材料力学第七章应力状态和强度理论

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第七章 应力状态和强度理论
当三个主应力中有二个主应力不等于零时为平面应力状态； 平面应力状态下等于零的那个主应力如下图所示，可能是
1，也可能是2或3，这需要确定不等于零的两个主应力
的代数值后才能明确。
2
3
1 1
3
2
( 3 0)
( 2 0)
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第七章 应力状态和强度理论
§7-1 概述 §7-2 平面应力状态的应力分析· 主应力 §7-3 空间应力状态的概念
§7-4 应力与应变间的关系
*§7-5 空间应力状态下的应变能密度
§7-6 强度理论及其相当应力
*§7-7 莫尔强度理论及其相当应力 §7-8 各种强度理论的应用
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状态(空间应力状态) 的概念；
Ⅱ. 平面应力状态和三向应力状态下的应力－应变关系——
广义胡克定律；
Ⅲ. 强度理论。
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第七章 应力状态和强度理论
§7-2 平面应力状态的应力分析· 主应力
平面应力状态是指，如果受力物体内一点处在众多不 同方位的单元体中存在一个特定方位的单元体，它的一对
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第七章 应力状态和强度理论
在弹性力学中可以证明， 受力物体内一点处无论是什么 应力状态必定存在三个相互垂 直的主平面和相应的三个主应 力。对于一点处三个相互垂直
的主应力，根据惯例按它们的
代数值由大到小的次序记作1，
2，3。图b所示应力圆中标
出了1和2，而3=0。
sin 2
cos 2
纯剪切应力状态
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研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸 时的屈服现象是由于在切应力最大的45˚ 斜截面上材料发生
滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在45˚ 方向
圆的半径。故得
1 x y 2 4 x2 1 2 2 x y 1 2 2 x y 4 x2 2 2
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x y
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B1 D1 t an 2 0 C B1 1 x y 2
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最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力分量，但
根据切应力互等定理有xy＝yx，yz＝zy ，xz＝zx，因而独
立的应力分量为6个，即x，y，z，xy，yz ，zx。
当空间应力状态的三个主应力1，
2，3已知时(图a)，与任何一个主平
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§7-1 概述
在第二章中曾讲述过杆受拉压时杆件内一点处不同
方位截面上的应力，并指出：一点处不同方位截面上应 力的集合(总体)称之为一点处的应力状态。由于一点处 任何方位截面上的应力均可根据从该点处取出的微小正 六面体── 单元体的三对相互垂直面上的应力来确定，
t y y
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由以上两个平衡方程并利用切应力互等定理可得到以 2为参变量的求 斜截面上应力，的公式：


x y x y
2
2

2
cos 2 x sin 2
x y
sin 2 x cos 2
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§7-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
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(b)
空间应力状态最一般 的表现形式如图b所示； 正应力x，y，z的下角 标表示其作用面，切应力 xy，xz，yx，yz，zx，zy 的第一个下角标表示其作 用面，第二个下角标表示 切应力的方向。 图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉 应力为正，切应力则如果其作用面的外法线指向某一坐标 轴的正向而该面上的切应力指向另一坐标轴的正向时为正。
拉应力最大从而使材料发生断裂(fracture)所致。
2. 在不可能总是通过实验测定材料
极限应力的复杂应力状态下，如图所示, 应力状态分析是建立关于材料破坏规律 的假设(称为强度理论)的基础。
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本章将研究：
Ⅰ. 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力
故受力物体内一点处的应力状态可用一个单元体及其上
的应力来表示。
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p cos 0 cos2 0 p sin sin 2
2 单向应力状态
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F
n
0， d A x d A cos sin x d A cos cos

y
d A sin cos y d A sin sin 0
x x
F 0， d A d A cos sin d A cos sin d A sin sin d A sin cos 0
( 1 0)
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现利用前面的图b所示应
力圆导出求不等于零的主应力 数值和主平面位置方位角0的 解析式，由于
1 O A1 O C C A1 2 O C C A1
其中， OC 为应力圆圆心的横坐标， CA CD 为应力 1 1
角为180˚可知)，且这两个截面 上均无切应力。
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一点处切应力等于零的截面称
为主平面，主平面上的正应力 称为主应力。据此可知，应力 圆圆周上点A1和A2所代表的就 是主应力；但除此之外，图a所
示单元体上平行于xy平面的面
上也是没有切应力的，所以该 截面也是主平面，只是其上的 主应力为零。
x y
2

x y
2
cos 2 x sin 2
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E点纵坐标
EF CE sin 2 0 2 CD1 sin 2 0 cos 2 CD1 cos 2 0 sin 2 x cos 2
x y x y 2 2 x 2 2
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2
2
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而这就是如图a所示的一个圆——应力圆，它表明代
表 斜截面上应力的点必落在应力圆的圆周上。
x y 2 x 2
x y
2
sin 2
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Ⅲ. 主应力与主平面 由根据图a所示单元体上的
应力所作应力圆(图b)可见，圆
周上A1和A2两点的横坐标分别 代表该单元体的垂直于xy平面 的那组截面上正应力中的最大 值和最小值，它们的作用面相
互垂直(由A1和A2两点所夹圆心
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(a)
(b) (c)
对于图a所示受横力弯曲的梁，从其中A点处以包含与梁的横 截面重合的面在内的三对相互垂直的面取出的单元体如图b(立
体图)和图c(平面图)，本节中的分析结果将表明A点也处于平面
应力状态。
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平行平面上没有应力，而另外两对平行平面上都只有正应
力而无切应力这种应力状态。等直圆截面杆扭转时的纯剪 切应力状态就属于平面应力状态(参见§3-4的“Ⅱ.斜截面 上的应力”)。
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sin 2
cos 2
纯剪切应力状态
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E点横坐标
OF OC CF OC CE cos2 0 2 OC CE cos 2 0 cos 2 CE sin 2 0 sin 2 OC CD1 cos 2 0 cos 2 CD1 sin 2 0 sin 2

D1 x , x

O C D2 y , y
(b)
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D1 x , x

O C D2 y , y
(b)
值得注意的是，在应力圆圆周上代表单元体两个相互垂直的 x截面和y截面上应力的点D1和D2所夹圆心角为180˚，它是单
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Ⅱ. 应力圆 为便于求得， ，也为了便于直观地了解平面应力
状态的一些特征，可使上述计算公式以图形即所称的应力
圆(莫尔圆)(Mohr’s circle for stresses)来表示。 先将上述两个计算公式中的第一式内等号右边第一项 移至等号左边，再将两式各自平方然后相加即得：
x
或即
2 x 2 0 arctan y x 图c示出了主应力和主平面的方位。
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讨论: 1. 表达图示各单元体 斜截面上应力随角变化的应
力圆是怎样的？这三个单元体所表示的都是平面应力状态 吗？
以自x 轴逆时针转至外法线n为 正；斜截面上图中所示的正应 力 和切应力均为正值，即
以拉应力为正，以使其所
作用的体元有顺时针转动趋势
者为正。
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由图c知，如果斜截面
ef的面积为dA，则体元左侧
面eb的面积为dA· cos，而 底面bf 的面积为dA· sin。 图d示出了作用于体元ebf 诸 面上的力。 体元的平衡方程为
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平面应力状态最一般的表现形式如图a所示，现先 分析与已知应力所在平面xy垂直的任意斜截面(图b)上的 应力。
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Ⅰ. 斜截面上的应力
图b中所示垂直于xy平面 的任意斜截面ef 以它的外法线
n与x轴的夹角 定义，且角
2


O
x y
2
C
(a)
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图a中所示的应力圆实际上可如图b所示作出，亦即使单元 体x截面上的应力x,x按某一比例尺定出点D1，依单元体y截面
上的应力y,y(取y = -x)定出点D2，然后连以直线，以它与
轴的交点C为圆心，并且以 CD1 或 CD2 为半径作圆得出。
面垂直的那些斜截面(即平行于该主平 面上主应力的斜截面)上的应力均可用
应力圆显示。
(a)
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例如图a中所示垂直于主应力3所在平面的斜截面，其上 的应力由图b所示分离体可知，它们与3无关，因而显示这类 斜截面上应力的点必落在以1和2作出的应力圆上(参见图c)。
元体上相应两个面之间夹角的两倍，这反映了前述，计
算公式中以2 为参变量这个前提。
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第七章 应力状态和强度理论
利用应力圆求 斜截面(图a)上的应力，时，只
需将应力圆圆周上表示x截面上的应力的点D1所对应的半
径 C D1 按方位角的转向转动2角，得到半径 C E ，那 么圆周上E点的坐标便代表了单元体斜截面上的应力。 现证明如下(参照图b)：