逻辑思维训练6复合命题及其推理下

个球，就能推出该盒子中另一个球的颜色，那末，应 当从哪只盒子里去取出这一个球呢?我们又如何根据 这个盒子里两个球的颜色，推出另外两个盒子里各装 什么颜色的球呢?
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内容 标签
黑黑
黑黑 A1
黑白
B1
白白
C1
黑白 A2 B2 C2
白白 A3 B3 C3
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标签 黑黑 黑白 白白
内容
黑白 白白
白白 黑黑
6
n 个不同命题变项可能有的真假组合是2n（＝m）个。 对于每一个真假组合又可以有两种断定：肯定或否定。
对2n（＝m）个组合，肯定和否定的组合共有：
其中，每一个组合就是一个真值函数的内容。所以，如果以n 为命题形式中不同命题变项的个数，那么不同的真值函数有 2m 个，其中m＝2n。
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设n＝1，那么真假组合有：
(1)
（（p q）∧¬q） ¬p
T FF
(2)
（（p q）∧¬q） ¬p
T TT F F
(3)
（（p q）∧¬q） ¬p
F T F TTF F FT
或者另一种可能 T T T T T F F F T
第四步：判定。变项p的赋值矛盾，所以该公式是重言式，对应的推理 是有效的。
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（（p ∧ q ） r） （¬r ∧ p） ¬ q ）
f3
p∧¬p
¬（p p）
¬（p∨¬p）
f4
f1 永真式（重言式） f4 永假式（矛盾式） f2 f3 协调式（可真可假）
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永真式具有特别重要的意义，因为它们是逻辑 真理的表现形式。
凡复合命题演绎推理的有效推理形式，如表示 成横写式，都是重言蕴涵式。反之，若非重言 式的蕴涵式，它表示的推理就不是有效推理。
qr
p¬ q
(p∧q ）r） （¬ r ∧ p） ¬ q
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第三步：给变项赋值（技巧：先给最后一个变项按一真一假赋值，再给 第2个变项按两真两假赋值；再给第一个变项按四真四假赋值）
pqr
ttt ttf tft tff ftt ftf fft fff
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第四步：依次按照5个基本真值形式的真值表给每个子公式赋值
公理法推理是从少数几个给定的逻辑真命题（即公 理）出发，并根据若干推理规则，推出一系列其他 逻辑真命题（即定理）的演绎推理。
tf
t
t
第五步：根据真值表中的总公式即最后一列的赋值，对公式做出判定。 此总公式下每一行均为真，故该蕴涵式为重言式，即一个有效推理形式。
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判定多个公式的性质或关系
p q ¬ ¬ p∧q ¬ （p∧q） ¬ p ∨ ¬ q p ∨ ¬ p p¬ q pq
ttf f tff t ftt f fft t
然后画表，先画一个偏十字或表格，将分解后的公式成分由简到繁写进表
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（（p∧q ）r） （（¬r ∧ p） ¬q ）的真值表作法 第一步：分解公式，画表 3个变项，其真假组合共有23＝8种可能 因此有8行；变项有3个，整个公式可分解为7部分，共有10列。
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第二步：由简到繁填入欲赋值的公式
p q r ¬ ¬ p∧q p∧qr ¬ r ∧p ¬ r ∧
p∨q
4
二、命题的永真式、协调式和永假式
由已学过的命题联结词和p、q、r 等命题 变项组成的命题形式，其数目有无限多。 若根据命题形式所表示的真值函项的不同， 则无数的命题形式可分为三大类：永真式 （又叫重言式）、协调式和矛盾式。
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所谓真值函数，就是函数值为真值，而且其自变元 的值亦为真值的函数。
虽然这种方法只是适用于判定蕴涵式以及能等值地 转换为蕴涵式的等值式和析取式，但是，由于在形 式逻辑中要判定的命题形式绝大多数是蕴涵式（因 为它们表示演绎推理形式），因此，归谬赋值法仍 然是一种对常用的命题逻辑判定方法。
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归谬赋值法依据的逻辑根据是形式逻辑的归谬 法则。
该原则可表述为：要求证命题A成立，先假定 A 不成立，即假定¬ A 成立；如果从¬ A 导出 p∧¬ p 形式的逻辑矛盾，那么，由此即可断定 ¬ A 不成立，即否定¬ A，而由否定¬ A 就可得 A（因为¬ ¬ A 与A 等值），故A得证。
p∨¬ p，是重言析取式； p→p 是重言蕴涵式。
永真式可以定义为：一命题形式是永真式， 当且仅当不论其命题变项取何值，命题的真 值恒为真。
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矛盾式
矛盾式是表示常假的真值函数的命题形式，
p∧¬ p ¬ （p∨¬ p)
任何永真式的负命题都是矛盾式。矛盾式可 定义为：一命题形式是矛盾式，当且仅当不 论其命题变项取何值，命题的值恒为假。
p q r ¬ ¬ p∧q p∧qr ¬ r ∧p ¬ r ∧
qr
p¬ q
(p∧q ）r） （¬ r ∧ p） ¬ q
tttf f t
tf
t
t
ttff t t
ft
f
t
tftt f f
tf
t
t
tfft t f
tt
t
t
fttf f f
tf
t
t
ftff t f
tf
t
t
fftt f f
tf
t
t
ffft t f
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归谬赋值法的一般步骤
（1）假设待判定的命题形式A→B 不是重言式，即A→B 可以 取值为F。
（2）当A→B 取值为F 时，由蕴涵词的真值表可推知A 取值为 T，B 取值为F。
（3）由（2）出发，根据五个命题联结词的真值表，依次对A 和B 之中所包含的各个支命题赋予相应的值，直到所有的变项 被赋予了确定的真值为止。
p∧q 联言命题的逻辑性质： p∧q是真的，当且仅当p 是真的，并且q是真的。
p∨q 相容选言命题的逻辑性质： p∨q是真的，当且仅
当p和q至少有一真。
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真值表的作法
分解公式。把一复杂公式分解为支命题和命题变项。如 （（p∧q ）r） （（¬r ∧ p） ¬q ）
先找到主联结词，即最大括号外的联结词。蕴涵号 得到（（p∧q ）r）和（¬r ∧ p） ¬q ）再行分解 得到p∧q 和r； ¬r ∧ p和¬q 按变项－最简单公式－复杂公式顺序排列 p，q，r， ¬q ， ¬r ，p∧q ， ¬r ∧ p， （p∧q ）r，（¬r ∧ p） ¬q ， 最后是总公式（（p∧q ）r） （¬r ∧ p） ¬q ） 可以坚持一条原则：一公式的支命题在前，该公式在后，因此顺序也可排为 p，q，r， ¬q ， ¬r ，p∧q ， （p∧q ）r， ¬r ∧ p ,（¬r ∧ p） ¬q ， 只要保证，被判定的公式的支命题在先已经赋值即可。
21＝2
令m＝21，则其真值函数的数目是：
2m＝4
若用“f( )”代表真值函数，那么只有一个命题 变项p 的真值函数的个数可以列表如下：
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f1(p)是恒取真值的函数，表示它的命题形式可以是 p∨¬ p，也可以表示为p→p。
f2(p)是这样一个函数，当p 真时它真，当p假时它假， 因而表示它的命题形式就是p。
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协调式
协调式就是表示有真有假的真值函数的命题形式， 即既非永真式又非矛盾式的命题形式；
p∧q p∨q p→q
协调式可定义为：一命题形式是协调的，当且仅当 不论其命题变项取何值，命题的值有真有假。
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p∨¬p
p p
¬（p∧¬p）
f1
p∨p ¬p
p∧p p ¬p
¬（¬p） ¬p∨¬p
f2
（一）真值表判定方法 真值表是用来判定一命题形式是永真式、永
假式还是协调式的最直接的方法。 5种基本真值形式
¬ p 否定式 p ∧q 合取式 p∨q 析取式 pq 蕴涵式 pq 等值式
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用真值表方法证明（p∨q）∧¬ p → q 和 （p → q）∧¬ p → ¬ q
pq 充分条件假言命题的逻辑性质： pq是假的，当 且仅当p真且q假。
（4）检查所有变项的真值，若出现了赋值上的矛盾，根据归 谬原则，（1）的假设就不成立，于是推知A→B 是永真式；若 在赋值过程中始终没有矛盾，则表明假设（1）可以成立，于 是推知A→B 不是永真式。
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第一步： （（p q）∧¬q） ¬p
第二步：假设蕴涵式为假
（（p q）∧¬q） ¬p
F
第三步：给变项赋值
黑黑 黑白
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A、B、C、D、E五个人每人说了一句话 。 A说： “我们五人中有一个说谎。” B说： “我们五人中有两个说谎。 ” C说： “我们五人中有三个说谎。 ” D说： “我们五人中有四个说谎。 ” E说： “我们五人都在说谎。”
究竟有几个人在说谎呢？
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p q r s t 1F 2F 3F 4F 0F tffffffftf ftffffftff fftffftfff ffftftffff fffftfffft
A说：我是 B说：A说的 C说：我不
王五
是真话
是王五
1、A张，B李，
F
F
F
C王
2、A张，B王，
F
F
T
C李
3、 A李，B张， F
F
F
C王
4、 A李，B王， F
F
T
C张
5、 A王，B张wk.baidu.com T
T
T
C李
6、 A王，B李， T
T
T
C张
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（二）归谬赋值法
为了简化判定步骤，人们在真值表方法基础上设计 了一种称之为“归谬赋值法”的简化真值表方法。
tf ft ft ft
f
t
f
t
t
t
t
t
t
t
t
t
123 4 5
6
7
8
9
可以看出： 第5列与第6列取值完全相反，二者为矛盾关系 第6列与第7列取值完全相同，二者为等值关系 第6列与第9列取值完全相同，二者为等值关系 第8列每一行取值均为真，是重言式
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某公安局的刑侦员A、B、C、D对某案的 嫌疑犯李、赵做了如下断定： A、“我认为赵不是凶手。” B、“如果李是凶犯，则赵就不是凶犯。” C、或者李是凶犯，或者赵是凶犯。“ D、“我看李和赵都是凶犯。“ 事后证明这四个人的判断只有一个人是 错误的，请问谁是凶手？
1
F
2
T
F
3
T
F
4
T
T
T
5
F
F
6T F F
变项q的赋值必然出现矛盾，故该蕴涵式（推理）是有效的。若使得q 不出现矛盾，则p必定出现矛盾；若使p、q不出现矛盾，则r必定矛盾。 总之，三个变项必有一个出现矛盾，因此，赋值后变项出现矛盾是必然 的。
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四、命题逻辑的自然推理
在形式逻辑中，自然推理是相对于公理法的推理而 言的，两者都是演绎推理。
表示充分条件假言推理否定前件到否定后件的蕴涵 式（p → q）∧¬ p →¬ q，可用真值表证明其不是 永真式，因而与其相应的推理不是有效的。
矛盾式则是逻辑矛盾的表现形式。由于矛盾式 的负命题就是永真式，因此，如能证明一命题 形式的永假是不可能的，就实际上证明了该命 题形式是永真式。
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三、命题形式的判定方法
f3(p)则相反，它是对p 的否定，应表示为¬ p。
f4(p)恒取假值，其相应的命题形式是p∧¬ p，或者¬ （p∨¬ p），或者¬ （p→p）。
由以上分析可知，由于真值函数有常真、常假和有真有
假之分，因而表示真值函数的命题形式亦可相应地分成
永真式、矛盾式和协调式三种。
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永真式
永真式就是表示常真的真值函数的命题形式， 又称重言式。
逻辑思维训练
Logic and Critical Thinking
1
小张和小王不能同时上场比赛。
如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和 “小王上场比赛”，则相应的命题形式为：
¬ （q∧r）
小张和小王至少有一人上场比赛。
如果用“p”和“q”分别表示“小张上场比赛”和 “小王上场比赛”，则相应的命题形式为：
在各种复合命题的逻辑特性时看到，一旦命题形式 中的命题变项（即自变元）的真值确定后，整个命 题形式的真值随之也就确定了；
命题形式的这一特性，犹如数学的函数特性。 不同的是，数学中函数及其自变元的值是无穷多个实数，
而真值函数及其自变元的值仅取真、假二值； 因此，真值函数实际上就是复合命题的逻辑特性。
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有张三，李四，王五三个人。 张三只说假话，不说真话； 李四只说真话，不说假话； 王五最奇怪，真话假话都说。 有一天，一个学者同时遇到三个人，学者问他们的 身份。三个人各说了一句话： A说：我是王五。 B说：A说的是真话。 C说：我不是王五。 那么，A，B，C分别是谁？
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张三只说假话； 李四只说真话； 王五真话假话都说
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肖像问题
金匣
银匣
铅匣
肖像只在一匣中，匣上话只有一真， 问：肖像在哪匣？
铅匣
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p
q
r
p
¬p
¬r
t
t
t
t
t
f
t
f
t
t
f
f
t
f
t
f
t
t
f
t
f
f
t
t
f
f
t
f
t
f
f
f
f
P:在金匣中； q:在银匣中； r:在铅匣中。
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白球和黑球
个球：一只盒子里放一个白球和一个黑球；一只盒子 里放两个白球；一只盒子里放两个黑球。而每只盒子 外面分别贴着一张标签，标明 "白白"、"黑黑"、"黑 白"的字样。但由于疏忽，标签全贴错了，它们都与 盒子里装的 球不相符合。