节水洗衣机模型
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“节水洗衣机”问题数学建模
❖问题的提出 ❖假设和定义 ❖建立模型 ❖分析和求解 ❖结论和讨论
Mathematical Modeling，ECUST，2004
1 问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗 衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗 衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一 轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多 少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗 涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的 数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行 情况，对你的模型和结果作出评价。
• 比如 C 小于万分之一，则有**式。
H
Q / H C / C H 1 4 , 1 Q 0 1 0 . 9 1 2 9 0 (4.1.9) 这样最少洗衣轮数的估计值为：
nN0
[ log ]1
log(1Q)
Mathematical Modeling，ECUST，2004
4.2 算法
3.1 溶解特性和动态方程
当
u k
H时， p k 最大（
这里假设
pkQxk,0Q1，
其中 Q 称为‘溶解率’）。
综上所述，简单地选择线性关系表示这种溶解特
性则有：
pk Qxk uHk LL
（3.1.2）
现在想建立xk+1与xk之间的关系式？
Mathematical Modeling，ECUST，2004
k
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3.2 优化模型
于是可得优化模型如下：
n1
min f (u) uk ,其中 代表对洗净效果的要求 k 0
s.t. n1 [1 Q(1 C ) uk L] （0 1）
k 0
uk H L
L uk H (k 0,1, 2,..., n 1)
5 结论和讨论
基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结 论： 1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。 2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少 用水。 3）设法增加溶解率 Q 可以成倍地节约用水。如适当延长洗 漂时间，选用好的洗涤剂等。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个
大于0的常数 C，并由于脱水时不另加水故 CL
Mathematical Modeling，ECUST，2004
2.2 变量定义
1) 设共进行 n 轮“加水-洗涤-脱水”的过程，依次
为第0轮，第1轮，…，第n1 轮
2) 第 k轮用水量为u k(k 0 ,1 , ,n 1 ) 3) 衣服上的初始脏物为x 0 ，在第k轮脱水之后的脏
其中：A H L B(H 1), B L
C
L
C百度文库
(3.2.6) (3.2.7)
Mathematical Modeling，ECUST，2004
4 分析与求解
• 4.1 最少洗衣轮数
• 定义函数 r(t)1Q t Q t ,(0t1)
•
A tB
（4.1.1）
• 易知 •
r(t)Q (At BB)21 0,(0t1 （) 4.1.2）
物量为 xk 1(k0,1, n1)
说明：除首轮外，每轮用水量实际包括该轮
加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3 建立模型
3.1 溶解特性和动态方程
在第 k轮洗漂之后和脱水之前（第k1轮脱水之后）
脏物量x k 变成了两部分：
x k p k q k（ k 0 , 1 , 2 , n 1 ) （3.1.1）
3、因此，“节水洗衣机”问题的基本要点是： （1）污物的溶解情况如何？需用“溶解特性”
刻画。 （2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？需用
系统的动态方程表示。 （3）问题的目标是什么？（最少的用水量）约
束条件又是什么？（一定程度的干净）
Mathematical Modeling，ECUST，2004
2 假设和定义
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3.2 优化模型
由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物
量，而x 0
是初始脏物量，故
x n
/
x0反映了洗净效果。
由系统动态方程（3.1.4）可得：
xnn 1 [1Q (1C )ukL ]
x k 0
u H L
0
k
此时总用水量为：n1 u k 0
2.1 基本假设 1) 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清
水进行下一次漂洗。
2) 每次洗漂加水量不能低于 L，否则洗衣机无法转动；
加水量不能高于 ，H否则会溢出。设 LH
3) 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分
溶入水中从而使每次所加的水充分利用
4) 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣
Mathematical Modeling，ECUST，2004
问题的分析
1、若用水量为0，显然洗不净衣物；若用水量无 穷大，则肯定浪费水；所以必然存在刚好“洗 净”衣物的“最少”用水量。
2、洗衣要加入洗涤剂，因此“污物”是衣服原 有污物和洗涤剂的总和。所以洗衣机的基本原 理是“溶污物+脱污水”。
•
在求出最少洗衣轮数后，对于n N ,N 1 ,N 2 , ,N
00
0
（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取 N10），
选用一种非线性规划算法，分别求解，然后选出最 好的结果。注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
附注：这是1996年全国大学生数模 竞赛B题的参考答案，从假设、 建模、到结果分析都给参赛者 留下较大的创新余地！
Mathematical Modeling，ECUST，2004
[1QQC]n H
• 给定洗净效果的要求，则应有
[1QQC ]n
H
• 于是有
nlog1(loQgQC)
H
Mathematical Modeling，ECUST，2004
• 若的考尚虑存水的量值与不最大高于水0量.99之。比而，HC 其代数表量脱级水是后很衣小服的上，
所以
1QQC1Q H
（4.1.8）
• 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以
•
r r(1 )1Q Q C (0,1 ) （4.1.3）
min
H
• 第k轮的洗衣效果为（由3.1.4式可知）
• •
xk 1 x
r(vk)(k0,1 ,2, n1 )（4.1.4）
k
Mathematical Modeling，ECUST，2004
• 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到
在第 k轮脱水之后，衣服上尚有脏物由两部分
组成：一是尚未溶入水中的脏物量 q k ，二
是衣服里所含脏水中溶解的赃物C
p k
uk
于是第 k 轮完成之后衣服上尚存的脏物C总量为：
xk1qkCu pk k(xkpk)Cu pk k
（3.1.3）
将（3.1.2）代入上式整理后得系统动
态方程：
x k 1 x k[1 Q (1 u C k)u H k L L ](k 0 ,1 ,2 ,.n .).（, 3.1.4）
其中 p k 表示已溶入水中的脏物量，q k 表示尚未溶入水
中的脏物量。p k与第k轮的加水量u k 有关，总的规律
应是，u
k
越大p k
越大，且当u k
L时，p k 最小（＝0，
因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法动）。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3 建立模型
Mathematical Modeling，ECUST，2004
•
若令：vk
uk L HL
(3.2.4)
uk (HL)vk L
(3.2.5)
• 则优化模型变成为更简洁的形式：
n1
min f (v) vk
k0
s.t.
n1
(1Qvk
k0
Qvk ) Avk B
0 vk 1 (k 0,1,2,,n1)
❖问题的提出 ❖假设和定义 ❖建立模型 ❖分析和求解 ❖结论和讨论
Mathematical Modeling，ECUST，2004
1 问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗 衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗 衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一 轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多 少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗 涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的 数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行 情况，对你的模型和结果作出评价。
• 比如 C 小于万分之一，则有**式。
H
Q / H C / C H 1 4 , 1 Q 0 1 0 . 9 1 2 9 0 (4.1.9) 这样最少洗衣轮数的估计值为：
nN0
[ log ]1
log(1Q)
Mathematical Modeling，ECUST，2004
4.2 算法
3.1 溶解特性和动态方程
当
u k
H时， p k 最大（
这里假设
pkQxk,0Q1，
其中 Q 称为‘溶解率’）。
综上所述，简单地选择线性关系表示这种溶解特
性则有：
pk Qxk uHk LL
（3.1.2）
现在想建立xk+1与xk之间的关系式？
Mathematical Modeling，ECUST，2004
k
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3.2 优化模型
于是可得优化模型如下：
n1
min f (u) uk ,其中 代表对洗净效果的要求 k 0
s.t. n1 [1 Q(1 C ) uk L] （0 1）
k 0
uk H L
L uk H (k 0,1, 2,..., n 1)
5 结论和讨论
基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结 论： 1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。 2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少 用水。 3）设法增加溶解率 Q 可以成倍地节约用水。如适当延长洗 漂时间，选用好的洗涤剂等。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个
大于0的常数 C，并由于脱水时不另加水故 CL
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2.2 变量定义
1) 设共进行 n 轮“加水-洗涤-脱水”的过程，依次
为第0轮，第1轮，…，第n1 轮
2) 第 k轮用水量为u k(k 0 ,1 , ,n 1 ) 3) 衣服上的初始脏物为x 0 ，在第k轮脱水之后的脏
其中：A H L B(H 1), B L
C
L
C百度文库
(3.2.6) (3.2.7)
Mathematical Modeling，ECUST，2004
4 分析与求解
• 4.1 最少洗衣轮数
• 定义函数 r(t)1Q t Q t ,(0t1)
•
A tB
（4.1.1）
• 易知 •
r(t)Q (At BB)21 0,(0t1 （) 4.1.2）
物量为 xk 1(k0,1, n1)
说明：除首轮外，每轮用水量实际包括该轮
加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3 建立模型
3.1 溶解特性和动态方程
在第 k轮洗漂之后和脱水之前（第k1轮脱水之后）
脏物量x k 变成了两部分：
x k p k q k（ k 0 , 1 , 2 , n 1 ) （3.1.1）
3、因此，“节水洗衣机”问题的基本要点是： （1）污物的溶解情况如何？需用“溶解特性”
刻画。 （2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？需用
系统的动态方程表示。 （3）问题的目标是什么？（最少的用水量）约
束条件又是什么？（一定程度的干净）
Mathematical Modeling，ECUST，2004
2 假设和定义
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3.2 优化模型
由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物
量，而x 0
是初始脏物量，故
x n
/
x0反映了洗净效果。
由系统动态方程（3.1.4）可得：
xnn 1 [1Q (1C )ukL ]
x k 0
u H L
0
k
此时总用水量为：n1 u k 0
2.1 基本假设 1) 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清
水进行下一次漂洗。
2) 每次洗漂加水量不能低于 L，否则洗衣机无法转动；
加水量不能高于 ，H否则会溢出。设 LH
3) 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分
溶入水中从而使每次所加的水充分利用
4) 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣
Mathematical Modeling，ECUST，2004
问题的分析
1、若用水量为0，显然洗不净衣物；若用水量无 穷大，则肯定浪费水；所以必然存在刚好“洗 净”衣物的“最少”用水量。
2、洗衣要加入洗涤剂，因此“污物”是衣服原 有污物和洗涤剂的总和。所以洗衣机的基本原 理是“溶污物+脱污水”。
•
在求出最少洗衣轮数后，对于n N ,N 1 ,N 2 , ,N
00
0
（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取 N10），
选用一种非线性规划算法，分别求解，然后选出最 好的结果。注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
附注：这是1996年全国大学生数模 竞赛B题的参考答案，从假设、 建模、到结果分析都给参赛者 留下较大的创新余地！
Mathematical Modeling，ECUST，2004
[1QQC]n H
• 给定洗净效果的要求，则应有
[1QQC ]n
H
• 于是有
nlog1(loQgQC)
H
Mathematical Modeling，ECUST，2004
• 若的考尚虑存水的量值与不最大高于水0量.99之。比而，HC 其代数表量脱级水是后很衣小服的上，
所以
1QQC1Q H
（4.1.8）
• 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以
•
r r(1 )1Q Q C (0,1 ) （4.1.3）
min
H
• 第k轮的洗衣效果为（由3.1.4式可知）
• •
xk 1 x
r(vk)(k0,1 ,2, n1 )（4.1.4）
k
Mathematical Modeling，ECUST，2004
• 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到
在第 k轮脱水之后，衣服上尚有脏物由两部分
组成：一是尚未溶入水中的脏物量 q k ，二
是衣服里所含脏水中溶解的赃物C
p k
uk
于是第 k 轮完成之后衣服上尚存的脏物C总量为：
xk1qkCu pk k(xkpk)Cu pk k
（3.1.3）
将（3.1.2）代入上式整理后得系统动
态方程：
x k 1 x k[1 Q (1 u C k)u H k L L ](k 0 ,1 ,2 ,.n .).（, 3.1.4）
其中 p k 表示已溶入水中的脏物量，q k 表示尚未溶入水
中的脏物量。p k与第k轮的加水量u k 有关，总的规律
应是，u
k
越大p k
越大，且当u k
L时，p k 最小（＝0，
因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法动）。
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3 建立模型
Mathematical Modeling，ECUST，2004
•
若令：vk
uk L HL
(3.2.4)
uk (HL)vk L
(3.2.5)
• 则优化模型变成为更简洁的形式：
n1
min f (v) vk
k0
s.t.
n1
(1Qvk
k0
Qvk ) Avk B
0 vk 1 (k 0,1,2,,n1)