(完整版)三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线

知识梳理

知识点一中点

一、与中点有关的概念

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且

平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一

半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形

、与中点有关的辅助线

方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的

目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一

解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口

方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现 两个等腰三角形，从而转化线段关系。

常见考点

构造三角形中位线 考点说明： ① 凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取 四边形对角线中点 、 等腰三角形底边中点、直角 三角形斜边中点或其他线段中点 ;

题中有中点，莫忘中位线 ”．与此很相近的几何思想是 “题中有中线，莫忘加倍延 ”，这两个是常用几何思 想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 其他位置的也要能看出

其他位置的也要能看出

典型例题

2 AE ．

例1】已知：AD 是△ ABC 的中线，AE 是△ ABD 的中线，且AB BD ，求证：

AC

举一反三

1. 如右下图，在ABC中，若 B 2 C，AD BC，E为BC 边的中点．求证：AB2DE ．

D E

1

2. 在ABC中，ACB 90 ，AC 2BC ，以BC为底作等腰直角BCD ，E是CD 的中点，求证：AE EB 且AE BE ．

例2】已知四边形ABCD 的对角线AC BD，E、F 分别是AD 、BC的中点，连结EF分别交AC、BD 于M 、N ，求证：∠ AMN ∠BNM ．

举一反三

1.已知四边形ABCD中，AC BD ，E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M ；EF交BD于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ．

F

2.已知：在ABC中，BC AC，动点D绕ABC 的顶点A逆时针旋转，且AD BC，连结DC．过AB、DC的中点E、F 作直线，直线EF与直线AD、

（1）如图1，当点D旋转到BC 的延长线上时，

点求证：AMF BNE

（2）当点D旋转到图2中的位置时，AMF 与

BC 分别相交于点M 、N ．

N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、

HF ，

BNE 有何数量关系？请证

明．

B

例3】如图，在五边形ABCDE 中，ABC

BF EF ．

AED 90 ，BAC EAD ，F 为CD 的中点．求证：

举一反三

1.如图所示，在三角形 ABC 中， D 为AB 的中点，分别延长 CA 、CB 到点 E 、F ，使DE=DF ．过 E 、 F 分 别作直线 CA 、CB 的垂线，相交于点 P ，设线段 PA 、PB 的中点分别为 M 、N ．求证：

（1） DEM ≌ FDN ；

（2） PAE PBF ．

证： PM PN

3. 已知：在

ABC 中，分别以 AB 、 AC 为斜边作等腰直角三角形 ABM ，和 CAN ， P 是边 BC 的中点．求 F

4. 如图所示，已知ABD和ACE都是直角三角形，且ABD ACE 90，连接DE，设M 为DE

的中

点．

（1）求证MB MC ．

（2）设BAD CAE ，固定Rt ABD，让Rt ACE 移至图示位置，此时MB 的结论．MC 是否成立？请证明你

5.在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME

1）如图 1 所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是

2）如图 2 所示，若AB≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；

3）在任意△ ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 点，连接MD 和ME ，请在图 3 中补全图形，并直接判断△MED 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中的形状．

图1 图2 图3

【例4】 以 ABC 的两边 AB 、 AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰 Rt ACE ， BAD CAE 90 连接 DE ，M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点．探究： AM 与DE 的位置关系及数量关系．

；线段 AM 与 DE 的数量关系 90 ）后，如图②所示， （ 1）问中得到的 两个结论是否发生改变？并说明理由．

举一反三

1. （1）如图 1， BD 、 CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点 A 作AD BD 、AE CE ,垂足分别为 D 、E ， 1 连接 DE ．求证： DE ∥BC ，DE AB BC AC

2

（2）如图 2， BD 、CE 分别是 △ABC 的内角平分线，其他条件不变；

（3）如图 3， BD 为△ ABC 的内角平分线， CE 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变。则在图 2、图 3 两种情况下， DE 、BC 还平行吗？它与 △ ABC 三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明．

1）如图① 当 ABC 为直角三角形时， AM 与 DE 的位置关系是 2）将图①中的等腰 Rt ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转 （0 E

图① E

图②