数值分析实验报告5篇

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讨论：
利用这种方法进行这类实验，可以很精确的扰动敏感性的一般规律。即 当对扰动项的系数越来越小时，对其多项式扰动的结果也就越来越小， 即扰动敏感性与扰动项的系数成正比，扰动项的系数越大，对其根的扰 动敏感性就越明显，当扰动的系数一定时，扰动敏感性与扰动的项的幂 数成正比，扰动的项的幂数越高，对其根的扰动敏感性就越明显。
数值实验结果及分析： 对于第一个函数f(x)=1/(1+25x2) 对于第二个函数h(x)=x/(1+x4) 对于第三个函数g(x)=arctan(x)
讨论： 通过对三个函数得出的largrang插值多项式并在数学软件中的运行，得 出函数图象，说明了对函数的支点不是越多越好，而是在函数的两端而 言支点越多，而largrang插值多项式不是更加靠近被逼近的函数，反而
误差分析
实验1.1（问题）
实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对 数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属 于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值 问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究 和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机 器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现 考虑该多项式的一个扰动 其中是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中的系数作一个小的扰 动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的 解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab函 数：“roots”和“poly”。 其中若变量a存储n+1维的向量，则该函数的输出u为一个n维的向量。设 a的元素依次为，则输出u的各分量是多项式方程 的全部根；而函数 的输出b是一个n+1维变量，它是以n维变量v的各分量为根的多项式的系 数。可见“roots”和“poly”是两个互逆的运算函数。 上述简单的Matlab程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是 （1.2）中的。
更加远离函数，在函数两端的跳动性更加明显，argrang插值多项式对函 数不收敛。
实验总结：
利用MATLAB来进行函数的largrang插值多项式问题的实验，虽然其得 出的结果是有误差的，但是增加支点的个数进行多次实验，可以找出函 数的largrang插值多项式的一般规律，当支点增加时，largrang插值多项 式对函数两端不收敛，不是更加逼近，而是更加远离，跳动性更强。所 以对于函数的largrang插值多项式问题可以借助于MATLAB来进行问题 的分析，得到比较准确的实验结规律。
素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成矩阵，计算其条件数。重 复上述实验，观察记录并分析实验结果。
实验过程： 程序：
建立M文件： function x=gauss(n,r) n=input('请输入矩阵A的阶数:n=') A=diag(6*ones(1,n))+diag(ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1) b=A*ones(n,1) p=input('条件数对应的范数是p-范数：p=') pp=cond(A,p) pause [m,n]=size(A); nb=n+1;Ab=[A b] r=input('请输入是否为手动，手动输入1，自动输入0：r=') for i=1:n-1 if r==0 [pivot,p]=max(abs(Ab(i:n,i))); ip=p+i-1; if ip~=i Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);disp(Ab); pause end end if r==1 i=i ip=input('输入i列所选元素所处的行数：ip='); Ab([i ip],:)=Ab([ip i],:);disp(Ab); pause end pivot=Ab(i,i); for k=i+1:n Ab(k,i:nb)=Ab(k,i:nb)-(Ab(k,i)/pivot)*Ab(i,i:nb); end disp(Ab); pause end x=zeros(n,1);x(n)=Ab(n,nb)/Ab(n,n); for i=n-1:-1:1
解线性方程组的直接方法
实验 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算 机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保 Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值 算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它 却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss消去过程。 实验要求： （1）取矩阵，则方程有解。取n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选 取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最 小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去 过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析 不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元
什么现象，哪些根关于的变化更敏感？
思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号 函数solve来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具 体使用方法可参考Matlab的帮助。
实验过程：
程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); for n=2:21 n for m=1:9 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一） a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) for n=2:21 n for m=1:8 ess=10^(-6-m); ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; a=poly(1:20)+ve; y=poly2sym(a); r=solve(y); -6-m s=max(abs(r-rr)) end
y0=atan(x0); end x=sym('x');n=length(x0); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end end s=p*y0(k)+s; end y=s; if mm==1 ezplot('1/(1+25*x^2)') elseif mm==2 ezplot('x/(1+x^4)') elseif mm==3 ezplot('atan(x)') end hold on ezplot(y,[-d,d]) hold off 保存为：largrang.m
1)π/(2(n+1))),k=1,2,^,n+1 以x1,x2^x(n+1)为插值节点构造上述各函数的拉格朗日插值 多项式，比较其结果。
实验过程：
程序： 多项式插值的震荡现象（实验2.1） for m=1:6 subplot(2,3,m) %把窗口分割成2*3大小的窗口 largrang(6*m) %对largrang函数进行运行 if m==1 title('longn=6') elseif m==2 title('longn=12') elseif m==3 title('longn=18') elseif m==4 title('longn=24') elseif m==5 title('longn=30') elseif m==6 title('longn=36') end %对每个窗口分别写上标题为插值点的个数 end 保存为：chazhi.m function largrang(longn) mm=input('please input mm(运行第几个函数就输入mm为几):mm=') if mm==1 %d表示定义域的边界值 d=1; elseif mm==2||mm==3 d=5; end x0=linspace(-d,d,longn); %x的节点 if mm==1 y0=1./(1.+25.*x0.^2); elseif mm==2 y0=x0./(1.+x0.^4); elseif mm==3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -13 -14
1.69376699767424 0.92310666706964 0.08471614569741 0.40804026409411
0.03877676439380 0.16256584868280 0.13322664013598 0.02164258317546
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实验总结：
利用MATLAB来进行病态问题的实验，虽然其得出的结果是有误差 的，但是可以很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行 很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问 题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。
插值法
实验2.1（多项式插值的振荡现象） 问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日 插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。 我们自然关心插 值多项式的次数增加时，L(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格给出 了一个极著名例子。设区间[-1，1]上函数 f(x)=1／(1+25x^2) 实验内容：考虑区间[-1，1]的一个等距划分，分点为： x(i)=-1+2i/n,i=0,1,2…,n 泽拉格朗日插值多项式为： L(x)=∑l(i)(x)/(1+25x(j)^2 ) i=0,1,…n 其中l(i)(x), i=0,1,…n,n是n次拉格朗日插值基函数。 实验要求： ⑴ 选择不断增大的分点数目n=2,3…，画出f(x)及插值多项式函 数L(x)在[-1，1]上的图象，比较分析实验结果。 （2）选择其它的函数，例如定义在区间[-5，5]上的函数 h(x)=x/(1+x^4) , g(x)=arctanx 重复上述的实验看其结果如何。 （3）区间[a,b]上切比雪夫点的定义为： xk=（b+a）/2+((b-a)/2)cos((2k-
实验要求：
（1） 选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化 并分析它们。如果扰动项的系数很小，我们自然感觉 （1.1）和（1.2）的解应当相差很小。计算中你有什么出 乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如 何？ （2） 将方程（1.2）中的扰动项改成或其它形式，实验中又有 怎样的现象出现？ （3） （选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注 意我们可以将方程（1.2）写成展开的形式， 同时将方程的解x看成是系数的函数，考察方程的某个解关于的扰 动是否敏感，与研究它关于的导数的大小有何关系？为什么？你发现了
Байду номын сангаас
end
数值实验结果及分析：
format long
-6m n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 -6m n 2 3 4 5 6 -7 -8 -9
2.79722687478331 1.86753632009158 1.06052762380748 0.25273144219047 0.85401393415536 0.19941022020061 0.03972935295834 0.11031100538871 0.04296532362844