节水洗衣机模型
模糊控制节水洗衣机模型
模糊控制节水洗衣机模型
罗振中;罗乐
【期刊名称】《自动化与信息工程》
【年(卷),期】2002(023)003
【摘要】洗衣机的最小用水量涉及洗衣量、肮脏度、衣料质地、洗涤剂、机械力等多种因素,难以建立精确的解析模型进行控制.而采用熟练洗衣者的经验知识构成的模糊推理规则进行控制,则能达到很好的节水效果.本文采用模糊数学的基本原理选择洗衣布量和浑浊度两个主要因素对洗衣机的用水量进行模糊控制,以达到尽可能节水的目的.本模型经过计算机仿真后,所得到的用水量与市场上的几种洗衣机的耗水量相比,具有明显的节水效果,节水量达到10%～20%.
【总页数】4页(P14-17)
【作者】罗振中;罗乐
【作者单位】中山大学电子系;北京大学物理学院
【正文语种】中文
【中图分类】TP2
【相关文献】
1.模糊控制洗衣机混浊度模型及检测 [J], 路立平
2.节水洗衣机的数学模型 [J], 仲宇;赖川;许哲波
3.工业洗衣机模糊控制系统多任务模型研究 [J], 张道德;周国柱;杨光友;苏旭武
4.节水洗衣机的最优运行模型 [J], 王抵修;张雅波;张跃龙
5.节水型洗衣机设计的数学模型 [J], 贾军国;王书彬
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数学模型_第3版_姜启源_高等教育出版社_课后答案
综合题目参考答案1. 赛程安排(2002年全国大学生数学建模竞赛D 题)(1)用多种方法都能给出一个达到要求的赛程.(2)用多种方法可以证明支球队“各队每两场比赛最小相隔场次n r 的上界”(如=5时上界为1)是n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23n ,如: 设赛程中某场比赛是,i j 两队, 队参加的下一场比赛是,两队(≠i i k k j ),要使各队每两场比赛最小相隔场次为r ,则上述两场比赛之间必须有除i ,j ,以外的2k r 支球队参赛,于是,注意到32+≥r n r 为整数即得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤23n r . (3)用构造性的办法可以证明这个上界是可以达到的,即对任意的编排出达到该上界的赛程.如对于n =8, =9可以得到: n n 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 1 5 9 13 17 21 25 3,3,3,3,3,3 18 2A 1 × 20 6 23 11 26 16 4,4,4,3,2,2 193A 5 20 × 24 10 27 15 2 2,4,4,4,3,2 19 4A 9 6 24 × 28 24 3 19 2,2,4,4,4,3 19 5A 13 23 10 28 × 4 18 7 2,2,2,4,4,4 18 6A 17 11 27 14 4 × 8 22 3,2,2,2,4,4 177A 21 26 15 3 18 8 × 12 4,3,2,2,2,4 178A25 16 2 19 7 22 12 × 4,4,3,2,2,2 17w w w .k h d a w .c o m 课后答案网1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 每两场比赛相隔场次数 相隔场次总数1A× 36 6 31 11 26 16 21 1 4,4,4,4,4,4,4, 28 2A 36 × 2 27 7 22 12 17 32 4,4,4,4,4,4,3 27 3A 6 2 × 35 15 30 20 25 10 3,3,4,4,4,4,4 26 4A 31 27 35 × 3 18 8 13 234,4,4,4,3,3,3 25 5A 11 7 15 3 × 34 24 29 193,3,3,3,4,4,4 24 6A 26 22 30 18 34 × 4 9 144,4,3,3,3,3 23 7A16 12 20 8 24 4 × 33 28 3,3,3,3,3,3,4 22 8A21 17 25 13 29 9 33 × 53,3,3,3,3,3,3, 21 9A 1 32 10 23 19 14 28 5 × 3,4,3,4,3,4,3 24 可以看到, =8时每两场比赛相隔场次数只有2,3,4, =9时每两场比赛相隔场次数只有3,4,以上结果可以推广,即为偶数时每两场比赛相隔场次数只有n n n 22-n ,12-n ,2n ,n 数时只有为奇23-n ,21-n . 量赛程优劣其他指标如(4)衡的平均相隔场次 记第i 队第j 个ij c ,2,2,1,,,2,1-==n j n i ,间隔场次数为则平均相隔场次为∑∑=n i 1-=n r 21 =-j n n 1)2(ij c r 是赛程整体意义下的指标,它越大越好.可以计算=8,=9的n n r ,并讨论它是否达到上界. 相隔场次的最大偏差 定义||,r c Max f ij j i -=∑---=2)2(|n r n c Max g =1|j ijw w w .k h d a w .c o m 课后答案网f 为整个赛程相隔场次的最大偏差, 为球队之间相隔场次的最大偏差,它们都是越小越好.可以计算=8,=9的,g ,并讨论它是否达到上界.g n n f 参考文献工程数学学报第20卷第5期20032. 影院座位设计建立满意度函数),(βαf ,可以认为α和β无关, ()()βαβαh g f -=),(,g ,取尽量简单的形式,h 如αα=)(g ;0)(=βh (),030≤β0)(h h =β)30(0>β.(1)可将作为必要条件,以030≤βα最大为最佳座位的标准.在上图中以第1排座位为坐标原点建立坐标轴x ,可以得到 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+----⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=d x x h c H d x x c H d x x c H θθαθβtan arctan tan arctan ,tan arctan β是x 的减函数.可得x ≈1.7m,即第3(或4)排处.又通过计算或分析可知030=βα也是x 的减函数,所以第3(或4)排处是最佳座位.(2)设定一个座位间隔(如0.5m), l x 从0(或处)到030≤βd D -按离散,对于计算l )20~0(00θα的平均值,得时其值最大. 020=θ(3)可设地板线是x 的二次曲线,寻求,b 使2bx ax +a α的平均值最大. 实际上,还应考虑前排不应挡住后排的视线. 3.节水洗衣机(1996年全国大学生数学建模竞赛B 题) 该问题不要求对洗衣机的微观机制(物理、化学方面)深入研究,只需要从宏观层次去把握.宏观上洗衣的基本原理是用洗涤剂通过漂洗把吸附在衣物上的污物溶于水中,再脱去污水带走污物;洗衣的过程是通过“加水——漂洗——脱水”程序的反复运行,使残留在衣物的污物越来越少,直到满意的程度;洗涤剂也是不希望留在衣物上的东西,可将“污物”定义为衣物上原有污物与洗涤剂的总和. w w w .k h da w .c o m 课后答案网假设每轮漂洗后污物均匀地溶于水中;每轮脱水后衣物含水量为常数.~初始污水量,第轮加水量,~第k 轮脱水量c 0x ~k u k k x ),,2,1( =k .设每轮脱水前后污物在水中的浓度不变.于是cx c u x u c x n n n =+==--111,,, c x 2c x +21u x 10, 得到)()(210c u c u u c x x n n n ++= . 在最终污物量与初始污物量之比小于给定的清洁度条件下,求各轮加水量,使总用水量最小,即0/x x n k u ),,1(n k =∑=nk k u u Min k 1()ε<++)(..21c u c u u c t s n n 等价于)()(21c u c u u Min n u k +++++ α=++)()(..21c u c u u t s na 为常数可得c u c u u n +==+= 21,即第轮加水量n ~2u u k =(常数),第1轮加水量.c u u +=1令,问题简化为cx u =nx Min u n , ε<⎪⎭⎫ ⎝⎛+n x t s 11.. 其解为,即,而0→x 0→u ∞→n n .这与实际上是不合理的.应该加上对u 的限制:.则得n ,其中 21v u v ≤≤max min n n ≤≤max min n n ≤≤,1+)/1ln(2min ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c v n αn 这样,为有限的几个数,可一一比较,具体数据计算从略.参考文献:《数学的实践与认识》第27卷第1期,1997w w w .k h d a w .c o m 课后答案网4.教师工资调整方案(1995年美国大学生数学建模竞赛B 题)题目对职称提升年限表述得不甚清楚(如未提及助理教授的提升),教龄也未区分是什么职称下工作的年限,所以应该作出一些相应的简化假设.按所给信息,工资仅取决于职称和教龄.建立新方案的一种办法是将职称折合成教龄,如定义x=教龄t+7×k (对于讲师、助理教授、副教授、教授,k 分别取值0,1,2,3),然后寻求工资函数I(x),使之满足题目的要求,如I(0)=27000,I(7)=32000等,以及x 较大时022<dxI d .另一种办法是职称、教龄分别对待,工资函数J(k,t)从多种函数中选择,如最简单的线性函数J(k,t)=k k k k b a t b a ,,+(k=0,1,2,3)根据一定条件确定.按照第一种办法得到的新工资方案,以职称和教龄综合指标为x 的教师的工资都应为I(x),而人们的目前工资会低于或高于它.根据题目要求,高工资不应降低,低工资则应逐渐提高,尽快达到理想值I(x).需要做的只是根据每人(目前)工资与(理想值的)差额,制定学校提供的提薪资金的分配方案.它应该是简单、合理、容易被人接受的. 按以上原则可以建立不同的模型,应通过检验比较其恶劣.检验可基于题目所给数据,按照提薪计划运行若干年,考察接近理想方案的情况,即用过渡时期的情况检验模型;也可进行随机模拟,按照一定规则随机产生数据(可以包括聘用、提职、解聘、退休的人数和时间等),再按照提薪计划运行,考察接近理想方案的情况.参考文献：叶其孝，《大学生数学建模竞赛辅导教材》（四），湖南教育出版社，20015. 一个飞行管理问题（1995年全国大学生数学建模竞赛A 题）设为第i 架飞机与第j 架飞机的碰撞角（即ij a )8arcsin(ij ij r a =其中为这两架飞机连线的长度），ij r ij β为第i 架飞机相对于第j 架飞机的相对速度（矢量）与这两架飞机连线（从i 指向j 的矢量）的夹角（以连线矢量为基准，逆时针方向为正，顺时针方向为负），i θ为第架飞机飞行方向角调整量. 本问题中的优化目标函数可以有不同的形式：如使所有飞机的最大调整量最小；所有飞机的调整量绝对值之和最小等.以所有飞机的调整量绝对值之和最小，可以得到如下的数学规划模型：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网∑=61i i Min θ s.t. ,)(21ij j i ij a >++θθβ j i j i ≠=,6,,1,30≤i θ , 6,,1 =i 为了利用LINGO 求解这个数学规划模型，可以首先采用其他数学软件计算出ij α和ij β.其实，ij α和ij β也是可以直接使用LINGO 来计算的，这相当于解关于ij α和ij β的方程，只是解方程并非LINDO 软件的特长，这里我们作为一个例子，看看如何利用LINGO 计算ij α，可输入如下模型到LINGO 求解ij α：MIDEL ：1]SETS:2] PLANE/1..6/：x0,y0; 3] link(plane,plane):alpha,sin2: 4]ENDSETS5] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J:6] sin2(I,J)=64/((X0(I)-X0(J))*(X0(I)-X0(J))+7] (Y0(I)-Y0(J))*(Y0(I)-Y0(J)));8] ）；9] @FOR(LINK(I,J)|I#NE#J: 10] (@SIN(alpha*3.14159265/180.0))^2=SIN2; 11] ); 12]DATA:13] X0=150,85,150,145,130,0; 14] Y0=140,85,155,50,150,0; 15]endataEND计算结果如下：w w w .k h d a w .c o m 课后答案网ij a j=1 2 3 4 5 6i=1 0.000 0 5.3912 32.231 05.091 8 20.963 4 2.234 5 2 5.391 2 0.000 0 4.8046.613 5 5.807 9 3.815 9 3 32.231 0 4.804 0 0.0004.364 7 22.833 7 2.125 5 45.091 86.613 5 4.36470.000 0 4.4.537 2.989 8 5 20.963 4 5.807 922.8337 4.537 70.000 0 2.309 8 6 2.234 5 3.815 9 2.125 5 2.989 82.309 80.000 0 ij β也可类似地利用LINGO 求得，计算结果如下： ij β j=1 2 3 4 5 6 i=1 0.000 0 109.263 6 -128.250 0 24.1798173.065 1 14.474 9 2 109.263 6 0.000 0-88.871 1 -42.2436-92.304 8 9.000 03 -128.250 0 -88.871 1 0.000 012.4763-58.786 2 0.310 84 24.179 8 -42.243 6 12.476 30.000 0 5.969 2-3.525.65 173.065 1 -92.304 8 -58.78625.969 20.000 0 1.914 4614.474 9 9.000 00.310 8-3.5256 1.914 4 0.000 0w w w .k h d a w .c o m 课后答案网于是，该飞机管理的数学规划模型可如下输入LINGO 求解：MODEL:1]SETS2] plane/1..6/:cita:3] link(plane,plane):alpha,beta;4]ENDSETS5] min=@sum(plane:@abs(cita));6] @for(plane(I):7] @bnd(-30,cita(I),30);8] );9] @fpr(link(I,j)|I#NE#J:10] @ABS(beta(I,J)+0.5*cit(I)+0.5*cita(J))11] >alpha(I,J);12] ）;13]DATA:14] A;[JA=0.000 0 5.391.2….. …2.309 8 0.000 020] ;21] BETA=0.000 010 9.263 6………1.914 4 0.000 027] ;28]enddata END[注] alpha,beta 中数据略去，见上面表格. 求解结果如下： OPTIMUM FOUND AT STEP 197 SOLUTION OBJECTIVE V ALUE= 3.630 V ARIABLE V ALUE REDUCED COST CITA(1) 0.2974033E-06 -1.000 000 CITA(2) -0.1424833E-05 -0.715 033 4 w w w .k h d a w .c o m 课后答案网CITA(3) 2.557 866 1.000 000 CITA(4) -0.3856641E-04 0.0000000E+00CITA(5) 0.2098838E-05 -1.000 000CITA(6) 1.071 594 0.0000000E+00………. (以下略)由此可知最优解为： （其它调整角度为0）. ︒︒≈≈07.1,56.263θθ 评注：如果将目标改为最大调整量最小，则可进一步化简得到线形规划模型，也可用LINDO 或LINGO 求解.参考文献：《数学的实践与认识》第26卷第1期，19966. 降落伞的选择这个优化问题的决策变量是降落伞数量n 和每一个伞的半径r ，可先将n 和r 看作连续变量，建立优化模型，求得最优解后，再按题目要求作适当调整. 目标函数之降落伞的费用，可以根据表1数据拟合伞面费用与伞的半径r 的关系。
“节水洗衣机”问题数学建模及若干评注
“节水洗衣机”问题数学建模及若干评注随着社会的进步和科技的进步，环保意识日益增强，水资源的合理利用成为了一个重要的课题。
在平时生活中，人们对节水的需求也越来越高。
洗衣机作为家庭中常用的家电之一，其节水性能的提高对于节约水资源至关重要。
为了探究如何提高洗衣机的节水性能，我们可以运用数学建模的方法，深度分析洗衣机的工作原理和水资源利用状况，并给出相应的评注。
起首，我们需要明确洗衣机的工作原理。
一个平凡的洗衣机通常由进水管、排水管、脱水管和筒体组成。
在洗衣过程中，洗衣机需要从自来水管道中引入一定的水量，通过旋转筒体和叠加多个水平的模块化滚筒对衣物进行清洗，然后将污水排出，最后通过脱水管将衣物中的水分进行脱水处理。
基于以上的洗衣机工作原理，我们可以运用数学建模的方法来分析洗衣机的节水性能。
起首，我们可以建立一个洗衣机节水模型。
假设洗衣机每次清洗的衣物量为Q（千克），每次清洗所需的水量为W（升），那么洗衣机的节水效率（E）可以定义为：节水效率 = 1 - W / (Q * V)，其中V表示洗衣机的内筒容量（升）。
通过这个模型，我们可以计算出洗衣机使用一次千克的衣物所需的平均水量。
在实际测量中，我们发现不同洗衣机型号和品牌的节水性能存在差异。
这是因为洗衣机的设计结构、清洗工艺以及水流控制等因素都会影响洗衣机的节水性能。
因此，在对洗衣机进行节水评估时，我们需要思量这些因素，并给出相应的评注。
评注可以接受数值化表达，例如可以将节水性能分为级别，给出相应的得分。
这样可以提供给消费者在采购洗衣机时进行参考，选择更加节水的型号。
除了数学建模和评注之外，我们还可以实行其他措施来提高洗衣机的节水性能。
例如，通过改进洗衣机的工艺和水流控制技术，降低每次清洗所需的水量。
此外，提高洗衣机的内筒容量，可以在一次清洗中洗更多的衣物，从而实现更高的节水效果。
另外，我们还可以通过优化洗涤剂的配方和使用方法，提高洗涤效果，缩减对屡次洗衣的需求，从而节约水资源。
数字建模 节水洗衣机问题
10
5.0386
0.5386
不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数, 最少总用水量和每一轮的最优 用水量(各轮的最优用水量恰好相等)
Q
n
0.99 2
∑vk 1.9563
vk 0.9782
备注
0.95 3
2.8421
0.9497
0.90 4
3.6540
0.9135
0.85 4
3.8690
0.9673
0.80 5
n lg
lg(1 Q)
当ε、Q给定后，由上式就可确定最小洗衣轮数N0，下表给出了一些 N0-Q之间的关系
Q
0.99 0.95 0.90 0.85 0.80 0.70 0.60 0.50
ε=10-3
2
3
3
4
5
6
8
10
N0 ε =10-4
2
4
4
5
6
8
10 14
2、数据模拟检验
基于常识给出如下实验数据
U
[1 Q(1 c )
L k]
x x k1
k
H L
Uk
所以优化模型为：
n1
min U k k 0
U s.t
n1
[1 Q(1
C)
L
k ]
U k 0
H L
k
其中 代表对洗净效果的要求，0 1
若令
vk
Uk L H L
n1
min vk k 0
则优化模型可化为更 为简洁的形式
s.t
n1
1 Qv vk kUHk 0LL
1996年全国大学生数学建模竞赛题B：节水洗衣机问题
我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中 占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水 十分重要，假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为： “加水——漂水——脱水”。请为洗衣机设计一种程序（包括 运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定洗涤效果的条 件下，总用水量最少，选用合理的数据进行计算，对照目前常 用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。
全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结
邯郸学院本科毕业论文题目全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨学生柴云飞指导教师闫峰教授年级2009级本科专业数学与应用数学二级学院数学系（系、部）邯郸学院数学系2013年6月郑重声明本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．毕业论文作者（签名）：年月日全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨摘要全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．关键词：数学建模竞赛统计学方法数学规划图论Commonly Used Modeling Method ofChina Undergraduate Mathematical Contest in ModelingChai yunfei Directed by Professor Yan fengABSTRACTThe China undergraduate mathematical contest in modeling has been attention by more and more people as a basic subject of the largest national college competition. The method of modeling competition has become more and more important. Open questions gradually increased with the development of competition. Most of the games can be solved by lots of solutions. Sometimes these methods can be used together. And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players. The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory目录摘要 (I)英文摘要 (II)前言 (1)1微分方程与差分方程建模 (2)1.1微分方程建模 (2)1.1.1微分方程建模的原理和方法 (2)1.1.2微分方程建模应用实例 (3)1.2差分方程建模 (4)1.2.1 差分方程建模的原理和方法 (4)1.2.2 差分方程建模应用实例 (5)2数学规划建模 (5)2.1线性规划建模的一般理论 (6)2.2线性规划建模应用实例 (7)3统计学建模方法 (8)3.1聚类分析 (8)3.1.1 聚类分析的原理和方法 (8)3.1.2 聚类分析应用实例 (8)3.2回归分析 (9)3.2.1 回归分析的原理与方法 (9)3.2.2 回归分析应用实例 (10)4图论建模方法 (10)4.1两种常见图论方法介绍 (11)4.1.1 模拟退火法的基本原理 (11)4.1.2 最短路问题 (11)4.2图论建模应用实例 (12)5小结 (13)参考文献 (13)致谢 (14)前言全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如2003年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；2001年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如2004年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用．1 微分方程与差分方程建模在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程. 建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A 题“最优捕鱼策略”，1997年A 题“零件参数设计”，2003年A 题“SARS 的传播”，2007年A 题“中国人口增长预测”，2009年A 题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．1.1 微分方程建模1.1.1 微分方程建模的原理和方法一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量1v 注入该容器浓度为1c 的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以2v 的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．解 注意到溶液浓度=溶液体积溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积变化而发生变化．不妨设t 时刻容器中溶质质量为()t s ，初始值为0s ,t 时刻容器中溶液体积为()t v ，初始值为0v ，则这段时间()t t t ∆+,内有⎩⎨⎧∆-∆=∆∆-∆=∆t v t v V t v c t v c s 212211， （1） 其中1c 表示单位时间内注入溶液的浓度，2c 表示单位时间内流出溶液的浓度，当t ∆很小时，在()t t t ∆+,内有≈2c =)()(t V t s tv v V t s )()(210-+. （2） 对式（1）两端同除以t ∆，令0t ∆→，则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00212211)0(,)0(V V s s v v dtdV v c v c dt ds . （3） 即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段t ∆去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．常用微分方程建模的方法主要有：（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元t ∆，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．（3）近似模拟法．在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．1.1.2 微分方程建模应用实例例1.2（2003年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A 题） SARS 传播的预测． 2003年爆发的“SARS ”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS 的传播建立数学模型：（1）对SARS 的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS 对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析. 传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S ，感病者I ，移出者R 三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=-=NR I S hI dt dR hI kIS dt dI kISdt dS ， 利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为I hI kNI dtdI λ=-=， 其中h kN -=λ，其解为t e I t I λ-=0)(.其中0I 为初始值．但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS 的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS 疫情控制提出的相应建议．1.2 差分方程建模1.2.1 差分方程建模的原理和方法差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．建立差分方程模型一般要注意以下问题：（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．1.2.2差分方程建模应用实例例1.3（2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.2 数学规划建模数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．在1993年A 题“非线性交调的频率设计”，1993年B 题“足球队排名”，1995年A 题“飞行管理问题”，1996年B 题“节水洗衣机”，1997年A 题“零件的参数设计”，1998年A 题“一类投资组合问题”，1999年B 题“钻井布局”，2001年B 题“公交车调度问题”，2002年A 题“车灯线光源的优化”，2006年A 题“出版社书号问题”，2007年B 题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．2.1 线性规划建模的一般理论线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．优化模型的一般形式为:()m ax m in 或 ()x f z = (4)().0..≤x g t s ()m i ,,2,1 = (5)()()12,,T n x x x x =，.由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．()x f 称为目标函数，()0g x ≤称为约束条件．在优化模型中，如果目标函数()x f 和约束条件中的()g x 都是线性函数，则该模型称为线性规划．建立实际问题线性规划模型的步骤如下：（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．2.2线性规划建模应用实例例2.1（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以4CD为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如25~35岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个25岁,45~~14岁,35治疗阶段（如1020周，4030周），构造16个决策单元．取4~~~~0周，2010周，30种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的4CD值的比值为输出.CD值与开始治疗时4然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有2514岁的年4种轻患者，才能在治疗的最~后阶段仍然有有效的疗法．随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法．3 统计学建模方法在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．如2004年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，2004年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，2007年A题“人口增长预测问题”，2008年B题“大学学费问题”，2012年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．3.1聚类分析3.1.1聚类分析的原理和方法该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）．通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：（1）首先把每个样本自成一类；（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例例3.1（2012年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．3.2回归分析回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．3.2.1回归分析的原理与方法回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．回归分析的主要步骤为：（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．（2）解出回归系数．（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．3.2.2回归分析应用实例例3.2（2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．问题求解过程分析由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法3~1用一次模型较优，且一次项系数为负，即4CD在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即4t左右达到最大．可以通过4条回归CD先增后减，在20曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异．4 图论建模方法图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，2007年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广泛的应用．因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视．同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法．图论问题算法很多，包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等．。
五年级上册学林试卷照片【含答案】
五年级上册学林试卷照片【含答案】专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪种动物属于哺乳动物？A. 青蛙B. 猫C. 鲨鱼D. 蜗牛2. 地球自转的方向是？A. 自西向东B. 自东向西C. 自南向北D. 自北向南3. 下列哪种物质是导体？A. 玻璃B. 水C. 铜线D. 木头4. 下列哪个国家位于南半球？A. 中国B. 美国C. 巴西D. 俄罗斯5. 下列哪种植物可以进行光合作用？A. 蘑菇B. 草坪C. 贝壳D. 铁树二、判断题（每题1分，共5分）1. 鸟类是卵生动物。
（）2. 地球是太阳系中的第九大行星。
（）3. 盐水是导体。
（）4. 澳大利亚位于北半球。
（）5. 植物的根只吸收水分和养分。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 地球上的水循环包括蒸发、降水和______。
2. 人体最大的器官是______。
3. 植物进行光合作用时，会释放出______。
4. 动物细胞和植物细胞都有的结构是______。
5. 电流的单位是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述地球自转和公转的区别。
2. 什么是光合作用？请简要说明。
3. 请解释一下什么是生态平衡。
4. 简述电路的基本组成部分。
5. 请解释一下相对湿度的概念。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 如果一个物体的质量是5kg，受到的力是10N，请计算它的加速度。
2. 在一个三角形中，两个角的度数分别是45度和90度，请计算第三个角的度数。
3. 一个长方体的长、宽、高分别是2cm、3cm和4cm，请计算它的体积。
4. 如果一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，请计算它行驶100公里需要多少时间。
5. 一个班级有20名学生，其中有10名男生和10名女生，请计算男生和女生各自占班级总人数的百分比。
六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析一下为什么地球会有四季变化。
2. 请分析一下为什么植物需要进行光合作用。
七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请设计一个简单的电路，包括电源、开关、导线和灯泡。
2019如何建立一个数学模型.ppt
例2.4：AMCM-89A题要求对蠓虫加以分类。 在采用概率判别方法建模之前，作了如下假设：
1、两类蠓虫的触角与翅膀长度的总体均值、标准差
和相关系数与学习样本所能反映的值是相符的， 2、触角长度x和y服从二维正态分布
这两条假设为从概率论的角度对蠓虫进行分类提供了根据，
由于统计方法的应用必须建立在对大量样本进行分 析的基础上，而我们面临的问题是，题中所给的数 据（15个学习样本）太少，因此优秀论文作者清醒 指出，这些假设未必一定可靠，这显示了他们对实 际问题及所用方法的深刻见解，
根据赛题的实际情况，对建立的模型作出合 理的简化是解决问题的关键。
例4.1 CMCM-98B
根据题意，得到购买Si的金额为xi的交易费为
0, xi 0 ci ( xi ) pi ui ,0 xi ui p x ,x u i i i i
但因M相当大，Si若被选中，其投资额xi一般都超过ui， 交易费可简化为
如何建立一个完整的数学模型
仇秋生
数理信息工程学院
一个完整的数学建模过程主要由三部分组成： 1、用适当的数学方法对实际问题进行描述 2、采取各种数学和计算机手段求解模型 3、从实际的角度分析模型的结果，考察其是否合理、 是否具有实际意义？
一、模型准备
了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征
（3）统计分析模型
如AMCM-89A可以用统计学中的Fisher判别法对蠓虫 加以分类。 （4）插值与拟合模型 这是离散数据连续化处理时常用的方法。如 AMCM-86A题海底地形的描绘，AMCM-91A水塔水流 量的估计等。
（5）其它。如计算机模拟，神经网络等。
方法总结：
用的最多的方法是：微分方程、优 化化方法和概率统计的方法. 插值与拟合，随机模拟在数据处理时 很有必要。 灰色系统理论、神经网络、模糊数学 经常被乱用。 层次分析只能做半定量分析
11535-数学建模-1996年B题《节水洗衣机》题目、论文、点评
1996年B题《节水洗衣机》题目、论文、点评“节水洗衣机”问题数学建模及若干评注付鹂对“节水洗衣机”问题进行了分析,建立了—种数学模型,展示了相应的分析和求解方法,结合1996年全国大学生建模竞赛情况作了若干评注。
_节水洗衣机_问题数学建模及若干评注.pdf (301.37 KB)节水洗衣机的设计韩春生,杨黎明,苟林根据全自动洗衣机在放入衣物和相应洗涤剂后,洗衣机“加水—漂洗—脱水”的循环运行过程,在分析了洗衣机内衣物与水对洗涤剂的吸附与溶解的平衡关系后,推导出了洗衣机“加水—漂洗—脱水”一轮后衣物上残留洗涤剂与加水量的数学关系。
并证明了在总用水量和轮数一定时,各轮加水量相等时,洗涤效果最佳(最后一轮残留洗涤剂最少)的结论,从而能用较简单的计算机程序,解出在满足一定洗涤效果的条件下总用水量最少时,洗衣机需运行的轮数和每轮加水量,最后,选用一些衣物参数进行了计算和结果分析,并对模型的应用前景作了初步探讨。
节水洗衣机的设计.pdf (152.89 KB)关于洗衣机节水的数学模型赵星涛,洪太海,欧阳雷本文从实验出发,得出了两个重要的认识。
一是提出了评价洗衣机洗涤效果的定量标准—漂洗水的浊度;二是发现衣物在脱水过程中对水中悬浮物的明显的过滤效应。
计入过滤效应,对漂洗水浊度的变化过程建立了数学模型,并按浊度标准,计算了一般洗衣机达到洗净程度时所需的最少水量及工作循环次数。
结论是,对于一般赃的衣物只须漂洗两遍,每遍加水量相等,都略少于洗衣机的最低加水量,本文的结论及提出的洗涤效果判据和过滤效应,对于实际洗衣机的设计与改进有积极的意义。
关于洗衣机节水的数学模型.pdf (263.86 KB)洗衣机的节水优化模型张斌珍,何继青,莫展本文通过分析洗衣机的洗衣过程,认为是一次性溶解、多次稀释的过程。
据此建立动态规划模型,并利用迭代公式和最优化原理,得出最少用水量的判断公式和代数解,以海棠洗衣机为例,通过对比,利用我们的模型算出的用水量比厂家提供的数据要小,从而说明所建模型的优越性。
最经典的的数学建模竞赛题-节水洗衣机
另一方面，总用水量最小：
优化 模型
模型 简化
n
min uk k 1
s.t. xn
x0 L uk H
表示对洗净效果的要求
分析与 1、最少洗衣轮数 求解
由优化模型的条件中，定义函数： 显然
由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到：
若考虑Q的值不大于0.99（见6注记）而C/H代表脱水后 衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级应是很小的， 所以
Q
1Q
vk n
2 0.99 1.95623
3 0.95 2.72733
4 0.85 3.32149
5 0.80 3.78159
6 0.70 4.14461
7 0.60 4.43581
8 0.50 4．617032
9
4.8714
10
5.0386
vk (k=0,1,2…,n-1)
备注
vk
vk (k=0,1,2…,n无 -1)解 备注
取最小的整数即为最少洗 移轮数
2、算法
可选用一种非线性规划算法，对n=N0 , N0+1, …(凭常 识洗衣的轮数不应太多，比如可取N=10)分别求解，然后选 出最好的结果，其中N0是满足上面两式的最小整数。注意 不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。
5. 模型结果
表-1最溶解率Q=0.99时不同洗衣轮数n下的最少总用水法量 和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）表-2 是不同溶解率Q值下的最优洗衣轮数，最少总用水量和每一 轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）
10.9.9576832 0.9782
n=2 为最优解
20.8.940211 0.9474
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
数学建模及其论文写作(kzl)
数学建模
利用数学方法解决实际问题的一种实践. 利用数学方法解决实际问题的一种实践.指对于现实 世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的 为了一个特定的目的,运 世界的某一特定系统或特定问题 为了一个特定的目的 运 数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述 通过抽象和简化 用数学的语言和方法 通过抽象和简化 建立一个近似描述 这个系统或问题的数学结构 数学模型), 数学结构(数学模型 这个系统或问题的数学结构 数学模型 然后运用运用适当 数学工具及计算机技术进行求解 进行求解. 的数学工具及计算机技术进行求解.
A题 锁具装箱 一个飞行管理问题 最优捕鱼策略 零件的参数设计 投资的收益与风险 自动化车床管理 煤 矸 石 堆 积(C题) DNA序列分类 飞越北极(C 题 ) 血管的三维重组 基 金 使 用 计 划(C题) 车灯线光源的优化设计 车灯线光源的计算(C题)
B题 天车与冶炼炉的作业调度 节水洗衣机 截断切割 灾情巡视路线 钻井布局 钻 井 布 局(D题) 钢管订购与运输 空 洞 探 测(D题) 公交车调度 公 交 车 调 度(D题) 彩票中的数学 赛 程 安 排(D题) 露天矿生产的车辆安排 抢 渡 长 江(D题) 电力市场的输电阻塞管理 公务员招聘(D题)
2003年 2004年
SARS的传播 SARS的传播 (C题) 奥运会临时超市网点设计 饮洒驾车(C题)
什么是数学建模? 什么是数学建模?
汤圆(饺子) 汤圆(饺子)模型
同样的面粉,饺子是包多一些还是包大一些能够包更多的馅 同样的面粉 饺子是包多一些还是包大一些能够包更多的馅? 饺子是包多一些还是包大一些能够包更多的馅 模型假设: 模型假设 (1)饺子皮厚度相同 饺子皮厚度相同 (2)饺子皮形状相同(可近似圆形) 饺子皮形状相同(可近似圆形) 饺子皮形状相同 问题转化: 现考虑将这些面粉碾成一个大饺子皮,将其分 问题转化 现考虑将这些面粉碾成一个大饺子皮, 个小饺子皮时,它们所能包的馅的比较 成n (n>1)个小饺子皮时 它们所能包的馅的比较 个小饺子皮时 它们所能包的馅的比较??
第一章 统计建模
聚类分析
聚类分析是一种数值分类方法。所研究的样 本或者变量之间存在程度不同的相似性，要 求设法找出一些能够度量它们之间相似程度 的统计量作为分类的依据，将相似程度大的 样本聚合为一类，把另外一些彼此之间相似 程度大的样本聚合为另外一类⋯⋯关系密切 的聚合到一个小的分类单位，关系疏远的聚 合到一个大的分类单位，直到把所有样品都 聚合完毕，把不同的类型一个个划分出来， 形成一个由小到大的分类系统。
判别分析
判别分析是在已知研究对象分成若干类型（或 组别）并已取得各种类型的一批已知样品的观 测数据，在此基础上根据某些准则建立判别式， 然后对未知类型的样品进行判别分类。对于聚 类分析来说，一批给定样品要划分的类型事先 并不知道，正需要通过聚类分析来给以确定类 型的。正因为如此，判别分析和聚类分析往往 联合起来使用，例如判别分析是要求先知道各 类总体情况才能判断新样品的归类，当总体分 类不清楚时，可先用聚类分析对原来的一批样 品进行分类，然后再用判别分析建立判别式以 对新样品进行判别。
第三部分
往年试题分析
历年来的CUMCM题
1992年A题：施肥效果分析 B题：实验数据分解 1993年A题：非线性交调的频率设计 B题：足球队排名次 1994年A题：逢山开路 B题：锁具装箱 1995年A题：一个飞行管理问题 B题：天车与冶炼炉的作业调度
第二部分
统计学基础知识简介
统计学基础知识简介
统计是“认识社会的最有力的武器之 一”——列宁 什么是统计学？
一封统计学博士的情书
亲爱的莲： 我们的感情，在组织的亲切关怀下、 在领导的亲自过问下，一年来正沿着健康 的道路蓬勃发展。这主要表现在： （一）我们共通信121封，平均3.01天一 封。其中你给我的信51封，占42.1%； 我给你的信70封，占57.9%。每封信平 均1502字，最长的达5215字，最短的也 有624字。
数学建模经典习题
(5)
其中 A ( H L) / C B( H / L 1), B L / C
2.4：节水洗衣机
分析与求解
第k轮的洗净效果为
I. 最少洗衣轮数
xk 1 Qvk 1 Qvk xk Avk B 0 vk 1 k 0,1, 2,, n 1
uk L vk 为离散的变量！ H L
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
5 6
6 8
8 10
10 14
104
2.4：节水洗衣机
分析与求解
II. 算法
选用一种非线性规划算法，
对 n N0 , N0 1, N0 2,, N 分别求解;
N 0 是满足(6)式或(7)式的最小整数.
选出最好的结果.
凭常识洗衣的 轮数不应太多 比如可取N 10
注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
0
bt2 t12 2t12 B(t )dt 2 2 2(x )
节水洗衣机-数学建模
节水洗衣机-数学建模节水洗衣机摘要目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。
假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水。
本文中通过建立数学规划模型，计算在某种情况下洗衣机的最少用水量，并为洗衣机设计一种运行程序，其中包括运行多少轮和加水量等，使得在满足一定洗涤效果的条件下，洗衣机洗衣总用水量最少。
然后经过系列的变量替换等操作优化数学模型，让过程更加简方便计算和操作。
最后选用合理的数据进行计算，并对照目前常用的洗衣机的运行情况，对此模型和结果作出评价。
关键词:洗衣机用水;数学规划;优化模型backbone, County standing when Lieutenant, guerrilla activity behind enemy lines in the water zone of Wujiang County border. In early 1940, Chang Shen Liqun sectors Yu Qingzhi is appointed to three district and three enemy Guard Captain. Yu assumed office, the positive innovation governance, establishing information line, master puppet performance. Three目录1问题分析 (1)1.1 背景意义和构想 (1)1.2洗衣机的基本原理和过程 (1)1.3 “节水洗衣机”要点分析.....................................................................1 2问题建模 (2)2.1 基本假设………………..…………………………………………………………. .22.2 变量定义 (2)2.3模型建立 (3)2.4 优化模型........................................................................................3 3分析与求解. (4)3.1最少洗衣轮数 (4)3.1算法 (5)3.1实例验证...........................................................................................5 参考文献 (6)backbone, County standing when Lieutenant, guerrilla activity behind enemy lines in the water zone of Wujiang County border. In early 1940, Chang Shen Liqun sectors Yu Qingzhi is appointed to three district and three enemy Guard Captain. Yu assumed office, the positive innovationgovernance, establishing information line, master puppet performance. Three节水洗衣机1 问题分析1.1 背景意义与构想我国淡水资源有限，节约用水人人有责，洗衣在家庭用水中占有相当大的份额;目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。
节水洗衣机模型简介
❖ 问题的提出 ❖ 假设和定义 ❖ 建立模型 ❖ 分析和求解 ❖ 仿真 ❖ 结论和讨论
1 问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗 衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗 衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水漂水-脱水〔称“加水-漂水-脱水〞为运行一 轮〕。请为洗衣机设计一种程序〔包括运行多 少轮、每轮加多少水等〕，使得在满足一定洗 涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的 数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行 情况，对你的模型和结果作出评价。
0
问题大为化简。尚未找到一种简明的方法来证明〔或
否认〕此猜测。
附注：这是1996年全国大学生数模 竞赛B题的参考答案，从假设、 建模、到结果分析都给参赛者 留下较大的创新余地！
因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动〕，
当
时u k
最H大〔pk这里假设
＝ pk
Qxk ,0 ，Q其 1中
称为Q ‘溶解率’〕因此简单地选择线性关系表示这
种溶解特性则有：
pk
Qxk
uk H
L L
〔3.1.2〕
在第 k 轮脱水之后，衣服上尚有脏物
q k
x k
p k
。有脏水C
，其中脏水C
中
含有脏物量为C pk
而x 是初始脏物量，故 0
xn
/
x0反映了洗净效果。由
系统动态方程〔3.1.4〕可得：
x n
n1
[1
Q(1
Cu )k
L]
x0
k 0
uk H L
〔3.2.1〕
数学专业毕业论文开题报告--最优化方法在数学建模中的应用
题 目
最优化方法在数学建模中的应用
题目类型
囗理论研究 应用研究 囗设计开发 囗其他
命题来源
教师命题囗学生自主命题囗教师科研课题
拟完成时间
2009年5月22日
一、选题依据及意义（不少于300字）
人们在工业、农业、交通运输、经济管理、国防的诸多领域经常遇到最优化的问题，例如，最优计划、最佳设计、最优分配、最佳管理、最优决策等最优化问题。而解决这些问题常常要寻求最佳的求解方法，也就是说要在物力、人力、财力一定的条件获得的收益最大，或者在任务一样的条件下，所需要的物力、人力、财力等资源最少。从数学角度来说最优化方法就是一种求极值，即求最大值和最小值的方法。目前，最优化方法在数学建模中应用广泛,受到广大数学建模工作者的重视.但将两者结合起来系统地研究得不多，即对于什么样的问题应该采用什么样的最优化方法整体的研究得不多。因此，让数学建模者能够更加清楚对于什么样问题可以运用最优化方法，明白最优化方法在数学模型中的基本模型，结合历年数学建模赛题系统地总结最优化方法在数学建模中的应用，对提高数学建模能力很有必要，对数学建模的构造思想和方法具有一定的借鉴指导意义。
此外，还有整数规划模型、静态规划模型、二次规划模型、几何规划模型等许多在数学建模中经常用到。
以上各种研究，在一定程度上反映了最优化方法是数学建模中最常用的建模方法之一。然而关于数学建模与最优化方法两者结合起来系统地研究的文献较少，而数模参赛者对最优化方法了解不深。基于最优化方法在数学建模中的重要地位，为了帮助数学建模初学者高效应用最优化方法建模，本文通过对历年数学建模竞赛优秀论文的模型构造，方法进行系统总结最优化方法在数学建模中的应用，使其能够更加清楚对于什么样问题可以运用最优化方法，明白最优化方法在数学模型中的基本模型，对提高他们的数学建模能力提供一种有益的借鉴。
节水洗衣机问题数学建模
1996年全国大学生数学建模竞赛B题节水洗衣机问题数学建模1.原问题我国淡水资源有限节约用水人人有责洗衣在家庭用水中占有相当大的份额目前洗衣机已非常普及节约洗衣机用水十分重要假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为加水漂水脱水加水漂水脱水…加水漂水脱水称加水漂水脱水为运行一轮请为洗衣机设计一种程序包括运行多少轮每轮加水量等使得在满足一定洗涤效果的条件下总用水量最少选用合理的数据进行计算对照目前常用的洗衣机的运行情况对你的模型和结果作出评价2问题剖析2.1节水洗衣问题不论人工洗衣还是洗衣机洗衣都存在节水问题显然若用水量为零则衣服肯定洗不净若用水量为无穷大则肯定浪费水因此必然存在刚好洗净衣物的最少用水量机器能够比人更精确地控制洗衣过程所以提出节水洗衣机问题2.2洗衣机的基本原理和过程洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中通过脱去污水而带走污物溶污物脱污水是由两个根本要素构成的一个元动作无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的洗衣的过程就是通过加水来实现上述溶污物脱污水动作的反复执行使得残留在衣物上的污物越来越少直到满意的程度通常洗衣要加入洗涤剂它帮助溶解污物但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西因此污物应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和有了这种认识后我们就可以统一地处理洗涤即通常加洗涤剂的首轮洗衣和漂洗即通常的以后各轮洗衣不再加洗涤剂但水中还有剩余洗涤剂把二者都看作溶污物环节脱污水在洗衣机中通常称为脱水常由排水和甩干两个步骤组成2.3 节水洗衣机要点分析立足于溶污物脱污水这种基本原理我们可以找出节水洗衣机问题的基本要点如下1污物的溶解情况如何我们将用溶解特性来刻划2每轮脱去污水后污物减少情况如何这将由系统的动态方程表示3如何设计由一系列溶污物脱污水构成的节水洗衣程序这将通过用水程序来反映也是我们最终需要的结果3节水洗衣机问题建模3.1基本假设1) 仅考虑离散的洗衣方案即加水溶污物脱污水以下称为加水洗涤脱水三个环节是分离的这三个环节构成一个洗衣周期称为一轮2) 每轮用水量不能低于L 否则洗衣机无法转动用水量不能高于H 否则会溢出设L<H3)每轮的洗涤时间是足够的以便衣物上的污物充分溶入水中从而使每轮所用的水被充分利用4 )每轮的脱水时间是足够的以使污水脱出即让衣物所含的污水量达到一个低限设这个低限是一个大于0的常数C 设C<L注 除首轮外每轮的用水量实际上包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量即残留水被自然地利用了 32变量定义1设共进行n 轮加水洗涤脱水的过程依次为第0轮第1轮第n-1轮2第k 轮用水量为u k k =012n-13 衣物上的初始污物量为x 0在第k 轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为x k+1k=012n-1 33溶解特性和动态方程第k 轮洗涤之后和脱水之前第k-1轮脱水之后的污物量x k 已成为两部分x k =p k +q k ,k=012n-1, (3.3.1) 其中p k 表示已溶入水中的污物q k 表示尚未溶入水中的污物量p k 与第k 轮的加水量u k 有关总的规律是u k 越大p k 越大且当u k =L 时p k 最小=0因为此时洗衣机处于转动临界点有可能无法转动该轮洗衣无效当u k =H 时p k 最大=Qx k 0<Q<1,其中Q 称为溶解率因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有LH L u Qx p k k k −−= (3.3.2) 在第k 轮脱水之后衣物上尚有污物q k =x k -p k 有污水C 其中污水C 中所含污物量为p k /uk C 于是第k 轮完成之后衣物上尚存的污物总量为k k k k k u p Cp x x +−=+)(13.3.3 将 3.3.2代入上式并整理后得系统动态方程.1,,2,1,0 ,111−=−− −−=+n k L H L u u C Q x x k k k k K (3.3.4) 3.4优化模型由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量而x 0是初始污物量故x n /x 0反映了洗净效果由系统动态方程 3.3.4得,11100 −−−−=∏−=L H L u u C Q x x k k n k n3.4.1 又总用水量为∑−=10n k k u3.4.2于是可得优化模型如下)1,,2,1,0( ,10 ,11..min 1010−=≤≤<<≤ −−−−∏∑−=−=n k H u L L H L u u C Q t s u k n k k k n k kL εε3.4.3其中代表对洗净效果的要求ε若令(3.4.5) ,)( (3.4.4) ,L v L H u LH L u v k k k k +−=−−=则 于是优化模型化为更简洁的形式1,,2,1,0 ,10 ,1..min 1010−=≤≤≤++−∏∑−=−=n k v B Av Qv Qv t s v k n k k k k n k kL ε3.4.6 其中C L B L H B C L H A =−=−= ,1 (3.4.7) 4.分析与求解4.1最少洗衣轮数定义函数10 ,1)(≤≤++−=t BAt Qt Qt t r (4.1.1) 易知1,t 0 ,01)()(2≤≤<−+=′B At B Q t r (4.1.2) 可见r(t)是区间[01]上的单调减少函数所以)1,0(1)1(min ∈+−==H QC Q r r4.1.3第k 轮的洗净效果为 1,,2,1,0 ),(1−==+n k v r x x k kk L4.1.4 由此不难得出n 轮洗完后洗净效果最多可达到n H QC Q+−14.1.5 给定洗净效果的要求则应有 εε≤+−n H QC Q 1 (4.1.6) 于是+−≥H QC Q n 1log log ε(4.1.7)设N 0为满足(4.1.7)的最小整数则最少洗衣轮数即为N 04.2算法 可采用非线性规划算法对n=N 0N 0+1N 0+2…N 凭常识洗衣的轮数不应太多比如取N=10已足够进行枚举求解然后选出最好的结果其中N 0是满足(4.1.7)的最小整数。
数学建模 节水洗衣机
数学建模节水洗衣机近年来，随着环境保护意识的提高，节水已成为一种趋势。
为此，许多研究者致力于研究如何设计一种节水洗衣机。
数学建模在研究节水洗衣机中发挥了重要作用。
本文将以数学建模的角度，介绍节水洗衣机的相关概念、原理和方法。
1. 节水洗衣机的原理节水洗衣机的原理是通过减少洗涤剂使用和优化洗涤程序来实现节水。
具体而言，它采用了以下的技术方案：（1）高效清洁技术。
通过使用高效清洁剂和配合不同风速的水流，实现高效的清洁。
（2）减少洗衣量。
减少单次洗涤量，避免浪费水资源。
（3）通过洗衣程序的调整，达到节水效果。
比如采用高速旋转，使衣物自然晾干，减少烘干次数。
2. 数学模型为了更好地实现节水，需要建立数学模型。
首先，我们需要确定优化目标，然后建立数学模型来解决问题。
（1）优化目标洗涤剂和水是实现清洁的两个重要因素，但是在实际中，它们也是造成浪费的原因之一。
因此，我们需要确定优化目标，以找到最佳的洗涤剂和水的使用方式。
在确定优化目标之后，我们可以建立数学模型。
其中，最常见的模型是线性规划模型。
通过线性规划模型，我们可以实现洗涤剂和水的最佳使用，以达到节水效果。
例如，我们可以通过线性规划模型来确定最佳的洗涤剂使用量和水的使用量，以达到清洁效果最好的同时，最大限度地减少水的使用。
3. 研究方法为了验证数学建模的有效性，我们需要采用实验方法来对其进行验证。
例如，可以通过对洗涤剂的浓度、清洁剂的种类和其他因素进行测试来获取实验数据。
然后，将这些实验数据应用于建立的数学模型中，计算最佳的洗涤剂和水的使用量，以确定节水效果。
在研究节水洗衣机的过程中，可以采用多种方法进行实验验证。
例如，可以采用洗涤机的实验样机进行实验，以明确优化目标以及验证数学模型的正确性。
4. 结论综上所述，数学建模是研究节水洗衣机的一种有效方法。
通过建立数学模型来解决清洁效果和节水效率之间的平衡关系，可以有效地为节约水资源做出贡献。
未来，我们可以进一步探讨和应用数学建模的方法来推进环保事业的发展。
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问题的分析
1、若用水量为0，显然洗不净衣物；若用水量无 穷大，则肯定浪费水；所以必然存在刚好“洗 净”衣物的“最少”用水量。
2、洗衣要加入洗涤剂，因此“污物”是衣服原 有污物和洗涤剂的总和。所以洗衣机的基本原 理是“溶污物+脱污水”。
服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个
大于0的常数 C，并由于脱水时不另加水故 CL
Mathematical Modeling，ECUST，2004
2.2 变量定义
1) 设共进行 n 轮“加水-洗涤-脱水”的过程，依次
为第0轮，第1轮，…，第n1 轮
2) 第 k轮用水量为u k(k 0 ,1 , ,n 1 ) 3) 衣服上的初始脏物为x 0 ，在第k轮脱水之后的脏
“节水洗衣机”问题数学建模
❖问题的提出 ❖假设和定义 ❖建立模型 ❖分析和求解 ❖结论和讨论
Mathematical Modeling，ECUST，2004
1 问题的提出
我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗 衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗 衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。 假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程 为：加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一 轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多 少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗 涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的 数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行 情况，对你的模型和结果作出评价。
其中：A H L B(H 1), B L
C
L
C
(3.2.6) (3.2.7)
Mathematical Modeling，ECUST，2004
4 分析与求解
• 4.1 最少洗衣轮数
• 定义函数 r(t)1Q t Q t ,(0t1)
•
A tB
（4.1.1）
• 易知 •
r(t)Q (At BB)21 0,(0t1 （) 4.1.2）
2.1 基本假设 1) 仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清
水进行下一次漂洗。
2) 每次洗漂加水量不能低于 L，否则洗衣机无法转动；
加水量不能高于 ，H否则会溢出。设 LH
3) 每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分
溶入水中从而使每次所加的水充分利用
4) 脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣
在第 k轮脱水之后，衣服上尚有脏物由两部分
组成：一是尚未溶入水中的脏物量 q k ，二
是衣服里所含脏水中溶解的赃物C
p k
uk
于是第 k 轮完成之后衣服上尚存的脏物C总量为：
xk1qkCu pk k(xkpk)Cu pk k
（3.1.3）
将（3.1.2）代入上式整理后得系统动
态方程：
x k 1 x k[1 Q (1 u C k)u H k L L ](k 0 ,1 ,2 ,.n .).（, 3.1.4）
• 可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数，所以
•
r r(1 )1Q Q C (0,1 ) （4.1.3）
min
H
• 第k轮的洗衣效果为（由3.1.4式可知）
• •
xk 1 x
r(vk)(k0,1 ,2, n1 )（4.1.4）
k
Mathematical Modeling，ECUST，2004
• 由此不难得出n轮洗完后洗净效果最多可达到
3.1 溶解特性和动态方程
当
u k
H时， p k 最大（
这里假设
pkQxk,0Q1，
其中 Q 称为‘溶解率’）。
综上所述，简单地选择线性关系表示这种溶解特
性则有：
pk Qxk uHk LL
（3.1.2）
பைடு நூலகம்
现在想建立xk+1与xk之间的关系式？
Mathematical Modeling，ECUST，2004
附注：这是1996年全国大学生数模 竞赛B题的参考答案，从假设、 建模、到结果分析都给参赛者 留下较大的创新余地！
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物量为 xk 1(k0,1, n1)
说明：除首轮外，每轮用水量实际包括该轮
加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量。
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3 建立模型
3.1 溶解特性和动态方程
在第 k轮洗漂之后和脱水之前（第k1轮脱水之后）
脏物量x k 变成了两部分：
x k p k q k（ k 0 , 1 , 2 , n 1 ) （3.1.1）
• 比如 C 小于万分之一，则有**式。
H
Q / H C / C H 1 4 , 1 Q 0 1 0 . 9 1 2 9 0 (4.1.9) 这样最少洗衣轮数的估计值为：
nN0
[ log ]1
log(1Q)
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4.2 算法
•
在求出最少洗衣轮数后，对于n N ,N 1 ,N 2 , ,N
00
0
（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取 N10），
选用一种非线性规划算法，分别求解，然后选出最 好的结果。注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
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其中 p k 表示已溶入水中的脏物量，q k 表示尚未溶入水
中的脏物量。p k与第k轮的加水量u k 有关，总的规律
应是，u
k
越大p k
越大，且当u k
L时，p k 最小（＝0，
因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法动）。
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3 建立模型
Mathematical Modeling，ECUST，2004
3.2 优化模型
由于x n 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物
量，而x 0
是初始脏物量，故
x n
/
x0反映了洗净效果。
由系统动态方程（3.1.4）可得：
xnn 1 [1Q (1C )ukL ]
x k 0
u H L
0
k
此时总用水量为：n1 u k 0
k
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3.2 优化模型
于是可得优化模型如下：
n1
min f (u) uk ,其中 代表对洗净效果的要求 k 0
s.t. n1 [1 Q(1 C ) uk L] （0 1）
k 0
uk H L
L uk H (k 0,1, 2,..., n 1)
[1QQC]n H
• 给定洗净效果的要求，则应有
[1QQC ]n
H
• 于是有
nlog1(loQgQC)
H
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• 若的考尚虑存水的量值与不最大高于水0量.99之。比而，HC 其代数表量脱级水是后很衣小服的上，
所以
1QQC1Q H
（4.1.8）
5 结论和讨论
基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结 论： 1）最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。 2）每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少 用水。 3）设法增加溶解率 Q 可以成倍地节约用水。如适当延长洗 漂时间，选用好的洗涤剂等。
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3、因此，“节水洗衣机”问题的基本要点是： （1）污物的溶解情况如何？需用“溶解特性”
刻画。 （2）每轮脱去污水后污物减少情况如何？需用
系统的动态方程表示。 （3）问题的目标是什么？（最少的用水量）约
束条件又是什么？（一定程度的干净）
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2 假设和定义
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•
若令：vk
uk L HL
(3.2.4)
uk (HL)vk L
(3.2.5)
• 则优化模型变成为更简洁的形式：
n1
min f (v) vk
k0
s.t.
n1
(1Qvk
k0
Qvk ) Avk B
0 vk 1 (k 0,1,2,,n1)