好用的线性代数教材所有定理

1, 2 ,, n线性相关
T T T r (1 , 2 , , n ) n 向量组中的向量个数
a1 j a2 j j a nj
定理3.5推论1:设n个n维向量
( j 1, 2, , n)
(1 2
a11 a21 n) A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
如 j1 , j2 , , jr 是1 , 2 , , s的线性无关部分组
1,2 , ,s中每一个向量都可由 j , j , , j 线性表示.
1 2 r
定理3.11,对于任一矩阵A,
r ( A) r A的列(行)秩 r
定理3.12 等价向量组的秩相等.
a11 a1, j 1 b1 a1, j 1 a1n
其中Dj是把系数行列式D中第j列 D j 的元素用方程组右端的常数项代替 an1 an, j 1 bn an, j 1 ann 后所得到的n阶行列式，
定理1.8 如果齐次线性方程组(1.13) 的系数行列式 xj=0 j=1,2,..,n) D≠0,则它仅有零解. (D≠0
线性代数课本所有定理
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。
定理1.3
(1)N (i1i2
定理1.2 n级排列共有n!个，其中奇偶排列各占一半
n阶行列式 D aij 的一般项可以记为 : i ) N ( j j j ) ai j ai j ai j (◆) 其中i1i2 in与j1 j2 jn都是n级排列.
则:
向量组1, 2 ,, n线性相关 A 0
定理3.5推论2:当向量组中所含向量的个数大于向量的
维数时,此向量组线性相关.
a1 j a2 j 小结: 对于m维向量组 1, 2 ,, n j a1n a11 a12 a mj a21 a22 a2 n (1 2 n) A amn am1 am 2
a1 j b1 a2 j b2 定理3.3 设向量 , j b a m mj
( j 1,2,, n) 则:
可由向量组1, 2 ,, n线性表示 r ( A) r ( A )
定理3.13 如果齐次线性方程组(3.9)的系数矩阵A的 秩r(A)=r<n，则方程组的基础解系存在,且每个基础
解系中,恰含有n-r个解. 定理3.14 非齐通解=非齐特解+齐通解.
定理4.1 n阶矩阵A与它的转置矩阵AT有相同的特征值.
定理4.2(公式版) 设A=(aij)是n阶矩阵,如果
(1) aij 1 (i 1, 2, , n) 或 : (2) aij 1 (i 1, 2,
定理3.5 设m维列向量组 1, 2 ,, n 其中:
a1 j a2 j j a mj ( j 1,2,, n)
(1 2
a11 a12 n) A a21 a22 am1 am 2
a1n a2 n amn
则: , ,, 线性无关 r ( A) n 1 2 n
a11 a12 a21 a22 n) A am1 am 2
a1n a2 n amn
定理3.5的另一种叙述: 设m维行向量组 1, 2 ,, n
其中: i ai1 , ai 2 ,, aim (i 1,2,, n) 则:
n 1 2 n 1 1 2 2 n n
定理1.4 n阶行列式D =|aij|等于它的任一行(列)的各元素 与其对应的代数余子式乘积之和，即
D=
+ …+
+ …+
i =1,2,3,…,n j =1,2,3,…,n
定理1.5 n阶行列式 D aij 某一行(列)的元素与另一行(列) 对应元素代数余子式乘积的和等于0,即:
ai1 As1 ai 2 As 2 ain Asn 0(i s) a1 j A1t a2 j A2t anj Ant 0( j t )
定理1.7、克莱姆法则
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 如果线性方程组 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn (1.9)
a11 a12 a1 n a 21 a 22 a 2 n 0 那么线性方程组(1.9)有唯一解， D 解可以表为 a n1 a n 2 a nn
的系数行列式不等于零，即
Dn D1 D2 D2 x1 , x2 , x3 , , xn . D D D D
r ( A) r ( A b) Ax b无解
定理3.2
Ax=0有非零解
r ( A) n
定理3.2推论:当m<n 时,齐次线性方程组(3.9)有非零解.
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1x1 am 2 x2 amn xn 0
A (1 2 a11 a21 n) a m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n am n
定理3.4 如果向量组（A）可由向量组（B）线性表示， 而向量组（B）可由向量组（C）线性表示，则向量 组（A）可由向量组（C）线性表示。
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
(1.13)
常用此定理的逆否命题:如线性方程组(1.13)有非零解,则 D=0. (xk ≠ 0 D=0 如果有k, 1≤ k ≤n)
2 2 2 1 y1 2 y2 n yn
定理4.9 在R n中, 正交向量组 线性无关组. 定理4.10 设Q为n阶实矩阵,则:
Q为正交阵 Q的列(行)向量组是单位正交向量 组.
定理4.11 对称矩阵的特征值为实数.
定理4.12 实对称矩阵的对应于不同特征值的特征 向量是正交的.
设A为n阶对称矩阵, 则必有正交矩阵Q 使QT AQ , 其中 是以 A的 n 个特征值为对角元
线性表示且表示法唯一.
定理3.9 设有两个向量组:
1, 2 ,, s 为(A)
1 , 2 , , t 为(B)
向量组(B)可由向量组(A)线性表示,如果 s
则向量组(B)线性相关.
t
或说:长向量组可由短向量组线性表示,
则长的向量组必线性相关. 定理3.10 它是极大无关组
j 1
i 1
n
n
, n)
有一个成立 k 1 (k 1,2,, n) 定理4.3 设1 , 2 , , m是方阵A的m个特征值, x1 , x2 , , xm依次是与之对应的特征向量.
如果1 , 2 , , m各不相等,
则 x1, x2 ,
, xm 线性无关
定理4.4


2
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n
定理4.6推论2 如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等, 则A与对角阵相似. (由定理4.3及定理4.5) 定理4.7 n阶矩阵A可对角化的充要条件为 对于每个特征值a, r(A-aI)=A的阶数- a的重数.
推论: n阶矩阵A可对角化的充要条件为对于每个 特征值a, (A-aI)x=0的基础解系的解数= a的重数.
定理2.1 n阶方阵A可逆的充要条件为 A 0 A
1
1 A A
定理2.2 矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于用一个 相应的初等方阵左(右)乘A. 定理2.3
Amn (aij )mn 经过若干次初等变换,可以化为
0 0 若干次初等变换 In ◇推论: Ann为可逆阵 A
,
从而A与B的特征值相同. 定理4.5推论 若n阶方阵A与对角阵
1 2 n
相似, 则1 , 2 ,, n即是A的n个特征值.
定理4.6 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充要条件是A有n个线性无关的特征向量. 定理4.6推论1: (1)如果n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量 x1,x2,….,xn , x1,x2,….,xn排成的矩阵就是把A变成对角 阵Λ的变换矩阵P,相应的对角阵Λ的主对角线元素 就是A的特征值. 1 (x1,x2,….,xn ) =P,
( j 1,2,, n)
(1)向量个数n>向量维数m (A扁)
则向量组必线性相关.
A 0 向量组线性相关 (2)向量个数n=向量维数m (A方) A 0 向量组线性无关
(3)向量个数n<向量维数m (A长) r ( A) n 向量组线性相关 r ( A) n 向量组线性无关 (由定理3.5来判断)
则: 1, 2 ,, n线性相关 r ( A) n 向量组中的向量个数
定理3.5的另一个说法: 设m维列向量组 1, 2 ,, n
a1 j a2 j 其中: j a mj ( j 1,2,, n)
(1 2
设n阶矩阵A (aij )nn , A的全部特征值为 1，2 ,, n
(其中可能有重根、复根），则 即： (1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
定理4.5 若n阶矩阵 A与B相似,则A与B的特征多项式相同
定理3.6 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性 相关,则整个向量组线性相关. 定理3.7 向量组 1 , 2 ,, s ( s 2) 线性相关的充 要条件是:其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性 组合. 定理3.8 如果向量组 1 , 2 ,, s , 线性相关. 1, 2 ,, s线性无关.则向量 可由向量组1, 2 ,, s
定理4.13
素的对角矩阵 .
定理5.1 任何一个二次型都可以通过非退化线性替换 化为标准型. 定理5.2 对任意一个对称矩阵A，存在一个非奇异矩阵 C，使CTAC为对角形。 即任一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。 定理5.3 对于二次型xTAx,必存在正交阵Q,使:
x Ax
T
x Qy
1 2 正交替换 x Qy T T x Ax y y n
定理2.4 n阶矩阵A为可逆的充要条件是它可以表成一些 初等矩阵的乘积. 定理2.5 矩阵经初等变换后,其秩不变.
Ir D 0
定理3.1
r ( A) r ( A b) Ax b有解
r ( A) r ( A b) n Ax b有唯一解 r ( A) r ( A b) n Ax b有无穷多解