概率统计第二章大题答案

第二章

3.设随机变量X 的分布函数为1(1), 0

() 0, 0

x x e x F x x -⎧-+>=⎨≤⎩，试求：（1）密度函数

()f x ；（2）(1)P X ≥，(2)P X <。

解：（1）

()()0 0

x xe x f x F x x -⎧>'==⎨

≤⎩（2）

2(1)1(1)1(1)P X P X F e

≥=-<=-=

，（3）

221

(2)(2)1(12)

13P X F e e

-<==-+=-7.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x Ae x R -=∈，试求：（1）常数A ；（2）

(01)P X <<。

解：（1）0

1()2x x f x dx Ae dx Ae dx A +∞

+∞--∞

-∞

==+=⎰

⎰⎰

1

2

A ∴=

（1）

1

0111

(01))22x P X e dx e -<<==-⎰

10确定常数C ，使得2()(0,1,2,3)3

k C

P X k k ===成为某个随机变量X 的分布律，

解：由条件得：11112()113927C +++=，则27

80

C =；

且( 1.2)=(0)(1)P X P X P X ≤=+=2721

(10.9803

⨯=+=.12．设~(1,16),X N -(0.5)0.6915,Φ=(1)0.8413Φ=，求(3)P X >。

解：(3)1(3)1(33)

P X P X P X >=-≤=--≤≤31131

1(

)444

X P -+++=-≤≤1[(1)(0.5)]1(1)1(0.5)0.4672=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=13．设球体的直径X 服从(2,5)上的均匀分布,求体积Y 的概率密度。

解：由于直径X 服从[2,5]上均匀分布,所以其概率密度函数为

1

,[2,5]

()30,X x f x ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其它

.

而两随机变量有316y x π=

，则其反函数为1/31/36

()(x h y y π

==，且其导数的绝对值为'

1/32/3

2()=()9h y y π

-，由性质得Y 的概率密度

1/3

2

164125(,[,]936()0,Y y y f y πππ⎧∈⎪

=⎨⎪⎩

其它18.确定常数C ，使得()(0,1,2,3)2

k C

P X k k ===成为某个随机变量X 的分布律，并求( 2.5)P X ≤。

解：由条件得：1111()11248C +

++=，则8

15

C =；且1814

( 2.5)1(3)181515

P X P X ≤=-==-⨯

=19.

设~(1,4),X N -(0.5)0.6915,Φ=(1.5)0.9332Φ=，求(2)

P X >解：

(2)1(2)1(22)P X P X P X >=-≤=--≤≤21121

1(

)222

X P -+++=-≤≤1[(1.5)(0.5)]1(1.5)1(0.5)0.3753

=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=24.设连续型随机变量X 的分布函数为()arctan F x A B x x =+-∞<<+∞

求：（1）常数A 和B；（2）X 落入（-1，1）的概率；（3）X 的密度函数()

f x 解：(1)由()0F -∞=，()1F +∞=有：0212

A B A B ππ

⎧

-=⎪⎨

⎪+=⎩解之有：12A =

，1

B π

=(2)1(11)(1)(1)2P X F F -<<=--=

(3)21

()()(1)

f x F x x π'==+34．设随机变量X 的分布函数为00()1(1)0

x

x F x x e

x -≤⎧

=⎨-+>⎩，求：

（1）(1)P X ≤，（2）(2)P X ≥，（3）X 的密度函数。

解：（1）1

1(1)(1)1(11)12P X F e

e --≤==-+=-；

（2）2

(2)1(2)1(2)3P X P X F e

-≥=-<=-=（3）由分布函数()F x 与密度函数()f x 的关系，可得在()f x 的一切连续点处有

`()()f x F x =，因此0()0

x

xe

x f x -⎧>=⎨

⎩其他

35．某人上班所需的时间(30,100)X N （单位：min ）,已知上班时间为8：30，

他每天7：50出门，求：（1）某天迟到的概率；（2）一周（以5天计）最多迟到一次的概率。

解：（1）由题意知某人路上所花时间超过40min ，他就迟到了，因此所求概率为

4030

(40)1(

)1(1)10.84130.158710

P X φφ->=-=-=-=（2）记Y 为5天中某人迟到的次数，则Y 服从5,0.1587n p ==的二项分布，5天中最多迟到一次的概率为

05

455(1)(0.1587)(0.8413)0.1587(0.8413)0.819

01P Y ⎛⎫⎛⎫≤=⨯+⨯≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

36．国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是一个随机变量，它在[2000，

4000]（单位：t ）上服从均匀分布。若每售出一吨，可获得外汇3万美元，若销售不出而积压，则每吨需保养费1万美元。问应组织多少货源，才能使平均收益最大。

解：设随机变量Y 表示平均收益（单位：万元），进货量为a t ，

3()3X a X x a

Y a x a --<⎧=⎨

≥⎩

则

40002000

11()(4)

320002000

a

a E Y x a dx a dx

=-+⎰⎰21

(2140008000000)2000

a a =

-+-。要使得平均收益()E Y 最大，所以令2

'

(2140008000000)0a a -+-=，得3500a =t 。

22.袋子中有5个同样大小的球，编号为1，2，3，4，5。从中同时取出3个球，

记X 为取出的球的最大编号，求X 的分布率。

解：3511

{3},10

P X C ===23353{4},10C P X C ===2

4356{5},

10C P X C ===于是X 的分布律为