高等应用数学电子教案3-1

第三步 以所求量U的微元f(x)dx为被积表达式，写出
区间[a,b]上的定积分，得
b
U a f (x)dx
上述方法称为 微元法 或元素法。
三、进一步的练习
练习1 [汽车的行驶路程] 如果一辆汽车以30m/s的速度匀速行驶了4s，那么 汽车行驶的路程为30×4＝120m。如果汽车以递增的 速度行驶，设v(t)=2t2(m/s)，此时其行驶速度是变化的， 如何得到它在t=0s到t=4s行驶的路程？
f
i
xi
其中 为积分符号，函数f (x)称为被积函数，f (x) dx
称为被积表达式， x称为积分变量，a称为积分下限，
b称为积分上限，区间[a,b]称为积分区间．
定积分的几何意义
当f
(x)>0时，b a
f
xdx
A；
当f (x)<0时，ab f xdxA。
图中函数f (x)在[a,b]上的定积分为
1）每秒记录一次速度 假设每隔一秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)，
如下表所示.
时间 0
1
2
3
4
速度 0
2
8
18 32
在每秒内，汽车行驶的速度变化不大，此时，如果 将汽车的运动视为匀速运动，汽车在第一秒内行驶 的路程可用0×1m近似，第二秒内可用2×1m近似， 这样，可以估算出汽车在4秒内行驶的路程为
ds v(t)dt
b
a
f
xdx
A1A2 A3
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a
a
f
xdx
2 a 0
f xdx
0
当f (x)为偶函数时 当f (x)为奇函数时
（a）
(b)
3.1.2 微 元 法
一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步的练习
一、案例 [曲边梯形的面积]
利用定积分的思想求解曲边梯形的面积时， “分割-取近似-求和-取极限”可概括为以下两步： 第一步 分割与取近似
0×1+2×1+8×1+18×1＝28 (km)
2）每半秒记录一次速度 假设每隔半秒记录下汽车行驶的速度(单位：m/s)， 如下表所示.
时间 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
速度 0 0.5 2 4.5 8 12.5 18 24.5 32
用与上面同样的计算方法，可以估算出汽车在4秒 内行驶的路程为 0×0.5+0.5×0.5+2×0.5+4.5×0.5+8×0.5+12.5×0.5+18 ×0.5+24.5×0.5＝35（m）
把区间[a,b]分成n个小区间 x0,x1, x 1 ,x 2 , ,x n 1 ,x n
各个小区间的长度依次为
x 1 x 1 x 0 , x 2 x 2 x 1 , , x n x n x n 1
在每个小区间xi1,xi上任取一点i(xi1i xi)，作和式
n
S f i xi i1
播放
在区间[a,b]内插入若干个分点
a x 0 x 1 x n 1 x n b
把区间[a,b]分成n个小区间
[xi1, xi ]（i=1,2,…，n）
长度为 xi xixi1 在每个小区间 [xi1,xi] 上任取一点 i , 以[xi1,xi] 为底，f (i) 为高的小矩形面积为
从上面的分析可以看出，要较精确地确定汽车行 驶的路程，需要将汽车行驶的时间分割得非常细，即 时间间隔非常小．时间间隔越小，精确度越高．要确 定汽车行驶路程的精确值，我们让时间间隔趋于零， 即将时间段进行无穷细分，汽车行驶的路程等于当时 间间隔趋于零时每个小段上的路程之和．
用微元法计算的过程如下：
(1)计算路程微元. 由于在小时间段上，物体的运动可 视为匀速运动，因此，用“以匀代不均”，得到路程微元
一、案例 二、概念和公式的引出
一、案例[曲边梯形的面积]
曲边梯形由连续曲线 yf(x )(f(x )0 )、 x轴 与两条直线 xa, xb 所围成。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩 形面积和与曲边梯形面积的关系：
将区间细分成很多小的区间，在每个小区间上 “以直代曲”，用矩形面积f (i)xi 近似代替
Af(i)xi
第二步 求和与取极限
将所有小面积全部加起来，即
AA
取极限，当最大的小区间趋于零时，得到曲边梯形 函数f(x)在区间[a,b]内的定积分，即
A＝ b f (x)dx a
二、 概念和公式的引出
第一步 根据问题的具体情况，选取一个变量（如x） 为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]; 第二步 写出U在任一小区间[x,x+dx]上的微元dU=f(x)dx
A i f(i) x i
曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当分割无限加细，即小区间的最大长度
m a x { x 1 , x 2 , x n }
趋近于零( 0) 时，曲边梯形面积为
nຫໍສະໝຸດ Baidu
Alim 0i1
f(i)xi
二、 概念和公式的引出
定积分 设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区间[a,b] 内任意插入n-1个分点，a x 0 x 1 x n 1 x n b
• 高等应用数学电子教案3-1
背景
“无限细分，无限求和”的积分思想在古代就已 经萌牙．最早可以追溯到希腊由阿基米德 （Archimedes ，287 BC～212 BC）等人提出的 计算面积和体积的方法．后来也逐步得到了一系列 求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果， 但这些结果都是孤立的，不连贯的．直到17世纪，
记 m 1inaxxi.如果不论对区间[a,b]怎样分法，也不论
小区间xi1, xi 上点 i 怎样取法，只要当 0 时，和 S
总趋于同一个确定的常数I，则称函数 f (x)在区间[a,b] 上可积，极限I称为函数f (x)在区间[a,b]上的定积分，
记作
b
f
a
n
x
dx
I lim 0 i1
背景
莱布尼兹和牛顿才将积分和微分真正沟通起来，明 确地找到了两者内在的直接联系，确立微分和积分 是互逆的两种运算．建立了微积分学．
莱布尼兹创立了积分符号 dx ．这些符号进一步
促进了微积分学的发展，并一直沿用至今．
第一节 定积分－求总量的模型
3.1.1 定积分的概念及性质 3.1.2 微元法
3.1.1 定积分的概念及性质