应力状态和强度理论

第八章 应力状态和强度理论
8.1应力状态的概念及其描述 8.2平面应力状态分析——解析法 8.3平面应力状态分析——图解法 8.4三向应力状态 8.5广义胡克定律 8.6三向应力状态下应变能 8.7强度理论的概念 8.8四种常见的强度理论
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.1应力状态的概念：
构件上不同的点有 P 不同的应力—应力为位 置的函数。
C
max
主平面上的正应力称主应力。
以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体。
主单元体的例子
A
横截面
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.3主应力、主平面、主单元体：
可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定
存在三个互相垂直的主应力，分别记为 1、2、3，
且规定按代数值大小顺序排列。
即： 1 2 3
可由截面法求与斜截面ef上应力。
y
y
y
yx
a
xy
d x
x
xy x
yx
zb
y c
(a)
yx y
n
ae
d
xy
x
x
f
xy
x
b
c
y yx
(b)
如图b所示，斜截面ef的外法线与x轴间的夹角为， 称为截面。
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.1斜截面上应力状态
e
xy
x
b
f
y yx
应力的正负和斜截面夹角的正负规定： (c)
所在的平面
min
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.3切应力极值状态
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.2一点处应力的表示方法： 一点处的应力状态可用围绕该点截取的单元体(微正
六面体)上三对互相垂直微面上的应力情况来表示. 如轴向拉伸杆件内围绕m点截取的两种微元体.
特点: ① 根据材料的均匀连续假设微元体各微面上的应力均匀 分布,相互平行的两侧面上应力大小相等、方向相反; ②互相垂直的两侧面上剪应力服从剪切互等定理.
2 3
1
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.4应力状态的分类：
单向应力状态——只有一个主应力不等于零
二向应力状态——有两个主应力不等于零
三向应力状态——三个主应力都不等于零
3
3
1
3 1
3 1 2
3
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.1斜截面上应力状态
已知如下图a所示的一平面应力状态，其上的正应 力和切应力均已知。
max min
?在何处?
（8.2）
该处 ?
tg 2
2 xy x
y
，
cos 2
1
1 tg 2 2
， sin
2
tg 2 1 tg 2 2
max x y
min
2
x
2
y
2
2 xy
（8.4）
若 x y
:
则、
90中绝对值较小者确定
所在的平面
max
若 x y
:
则、
90中绝对值较小者确定
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.2一点处应力的表示方法：
图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。从 梁表面的A、B、C三点处取出的单元体上，用箭头表 示出各个面上的应力。
aF
AF a B C
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.3主应力、主平面、主单元体： 剪应力为零的平面称为主平面。
t 0 ⇒ dA xdAcos sin xydAcos cos ydAsin cos yxdAsin sin 0
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.1斜截面上应力状态
x
y 2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
（8.1）
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
（8.2）
1）正应力拉为正，压为负； 2）切应力使单元体产生顺时针旋转趋势为正；反之为负； 3）对角，x轴逆时针旋转这一角度而与斜截面外法线重合时，
其值为正；反之为负。
取图c所示分离体进行分析。图c中所示斜截面上应力和 斜截面夹角均为正。
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.1斜截面上应力状态
由图d所示体元上各面上的力的平衡，参考法线 n和切线t方向可得： 其中dA为斜截面ef的面积。
8.2.1斜截面上应力状态
简化：① xy yx ② 倍角公式
cos2 1 cos 2
2
sin 2 1 cos 2
2
sin 2 2 sin cos
得：
x
y
2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
（8.1）
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
（8.2）
n 0 ⇒ dA xdAcos cos xydAcos sin ydAsin sin yxdAsin cos 0
cos 2
切应力互等定理。
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.2正应力极值状态
x
y 2
x
2
y
coБайду номын сангаас 2
xy
sin
2
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
（8.1）
max min
?在何处?
（8.2）
该处 ?
d d
x
y
2
(2sin 2) xy (2cos 2)
2
设 时有：dd 0
n 0 ⇒ dA xdAcos cos xydAcos sin ydAsin sin yxdAsin cos 0
t 0 ⇒ dA xdAcos sin xydAcos cos ydAsin cos yxdAsin sin 0
§8-2 平面应力状态分析——解析法
公式表明：
（1）平面应力状态下，一点的应力状态由过该点的两个相互垂直
截面上的应力（ σx 、 σ y 和 τxy ）确定。
（2）取另一截面β，令β =π/2+α，此截面上的应力为
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy
sin 2
x y
单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。
x
y
2
sin 2
xy
则：
x
2
y
sin
2
xy
cos
2
0
tan2
2 xy x
y
（8.3）
解出及 90
d d
2
当正应力取极值时 d 0 d
0
max、
都是主应力
min
§8-2 平面应力状态分析——解析法
8.2.2正应力极值状态
x
y 2
x
2
y
cos 2
xy
sin
2
x
2
y
sin
2
xy
cos 2
（8.1）
构件上同一点不同 P
的方向面上应力不尽相
同 应力为方向面的 P 函数。
P
P
A
§8-1 应力状态的概念及其描述
8.1.1应力状态的概念：
一点处的应力状态是指通过一点不同方位截面上的应力的 集合.
应力分析就是研究这些不同方向截面上应力随截面方向的 变化规律，从而为构件的应力、变形与强度分析，提供更广泛 的理论基础。