相应地，切线方程为________________．

3、函数()f x 的导函数：称函数'()f x =________________为()f x 的导函数，导函数有时也记作'y ．

4、基本初等函数的导数公式 (1)'C =_______；

(2)()'n x =____________； (3)(sin )'x =_________； (4)(cos )'x =__________； (5)()'x e =__________； (6)()'x a =___________； (7)(ln )'x =_________；

(8)(log )'a x =_____________．

5、导数运算法则

若)(),(x v x u 的导数都存在，则 (1)()'u v ±=________________； (2)()'u v ⋅=________________； (3)()'u

v

=________________．

6、复合函数的导数

复合函数[()]y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'x y =__________，即y 对x 的导数等于____对____的导数与____对____的导数的乘积．

7、曲线()y f x =“在点00(,)P x y 处的切线”与“过点00(,)P x y 的切线”的区别与联系： (1)曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线是指切点为点________，切线斜率为________的切线，是唯一的一条切线；

(2)曲线()y f x =过点00(,)P x y 的切线，是指切线经过点________．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 【检测反馈】 1、已知曲线2122y x =-上一点3

(1,)2

P -，则过点P 的切线的倾斜角为(____) A ．30o

B ．45o

C ．135o

D ．165o

2、曲线3()2f x x x =+-在0P 点处的切线平行于直线41y x =-，则0P 点的坐标为(____) A ．(1,0)或(1,4)--

B ．(0,1)

C ．(1,0)-

D ．(1,4)

3、下列结论：①(sin )'cos x x =-；②211()'x x

=；③31(log )'3ln x x =；④1

(ln )'x x =．其中正

确的有(____) A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

4、已知函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足()2'(1)ln f x xf x =+，则'(1)f =(____) A ．e -

B ．1-

C ．1

D ．e

5、函数cos 1x

y x

=-的导数是(____) A ．2

sin sin (1)

x x x

x -+- B ．2

sin sin cos (1)x x x x

x --- C ．

2

cos sin sin (1)x x x x

x -+-

D ．

cos sin sin 1x x x x

x

-+-

6、当函数22

(0)x a y a x

+=>在0x x =处的导数为0时，那么0x =(____)

A ．a

B ．a ±

C ．a -

D ．2a

7、若函数()x x f x e ae -=+的导函数是奇函数，并且曲线()y f x =的一条切线的斜率是32

，则切点的横坐标是(____) A ．ln 2

2

-

B ．ln2-

C ．

ln 2

2

D ．ln2

8、已知直线1y x =+与曲线ln()y x a =+相切，则a 的值为(____) A ．1

B ．2

C ．1-

D ．2-

9、如图所示，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则((0))f f =______；0

(1)(1)

lim

x f x f x

∆→+∆-=∆________．

10、已知函数()'()cos sin 4f x f x x π=+，则()4f π

=__________．

11、若过原点作曲线x y e =的切线，则切点的坐标为_______，切线的斜率为_______．

12、已知曲线方程为2y x =．

(1)求在点(2,4)A 与曲线相切的直线方程； (2)求过点(3,5)B 且与曲线相切的直线方程．

13、已知抛物线2y ax bx c =++通过点(1,1)P ，(2,1)Q -，且在点Q 处与直线3y x =-相切，求实数,,a b c 的值．