2019年数学高考试题(及答案)

y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递
增，函数
y
loga
x
1 2
过定点
(
1 2
,
0)
且单调递减，D
选项符合；当
a
1时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递增，则函数
y
1 ax
过定点 (0,1)
且单调递减，函数
y
loga
x
1 2
过定点
(
1 2
,
0）且单调递增，各选项均不符合.综上，选
D.
【点睛】
20．已知四棱锥 S ABCD 的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球 O 的球面 上，则球 O 的表面积等于_________.
三、解答题
21．已知 f x ln x a 1 x .
(1)讨论 f x 的单调性；
(2)当 f x 有最大值，且最大值大于 2a 2 时，求 a 的取值范围.
本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．
12．D
解析：D 【解析】
【分析】
本题通过讨论 a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选
项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0
a
1 时，函数
y
ax
过定点 (0,1)
且单调递减，则函数
样本的标准差是( )
A．1
C． 3 11．下列说法正确的是 ( )
B． 2
D．2
A． a b ac2 bc2
B． a b a2 b2
C． a b a3 b3
D． a2 b2 a b
12．在同一直角坐标系中，函数
y
1 ax
,
y
loga
x
1 2
(a
0
且
a
1)
的图象可能是
（）
2
a
log 1
2
a
或
EF 2 ，现有如下四个结论： 2
①AC BE ； ②EF / / 平面 ABCD； ③ 三棱锥 A BEF 的体积为定值； ④ 异面直线 AE, BF 所成的角为定值，
其中正确结论的序号是______．
16．函数 y loga (x 1) 1(a 0且a 1) 的图象恒过定点 A，若点 A 在一次函数
解析：B 【解析】
用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至
多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有
两个钝角，故选 B ． 9．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 解答： 由已知条件得
；
根据共面向量基本定理得：
∴△ABC 为等边三角形。 故答案为：等边三角形。
ACB 2 3
（I）求证： QB1 / / 平面 A1ACC1 （Ⅱ）求二面角 A1 BB1 C 的余弦值. 24．已知菱形 ABCD 的顶点 A ， C 在椭圆 x2 3y2 4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1． （1）当直线 BD 过点 (0,1) 时，求直线 AC 的方程． （ 2 ）当 ABC 60 时，求菱形 ABCD面积的最大值． 25．已知数列｛ an ｝的前 n 项和 Sn＝n2－5n (n∈N+）． （1）求数列｛ an ｝的通项公式； （2）求数列｛ an ｝的前 n 项和 Tn .
4．C
解析：C 【解析】 【分析】 从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图 形． 【详解】 由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体 的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合 C 选 项． 故选 C． 点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相 等”的含义． 考点：三视图．
易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是 不能通过讨论 a 的不同取值范围，认识函数的单调性.
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析： ( 1,0) (1, )
【解析】 【分析】 【详解】
由题意
f
a
f
a
a 0
log
10．B
解析：B 【解析】 由题意得 a＋3＋4＋5＋6＝5b，a＋b＝6，
解得 a＝2，b＝4，所以样本方差 s2＝ 1 [(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2， 5
所以标准差为 2 .
故答案为 B.
11．C
解析：C 【解析】 【分析】 由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】 选项 A，当 c＝0 时，由 a＞b，不能推出 ac2＞bc2，故错误； 选项 B，当 a＝﹣1，b＝﹣2 时，显然有 a＞b，但 a2＜b2，故错误； 选项 C，当 a＞b 时，必有 a3＞b3，故正确； 选项 D，当 a＝﹣2，b＝﹣1 时，显然有 a2＞b2，但却有 a＜b，故错误． 故选：C． 【点睛】
2n1
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．D 解析：D 【解析】 【分析】
根据 x, y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系.
【详解】
根据实验数据可以得出， x 近似增加一个单位时， y 的增量近似为 2.5，3.5，4.5，6，比较
接近 y 1 x2 1 ，故选 D. 2
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．设函数
f
x
log2
log
1 2
x, x 0 (x), x
0
，若 f (a) f (a) ，则实数 a 的取值范围是
__________．
14． i 是虚数单位，若复数 1 2ia i 是纯虚数，则实数 a 的值为
.
15．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且
由函数解析式
f
x
ex ex x2 x
2
，易知
f
x
ex x2
ex
=
x 2
f
x
所以函数
f
x
ex ex x2 x 2
为奇函数，排除
D
选项
根据解析式分母不为 0 可知,定义域为 x x 1 ,所以 y 轴右侧虚线部分为 x=1，
当 x=0.01 时，代入 f x 可得 f x 0 ，排除 C 选项
数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基 础题.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.
【详解】
E( ) 0 1 p 1 1 2 p p 1 ，
2
22
2
D( ) 1 p (0 p 1)2 1 (1 p 1)2 p (2 p 1)2 p2 p 1 ，
22．“微信运动”是手机 APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生 M 的微信好友
中有 400 位好友参与了“微信运动”．他随机抽取了 40 位参与“微信运动”的微信好友 （女 20 人，男 20 人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为
五个类别： A 、 0 2000 步，（说明：“ 0 2000 ”表示大于或等于 0，小于 2000，以 下同理）， B 、 2000 5000 步， C 、 5000 8000 步， D 、 8000 10000 步， E 、 10000 12000 步，且 A 、 B 、 C 三种类别的人数比例为1: 4 : 3 ，将统计结果绘制如图所
示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）若以大学生 M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动” 的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生 M 的参与“微信运动”的 400 位 微信好友中，每天走路步数在 2000 8000 的人数； （Ⅱ）若在大学生 M 该天抽取的步数在 8000 10000 的微信好友中，按男女比例分层抽
y mx n 的图象上，其中 m, n 0, 则 1 2 的最小值为 mn
17．若函数 f (x) 1 x3 1 x2 2ax 32
在
2 3
,
上存在单调增区间，则实数
a
的取值
范围是_______.
18．已知样本数据 ， ， ， 的均值 ，则样本数据
，
，，
的均值为 ． 19．在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1：2，则它们的面积比为 1：4，类似地，在 空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1：2，则它们的体积比为 ▲
【点睛】 本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析 的核心素养.
2．A
解析：A
【解析】 【分析】
根据函数的奇偶性，排除 D；根据函数解析式可知定义域为 x x 1 ,所以 y 轴右侧虚线
部分为 x=1，利用特殊值 x=0.01 和 x=1.001 代入即可排除错误选项． 【详解】
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则
该几何体的俯视图为( )
A．
B．
C．
D．
5．
1
i 2
i3
i
（
）
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 iΒιβλιοθήκη Baidu
D． 3 i
6．设 0 p 1 ，随机变量 的分布列如图，则当 p 在 0,1 内增大时，（ ）
0
1
2
1 p
1
p
P
2
2
2
A． D 减小
B． D 增大
C． D 先减小后增大
D． D 先增大后减小
7．在等比数列 an 中， a4 4 ，则 a2 a6 （ ）
A． 4
B．16
C． 8
D． 32
8．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（ ）
A．假设至少有一个钝角
B．假设至少有两个钝角
C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
9．在△ ABC 中， P 是 BC 边中点，角 A、B、C 的对边分别是
，若
c AC aPA bPB 0 ，则△ ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．等边三角形
D．等腰三角形但不是等边三角形. 10．一个样本 a,3,4,5,6 的平均数是 b，且不等式 x2－6x＋c＜0 的解集为(a，b)，则这个
当 x=1.001 时，代入 f x 可得 f x 0 ，排除 B 选项
所以选 A 【点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数的图象，依据主要是奇偶性、单调性、特殊值等，注 意图中坐标的位置及特殊直线，属于中档题．
3．D
解析：D 【解析】 因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为．存在 x0∈R，使得 x02＜0． 故选 D．
2
22
22
2
4
1 (0,1) ，∴ D( ) 先增后减，因此选 D. 2
【点睛】
n
n
n
E( ) xi pi , D( ) (xi E( ))2 pi xi2 pi E2 ( ).
i 1
i 1
i 1
7．B
解析：B
【解析】
等比数列的性质可知 a2 a6 a42 16 ,故选 B . 8．B
2．
f
x
ex ex x2 x 2
的部分图象大致是（
）
)
D． y 1 x2 1 2
A．
B．
C．
D．
3．命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为（ ）
A．对任意 x∈R，都有 x2＜0
B．不存在 x∈R，都有 x2＜0
C．存在 x0∈R，使得 x02≥0
D．存在 x0∈R，使得 x02＜0
5．B
解析：B 【解析】
【分析】
先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最
后结果. 【详解】
由题意得，复数
1
i 2
i3
i
1 i
3i
1
i
3i i
i
3
i ．故应选
B
【点睛】
本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住
i2 1.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实
取 6 人进行身体状况调查，然后再从这 6 位微信好友中随机抽取 2 人进行采访，求其中至
少有一位女性微信好友被采访的概率．
23．如图，在几何体 ABC A1B1C1 中，平面 A1ACC1 底面 ABC，四边形 A1ACC1 是正方
形， B1Cl / / BC ，Q 是 A1B 的中点， AC BC 2B1C1,
2019 年数学高考试题(及答案)
一、选择题
1．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3
4
5.1 6.12
y 1.5 4.04 7.5 12 18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是 (
A． y 2x 2
B． y ( 1 )x 2
C． y log2 x