方波信号的傅里叶变换精编版

1
j

1
j arctan
e
a
a2 2
其振幅频谱及相位频谱分别为
F ( ) 1 2 2
( ) arctan
单边指数信号的频谱
例4―4 求单边指数信号的频谱。 解 单边指数信号是指
f (t) eatu(t), a 0
F ( ) f (t)e jtdt eat e jtdt
叶级数展开式。据
f
(t)

A0 2

n1
An cos(nt
n )
可知，其基波频率Ω=π(rad/s)，基本周期T=2 s，ω=2π、3π、 6 π分别为二、 三、六次谐波频率。且有
A0 1 2 A1 3
A2 2
1 0 1 10 2 20
A3 0.4
T
2 T
2
f (t) cos(2 nft)dt
2
T
0 T
2
(1) cos(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 cos(2 nft)dt

2 T
1
2 nf
[ sin(2 nft)]
0 T
2

2 T
1
2 nf
[sin(2 nft)]
T
2 0
0
bn

2 T
T


j j


2 2
2
(4―43)
f (t) 1
0
t
(a)
F ( )
2
1


－ 0

(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-4 求图 3.4-4(a)所示信号f(t)的频谱函数。
f(t) 1
e－t ＞0)
X( )
方波信号f(t)展开为傅里叶级数
例4―1 试将图4.2所示的方波信号f(t)展开 为傅里叶级数。
f (t)
1
－T T
0T T
2T
t
2
－1 2
图4.2 方波信号的傅里叶级数
解 我们将信号按式(4―6)分解成傅里叶级数,
并按式(4 及c。
―
7)、(4―8)、(4―9)分别计算an,
bn
an

2 T
3 45
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
o

2
3
4
5
6

(b)
图 3.3-1 例 3.3-1
(a) 振幅谱； (b) 相位谱
1

o
t
－ et
o

－1 (a)
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
－
1

(b)
解 图示信号f(t)可表示为
f
(t)

eat
eat
t0
(a>0)
t0
F ( j ) 0 eate jtdt ete jtdt
－ 10° － 15°
－ 30°
－ 20°
－ 30°
－ 45°
－ 45° (b)


图 3.3-2 例 3.3-1 信号的 (a) 振幅谱； (b) 相位谱
单边指数函数f(t)的频谱函数
例 3.4-2 求指数函数f(t)的频谱函数。
f
(t)

eat
t0
0
t0
f (t)
1 e－t ( ＞ 0)
1
et
e－t ＞0)
o
t
(a)
F(j )
2

o

(b)
图 3.4-3 (a) 双边指数函数； (b) 频谱
偶对称双边指数信号的频谱
例4―5 求双边指数信号的频谱。 解 双边指数信号是指
f (t) e t u(t), 0
从频谱函数的定义式出发
(4―42)
F ( ) 0 eat e jtdt 0 eat e jtdt 1 1

0



1
j


1
j

j
a2
2
2
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
g(t) 1
－τ2o
τ 2
0,


4
n
n 2, 4,6, n 1,3,5,
c 2 T
T
2 T
2
f (t)dt 0
f (t) 4 [sin 2 ft 1 sin 6 ft 1 sin10 f 1 sin 2 ft ]

3
5
n
n 1,3,5,
|F n |
2
1.5
1.5
1
1
1
0.4 0.2Biblioteka Baidu
0.4 0.2
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
－ 6－ 5 － 4－ 3－ 2 － o
2 3 4 5 6
( 0)
F( )
1

o
t
o

(a)
(b)
图 3.4-2 单边指数函数e-αt
(a) 单边指数函数e-αt; (b) e-αt的幅度谱
解
F ( j ) f (t)e jtdt ete jtdt



e( j )t
( j)
0

振幅谱和相位谱例题
例 3.3-1 f (t) 1 3cos(t 10) 2 cos(2t 20)
0.4 cos(3t 45) 0.8cos(6t 30),
试画出f(t)的振幅谱和相位谱。
解 f(t)为周期信号，题中所给的f(t)表达式可视为f(t)的傅里


1
j
0
(4―40) (4―41)
F ( )
1
12


－ 0

(a)
argF()
2
4
－ 0

－
4
－
2
(b)
图4.7 单边指数信号及其频谱
偶对称双边指数函数的频谱函数
例 3.4-3 求图 3.4-3(a)所示双边指数函数的频谱函数。
f (t)
2 T
2
f (t)sin(2 nft)dt
2 T
0 T
2
(1)sin(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2 nft)dt

2 T
1
2 nft
[ cos(2 nft)]
0 T
2

2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n