初三上学期压轴题-几何+新定义-含详细解析

初三上学期压轴题-几何+新定义

1.已知：在等腰直角三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是平面上一点，连结BD，将线段BD绕点B

逆时针旋转90°得到线段BE，连结AE，CD．

(1)在图1中补全图形，并证明：AE⊥CD．

(2)当点D在平面上运动时，请猜测线段AD，CE，AB，BD之间的数量关系．

(3)如图2，作点A关于直线BE的对称点F，连结AD，DF，BF.若AB=11，BD=7，AD=14，求线段DF

的长度．

2.在平面直角坐标系xOy中，点A(−4,−2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B．

(1)直接写出点B的坐标；

(2)若抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，求抛物线的表达式；

(3)若抛物线y=−x2+bx+c的顶点在直线y=x+2上移动，当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时，

求抛物线顶点横坐标t的取值范围．

3.定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛物线y=x2+ax+b，我们称P(a,b)是抛物线y=x2+

ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的相伴抛物线．

如图，已知点A(−2,−2)，B(4,−2)，C(1,4)．

(1)点A的相伴抛物线的解析式为______；过A，B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴点坐标为______；

(2)设点P(a,b)在直线AC上运动：

①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线Ω上，求抛物线Ω的解析式；

②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围．

4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点(

点A在点B的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点．

(1)求抛物线y=ax2−2ax−3a顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)如果抛物线y=ax2−3ax−3a经过(1,3)．

①求a的值；②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数．

(3)如果抛物线y=ax2−2ax−3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围．

5.在正方形ABCD中，点E，F，G分别是边AD，AB，BC的中点，点H是直线BC上一点，将线段FH绕点F

逆时针旋转90°，得到线段FK，连接EK．

(1)如图1，请直接写出EF与FG的数量及位置关系；

(2)如图2，若点H在线段BC的延长线上，猜想线段BH，EF，EK之间满足的数量关系，并证明你的结论．

(3)若点H在线段BC的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH，EF，EK之间满足的数量关

系．

6.对于平面直角坐标系xOy中的动点P和图形N，给出如下定义：如果Q为图形N上一个动点，P，Q两点间

距离的最大值为d max，P，Q两点间距离的最小值为d min，我们把d max+d min的值叫点P和图形N间的“和距离”，记作d(P，图形N)．

(1)如图1，正方形ABCD的中心为点O，A(3,3)．

①点O到线段AB的“和距离”d(O，线段AB)=______；

②设该正方形与y轴交于点E和F，点P在线段EF上，d(P，正方形ABCD)=7，求点P的坐标．

(2)如图2，在(1)的条件下，过C，D两点作射线CD，连接AC，点M是射线CD上的一个动点，如果6√2<

d(M，线段AC)<6+3√2，直接写出M点横坐标t取值范围．

7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−4mx+4m+3的顶点为A．

(1)求点A的坐标；

(2)将线段OA沿x轴向右平移2个单位长度得到线段O′A′．

①直接写出点O′和A′的坐标；

②若抛物线y=mx2−4mx+4m+3与四边形AOO′A′有且只有两个公共点，结合函数的图象，求m的取值范

围．

8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC.在平面内任取一点D，连结AD(AD

逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．

(1)请根据题意补全图1；

(2)猜测BD和CE的数量关系并证明；

(3)作射线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°，AB=2，AD=1时，补全图形，直接

写出PB的长．

9.如图，已知点A(0,2)，B(2,2)，C(−1,−2)，抛物线F：y=x2−2mx+m2−2与直线x=−2交于点P．

(1)当抛物线F经过点C时，求它的表达式；

(2)设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点(x1,y1)，(x2,y2)，且x1

与y2的大小；

(3)当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．

10.已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点A．

(1)作BD⊥MN，垂足为D，连结CD，在图①中补全图形，猜想∠ADC的度数并证明；

(2)在直线MN绕点A旋转的过程中，当∠BCD=30°，BD=√2时，直接写出DC的长．

11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1

a

与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．

(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；

(2)求抛物线的对称轴；

(3)已知点P(1

2,−1

a

)，Q(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．

12.已知∠AOB=30°，H为射线OA上一定点，OH=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连

接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．

(1)依题意补全图1；

(2)求证：∠OMP=∠OPN；

(3)点M关于点H的对称点为Q，连接QP.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON=QP，并证明．