工程制图点的投影
工程制图第3章 点、直线和平面的投影
β
SH
O
α
Y
H
YH
V
a
A
a
b c
B
b
H
水平面
a
b a W c
C
a
c
b c
b c
b a c
投影特性： 1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性 2. 水平投影abc反映 ABC实形
V b
正平面
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
2.投影面垂直线
垂直于某一投影面的直线
(1) 铅垂线 (2) 正垂线 (3) 侧垂线
3.一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
水平线 — 平行于水平投影面的直线 z
Z
a b
a
b
a
b
A
a
X
O
YW
X
B O
b
a
a
b
Y
投影特性：1. ab OX ; ab OYW 3. 反映、 角的真实大小
α
H
V SB
A
b
b
侧垂面
SbW
c β c
a
W
α a
c
C
a
b c
H
a
投影特性： 1、 侧面投影abc积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示 Z
SH
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b
土木工程制图讲义点线面投影篇1
二，点在两投影面体系中的投影
V
1 两投影面体系(two view system)的建立
X
ⅡⅠ Ⅲ
O
◆正面投影面(vertical projection plane) Ⅳ H
（简称正面或V面）
◆水平投影面(horizontal projection
plane) （简称水平面或H面）
两投影面体系
◆投影轴(projection axis)
b
YH
OZ轴相交于bz，延长后量
取b" bz=15，得点b"。
特殊位置点的投影
（1）在投影面上的点
1A. 点点在的一空个间坐向标后为移零动y，=0 2其. 点投的影该有面何投变影化与其？本身
重合 A a 3. 另两个a、a在投影轴上
V a当当●≡VVAAA面面点点上上移移YY动动==00到到
Z
a
如何根据点的二面投影求第三面投影
三．两点间的相对位置 四．重影点及可见性
作业
T3-1,2,3,4
a
●
●
X
Y
O
a●
A a ●
Y a Z
●
X
a
●
≡
ax
°b' O
H
°b≡ B
X a●
O
（2）在投影轴上的点
1. 点的两坐标为零 y=0 ；z=0
a ●
●a
2. 两个投影与轴重合 A a a
3. 另一个投影 a 在原点上
a点向下移动到OX 轴上，反映点的空间
位置有何变化？
Z=0；Y=0；A点 在投影轴上。
Z
V
a'
az
b'
工程制图-2-点的投影-新
（一）三投影面体系的建立 如图：空间中有三个相互垂直的面，水平投影面用“H”表示，正立投影面用 “V”表示，侧立投影面用“W”表示。交点“O“为原点，三条交线OX、OZ、 OH叫投影轴。
（二）三面正投影图的形成
例：两步台阶
把台阶放在正投影体系中，按箭头方向分别向三个投影面作正投影，则： • ——在“H”面上得到的投影图，称为平面图（俯视图）
1．实形性 2．积聚性 3．类似性 4．平行性 5．从属性 6．定比性
2.2 点的投影
• • • • • • 点的单面投影 点的两面投影 点的三面投影 特殊点的投影 X 投影与坐标的关系 两点间的相对位置
z V
a’ az
A
ax a
o
a” W ay
• 重影点及其可见性
Y
1、点的单面投影
• 若已知一个空间点， 则在给定的投影面上， 可以得到该点唯一的 投影。 • 若已知点的一个投 影，则不能确定该点 的空间位置。
2.1.1
投射线
投影法的概念
S A 投影中心
空间点
b
a
B
投影
投影面P
将光线通过物体向选定的平面投影，并在该平面上得 到物体影子的方法称为投影法。
（二）投影的分类——由光源来确定。
1、中心投影：由点光源照射物体形成的投影，叫中心投影。 特点：近大远小。
2、平行投影：由相互平行的光线照射物体形成的投影。
• ——在“V”面上得到的投影图，称为立面图（主视图）
• ——在“W”面上得到的投影图，称为侧面图（左视图）
• 将H、V、W面的投影图综合起来，称为“三视图”
（三）三视图的展开
• • • 按规定，三视图应画在一个平面内。 方法：V面不动，H面绕OX轴向下旋转90度，与V面重合，W面绕OZ轴向右 旋转90度与V面重合。 如图：
机械工程制图点的投影课件
程
学
A
院
B
被挡住的投
a(b)
c d
影加( )
空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时， 则称此两点为该投影面的重影点。
•18
•2024/4/30
点在空间的a上 下、前后、 a
程
a
学
左右位置关系。
院
b
b
A
a X
X
B
O
b
b
O
YW
b
b
a
Y
a
判断方法： ▲x 坐标大的在左 ▲y 坐标大的在前 ▲z 坐•1标5 大的在上
YH
•2024/4/30
例3 判断两点的相对位置
机
械
工 程 学
a●
Z ●a
院
b ●
● b
X
o
YW
a●
●
b
YH
B点在A点之前、
之右、之下。
一.点在二面投影体系中的投影
机 械
5.点的二面投影特性
工 程
aa´ox
a´
学
院 特性1:点的投影连线垂直于 X
o
相应的投影轴
A(a,a) x= oax
a
Z
y=aax =Aa´
V a
●
A(x, y,z)
z= axa´=Aa
z X ax
A
●x
特性2：点到投影面的距离等
y
O
于它在相邻投影面的投影到投
a●
•水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c等；
•正面投影用相应的小写字母加撇表示，如a′、b′、c′；
•侧面投影用相应的小写字母加两撇表示，如a″、b″、c″。
工程制图全册复习要点
点和直线§1-1投影知识1, 中心投影法1、平行投影法（正投影法斜投影法）§1-2点的投影一个形体是由多个侧面所围成，各侧面又相交于多条侧棱，各侧棱又相交于多各顶点，则只要把这些点的投影画出来，再连成线就可作出一个形体的投影。
所以，点是形体的最基本元素。
且点的投影规律是线, 面, 体的投影基础。
一, 点在三投影面体系中的投影1, 点的直角坐标及三面投影的关系”’到W面的距离’”到V面的距离’”到H面的距离2, 三投影面体系中点的投影规律（1）a’a在同一条投影连线上，垂直于X轴。
这两个投影都反映A点的X 坐标。
a’a⊥X轴（2）a’a”在同一条投影连线上，垂直于Z轴。
这两个投影都反映A点的Z 坐标。
a’a”⊥Z轴（3）点的水平投影到X轴的距离等于侧面投影到Z轴的距离。
这两个投影都反映A点的Y坐标。
”二, 两点的相对位置1、对于两个点在空间就有相对位置的问题了。
（1）对V面投影时，靠近V面的为后，远离V面的为前。
H, W面投影可反映出其前后关系。
（2）对H面投影时，靠近H面的为下，远离H面的为上。
V, W面投影可反映出其上下关系。
（3）对W面投影时，靠近W面的为右，远离W面的为左。
V, H面投影可反映出其左右关系。
三, 重影点当空间两点处于特别位置，即两点恰好在同一条投影线上，此时两点在同一投影面上的投影重合，这时称两点为该投影面的重影点。
四, 投影轴和投影面上点的投影小结：1, 作空间一个点的投影①利用坐标值②利用点到投影面的距离③利用两点间的相对位置。
2, 点的投影方向：自上向下, 自前向后, 自左向右3, 推断重影点的可见性：前遮后, 上遮下, 左遮右§1-2直线的投影一, 直线的投影图从几何学知道，直线是无限长的。
直线的空间位置可由线上随意两点的位置确定，即两点定一线，在次要作直线投影只要作两个点的投影即可。
二, 各类直线的投影特性1, 投影面平行线特点：平行某一投影面，倾斜其他投影面。
工程制图第三章-点、直线、平面投影
(1) 水平线 — 只平行于水平投影面的直线
z
a b
a
b
a
b
A
a
XOYWB来自b a ab
b YH
投影特性：1．ab平行于 OX ; ab平行于 OYW 。 2． ab=AB。
3．反映、 角的真实大小。
（2）正平线—只平行于正面投影面的直线
第三章 点、直线、平面的投影
第一节 点的投影 第二节 直线的投影 第三节 平面的投影 第四节 直线、平面的相对位置 第五节 投影变换
第一节 点的投影
基本要求
§1-1 两投影面体系中点的投影
§1-2 三投影面体系中点的投影
§1-3 两点的相对位置
§1-4 重影点的投影
例题1
例题2
§1-1 两投影面体系中点的投影
|zA-zB|
AB
ab
|zA-zB|
AB
|zA-zB|
ab O
|zA-zB |
AB
2． 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角
|yA-yB|
AB
a' b'
AB
|yA-yB|
a' b'
AB
|yA-yB|
O |yA-yB|
3． 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角
|xA-xB|
[例题1] 已知 线段的实长AB，求它的水平投影。
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
二、交叉垂直的两直线的投影
O
AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac
[例题8] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。
工程制图线投影
工程制图线投影
B、平面内取线
a′ m′
1′
z
c′ n′
2′
a″ c″ 2″ m″ n″ 1″
x
b′
b″ yW
c
n2
a
m
1
b
yH
平面内取线
工程制图线投影
例：已知一平面ABCD，⑴判别点K是否在平面上；⑵已知平面 上一点E的水平投影 e，作出其正面投影。
a' X
a
b'
k'
d' b
e k d
工程制图线投影
c' O
c
解：⑴分析：要找点K在不在平面内，先找 过点K的直线在不在平面内。
作图：
b'
f' a'
X f
k' d'
b
a
结论： 点K不在平面内
k d
工程制图线投影
c'
O
c
⑵分析：点E在平面内，必在平面内某一条直线上。
作图方法一：用过点E的任一辅助线作图。
b'
a'
e’
c'
d'
X
O
b
a
e
c
d
工程制图线投影
投影长度比。
a
AK : KB = ak : kb = a′k′ : k′b′ = a″k″ : k″b″
k b
z b″
k″ a″
yW
yH
工程制图线投影
直线上点的投影
例：已知直线AB和点M的正面投影和水平投线，M
在直线上，必在直线AB的同
m′
面投影上，并满足定比规律。
工程制图 第三章 知识点
第三章一、点的投影两点的相对位置：X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。
二、直线的投影1、各种位置直线的投影特性（1）投影面平行直线：在平行的投影面上的投影，反映实长；投影与投影轴的夹角分别反映直线与另两个投影面的真实倾角；在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，长度缩短。
（2）投影面垂直直线：在直线垂直的投影面上的投影积聚成一点；在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，反映实长。
（3）一般位置直线：三个投影面上的投影都倾斜于投影轴；投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角；不反映实长（缩短）。
2、直线上点的投影特性及定比关系（1）从属性：若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。
（2）定比性：属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。
3、两直线的相对位置关系及投影特性（1）平行：三对同面投影分别互相平行。
（2）相交：三对同面投影都分别相交，且投影的交点符合一点的三面投影特性。
（3）交叉：既不符合平行特性也不复合相交特性。
判断两直线相交还是交叉的方法：（1）交点投影法：判断三个投影面的交点是否满足点的投影规则。
（通常需要做出第三投影面的两直线投影来判断）（2）定比关系法：由投影面的一条直线的交点投影，根据定比关系作出该交点在另一个投影面在该直线上的点的位置，如果两个投影面上的交点是同一点，则可判断两直线相交，反之则交叉。
4、直角三角形法（求一般位置直线的实长和倾角）直角三角形法的作图要领：用线段在某投影面上的投影长作为一条直角边，以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的倾角。
直角边与倾角的对应关系如下表：解题原则：求直线与哪个投影面的倾角，就用哪个投影面上的投影长作为一条直角边。
5、直角的投影定理相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。
土木工程制图-第二章点、直线、平面的投影
平行直线的投影
例题
33
1.平行二直线的投影
34
[例题7] 给出平行四边形ABDC的两条边AB、AC的H、V投影，试完成ABDC的投影。 d d'
三、两交叉直线
交叉直线的投影
交叉二直线重影点投影的可见性判断
例题
36
1.交叉二直线的投影
凡不满足平行和相交条件的直线为交叉二直线。
一、 点的投影
a
a (b)
(1) 点的正投影是点，在过该点垂直于投影面的投射线的垂足处； (2) 如果两点位于某一投影面的同一投射线上，则此两点在该投影面上的投影必定重合。
3
点在三投影面体系中的投影
点的三面投影 点的三面投影规律 三面投影的投影关系 点的坐标 例题
1.点的三面投影
O
a'
a
a"
e"(f")
c'(d')
15
2.2 直线的投影
3
例题
2
1
直线的投影
直线的投影特性
16
一、直线的投影
a
c
b
(a)
(b)
B
a(c)(b)
(c)
c
a
b
17
一般位置直线
01
投影面的平行线 投影面的垂直线 例题
01
直线的投影特性
01
1、一般位置直线的投影特性
b
b'
a"
b"
a
a'
A
B
YW
19
2、投影面平行线的投影特性
1
2
d
d'
正投影基础知识—点的投影(工程制图)
第二部分
投影展开
二、投影展开
a' X ax
a"
az
O ay YW
ay
a
YH
点的三面投影满足
aa ox （长对正） aa oz （高平齐） aaz = aax（宽相等）
03
PART 02
第三部分
例题
三、例题
已知点A的水平投影a和正面投影a′，作出它的侧面投影a″。
目录
CONTENTS
1
两点的相对位置
三、例题
作图步骤
Z
a ●
az ●a
40
X ax 30 O
YW
20
a●
YH
目录
CONTENTS
1
点的坐标
2
特殊位置的点
3
例题
01
PART 01
第一部分
点的坐标
一、点的坐标
1、点的空间位置可 用直角坐标表示：
Z
V a
az
y
x a
X ax z O W
a H
ay Y
一、点的坐标
2、书写形式为A (x，y，z) 。 3、点的每个投影反映两个坐标： V 投影反映x和z， H 投影反映x和y， W 投影反映y和z。 也就是说知道一个点的两面投影 即可确定该点的空间位置。
二、重影点及可见性判别
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线 上，则这两点在该投影面上的投影重合， 这两点称为该投影面的重影点。其中位于 左、前、上方的点为可见点，位于右、后 、下方的点被遮挡，为不可见点。
03
PART 02
第三部分
例题
三、例题
例：已知点A(30,20,40)，求作点的三面投影。
最全最详的画法几何及工程制图之点的投影1
第三分角内点C 第四分角内点D
第三章 点的投影
点的三面投影
一、三面体系及点的三面投影
1.三面体系 互相垂直的三个平面把空间分为八个部分
2 6
八个分角
1
5
3
7
4
8
2.点的三面投影
① 三面垂直 ② 三面投影
A点在H 面投影 —— A点在V 面投影 —— A点在W 面投影 ——
③三面展开
形成点的三面投影图
二、点的三面投影规律
⊥ ⊥
长对正
高平齐
=
宽相等
[例 1] 已知B点的两个投影 ， 求作第三投影
三、点的投影与坐标
a′
展开后
将三面体系当作笛卡尔直角坐标系 A 到W 面的距离为A 点的x 值 A 到V 面的距离为A 点的y 值 A 到H 面的距离为A 点的z 值
A 点坐标的表示形式
（x,y,z）
[例2]已知点A（20，15，10），求作其三面投影图。
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a
c
b 投影面
投影特性
中心投影法得到的投影一般不反映形体的 真实大小。
度量性较差，作图复杂。
2.1.2平行投影法
投射线垂直 于投影面
投射线倾斜 于投影面
投影体 A
C
正投影
B
a
c
b 投影面
A
C
B
a
c
b 投影面
投影体 斜投影
正投影法 投射线互相平行且垂直于投影面 斜投影法 投射线互相平行且倾斜于投影面
A
三面投影体系
第一分角
2.2.1 点在三投影面体系中的投影
V a’
ax X
Z az A O a
投影面与投影轴
a’’ W ay
•正立投影面——V面 •水平投影面——H面 •侧立投影面——W面
•V面与H面的交线—OX轴 •H面与W面的交线—OY轴 •V面与W面的交线—OZ轴
H Y
Z
V
W
X
O
YW
H YH
展开后的投影
2.2.2 投影规律
Z
Z
V a’
az
ax
A
a”
X
O
X
O
YW
a
ay
Y
1. a’a⊥ox,a’a’’⊥oz,
YH
aaY⊥oyH,a”aY⊥oyH
2. a’az=aayh =Aa’’ aax= a’’az =Aa’
a’ax=a’’ayw= Aa
•空间点的位置和直角坐标
பைடு நூலகம்
Αa″（点A到W面的距离） Αa （点A到V面的距离） Αa （点A到H面的距离）
•点A在点B之左； •点A在点B之后； •点A在点B之下；
点A在点B的左后下方
•重影点与可见性
正面重影点（正前后） 水平重影点（正上下） 侧面重影点（正左右）
(ｆ‘)
度量性好
多面正投影应用—组合体
多面正投影应用—机械装配图
2.投影的基本知识
2.2 点的投影
A
点
点的一面投影与空间不是
一一对应的，因此需要用
两个以上的 投影体系，
线
作多面正投影。
面
A
A1
D B
a
C
设立三个互相垂直的投影平面，构成三面投影体系。这
三个平面将空间分为八个分角，(GB4458.1–84)规定：采用 第一角投影法，
2.投影的基本知识
2.1 投影法介绍 2.2 点的投影
2.投影的基本知识
2.1投影法介绍
画透视图
画斜轴测图
中心投影法
投影方法
斜投影法
画正轴测图
平行投影法
单面投影
正投影法
多面投影
画工程图样
22.1.1.1.1中中心心投投影影法法
投射中心
投射线
投影体
A
C
B
a
c
b 投影面
投影
A
C
B
物体位置改变， 投影大小也改变
反映了投影 与坐标之间 的关系
x y z
•三面投影图
Z
X
O
YWW
YH YH
•特殊位置的点
•投影面上的点 •投影轴上的点
例1 已知点A的正面和侧面投影，求其水平投影。
Z
X
O
YW
YH
例2 已知点A（15，10，20），求作投影图。
2.2.3 两点的相对位置
上Z
∆y ∆z
∆x
下
X左
右后
前YW
YH 前