初中二次函数解析式的确定-例题和答案

第一、求二次函数解析式的问题

一．知识要点:

1.已知抛物线的顶点(m,n ）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-a)2+b.，式中只有一个待定系数k,把(m,n ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

2. 已知抛物线与x 轴的交点(x 1，0)和(x 2,0）及抛物线上的另一点(a,b)，这时可以设抛物线的解析式为：y=k(x-x 1 )(x-x 2 ) 式中只有一个待定系数k,把(a,b ）代入即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

3. 已知抛物线上任意三点(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）这时可以设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c,式中含有三个待定系数a 、b 、c 把(x 1,y 1）(x 2,y 2）(x 3,y 3）代入,得到含a , b, c 的方程组，即可求出k ，从而求出抛物线的解析式。

二. 重点、难点：

重点：求二次函数的函数关系式

难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。

三. 教学建议：

求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。 典型例题

例1.已知某二次函数的图象经过点A （－1，－6），B （2，3），C （0，－5）三点，求其函数关系式。

例2. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象的顶点为（1，-92

），且经过点（－2，0），求该二次函数的函数关系式。

例3. 已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象

与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。

例4. 已知二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示，则这个二次函数

的关系式是

例5. 已知：抛物线在x 轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这

个函数的关系式

例6. 已知二次函数y m x mx m m =-++-()()()123212≠的最大值是零，

求此函数的解析式。

例7. 已知某抛物线是由抛物线y x =22经过平移而得到的，且该抛物线

经过点A （1，1），B （2，4

例8. 如图2，已知点A （－4，0）和点B （6，0），第三象限内有一点P ，它的横坐标为－2，并且满足条件tan tan ∠·∠PAB PBA 1

（1）求证：△PAB 是直角三角形。

（2）求过P 、A 、B 三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。

例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系

上的示意图，点A 和A 1，点B 和B 1分别关于y 轴对称，隧道拱部分BCB 1为一段抛物线，最高点C 离路面AA 1的距离为8米，点B 离地面AA 1的距离为6米，隧道宽AA 1为16米

图3

（1）求隧道拱抛物线BCB 1的函数表达式；

（2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型

设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。

例10. 有这样一个问题：

已知：二次函数y ax bx c =++2的图象经过A （0，a ），B （1，2），

，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x =2，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。

（1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写

出求解过程，若不能，说明理由。

（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（－2，20），D（－1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。

1.分析：设y ax bx c =++2，其图象经过点C （0，－5），可得c =-5，再由另外两点建立关于a b 、的二元一次方程组，解方程组求出a 、b 的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为y ax bx c =++2

因为图象过点C （0，－5），∴c =-5

又因为图象经过点A （－1，－6），B （2，3），故可得到：

a b a b a b a b a b --=-+-=⎧⎨⎩-=-+=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩

56425312412即解得： ∴所求二次函数的解析式为y x x =+-225

说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为y ax bx c =++2，然后确定a 、b 、c 的值即得，本题由C （0，－5）可先求出c 的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。

2. 分析：由已知顶点为（1，-92），故可设y a x =--()192

2，再由点（－2，0）确定a 的值即可 解：设y a x =--()192

2，则 ∵图象过点（－2，0），

∴02192

2=---a () ∴a y x ==--1212192

2，∴，() 即：y x x =--12

42 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ），一般设y a x h k =-+()2，再根据其他条件确定a 的值。本题虽然已知条件中已设y ax bx c =++2，但我们可以不用这种形式而另设y a x h k =-+()2这种形式。因为在y ax bx c =++2这种形式中，我们必须求a 、b 、c 的值，而在y a x h k =-+()2这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a 的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函