《二次函数综合应用》

考点五 用待定系数法求二次函数的解析式 例 5 如图，已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象过 A(2,0)，B(0，－1)和 C(4,5)三点．
(1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D， 求点 D 的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线 y＝x＋1，并写出当 x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数解析 式及二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系．
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值 例 1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为________． 【点拨】方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2 ＋2，则顶点坐标为(1,2)．方法二：代入公式 x＝－2ba＝ －2－×21＝1，y＝4ac4－a b2＝4×14××31－22＝2，则顶点坐 标为(1,2)． 【答案】 (1,2)
方法总结： 解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配 方为顶点式y＝ax－h2＋k的形式，得到：对称轴是 x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为h，k；也可以直接 利用公式求解.
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小 比较
例 2 二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的图象如图所示，若 点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且 x1<x2<1，则 y1 与 y2 的大小关系是( )
考点六 利用函数图象解方程(组)或不等式 例 6 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所 示，则函数值 y>0 时，x 的取值范围是( ) A．x<－1 B．x>3 C．－1<x<3 D．x<－1 或 x>3
【点拨】根据图象可知，当 y＞0 时，函数的图象 在 x 轴的上方，由左边一段图象可知 x＜－1，由右边 一段图象可知 x＞3.因此 x<－1 或 x>3.
考点四 抛物线与几何变换
例 4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长
度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式
是( )
A．y＝(x－4)2－6
B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2
D．y＝(x－1)2－3
【点拨】方法一：因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， 所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长 度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝ (x－4)2－2.故选 B.方法二：因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2 －4，所以顶点为(3，－4)，将点(3，－4)先向上平移 2 个单位，再向右平移 1 个单位所得到的点为(4，－2)， 所以平移后的解析式为 y＝(x－4)2－2.故选 B.
∴当7≤x≤13时，该种商品每天的销售利润不低 于16元．
方法总结： 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大 利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题， 运动型几何问题，方案设计问题等.
练习 1．南宁柿饼加工精细，上市时，外商王经理 按市场价格 10 元/千克在南宁收购了 2 000 千克柿饼存 放入冷库中．据预测，柿饼的市场价格每天每千克将 上涨 0.5 元，但冷库存放这批柿饼时每天需要支出各种 费用合计 320 元，而且柿饼在冷库中最多保存 80 天， 同时，平均每天有 8 千克的柿饼损坏不能出售．
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大 增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
最值
抛物线有最 抛物线有最
【答案】 D
方法总结： 利用二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象求不等 式y＞0或y＜0的解集，实质就是求当x在什么范围内 时，函数的图象在x轴的上或下方.
考点七 二次函数的应用 例 7 某种商品每天的销售利润 y(元)与销售单价 x(元)之间满足关系：y＝ax2＋bx－75，其图象如图所 示．
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值 4ac－b2
4a
y ＝ 最大值 4ac－b2
4a
考点三二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征与系数
a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
开口向上 开口向下
b＝0
对称轴为y轴
ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴左侧 b
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 系数 a，b，c 的关系
例 3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示， 下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0； ④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得
解 ： (1)∵ 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx＋ c 的 图 象 过 A(2,0)，B(0，－1)和 C(4,5)三点，
4a＋2b＋c＝0， ∴ c＝－1，
16a＋4b＋c＝5，
∴y＝12x2－12x－1.
a＝12，
解得
b＝－12， c＝－1，
(2)当 y＝0 时，12x2－12x－1＝0，解得 x＝2 或－1， ∴D(－1,0). (3)如图，当－1＜x＜4 时，一次函数的值大于二 次函数的值.
【答案】 D
方法总结： 1.可根据对称轴的位置确定 b 的符号：b＝0⇔对称 轴是 y 轴；a、b 同号⇔对称轴在 y 轴左侧；a、b 异号 ⇔对称轴在 y 轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当 x＝1 时，函数 y＝a＋b＋c.当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；当图象上横坐 标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图 象上横坐标 x＝－1 的点判断 a－b＋c 的符号.
A. y1≤y2 B．y1<y2 C．y1≥y2 D．y1>y2
【点拨】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴 是 x＝1，当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．∵x1<x2<1， ∴y1<y2 . 故选 B.
【答案】 B
方法总结： 当二次函数的解析式与已知点的坐标中含有未知字 母时，可以用如下方法比较函数值的大小：1用含有未 知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；2在相 应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解； 3根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
【答案】 B
例．如图的一座拱桥，当水面宽 AB 为 12 m 时，桥洞顶
部离水面 4 m，已知桥洞的拱形是抛物线．以水平方向
为 x 轴，建立平面直角坐标系，若选取点 A 为坐标原点
时的抛物线解析式是 y＝－19(x－6)2＋4，则选取点 B 为
坐标原点时的抛物线解析式是
.
方法总结： 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自 变量，上加下减常数项.
若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，
c的值．
2．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大
值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已
知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为 一般式．
ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴右侧
c＝0
经过原点
c＞0
与y轴正半轴相交
c
c＜0
与y轴负半轴相交
b2－4ac
b2－4ac＝0 与 x 轴有唯一交 点(顶点)
b2－4ac＞0 b2－4ac＜0
与 x 轴有两个交 点 与 x 轴没有交点
温馨提示： 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c；当 x＝－1 时，y＝a－b ＋c.若 a＋b＋c＞0，即当 x＝1 时，y＞0；若 a－b＋c ＞0，即当 x＝－1 时，y＞0.
(1)销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利 润最大？最大利润为多少元？
(2)销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售 利润不低于 16 元？
【点拨】本题考查建立二次函数模型解决实际问 题，用配方法求最值是解决问题的关键．
解：(1)∵y＝ax2＋bx－75 的图象经过点(5,0)，
(7,16)，
∴25a＋5b－75＝0， 解得a＝－1，
49a＋7b－75＝16.
b＝20.
∴y＝－x2＋20x－75＝－(x－10)2＋25.
∴当销售单价为 10 元时，该种商品每天的销售利 润最大，最大利润为 25 元．
(2)∵x＝10为抛物线的对称轴，且(7,16)在抛物线 上，∴(13,16)也在该抛物线上．
3．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，
则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐
标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后 将解析式化为一般式．
温馨提示： 1.给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数. 2.一般式、顶点式、交点式是二次函数常见的表达 式，它们之间可以互相转化.将顶点式、交点式去括号、 合并同类项就可转化为一般式；把一般式配方、因式 分解就可转化为顶点式或交点式. 3.二次函数 y＝ax－x1x－x2的对称轴为 x＝ x1＋2 x2.
方法总结： 1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求解 析式； 2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则 可设顶点式求解析式，最后化为一般式； 3. 若 已 知 二 次 函 数 图 象 与 x 轴 的 交 点 坐 标 为 x1，0、x2，0时，可设交点式求解析式，最后化为 一般式.
考点四 二次函数图象的平移 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经 过平移得到，具体平移方法如下：
温馨提示： 二次函数图象间的平移可看作是顶点间的平移， 因此只要掌握了顶点是如何平移的，就掌握了二次函 数图象间的平移.
考点五 二次函数解析式的求法
1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
c＞0，则 abc＞0，故①正确；由对称轴 x＝－2ba>－1 可得 2a－b＜0，故②正确；由图象上横坐标为 x＝ －2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得出 a＋b＋c ＜0，由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得出 a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2 ＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选 D.
考点二 二次函数的图象和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象开口 对称ຫໍສະໝຸດ 、顶点抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
二次函数考题类型及解析
考点一 二次函数的定义 1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常 数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当 a≠0，b＝c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)； (2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，由顶点式可以 直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)； (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1， x2 是图象与 x 轴交点的横坐标．
考点六 二次函数的应用 1．二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最 大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．
2．一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它
们之间 的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变 量的取值范围；(3)应用二次函数的图象及性质解决实际 问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．