柱、锥、台的体积详解

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大
上底缩小
V Sh
S 0
S为底面面积， h为锥体高
S S 1 1 V Sh V ( S S S S )h 3 3 S为底面面积， S’,S分别为上、下底 h为柱体高 面面积，h 为台体高
练习
1、已知三棱锥S-ABC的底面是直角边 分别为a, b的直角三角形，高为c， 则它的体积为________。 2、已知长方体相邻三个面的面积分别为 2,3,6,则此长方体的对角线和体积分别 为________。 3、长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥 C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余 部分的体积之比.
结论：三棱锥是同底等高的三棱柱的 1 体积的
3 注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体 的每一个面都可以作为底面，可以用来求点到面的距离
锥体(棱锥、圆锥)的体积：
V锥体
1 Sh 3
1 2 V圆锥 r h 3
等底同高的锥体的体积
有何关系?
锥体的体积
h’
S’ S’
h
s
s
求棱长为 2a 的正四面体的体积
A B
2 3 6 BO 2a a 3 2 3
O C
D AO
6 2a a 3
2
2
2 3 a 3
a 1 3 2 3 2 V 2a a 3 4 3 3
3
求棱长为 2a 的正四面体的体积
V V正方体 4V三棱锥 1 1 3 a 4 a a a 3 2
VA1 ABC VC A1 AB VC A1B1B VC A1B1B VA1 BB1C VA1 CC1B
A A1 1 B B1 1 C1
A
B
C C
3V锥体 V柱体
V锥体
V圆锥 1 2 r h 3
1 1 V柱体 S h 3 3
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系． 如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
S 20 400 2 S' 10 100
2

1 V台体 h( S SS' S' ) 3 1
h 3 (20 10) 10 3
O
O1 A1 C A
3 7000 3 (cm3) 3
10 3 (400 200 100 )
O
柱、锥、台的体积
等面积法： 等底等高的三角形面积相等
h
h
h
a
a
1 S a h 2
a
思考：如何解决柱体的体积问题？
柱体的体积
长方体的体积
柱体体积
h a a b a a h
长方体体积：V abh
2
3 2 正方体体积： V a a a 圆柱的体积： V r h
D
4
C
3
一倒放的圆锥形封闭容器，高为2h,装入水， 使水高为圆锥高的二分之一，则倒转容器 后，水的高度是多少？
如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱 AA1＝8.若AA1B1B水平放置时，液面恰好过 AC，BC，A1C1，B1C1的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为________．
a 3
3
割补法
台体的体积
上下底面积分别是s/,s,高是h，则 1 V台体= h(s + ss' + s') 3
x s/
s/ s
h
s
台体
x xh
x
s' s
S
'
x
h
h s' s s'
S
1 1 1 ' 1 1 ' V台 S（h x) S x Sh Sx S x 3 3 3 3 3
V Sh
底 面 积 高
以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为：
V Sh
柱体（棱柱、圆柱）的体积公式：
V Sh
（其中S为底面面积，h为柱体的高）
柱体的体积
V柱体 S h
h s s S s
V圆柱 r h
2
s S
等底等高的柱体体积相等
1 1 = S x h S x 3 3




棱台(圆台)的体积公式:
其中 S ， S 分别为上、下底面面积，h为圆台 （棱台）的高．
1 V ( S S S S )h 3
例.圆台的上下底半径分别是10cm和20cm,它的 侧面展开图的扇环的圆心角是180°,那么圆台 的体积是多少？ (结果中保留π)
已知A、B是三棱柱上底面两边的中点， 如图截面ABCD将三棱柱分为两部分，求 这两部分的体积比。
E A V1
B
V2 C
设△ABE的面积为S
1 V1 h( S S 4S 4S ) 3
7 Sh 3
7 5 V2 4Sh Sh Sh 3 3
D
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V1 : V2 7 : 5
1 1 Sh ( S S ' ) 3 3 s
h s' s'
1 1 Sh ( s 3 3
s )h s
'
'
1 h( s 3
ss ' s ' )
V V大锥 V小锥
x
S
h
S
x
S h S S
1 1 = Sh S S x 3 3 2 1 x 1 S S h Sh S S S S S 3 x 3h x S 1 1 S h Sh S S S 3 x 3h 1 S h h S SS S x S S 3
4 3 2 3 （A） （B） （C） （D） 3 2 3 3
G
已知四面体A-BCD中，AB垂直于面BCD， ∠BCD＝∠ACD＝90º ，BC＝4，AB＝CD ＝3，求点B到面ACD的距离。
等体积法
A 3 B hB
VB ACD V A BCD
1 1 1 1 3 5 hB 3 4 3 3 2 3 2
4、已知圆锥的底面面积为16π，它的母线 长为5,则这个圆锥的体积为_________。 5、正棱台的两个底面面积分别是121cm2 和81cm2的正方形，正棱台的侧棱长 为2cm，这个棱台的体积为________。
如图，在多面体 ABCDEF 中，已知 ABCD 是边长为 1 的 正 方 形 ， 且 ADE 、BCF 均 为 正 三 角 形 ， EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（ A ）