[理学]数学物理方程5格林函数法

G
(u
n
u )ds n
u(x,
y,
z)
u n
(x,
y,
z)
令 0 , 此时有
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P(x,
y,
z)
P0 ( ,,
),
u n
(0x,
y,
z)
并且区域G趋向于区域 ，所以可得
即
hudV
(h
u n
u
h )ds n
0
(10)
数 学 物
u
(
,
,
)
(
u n
u
n
)ds
udV
理（12）称为格林第三公式。
第 五 章
方或
程
n
n
(x , y , z )
1 (
r
x,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y,
z)T
1
4 r3
(
x,
y,
z) 1 (
r
x,
y,
z)T
r2
4 r4
1
4 r2
格 林 函 数 法
因此
B
u
n
ds
B
u
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
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u
B
n
ds
B
u
4
2
ds
u(x,
y,
z
)
(10)
其中 P(x, y, z ) B.------积分中值定理
P
(x )2
(y )2
(3)
。有
u(x, y, z) (P, P0 ) 0, P P0.
在广义函数意义下，
u (P, P0 )
(4)
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，前第面 五 章 格 林 函 数 法
5.2.2 格林函数
考虑如下定解问题
u f (x, y, z),(x, y, z)
(5)
数
u(x, y, z) (x, y, z),(x, y, z) (6)
• 第5章 Green 函数法
数
第
学
五
物 理
章
方 程
格
林
函
数
法
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本章中心内容
数 学 物 理
•
利用格林函数法求解一些平面或空间区域上位 势方程狄利克雷问题。
第 五 章
方
程•
介绍利用格林函数法求解一维热传导方程和波
格 林
动方程半无界问题
函
数
法
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数
格林（Green）函数，又称为点源影响函数， 第
(5)
五
物 理
u(x, y, z) (x, y, z),(x, y, z) (6)
章
方程的解。
格
林
函
数
法
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5.3 半空间及圆域上的Dirichlet问题
由前面的分析，我们可以看出，只要求出了给定区域
上的格林函数，就可以得到该区域泊松方程狄利克雷问题的解。对
数一般区域，求格林函数并非易事。但对于某些特殊区域，可有一第些
学 是数学物理中的一个重要概念．格林函数代表一 五
物 理
个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生
章
方 的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计 程 算出任意源所产生的场．
格 林
函
格林函数法是解数学物理方程的常用方法 数
之一．
法
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5.1 Green公式
在研究Laplace方程和Poisson方程边界问题的时候，
(P, P0 ) 是关于六个变元 (x,
。引入函数
y, z) 和 (,,
1
()P的, P函0 ) 数 4，且rP0P
数 法
，注意
(P, P0 ) (P0, P).
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又
1
1
(P, P0 ) 4 rP0P 4 (x )2 ( y )2 (z )2
数 学
2
(P,
P0
)((x
数
(uv
vu)dV
(u
v n
v
u )ds n
法
(8)
中，令 v (P, P0 ) ，注意到 0 ，则有
udV
G
(u
G
n
u )ds n
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或
udV
G
(u
n
u )ds n
B
(u
n
u )ds n
(9)
在球面 B 上，有
数 学 物
1
4 r
1
1
理
n r
r 4 r2 4 2
(
P x
Q y
R )dV z
(P cos
Q cos
R cos
)ds
(2)
数
如果引入哈密尔顿（Hamilton)算子： ( , , ), 第
学
x y z 五
物 并记F=(P,Q,R),则Gauss公式具有如下简洁性式
理
章
方
Fd F nds
(3)
程
其中 n (cos, cos , cos ) 为 的单位外法向量。
数 学
zz
2(z
)2
(x )2 4 r3
(y
)2
第 五
物所以
理 方
程即 (P,
设
P0
xx yy zz 0, P P0 ) 在 R3 中除点 P0 外处处满足拉普拉斯方程。
0 充分小使得 B B(P0, ) {P(x, y, z) | P
P0
|
}
章 格 林 函
记 G \ B ，则 G B ，在格林第二公式
1
法
上节已证
u(x, y, z) (P, P0 ) 4 rP0P
u(x, y, z) (P, P0 ) 0, P P0.
(1)
在广义函数意义下，
u (P, P0 )
(2)
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其中 (P, P0 ) (x ) ( y ) (z ). 三维拉普拉斯方程 u 0 的通解为：
数 学
vudV
v
u n
ds
v udV
物理（6）-（7），得
(7)
第
五
章
方 程
(uv
vu)dV
(u
v n
v
u )ds n
(8)
格
林
（8）称为格林第二公式。
函
设 P0 ( ,, ) ，点 P(x, y, z) R3 ，rP0P | P0 P |
(x )2 (y )2 (z )2
格 林 函
注1 哈密尔顿算子是一个向量性算子，它作用于向量函数数 法
F=(P,Q,R)时，其运算定义为
F ( , , ) (P,Q, R) x y z
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(P , Q , R ) x y z
形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F的散度
divF。而作用于数量函数f(x,y,z)时，其运算定义为
上连续。如将 P(x, y, z) 简记为 P ，P(x, y, z) 简记为 P
x
x
或 Px ，等等。
函 数 法
设 P(x, y, z),Q(x, y, z) 和 R(x, y, z) C1() ，则如下的
高斯公式
P
(
x
Q y
R )dV z
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
(1)
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或者
f ( , , ) f (f , f , f )
数 学
x y z
x y z
形式上相当于向量的数乘运算，此即向量函数 f
的梯度grad第 五f
物 理
设 u(x, y, z) 、v(x, y, z) C2 (), 在(3)式中取 F uv 得章
方 程
(uv)d uv nds
(4)
格
林
y,
z
)
n
ds法.
上的值未知，因此须进一步处理。
注 如果边界条件改为诺依曼条件，即定解问题变为
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u f (x, y, z),(x, y, z)
(5)
u(x, y, n
z)
(x,
y,
z),
(x,
y,
z)
(6)
由格林第三公式，得
数
第
学 物 理
u
(
,
,
)
(
u n
u
n
)
ds
udV
(u
v n
v
u )ds n
中，取v=h，得
数 学
hudV
(u
h n
h
u )ds n
第 五
物或
理 方 程
hudV
(h
u n
u
h )ds n
0
(10)
则（7）+（10）得
u(
,
,
)
(
u n
u
n
)ds
udV
(7)
u
(
,
,
)
(G
u n
u
G n
)ds
GudV
(11)
章 格 林 函 数 法
其中 G(P, P0 ) h.
要经常利用格林公式，它是高等数学中Gauss公式的直接
推广。
数 学
设 为 R3 中的区域， 充分光滑。设k为非负整数，第 五
物 理
以下用 Ck () 表示在 上具有k阶连续偏导的实函数全体，章
方 程
Ck () 表示在 u C1() C()
上表具示有u(kx阶, y连, z续) 偏在导的实具函有数一全阶体连。续如偏导数格 林
学方法。
五
物
5.3.1 半空间上的狄利克雷问题
理
章
方 程
设 {(x, y, z) | z 0}, {(x, y, z) | z 0} 考虑定解问题
格
u f (x, y, z),(x, y, z) (1)
u(x, y,0) (x, y),(x, y) R2 (2)
林 函 数
设 P0(,, ) ，则 P1(,, ) 为 P0 关于 的对称点。法 若在 P0, P1 两点各放置一个单位正电荷，则由三维拉普拉斯方程的
基本解得知，它们做空间产生 点位分别为
(P,
P0 )
1
4 r0
,
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(P,
P1 )
1
第
学物理方程设由格P0林(第u,(三,,公),式)，,u得(x(,y, zun)uC2n()d)sC1() u为dV上述(7问) 题的解，则五 章 格 林 函
由定解问题（5）（6）的自由项和边值条件，可得
数
udV f (x,
而在
u n
ds 中，u n
y, z)dV
在边界
和
u
n
ds
(
x,
由
u (P, P0 )
(2)
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及
h 0,(x, y, z)
(8)
h ,(x, y, z)
(9)
可知，G(P, P0 ) 是如下定解问题的解
数 学 物
G G(P,
P0 )
(P, P0 ), 0, (x,
(x, y, z) y, z)
(12) (13)
理
第 五 章
G方(P, P0 ) 称为拉普拉斯方程在区域 上的格林函数。 程 由于G在 上恒为0，又
(7)
五 章
方
程
u
n
ds
须做进一步处理。
格 林
如何由格林第三公式得到定解问题（5）（6）的解？主要是如函
u
何消去 ds 。----构造格林函数。
n
数 法
设h为如下定解问题的解
h 0,(x, y, z)
(8)
h ,(x, y, z)
(9)
在格林第二公式
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(uv vu)dV
格 林
u(
,,
)
(G
u n
u
G n
)ds
GudV
(11)
可得
u
(
,
,
)
(u
G n
)ds
GudV
函 数 法
G n
ds
GfdV
(14)
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因此，若求出了区域 上的格林函数 G(P, P0 ) ，则
u(
,
,
)
G n
ds
GfdV
便是定解问题
数
第
学
u f (x, y, z),(x, y, z)
同理可得
数
学
物 理
u ds 1 u ds u (x, y, z)
B n
4 B n
n
(11)
方其中
程
P(x, y, z) B.
------积分中值定理
将（10）和（11）带入到（9），
udV
G
(u
n
u )ds n
(u
B
n
u )ds n
得到
第 五 章 格 林 函 (9) 数 法
udV
直接计算可得 (uv) uv uv
（5） 函
其中 v vxx vyy vzz。将(5)式带入到(4)式中，并整理得
数 法
uvdV
u
v n
ds
u vdV
(6)
(6)式称为格林第一公式
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uvdV
u
v n
ds
u vdV
(6)
将（6）中函数u、v的位置互换，得
1
uC C
1r
2
数如果取 C1
学
1
4
, C2
0
就得到一个重要的特解
1 u
4 rP0P
物记作
理
(P,
P0
)
，与
P0
点选择有关。
方 程
(P, P0 ) 称为三维拉普拉斯方程的基本解。
当n=2时，二维拉普拉斯方程的基本解为
11
其中
P0
(
,
),
(P, P(x,
P0 ) 2 ln
y) R2, rP0P
rP0
)2
(
y
)2
(z
)2
)
1
16
2
第 五
物两边对x求偏导，得
理 方
2x ((x )2 ( y )2 (z )2 ) 22 (x ) 0
程即 x ((x )2 ( y )2 (z )2 ) (x ) 0 (*)
章 格 林
所以
(x )
x
x
(x )2
(y )2
(z )2
4
r3 P0
P
对（*）再对x求偏导，得
函 (**) 数
法
xx ((x )2 ( y )2 (z )2 ) 2x (x ) x (x ) 0
整理，得
xx
2(x
)2
(y )2 4 r3
(z
)2
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由对称性，得
yy
2( y
)2
(x )2 4 r3
(z
)2
西安交通大学理学院
5.2 Laplace 方程基本解和Green函数
基本解做研究偏微分方程时起着重要的作用。这里首先介绍
拉普拉斯方程的基本解，并做一些特殊区域上由基本解生产格林函
数数 ，由此给出相应区域上的拉普拉斯方程或泊松方程边值问题的第解
学的表达式。
五
物 理
5.2.1 基本解
章
方程则位参该考电电设点场荷时中P电在0某(场点空力,的间所,电做产位)的是生功指R的。在3 点电，场位若中分将做布单点位为正（P电0 (舍荷 ,从去该,介点)电移放至常置电数一 0单）位正电荷，格 林 函 数
(12)
第 五
章
方 程
注2 在二维情况中，格林第一公式和格林第二公式也成立格。
而对于格林第三公式，需要取
林
11
(P, P0 ) 2 ln r 格林第三公式，需要取 P0 ( ,) , P(x, y) R2,
函 数 法
r rP0P | P0 P | (x )2 ( y )2
此时，格林第三公式也成立。