《隐圆在几何问题中的应用》公开课教学PPT课件
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隐圆问题-利用圆的知识解决最值课件19张PPT
例1：如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大
小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC， ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
县民政局依法行政工作计划总结 2 0 * * 年,在县委、县政府的正确领导下, 在县法制办的直接指导下, 我局认真贯彻 落 实党的十八大精神和国务院《全面推 进依法 行政实 施纲要 》, 坚持“ 以人为本, 为民 解困、为民服务” 的工作理念, 认真履行“ 解决民生、落实民 权、维 护民利” 的工作 职 责, 以服务科学发展、创新体制机制、强化执 法队伍 建设, 全面推 进依法 行政工 作, 推动民政工作制度化、规范化, 充分发挥在社 会建设 和管理 中的职 能作用, 积极 实
施社会惠民保障工程。现将全年依法 行政工 作情况 汇报如 下: 一、齐抓共管, 加强对依法行政工作的组织领 导
为使依法行政理念真正落到实处, 我局成立了“ 一把 手” 局长、党组 书记为 组长, 分管 副局长为副组长和各职能业务科室负 责人为 成员的 依法行 政工作 领导小 组, 并明确 日常工作由办公室( 法制股) 组织实施。年初对全局 的依法 行政工 作排出 计划, 狠抓 落实, 切实把本单位的依法行政工作列入重要 议事日 程。建 立领导 责任制, 做到 有 部署、有检查、有总结, 逐步形成法制工作“ 一把手” 局长亲 自抓、 分管领 导分工 抓 、职能部门牵头抓、业务科室协同抓, 全局干 部职工 积极参 与的工 作格局, 并严 格
例1：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作 CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值.
练习：1、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分 别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、 CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的 移动，使得点P也随之运动.若 ，线段CP的最小值 是_____________
小是_______
练习：如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC， ∠BAC=44°，则∠CAD的度数为__________
县民政局依法行政工作计划总结 2 0 * * 年,在县委、县政府的正确领导下, 在县法制办的直接指导下, 我局认真贯彻 落 实党的十八大精神和国务院《全面推 进依法 行政实 施纲要 》, 坚持“ 以人为本, 为民 解困、为民服务” 的工作理念, 认真履行“ 解决民生、落实民 权、维 护民利” 的工作 职 责, 以服务科学发展、创新体制机制、强化执 法队伍 建设, 全面推 进依法 行政工 作, 推动民政工作制度化、规范化, 充分发挥在社 会建设 和管理 中的职 能作用, 积极 实
施社会惠民保障工程。现将全年依法 行政工 作情况 汇报如 下: 一、齐抓共管, 加强对依法行政工作的组织领 导
为使依法行政理念真正落到实处, 我局成立了“ 一把 手” 局长、党组 书记为 组长, 分管 副局长为副组长和各职能业务科室负 责人为 成员的 依法行 政工作 领导小 组, 并明确 日常工作由办公室( 法制股) 组织实施。年初对全局 的依法 行政工 作排出 计划, 狠抓 落实, 切实把本单位的依法行政工作列入重要 议事日 程。建 立领导 责任制, 做到 有 部署、有检查、有总结, 逐步形成法制工作“ 一把手” 局长亲 自抓、 分管领 导分工 抓 、职能部门牵头抓、业务科室协同抓, 全局干 部职工 积极参 与的工 作格局, 并严 格
例1：等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作 CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值.
练习：1、如图，在正方形ABCD中，动点E、F分 别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、 CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的 移动，使得点P也随之运动.若 ，线段CP的最小值 是_____________
2019中考-“隐形圆”问题(共22张PPT)全面.ppt
..
24
会出现。
..
3
..
4
..
5
..
6
对应练
1、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若 ∠CAD=76∘，则∠CBD=______度。
..
7
真题演练
1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若 ∠ CAD=76°，则∠ CBD= 度。
简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点
..
23
班主任的专业发展一如治学之道，它 不是遥不可及的事情，而是我们正在
谢 谢！ 实践的工作；但也不是一蹴而就的，
而是一个不断发展，持续提高的过程 。只要我们留守心中那盏信念的灯， 拥有一颗热爱教育，热爱学生的心， 再加上善于观察和反思教育生活的习 惯，必然会收获内心的幸福，获得丰
满的教育人生。
..
17
真题演练
1.如图 ，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑
直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为 （）
简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P
到定点O的距离始终等于1， 满足圆的定义（到定点的距离
等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，
∠P=90°（定角），AB=6（定弦），
故 P 在以 AB 为直径的⊙H 上 ， 当
H 、 P 、 C 三 点 共 线 时 CP 最
短 ，HB=3，BC=4 则 HC=5， 故
CP=5-3=2 。
..
22
小结
以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到
动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的方案1或方
苏科版九上数学专题 隐圆问题(共23张PPT)
ABD BCE(SAS)
APE BAD ABP CBE ABP 60
∠AOB=120°，AO=1, OC=2
O 120°
1
120° 60P°
3
四、利用定弦定角构造辅助圆
在△ABC中，C是动点，∠C所对的 线段是AB，若线段AB和∠C分别是 一条定长的线段和一个定值的角。 由“圆中相等的圆周角所对的弦相 等”想到点C在△ABC的外接圆上运 动。
连接OP，交⊙P于点A和A'，过O作OP的垂线，
P'
截取OC= 3OA ，OC'= 3OA'。CC'=OC'-OC
CC' 3OA' 3OA 3AA' 6 3，CP' 3 3
C1
A1
在⊙P上任取一点A1，作OC1⊥OA1,且OC1 = 3OA1 易证△A1OP∽△C1OP',故C1P'= 3A1P 3 3
见“定线（弦）对定角”现“其外接圆”
练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是 AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所 在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值 是（ A ）
6
2
B'
2
练习2．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4， D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H， 连接AH，则AH的最小值为（ B ）
四、利用定弦定角构造辅助圆
α
2α
在圆O中，弦AB所对的圆周 角相等，即 ∠C=∠D=∠E
线段AB为定长，∠C 为定角α，
则A、B、C三点在同一个圆上，
点C在圆上运动，此时可以构
APE BAD ABP CBE ABP 60
∠AOB=120°，AO=1, OC=2
O 120°
1
120° 60P°
3
四、利用定弦定角构造辅助圆
在△ABC中，C是动点，∠C所对的 线段是AB，若线段AB和∠C分别是 一条定长的线段和一个定值的角。 由“圆中相等的圆周角所对的弦相 等”想到点C在△ABC的外接圆上运 动。
连接OP，交⊙P于点A和A'，过O作OP的垂线，
P'
截取OC= 3OA ，OC'= 3OA'。CC'=OC'-OC
CC' 3OA' 3OA 3AA' 6 3，CP' 3 3
C1
A1
在⊙P上任取一点A1，作OC1⊥OA1,且OC1 = 3OA1 易证△A1OP∽△C1OP',故C1P'= 3A1P 3 3
见“定线（弦）对定角”现“其外接圆”
练习1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是 AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所 在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值 是（ A ）
6
2
B'
2
练习2．等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4， D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H， 连接AH，则AH的最小值为（ B ）
四、利用定弦定角构造辅助圆
α
2α
在圆O中，弦AB所对的圆周 角相等，即 ∠C=∠D=∠E
线段AB为定长，∠C 为定角α，
则A、B、C三点在同一个圆上，
点C在圆上运动，此时可以构
2018中考专题复习 隐圆在几何最值问题中的应用 课件(共11张PPT) (1)
找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
若∠ACB为锐角， 则C点在两段优弧AB上
若∠ACB为直角， 则C点在半圆AB上
C
若∠ACB为钝角， 则C点在两段劣弧AB上
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运
探 究 隐 圆
在 几 何 最 值 问 题 中 的 作 用
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠AC能得到什么结论？ 问题二：求C点的运动路径长？ 问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
A
B
A
运动路径长：6π
Smax=9
∟
O
B
已知线段AB=6，平面内一点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
动路径长？并求CP的最小值？
A
O P’
P B D C E
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
C
C1
600 ∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外一点C，满足∠ACB=900 ,
问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
P
450
C1
I1 A
I2
O
B
A
1350
B
I2
C2
方法总结：AB为定线段，线段AB外一点C与A、B两端点形成的张角 固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆上运动（不与A、B重合）
高考数学复习知识点讲解课件16--- 隐圆问题
1234
解析 由题意得|OM|＝ 5－1＝2，所以点 M 在以 O 为圆心，半径为 2 的 圆上. 设 CD 的中点为 N，则 N(2 2，a＋1)，且|CD|＝2. 因为当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，所以以 O 为圆心， 半径为 2 的圆与以 N(2 2，a＋1)为圆心，半径为 1 的圆外离， 所以 2 22＋a＋12>3，整理得(a＋1)2>1，解得 a<－2 或 a>0， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
A. 6
B. 7
√C. 10
D. 11
1234
解析 设 Q(a,0)，M(x，y)，所以|MQ|＝ x－a2＋y2， 由 P－12，0，所以|MP|＝ x＋122＋y2， 因为||MMQP||＝λ 且 λ＝2，所以 xx－＋a1222＋＋yy22＝2， 整理可得 x2＋y2＋4＋32ax＝a2－3 1， 又动点M的轨迹是x2＋y2＝1，
1234
跟踪演练
1.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝
50 上，若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
A.[0， 2]
√B.[－5 2，1]
C.[－ 2， 2]
D.[－2,0]
1234
解析 设 P(x，y)，由P→A·P→B≤20 可得
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10， 可得x2＋(y－1)2＝4， ∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上， 故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤ a2＋a－32≤3，∴0≤a≤3.
1234
4.已知圆 O：x2＋y2＝5，A，B 为圆 O 上的两个动点，且|AB|＝2，M 为弦 AB 的中点，C(2 2，a)，D(2 2，a＋2).当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为__(－__∞__，__－__2_)_∪__(_0_，__＋__∞__) _.
解析 由题意得|OM|＝ 5－1＝2，所以点 M 在以 O 为圆心，半径为 2 的 圆上. 设 CD 的中点为 N，则 N(2 2，a＋1)，且|CD|＝2. 因为当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有∠CMD 为锐角，所以以 O 为圆心， 半径为 2 的圆与以 N(2 2，a＋1)为圆心，半径为 1 的圆外离， 所以 2 22＋a＋12>3，整理得(a＋1)2>1，解得 a<－2 或 a>0， 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)∪(0，＋∞).
A. 6
B. 7
√C. 10
D. 11
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解析 设 Q(a,0)，M(x，y)，所以|MQ|＝ x－a2＋y2， 由 P－12，0，所以|MP|＝ x＋122＋y2， 因为||MMQP||＝λ 且 λ＝2，所以 xx－＋a1222＋＋yy22＝2， 整理可得 x2＋y2＋4＋32ax＝a2－3 1， 又动点M的轨迹是x2＋y2＝1，
1234
跟踪演练
1.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(－12,0)，B(0,6)，点 P 在圆 O：x2＋y2＝
50 上，若P→A·P→B≤20，则点 P 的横坐标的取值范围是
A.[0， 2]
√B.[－5 2，1]
C.[－ 2， 2]
D.[－2,0]
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解析 设 P(x，y)，由P→A·P→B≤20 可得
解析 设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10， 可得x2＋(y－1)2＝4， ∴M点在圆x2＋(y－1)2＝4上， 故圆x2＋(y－1)2＝4和圆(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1相交或相切， ∴1≤ a2＋a－32≤3，∴0≤a≤3.
1234
4.已知圆 O：x2＋y2＝5，A，B 为圆 O 上的两个动点，且|AB|＝2，M 为弦 AB 的中点，C(2 2，a)，D(2 2，a＋2).当 A，B 在圆 O 上运动时，始终有 ∠CMD 为锐角，则实数 a 的取值范围为__(－__∞__，__－__2_)_∪__(_0_，__＋__∞__) _.
人教版九年级数学上册第二十四章专题五模型拓展——隐圆模型教学课件
7.（2020·西藏）如图Z24－5－7，在矩形ABCD中， E为AB的中点，P为BC边上的任意一点，把△PBE沿 PE折叠，得到△PFE，连接CF．若AB＝10，BC＝12， 则CF的最小值为__8____．
类型二：四点共圆 （1）
条件：∠A＋∠BCD＝180°或∠DCE＝∠A， 结论：A，B，C，D四点共圆.
（2）
条件：∠BAC＝∠BDC， 结论：A，B，C，D四点共圆.
3.（创新题）如图Z24－5－3，在四边形ABCD中， ∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的 度数模型
类型一：直角所对的弦是圆的直径 （1）
条件：在⊙O中，AB为直径，点C在圆上， 结论：∠C＝90°.
（2）
条件：在△ABC中，∠C＝90°， 结论：点C在以AB为直径的⊙O上.
A
2.（2021·宜宾）如图Z24－5－2，⊙O的直径AB ＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，Q为AP的中点， 若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 _2_π____．
4. 如图Z24－5－4，四边形ABCD中，DC∥AB，BC ＝1，AB＝AC＝AD＝2，则BD的长为______．
类型三：定弦定角 （1）
条件：若∠C＝∠D＝∠E， 结论：点A,B,C，D，E在同一个圆上.
D
类型四：动点到定点定长
条件：OA＝OB＝OC， 结论：点A，B，C在以点O为圆心，OA（或OB或OC） 为半径的⊙O上.
人教版数学中考总复习——抓住题目中的隐形圆(共15张PPT)
过程中，BA′的长度始终保持不变； 难点2:圆是到定点的距离等于定长的所有的
点的集合，想到点A′的运动轨迹是以点B为 圆心、BA为半径的圆； 难点3:圆外一点与圆上各点的连线中，哪条 线段最短。
师生共同辨析
AP
D
A'
B
C
解：有题意可知：因为点A关于PB的对称点
是A′，所以BA=B A′，由此可见，在点P运动
。
A
D
P EG
B
C
再 见
D。
2 52
问题情境再创设
问题2：如图，已知正方形ABCD的边长为4，
点M和点N分别从点B、C同时出发，以相同
的速度分别沿BC、CD方向向终点C和D运动，
连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值
为
。
A
D
N P
B
M
C
师生共同再辨析
分析：△ABM≌△BCN，
A
D
则∠BAM=∠CBN, 因为∠ABN+∠CBN=90º,则
2、对于基本图形的把握要到位，才能做到 临题不乱。
3、知识的等价转化非常重要，这往往是我 们深度理解知识的基础。
作业布置
题目4：如图，已知正方形ABCD的边长是4，
点E是AB边上的一动点，连接CE，过点B作
BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则
PD+PG的最小值为
，此时PB的长
为
∠BAM+∠ABN=90º,ONPB NhomakorabeaM
C
于是在△ABP中，∠APB=90º
无论点M和点N如何运动，∠APB始终等于 90º,则在△ABP中，边AB和∠APB=90º是定值， 则点P的轨迹就是以AB为直径的△APB的外
点的集合，想到点A′的运动轨迹是以点B为 圆心、BA为半径的圆； 难点3:圆外一点与圆上各点的连线中，哪条 线段最短。
师生共同辨析
AP
D
A'
B
C
解：有题意可知：因为点A关于PB的对称点
是A′，所以BA=B A′，由此可见，在点P运动
。
A
D
P EG
B
C
再 见
D。
2 52
问题情境再创设
问题2：如图，已知正方形ABCD的边长为4，
点M和点N分别从点B、C同时出发，以相同
的速度分别沿BC、CD方向向终点C和D运动，
连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值
为
。
A
D
N P
B
M
C
师生共同再辨析
分析：△ABM≌△BCN，
A
D
则∠BAM=∠CBN, 因为∠ABN+∠CBN=90º,则
2、对于基本图形的把握要到位，才能做到 临题不乱。
3、知识的等价转化非常重要，这往往是我 们深度理解知识的基础。
作业布置
题目4：如图，已知正方形ABCD的边长是4，
点E是AB边上的一动点，连接CE，过点B作
BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则
PD+PG的最小值为
，此时PB的长
为
∠BAM+∠ABN=90º,ONPB NhomakorabeaM
C
于是在△ABP中，∠APB=90º
无论点M和点N如何运动，∠APB始终等于 90º,则在△ABP中，边AB和∠APB=90º是定值， 则点P的轨迹就是以AB为直径的△APB的外
模型 隐形圆问题梳理(附PPT)
例 2：已知圆C ： x 32 y 42 1，点 A(m,0)，
点 B(m,0) ， m 0 ， 若 圆 C 上 存 在 点 P ， 使 得
APB 90o，则m的范围是___________． 解：由APB 90o可得点P在以 AB为直径的圆上，
其方程为 x2 y2 m2，且与圆 x 32 y 42 1有
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
直线l1与直线l2垂直，所以点P在以 AB为直径的圆上，
圆心C 1,1，半径r 2 ，其方程为 x 12 y 12 2
因为圆心C 到直线x y 4 0的距离为 d 4 2 2 ，所以点P到直线x y 4 0的距离的
2 最大值为2 2 2 3 2 ．
变式 2：在直角坐标系中，已知点P(1,0)，点Q(2,1)， 直线l ：ax by c 0，其中a ，b，c成等差数列， 点 P 在直线l 上的射影为 H ，则线段QH 的取值范围 是____________．
CD2 11 2sin2
P
C
D
Q O
CD2
1
1
2
1 CD2
CD2
2 CD2
3．
因为OD 2 3 ，所以CD 3,3 3 ，
所以CD2 3,27．
因为CD2
2 CD2
3在3,27上单调递增，
第2部分 专题5 强基专题5 隐圆问题 课件(共21张PPT)
d＝
k|82＋k| 1≤6，解得－3
7
7≤k≤3
7
7 .]
类型3 两定点A，B，动点P满足|PA|2＋|PB|2是定值，确定隐 圆(距离平方圆)
【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－ 4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)．
(1)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P 的个数，若不存在，说明理由.
[跟进训练] 1．如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距 离为1，则实数a的取值范围是________．
－65，0 [由题意得圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4与圆x2＋y2＝1相 交，所以2－1< 2a2＋a＋32<1＋2,1<5a2＋6a＋9<9，
5a2＋6a＋8＞0， 5a2＋6a＜0，
第二部分 核心专题 师生共研
专题五 解析几何 强基专题5 隐圆问题
考查直线与圆、圆与圆的综合问题时题设条件中没有直接给 出相关圆的信息，而是隐含在题目中，要通过分析和转化，发现 圆(或圆的方程)，从而可以利用圆的相关知识来解决问题，这类 问题称为“隐圆”问题．
类型1 利用圆的定义或垂直关系确定隐圆
(2)若圆C上存在唯一的点Q，使得Q→A·Q→B＋2＝λ，求λ的值．
[解] (1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2,0)，半径为2. 假设圆C上存在点P，
设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2 ＋(y－2)2＝12，
≤y≤
27，所以点
M的纵坐标的取值范围是－
27，
27.]
【例1】 (1)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m,0)，
2024专题4.1隐圆模型 课件(共23张PPT)-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
36º或144º 定点定长型
为__________.
6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=____.
15 定点定长型
P1
C
A
B
P2
B
C
D
A
E
强化训练
“隐圆”模型
提升能力
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
求证：∠AEF=∠C.
点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连
4 3
接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为____.
3
A
P
B
M
D
N
C
知识归纳
定边对定角---直径对直角
考点3-2
模型分析
C
图
形 A
B
条
AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两
件
端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),
四点共圆-对角互补
D
A
C
E
B
针对训练
四点共圆
考点3-3
2.如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP.
A
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)求证：∠APD=∠ABD.
(3)PA平分∠DPE.
(1)(2)利用四点共圆求解
2
(1)在旋转过程中,BD的最小值为_____；
⌒
(2)当α=30º,试判断BD与CD的位置关系,并给予证明；
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
为__________.
6.如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD=2,BC=1,AB∥CD,则BD=____.
15 定点定长型
P1
C
A
B
P2
B
C
D
A
E
强化训练
“隐圆”模型
提升能力
7.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,连接EF.
求证：∠AEF=∠C.
点M和N分别从点B、C同时出发,以相同的速度沿BC、CA运动.连
4 3
接AM和BN,交于点P,则PC长的最小值为____.
3
A
P
B
M
D
N
C
知识归纳
定边对定角---直径对直角
考点3-2
模型分析
C
图
形 A
B
条
AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与A,B两
件
端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),
四点共圆-对角互补
D
A
C
E
B
针对训练
四点共圆
考点3-3
2.如图,△ABD,△AEC都是等腰三角形,AB=AD,AE=AC,AC＞AB
∠BAD=∠EAC=α,连接CD,BE交于点P,连接AP.
A
(1)求∠BPD的度数(用含α的代数式表示)；
(2)求证：∠APD=∠ABD.
(3)PA平分∠DPE.
(1)(2)利用四点共圆求解
2
(1)在旋转过程中,BD的最小值为_____；
⌒
(2)当α=30º,试判断BD与CD的位置关系,并给予证明；
(3)当C、D、B在同一直线上时,求BC的长。
初中数学微课探究“隐圆”在几何解题中的作用公开课PPT课件
正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且A C =2.设
tanB O C =m ，则m 的取值范围是
B C
O
A
类型三：
定点折叠存隐圆
3.如图，在矩形A B C D 中，A B =4，A D =6，E 是A B 边的中点，F 是线段
B C 边上的动点，将△E B F 沿E F 所在直线折叠得到△E B 'F ，连结B 'D ，则
初中数学微课
用数学的眼光观察问题
观察可能导致发现。 观察将揭示某种规律模式或定律。
——波利亚
透过现象看本质，挖掘内涵巧解题
——探究“隐圆”在几何解题中的作用
提出概念
什么叫“隐圆”？
在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另
一端点P所经过的封闭曲线叫做圆。
P
•
O
根据圆的定义，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，常常就会隐
B 'D 的最小值是
A
D
E
B'
ห้องสมุดไป่ตู้
BF
C
类型四1： 定长定角存隐圆
4.如图，X O Y =45°，一把直角三角尺A B C 的两个顶点A 、B 分别
在O X 、O Y 上移动，其中X Y =10，那么点O 到X Y 的距离的最大值
为
X
O
Y
类型四2： 定长定角存隐圆
4.2 如图，R t△A B C 中，A B B C ，A B =6,B C =4,P 是△A B C 内部
的一个动点，且，满足P A B =P B C ，则线段C P 长的最小值
为
A
B
P
C
类型五：
2020届中考数学一轮复习----圆的专题复习----隐圆教学课件 (共36张PPT)
D
C
M
A'
A
N
B
作业：
3．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活 动．将边长为2的正方形ABCD与边长为 2 2 的正 方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现 DG BE ，请你帮他说明理由．
3．在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活 动．将边长为2的正方形ABCD与边长为 2 2的正 方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直 线上，AB与AG在同一条直线上． （ 2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋 转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出 此时BE的长．
问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是
问题2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6， E是AB的中点，F是线段BC上的动点，将 △EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接 B′D，则B′D的最小值是
专题复习
隐圆
我国战国时期科学家墨翟在 《墨经》中写道：“圆，一中同长 也”。
圆是到定点的距离等于定长的点 的集合。
一些表面与圆无关的问题，若 能发现一些点在同一个圆上，揭示 出隐含的“圆”，就能运用圆的丰 富性质为解题服务。
问题1.在四边形ABCD中，AB=AC=AD，
若∠BAC=25°,∠CAD=75°, 则
（3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆 时针旋转，线段DG与线段BE将相交，交点为H， 写出△GHE 与△BHD面积之和的最大值，并简要 说明理由．
则∠DAO+∠DCO=
2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第6章 圆微专题五 隐形圆问题 课件(共23张PPT)
例2
，最小值为
.
分析：∵ BE ⊥ AE ，∴∠ BEA ＝90°，∴点 E 是在以 AB 为直径的
圆上运动.∵ CD ＝1，且 CD 是绕点 C 旋转，∴点 D 是在以点 C 为圆心，
以1为半径的圆上运动.∵ AB ＝ AC ＝3 ，∴当 cos ∠ BAE 最大时，
AE 最大，当 cos ∠ BAE 最小时， AE 最小.
CE ，在旋转的过程中，△ CEF 面积的最大值是
热身演练2
4＋
.
（2024·河南中考）如下图，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB ＝90°，
CA ＝ CB ＝3，线段 CD 绕点 C 在平面内旋转，过点 B 作 AD 的垂线，交射
线 AD 于点 E . 若 CD ＝1，则 AE 的最大值为
足∠ DPE ＝90°， M 是 PB 线段的中点，连接 CM ，则线段 CM 的最大值
是
.
热身演练4
如下图，在四边形 ABCD 中，∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°，
∠ ACD ＝30°， AD ＝2， E 是 AC 的中点，பைடு நூலகம்接 DE ，则线段 DE 长度的
最小值为
.
例3
分析：∵∠ BAD ＝∠ BCD ＝90°，∴ A 、 B 、 C 、 D 四点共圆，且
②如图2，当 AE 与☉ C 相切于点 D ，且点 D 在△ ABC 外部时，
∠ BAE 最大， AE 最小，同理可得， AD ＝2 ， DE ＝1，此时 AE ＝
2 －1，即 AE 的最小值为2 －1.
答案：2 ＋1
2 －1
方法点拨：在定弦定角构造辅助圆这个模型中，如果一条弦的长度
《利用隐圆解决定角定角平分线问题教学》PPTpptx
F
G
∴S△ABC最小＝2S△ADE＋S△B′DC最小
O
∴△ABC面积的最小值为 12 3 .
模 型 归 纳
定角定角平分线模型
【模型分析】△ABC中，∠BAC＝2α为定角，AD为∠BAC的平分线，
且AD＝n，我们称该模型为定角定角平分线模型．
【模型设问】探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）.
【解决思路】
DF⊥AC于F,BE=GF,求证:S△DEB +S△DFC =S△DCG
等角
.
答题步骤
等边
A
证明DE=DF
△DBE≌△DFG
G
F
S△DEB=S△DFG
E
B
D
解图
C
S△DEB +S△DFC=S△DCG
问 题 提 出
3.如图,△ABC中，∠A=45°，若△ABC的外接圆半径为2,求BC的长.
A
答题步骤
A
第一步:作DE⊥AB，DF⊥AC，得DE＝DF，△ADE≌△ADF；
第二步:通过共顶点等邻边旋转，将△BDE旋转至△B′DF； 2α
B'
第三步:∠B′DC＝2α为定角，DF为定值，
E
△B′CD为定角定高三角形．
G
n
O F
利用定角定高模型即可解决．
B
D
C
问 题 解 决
定角平分线
定角
6.如图,按规定，要建一个面积尽可能小的四边形景区ABCD.根据实际情
训练对数学模型的调用整合能力.
难点：在几何学习中加强直观想象、逻辑推理和代数计算.
问 题 提 出
1.如图①,△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于E,
G
∴S△ABC最小＝2S△ADE＋S△B′DC最小
O
∴△ABC面积的最小值为 12 3 .
模 型 归 纳
定角定角平分线模型
【模型分析】△ABC中，∠BAC＝2α为定角，AD为∠BAC的平分线，
且AD＝n，我们称该模型为定角定角平分线模型．
【模型设问】探究BC的最小值（△ABC面积的最小值）.
【解决思路】
DF⊥AC于F,BE=GF,求证:S△DEB +S△DFC =S△DCG
等角
.
答题步骤
等边
A
证明DE=DF
△DBE≌△DFG
G
F
S△DEB=S△DFG
E
B
D
解图
C
S△DEB +S△DFC=S△DCG
问 题 提 出
3.如图,△ABC中，∠A=45°，若△ABC的外接圆半径为2,求BC的长.
A
答题步骤
A
第一步:作DE⊥AB，DF⊥AC，得DE＝DF，△ADE≌△ADF；
第二步:通过共顶点等邻边旋转，将△BDE旋转至△B′DF； 2α
B'
第三步:∠B′DC＝2α为定角，DF为定值，
E
△B′CD为定角定高三角形．
G
n
O F
利用定角定高模型即可解决．
B
D
C
问 题 解 决
定角平分线
定角
6.如图,按规定，要建一个面积尽可能小的四边形景区ABCD.根据实际情
训练对数学模型的调用整合能力.
难点：在几何学习中加强直观想象、逻辑推理和代数计算.
问 题 提 出
1.如图①,△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AB于E,
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B重合）可称为“定边对定角”模型.
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
O
…………（6分）
O
③由②可知点P的路径为弧BC的长度，
即 l = np r = 120p .2 3 = 4 3p
180 180
3
…………（8分）
（2）点A′的路径长与点P的路径长的比值是2：1（或点A′的路径长是
点P的路径长的2倍），理由：
180 180
3
点A′的路径长与点P的路径长的比值是 8 3p : 4 3p = 2 :1 ，
3
3
（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍）
P
…………（12分）
A A'
B
P
C
B C
问题：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?
AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即 ∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动 （不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.
P
450
C1
O
I1
ABI2来自A1350B
I2
C2
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对
的张角∠ACB为钝角时，则点C的运动路径是以AB为弦
的两段劣弧AB上运动（A,B两个点除外）.
定边对定角 1.模型构建：AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角
大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、
隐圆 在几何 问题 中的 作用 — 圆来 如此简 单
知识必备
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等， 并且等于这条弧所对的圆心角度数的一半.
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补.
C
A
B
A
0
0
B
0
A
B
D
D
C
C
D
已知线段AB=6，在平面内有一动点C，满足∠ACB=900 ,
已知线段AB=6，平面内动点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为锐角时 ，则点C的运动路径是以AB为弦的两段优弧AB上运动（A,B两个点除外）.
C
C1
600
∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外动点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
由（1）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得
∠CBP+∠BCP=60°，
又因为圆P是△A′BC的内切圆，
A
所以∠CBA′+∠BCA′=120°，
A'
所以∠CA′B =60°，
所以A′是等边三角形ABC外接圆上优弧
BAC上的一动点，…………（9分）
P
B C
A
由弧以题点BA意AC′的可的路得长径等度长边，=三即l角以= n形2p4rA0=°B2的4C0p圆外.2心接3 角圆= 8，的3p半半径径为为，22…33…的，…弧点…长A（′，的11如路分A 图径），是' 所优
＝180°-∠ABC=180°-60°＝120°.…………（3分）
②（2）如图所示，由于∠BPA C始终为120°，
A
故过点B、C、P作圆O,
∴∠BOC＝120°.
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大.
∵OB=OC，
P
F
E
P
∴∠BOP＝∠BOC =60°,NB=BC=3， ∴ON= 3 ,OB= 2 3 ，
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐圆， 做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆内的丰富 的性质来解题，
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？
2.确定圆心：利用圆周角和圆心角的关系来求解.
3.确定半径：利用垂径定理和解直角三角来求解 找线段，求张角； 定弦定角画隐圆 找路径，求最值； 圆的知识来帮忙
口诀：直角必有外接圆，定边定角跑双弧. 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢.“隐圆模型”的 题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”.一旦“圆”形毕露， 则答案手到擒来！
A
O P’ E
P
B
D
C
如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF 交BD与点G, 连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，求线段DH长 度的最小值？
A
解：（1）①∵△ABC是等边三角形，
E
∴∠CBA＝∠A＝60°，AB=BC，
∵AE=BF，
∴△AEB≌△BCF， ∴∠EBA＝∠BCF.…………（1分）
F P
∵∠EBA+∠EBC＝60°，
∠EBC+∠BCF+∠BPC＝180°，
B
C
∴∠BPC＝180°-∠EBC-∠BCF=180°-∠EBC-∠EBA，………（2分）
问题一：你能找到几个这样的点C，
所有符合条件的点C组成了什么样的图形？
问题二：求C点的运动路径长？
问题三：求△ABC面积的最大值？
C
C
∟
A
B
A
B
O
运动路径长：6π
Smax=9 C
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB=90°
，则点C的运动路径是以AB为直径的圆（A,B两个点除外）.
B
N
C
C
B ∴点P到BC的最大距离PN= 2 N 3 - 3 = 3.
O
…………（6分）
O
③由②可知点P的路径为弧BC的长度，
即 l = np r = 120p .2 3 = 4 3p
180 180
3
…………（8分）
（2）点A′的路径长与点P的路径长的比值是2：1（或点A′的路径长是
点P的路径长的2倍），理由：
180 180
3
点A′的路径长与点P的路径长的比值是 8 3p : 4 3p = 2 :1 ，
3
3
（或点A′的路径长是点P的路径长的2倍）
P
…………（12分）
A A'
B
P
C
B C
问题：今天你们学到了什么知识?是怎样学到的?还有什么疑问?
AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角大小固定（即 ∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动 （不与A、B重合）可称为“定边对定角”模型.
P
450
C1
O
I1
ABI2来自A1350B
I2
C2
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对
的张角∠ACB为钝角时，则点C的运动路径是以AB为弦
的两段劣弧AB上运动（A,B两个点除外）.
定边对定角 1.模型构建：AB为定线段，平面内的动点C与A、B两端点形成的张角
大小固定（即∠ACB=θ），则点C在以AB为弦的圆弧上运动（不与A、
隐圆 在几何 问题 中的 作用 — 圆来 如此简 单
知识必备
圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等， 并且等于这条弧所对的圆心角度数的一半.
推论：直径所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补.
C
A
B
A
0
0
B
0
A
B
D
D
C
C
D
已知线段AB=6，在平面内有一动点C，满足∠ACB=900 ,
已知线段AB=6，平面内动点C，满足∠ACB=600，情况又如何？
小结：当线段AB的大小和位置都确定，并且线段AB所对的张角∠ACB为锐角时 ，则点C的运动路径是以AB为弦的两段优弧AB上运动（A,B两个点除外）.
C
C1
600
∟
A
B
600
C2
已知线段AB=4，线段外动点C，满足∠ACB=900 , 问题四：若I点为△ABC的内心，求I点的运动路径长？
由（1）中题意可知张角∠CPB的度数始终为120°，可得
∠CBP+∠BCP=60°，
又因为圆P是△A′BC的内切圆，
A
所以∠CBA′+∠BCA′=120°，
A'
所以∠CA′B =60°，
所以A′是等边三角形ABC外接圆上优弧
BAC上的一动点，…………（9分）
P
B C
A
由弧以题点BA意AC′的可的路得长径等度长边，=三即l角以= n形2p4rA0=°B2的4C0p圆外.2心接3 角圆= 8，的3p半半径径为为，22…33…的，…弧点…长A（′，的11如路分A 图径），是' 所优
＝180°-∠ABC=180°-60°＝120°.…………（3分）
②（2）如图所示，由于∠BPA C始终为120°，
A
故过点B、C、P作圆O,
∴∠BOC＝120°.
当PO⊥BC于点N时，点P到BC的距离最大.
∵OB=OC，
P
F
E
P
∴∠BOP＝∠BOC =60°,NB=BC=3， ∴ON= 3 ,OB= 2 3 ，
有些数学问题,将圆隐藏在已知条件里，隐晦地考查点圆、线 圆的位置关系。解题时，需要我们通过分析探索，发现这些隐圆， 做到图中无圆，心中有圆，通过慧眼识圆，从而利用圆内的丰富 的性质来解题，
如图，边长为3的等边△ABC，D、E分别为边BC、AC上 的两个动点，且BD＝CE，AD、BE交于P点，求P点的运 动路径长？并求CP的最小值？