专题 椭圆中的定点定值问题
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椭圆中的定点定值问题
1．已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，
2
2
）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22
22
2(11)()
22
a=--++，即2
a= --3分
∴2211
b=-=，∴椭圆C 方程为
2
21
2
x
y
+=．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A （1，
2
2
），B（1，
2
2
-），由于（
52
1,
42
-）·（
52
1,
42
--）=
7
16
-，
所以
5
4
m=，下面证明
5
4
m=时，
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2
-，0）则（
5
2
4
-，0）•（
5
2
4
--，0）=
7
16
-，
符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()
11
,x y，B()
22
,x y，
由x=ty+1及
2
21
2
x
y
+=得22
(2)210
t y ty
++-=有0
∆>∴
1212
22
21
,
22
t
y y y y
t t
+=-=-
++
；
11
1
x ty
=+，
22
1
x ty
=+
∴
11221212
5511
(,)(,)()()
4444
x y x y ty ty y y
-⋅-=--+=2(1)
t+
1212
11
()
416
y y t y y
-++=
22
2
222
11212217
(1)
242162(2)1616
t t t
t t
t t t
--+
-++⋅+=+=-
+++
，
综上所述：在x轴上存在点Q（
5
4
，0）使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
2．如图，中心在坐标原点，焦点分别在x轴和y轴上的椭圆
1
T，
2
T都过点(0,2)
M-，且椭圆
1
T与
2
T的离心率均为2
2
．
（Ⅰ）求椭圆
1
T与椭圆
2
T的标准方程；
（Ⅱ）过点M引两条斜率分别为,k k'的直线分别交
1
T，
2
T于点P，Q，
当4
k k
'=时，问直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不
过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）
222
2
1,1
422
x y y
x
+=+=；
（Ⅱ）直线MP的方程为2
y kx
=-，联立椭圆方程得：
22
1
42
2
x y
y kx
⎧
+=
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，消去y得22
(21)420
k x kx
+-=，则
42
P
k
x=，则点P的坐标为
2
42222
:(,)
k k
P
-
，同理可得点Q的坐标为：
2
22222
:(,)
k k
Q
''-
，
又4
k k
'=，则点Q为：
2
22
42822
(,)
8181
k k
k k
-
++
，
22
22
22
822222
1
8121
2
4242
8121
PQ
k k
k k
k
k
k k
k k
--
-
++
==-
-
++
，
则直线PQ的方程为：
2
222142
()
2
k k
y x
k
-
-=--，即
2
22
222142
()
21221
k k
y x
k k k
-
-=--
++
,化简得
1
2
2
y x
k
=-+，
即当0
x=时，2
y=，故直线PQ过定点(0,2)．
3．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜
率为定值，并求出这个定值．
解：（1）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）
所以椭圆方程为．
（2）设直线AE方程为：，
代入得，
设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，
所以由韦达定理得：，，
所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
y
x
O
P
Q