《隐圆在几何问题中的应用》公开课教学PPT课件
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B重合）可称为“定边对定角”模型.
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
O
…………（6分）
O
③由②可知点P的路径为弧BC的长度，
即 l = np r = 120p .2 3 = 4 3p
180 180
3
…………（8分）
（2）点A′的路径长与点P的路径长的比值是2：1（或点A′的路径长是
点P的路径长的2倍），理由：
180 180
3
点A′的路径长与点P的路径长的比值是 8 3p : 4 3p = 2 :1 ，
3
3
（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍）
P
…………（12分）
A A'
B
P
C
B C
问题：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?
AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即 ∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动 （不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.
P
450
C1
O
I1
ABI2来自A1350B
I2
C2
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对
的张角∠ACB为钝角时，则点C的运动路径是以AB为弦
的两段劣弧AB上运动（A,B两个点除外）.
定边对定角 1.模型构建：AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角
大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、
隐圆 在几何 问题 中的 作用 — 圆来 如此简 单
知识必备
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等， 并且等于这条弧所对的圆心角度数的一半.
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补.
C
A
B
A
0
0
B
0
A
B
D
D
C
C
D
已知线段AB=6，在平面内有一动点C，满足∠ACB=900 ,
已知线段AB=6，平面内动点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为锐角时 ，则点C的运动路径是以AB为弦的两段优弧AB上运动（A,B两个点除外）.
C
C1
600
∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外动点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
由（1）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得
∠CBP+∠BCP=60°，
又因为圆P是△A′BC的内切圆，
A
所以∠CBA′+∠BCA′=120°，
A'
所以∠CA′B =60°，
所以A′是等边三角形ABC外接圆上优弧
BAC上的一动点，…………（9分）
P
B C
A
由弧以题点BA意AC′的可的路得长径等度长边，=三即l角以= n形2p4rA0=°B2的4C0p圆外.2心接3 角圆= 8，的3p半半径径为为，22…33…的，…弧点…长A（′，的11如路分A 图径），是' 所优
＝180°-∠ABC=180°-60°＝120°.…………（3分）
②（2）如图所示，由于∠BPA C始终为120°，
A
故过点B、C、P作圆O,
∴∠BOC＝120°.
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大.
∵OB=OC，
P
F
E
P
∴∠BOP＝∠BOC =60°,NB=BC=3， ∴ON= 3 ,OB= 2 3 ，
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐圆， 做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆内的丰富 的性质来解题，
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
O
…………（6分）
O
③由②可知点P的路径为弧BC的长度，
即 l = np r = 120p .2 3 = 4 3p
180 180
3
…………（8分）
（2）点A′的路径长与点P的路径长的比值是2：1（或点A′的路径长是
点P的路径长的2倍），理由：
180 180
3
点A′的路径长与点P的路径长的比值是 8 3p : 4 3p = 2 :1 ，
3
3
（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍）
P
…………（12分）
A A'
B
P
C
B C
问题：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?
AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即 ∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动 （不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.
P
450
C1
O
I1
ABI2来自A1350B
I2
C2
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对
的张角∠ACB为钝角时，则点C的运动路径是以AB为弦
的两段劣弧AB上运动（A,B两个点除外）.
定边对定角 1.模型构建：AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角
大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、
隐圆 在几何 问题 中的 作用 — 圆来 如此简 单
知识必备
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等， 并且等于这条弧所对的圆心角度数的一半.
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补.
C
A
B
A
0
0
B
0
A
B
D
D
C
C
D
已知线段AB=6，在平面内有一动点C，满足∠ACB=900 ,
已知线段AB=6，平面内动点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为锐角时 ，则点C的运动路径是以AB为弦的两段优弧AB上运动（A,B两个点除外）.
C
C1
600
∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外动点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
由（1）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得
∠CBP+∠BCP=60°，
又因为圆P是△A′BC的内切圆，
A
所以∠CBA′+∠BCA′=120°，
A'
所以∠CA′B =60°，
所以A′是等边三角形ABC外接圆上优弧
BAC上的一动点，…………（9分）
P
B C
A
由弧以题点BA意AC′的可的路得长径等度长边，=三即l角以= n形2p4rA0=°B2的4C0p圆外.2心接3 角圆= 8，的3p半半径径为为，22…33…的，…弧点…长A（′，的11如路分A 图径），是' 所优
＝180°-∠ABC=180°-60°＝120°.…………（3分）
②（2）如图所示，由于∠BPA C始终为120°，
A
故过点B、C、P作圆O,
∴∠BOC＝120°.
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大.
∵OB=OC，
P
F
E
P
∴∠BOP＝∠BOC =60°,NB=BC=3， ∴ON= 3 ,OB= 2 3 ，
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐圆， 做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆内的丰富 的性质来解题，
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？