江苏省南京市高二数学 暑假综合练习(一)

高二暑假综合练习（一）

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 复数(1＋2i)2

的共轭复数是____________．

2. 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a 、b ＞0)的离心率为2，则b

a

＝____________.

3. 样本数据11,8,9,10,7的方差是____________．

4. 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如图所示，则φ＝____________.

5. 已知集合A ＝{2,5}，在A 中可重复的依次取出三个数a 、b 、c ，则“以a 、b 、c 为边恰好构成三角形”的概率是__________．

6. 设E 、F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3， AC ＝6，则AE →·AF →

＝____________.

7. 设α、β为两个不重合的平面，m 、n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：

① 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α；

② 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β； ③ 若m ⊥n ，m ∥α，n ∥β，则α⊥β；

④ 若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直． 其中，所有真命题的序号是____________．

8. 已知tan α＝17，tan β＝1

3

，且α、β∈(0，π)，则α＋2β＝

__________.

9. 右图是一个算法的流程图，最后输出的S ＝____________.

10. 已知圆x 2＋y 2＝m 与圆x 2＋y 2

＋6x －8y －11＝0相交，则实数m 的取值范围为____________．

11. 某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40 mm ，满盘时直径120 mm.已知卫生纸的厚度为0.1 mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是__________m(π取3.14，精确到1 m)．

12. 已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝5a n －133a n －7

(n ∈N *

)，则数列{a n }的前100项的和为

____________．

13. 已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足b ＋2c ≤3a ，c ＋2a ≤3b ，则b a

的取值范围为____________．

14. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3

＋1上的一个动点，过点P 作切线与两个坐标轴交于A 、B 两点，则△AOB 的面积的最小值为______________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.

(1) 求A；

(2) 若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)

16.三棱柱ABC—A1B1C1中，已知AB＝A1A，D为C1C的中点，O为A1B与AB1的交点．

(1) 求证：AB1⊥平面A1BD；

(2) 若点E为AO的中点，求证：EC∥平面A1BD.

17. 有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段．为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长l (m)的积，且车距不得小于一个车身长l (假设所有车身长均为l )．而当车速为60(km/h)时，车距为1.44个车身长．

(1) 求通过隧道的最低车速；

(2) 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？

18.如图，椭圆x 24＋y 2

3

＝1的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、

x 轴于B 、C 两点．

(1) 若＝λ，求实数λ的值；

(2) 设点P 为△ACF 的外接圆上的任意一点，当△PAB 的面积最大时，求点P 的坐标．

19. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝n n ＋1

(n ∈N *

)．

(1) 求S 1，S 2及S n ；

(2) 设b n ＝(12)a n ，若对一切n ∈N *

，均有∑n

k =1

b k ∈(1m ，m 2－6m ＋163)，求实数m 的取值范围．

20. 设函数f (x )＝ln x －kx －a

ax

－ln a (x ＞0，a ＞0且a 为常数)．

(1) 当k ＝1时，判断函数f (x )的单调性，并加以证明；

(2) 当k ＝0时，求证：f (x )＞0对一切x ＞0恒成立；

(3) 若k ＜0，且k 为常数，求证：f (x )的极小值是一个与a 无关的常数.

数学试卷附加题

21．

B ．选修4—2 矩阵与变换

已知矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ 2 1 －1 2 ，B ＝⎣⎡⎦

⎤

1 －20 1．

(1) 计算AB ；

(2) 若矩阵B 把直线l ：x ＋y ＋2＝0变为直线l'，求直线l'的方程．

C ．选修4—4参数方程与极坐标

已知⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝2a sin θ（a 是常数）．

（1）分别将两个圆的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）若两个圆的圆心距为5，求a 的值．