第18讲 数数图形
数学数图形教案6篇
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小学一年级奥数 第十八讲 数图形(周一)
第十八讲数图形
专题简析：
小朋友们，下面的图形你认识吗？
，如果把这许多的图形混在一起，你能数得清吗？在数图形时，要仔细观察，有条理地数，做到既不重复又不遗漏。
周一
经典例题
数一数，图中有几个正方形？几个长方形？几个平行四边形？几个三角形？几个圆？
名师导航：
虽然各种图形排放不整齐，且个数又多，但只要我们按一定次序细心地数，就能数清楚。
我们可以一行一行地数，也可以从左往右一列一列地数，数一个在图中作个标记，如打“√”，这样一行一行地数，可数得：正方形有4个，长方形有3个，平行四边形有3个，三角形有6个，圆有5个。
详细解答：
答：正方形有4个，长方形有3个，平行四边形有3个，三角形有6个，圆有5个。
温馨提示：
当各种图形排放不整齐，且个数又多时，我们只要按一定次序细心地数，就能数清楚。
举一反三练习
1、先数图形，再填空。
□有（）个，○有（）个
△有（）个。
2、
3、。
数图形的学问课件ppt
10(条)
15(条)
如果有7个汽车站，单程需要准备多少种不同的车票？ 8个呢？你发现了什么？
如果有11个汽车站，单程需要准备多少种不同的车票呢？
数一数，共有（ ）个角
6
数一数有几个三角形？
（ ）个
（ ）个
6
10
每两名运动员进行一场比赛，如果有12名运动员参加比赛，那么需要进行多少场比赛呢？24名呢？
本站：红 薯 站
红 薯 站
茄 子 站
胡萝卜站
土 豆 站
画出示意图，有顺序地数一数，说说你是怎么数的。
单程需要准备多少种不同的车票？
A
B
C
D
E
4
3
2
1
＋
＋
＋
＝
10(条)
如果有6个汽车站，单程需要准备多少种不同的车票？
按不同点
F
A
B
C
D
E
5＋4＋3＋2＋1＝15(条)
A
B
C
D
EF4＋3＋2源自1＝大家好！我是大家的新朋友，我叫鼹(yǎn)鼠(shǔ)
hello
鼹鼠钻洞。
1、想一想：鼹鼠可以从哪些洞口进入？从哪些洞口出来？
任选一个洞口进入，向前走，再任选一个洞口钻出来。
2、你能画出鼹鼠洞的示意图么？
A
D
B
C
B
A
C
D
有多少条不同的路线？画一画，写一写，记录数的过程。
A
B
C
D
1
2
3
2
1
＋
＋
＝
6
有多少条不同的路线？画一画，写一写，记录数的过程。
A
B
四年级奥数课后分层作业-第18讲 数数图形(二) 通用版
四年级奥数重点常考第十八讲数数图形（二）
分层作业
基础卷
1、数一数下图中有多少个正方形。
2、下图中有多少个长方形，其中有多少个正方形？
3、从北京到上海的某次列车中途要停靠10个站，北京站要为这次列车准备多少种不同的车票？有多少种不同的票价？
4、从大连到广州的航运线上，中途有8个停靠码头，若干艘客轮来回往返于大连与广州之间，航运公司共要为这条航运线准备多少种不同的船票？
5、求下图中所有线段长度的总和。
（单位：米）
6、一条线段上有10个点（包括两个端点），相邻两点的距离都是5厘米，那么所有线段长度的总和是多少？
答案。
小学四年级数学数图形ppt课件
6个
9个
下图中一共有多少个带 的长方形？
16个
你学会了哪些知识？
一条线上有N个点,这些点连成的线段条数是(N-1)+(N-2)+…+3+2+1。
数线段、图形时，要按照一定顺序。
正确解答：
6
判断:数图形的个数时,没有什么规律,我们可以随意数。 ( )
错误解答
√
错解分析：
错误解答错在没有掌握数图形个数的策略。数图形的个数时,我们可以把图形进行分类,然后找到其中隐含的数学规律,从而体会和感悟数学的数形结合思想。
判断:数图形的个数时,没有什么规律,我们可以随意数。 ( )
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
(1)数一数,一共有几条线段。
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
3+2+1=6（条）
3+2+1=6（条）
有（ ）条线段
有（ ）条线段
+ = 3
有（ ）条线段
+ + = 6
1
0
2
1
0
3
2
1
0
有（ ）条线段
+ + + = 10
4
3
2
1
小学四年级奥数第18讲 方阵问题后附答案
第18讲方阵问题一、知识概要1、方阵可以分为实心方阵和空心方阵。
2、方阵的基本特点是：方阵中，里一层总比外一层的一边少2个物体，里一层物体的个数一定比上一层物体总个数少8个。
3、实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；（每边数—1）×4=每层数；每层数÷4+1=每边数4、空心方阵中物体的个数=（最外层一边个数—层数）×层数×45、去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1二、典型例题1、有一个正方形的稻田，四个角上都放1个稻草人，如果每边放5个，四边共放多少个稻草人？2、有一个正方形池塘，四个角上都栽1棵树，一共栽了28棵树，那么每边栽多少棵？3、同学们排成一个两层空心方阵，外层每边8人，这个方阵一共有多少人？4、把若干个棋子摆成一个三层的空心方阵，最外层每边12个棋子，求这个方阵共有多少个棋子？5、同学们在军训时排成了一个由204人组成的三层空心方阵，求最外面一层每边有多少人？6、某小学举行运动会，同学们排成正方形队列参加团体操表演。
如果在这个正方形队列中减少一行一列，则要减少15人，问参加团体操表演的有多少同学？7、在儿童公园的一次菊花展上，用120盆菊花摆成一个三层空心方阵，这个方阵最外层每边有多少盆花？8、一个中空方阵的队列，最外层每边18人，最内层每边10人。
这个队列共有多少人？9、用64枚棋子摆成一个两层中空方阵，如果想在外面再增加一层，问需要增加多少枚棋子？10、学校组织一次团体操表演，把男生排列成一个实心方阵，又在这个实心方阵四周站一排女生。
女生有72人参加表演，男生有多少人？三、针对练习1、在正方形的广场四周装彩灯，四个角上都装一盏，每边装25盏，问这个广场一共需装彩灯多少盏？2、小强用棋子排成了一个每边11枚的中空方阵，共2层，求这个方阵共用多少枚棋子？3、小刚在用棋子摆好的实心阵上又填了17枚棋子，使它的横竖各增加一排，成了大一点的实心方阵，求原来实心方阵有多少枚棋子？4、解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？5、有一个用圆片摆成的两层中空方阵，外层每边有16个圆片，如果把内层的圆片取出来，在外层再摆一层，变成一个新的中空方阵，应再增加多少圆片？6、用棋子摆成方阵，恰好每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应改放多少粒?7、有学生若干名，排成中实的方阵则多2人，若在这正方阵纵横两个方向个增加一行还缺五人，问有学生多少人？8、仪仗队员组成两个实心方阵，甲方阵每边12人，后来两队合在一起排成一个中空方阵的丙方阵，丙方阵最外层一边人数比乙方阵最外层一边人数多4人，又原来甲方阵的人正好填满丙方阵空心。
小学奥数基础教程4目录
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上海市六年级(上)数学 第18讲 圆和扇形章节复习(解析版)
圆和扇形是初中数学六年级第四章的内容，同学们需要学会用圆的周长、面积、弧长和扇形面积公式进行简单的计算，并体会近似与精确的数学思想．难点是圆的组合图形的面积计算，同学们需要灵活运用各个基本图形面积的计算方法，并能看出组合图形是由哪些基本图形组成，从而进行相关的计算．基本内容注意点4.1 圆的周长 1、圆的周长公式及应用． 4.2 弧长 1、弧长公式及应用． 4.3 圆的面积 1、圆的面积公式及应用． 4.4 扇形的面积1、扇形的面积公式及应用；2、*圆的组合图形的面积计算．【例1】 圆的周长是这个圆半径的（ ）倍A ．6B ．2πC ．3.14D ．6.28 【难度】★ 【答案】B【解析】圆的周长公式2l r π=，所以周长是半径的2π倍． 【总结】考查圆的周长与半径的关系．例题解析圆和扇形章节复习内容分析知识精讲2 / 16【例2】 同一个圆里，直径与半径的比是______． 【难度】★ 【答案】2:1．【解析】直径是半径的两倍，所以比是2:1． 【总结】考查同一个圆的直径与半径的关系．【例3】 要画一个周长为18.84厘米的圆，它的半径应取______厘米． 【难度】★ 【答案】3．【解析】18.84 3.1423÷÷=厘米． 【总结】考查圆的周长公式的应用．【例4】 如果圆的半径缩小到它的13，那么圆的周长缩小到原来的______．【难度】★ 【答案】13．【解析】由2l r π=可知圆的周长与半径成正比，所以周长也缩小到原来的13．【总结】考查圆的周长的计算．【例5】 如果圆上一条弧长占圆周长的15，那么这条弧所对的圆心角占圆的周角的______．【难度】★ 【答案】72︒． 【解析】由180n r l π=可知，弧长与圆心角成正比，故圆心角为：1360725⨯=． 【总结】考查弧长公式的运用．【例6】 圆心角为45°的扇形，如果拼成一个圆，需要这样的扇形至少____个． 【难度】★ 【答案】8．【解析】360458÷=． 【总结】考查扇形与圆的关系．【例7】 下列叙述中正确的个数是（ ） （1）弧的长度只取决于弧所在圆的半径大小； （2）两条弧的长度相等，则它们所对的圆心角相等；（3）圆心角扩大3倍，而圆的半径缩小13，那么原来的弧长不变．A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★ 【答案】B 【解析】由180n rl π=，可知弧长取决于圆心角和半径，所以（1）、（2）都错，弧长与半径 和圆心角都成正比，所以（3）对．【总结】考查对弧长公式的理解及决定弧长的量．【例8】 一个扇形的面积是它所在圆面积的79，这个扇形的圆心角是______度． 【难度】★ 【答案】280． 【解析】因为213602n S r lr π==扇形，所以°°73602809n =⨯=． 【总结】考查扇形的面积与圆心角的关系．4 / 16【例9】 一个圆的周长为9.42厘米，那么这个圆的面积是______平方厘米． 【答案】27.065cm ．【解析】9.42 3.142 1.5r cm =÷÷=半径，所以面积为：23.14 1.5 1.57.065cm ⨯⨯=． 【总结】考查圆的周长与面积的计算．【例10】 把一根长314厘米的细钢丝绕在一个圆筒上，正好绕10周，这个圆筒的半径是（ ）A ．5B ．10C ．20D ．3.14【答案】A【解析】31410 3.1425÷÷÷=．【总结】考查圆的周长在实际问题中的应用．【例11】 在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，这个圆的周长是______厘米． 【答案】8π．【解析】圆的直径等于正方形的边长，所以周长是8d ππ=． 【总结】考查圆的周长的计算．【例12】 有一个直径是8厘米的半圆形铁片，这个铁片的周长是______厘米． 【答案】20.56cm ．【解析】28 3.1482820.56d cm π÷+=⨯÷+=．【总结】考查半圆的周长，半圆的周长等于半圆加上直径的长．．【例13】 一个环形纸板，内圆半径是3厘米，外圆直径是10厘米，这个环形纸板的面积是______平方厘米．【答案】16π．【解析】外圆半径是5厘米，故圆环面积为：225316ππ-=（）平方厘米． 【总结】考查圆环的面积的计算，大圆面积减去小圆面积．【例14】 下列说法正确的是（ ） A ．扇形是圆的一部分，圆的一部分是扇形 B ．圆中任意画两条半径，一定能构成两个扇形 C ．如果圆的面积扩大9倍，那么圆的直径扩大9倍D ．在所有扇形中，圆半径大的面积大【答案】B【解析】圆的一部分不一定是扇形；圆的面积扩大9倍，直径扩大3倍；扇形的面积与圆心角和半径都有关．【总结】考查圆和扇形的关系及圆的面积与直径的关系．【例15】 已知大扇形的面积是小扇形面积的94倍，如果它们的圆心角相等，那么小扇形的半径是大扇形半径的______．【答案】23． 【解析】扇形的面积与半径的平方成正比，所以小扇形的半径是大扇形半径的23． 【总结】考查扇形的面积与半径的关系．【例16】 已知扇形的弧长是9.42厘米，圆心角是270°，那么这个扇形的面积是______平方厘米【答案】237.68cm ．【解析】扇形的半径为：9.42180270 3.142cm ⨯÷÷=， 故扇形的面积为：22703.1429.42360⨯⨯=2cm ． 【总结】考查扇形的弧长与扇形的面积的计算，注意公式的准确运用．【例17】 图中的三角形是等边三角形，阴影部分是一个扇形，6 / 16甲乙平方厘米．【答案】152π平方厘米． 【解析】23001533602S ππ=⨯⨯=阴影平方厘米． 【总结】考查扇形的面积，注意本题中圆心角度数为300°．【例18】 ．下面两个图形中，其中正方形的面积相等，那么阴影部分面积大小关系是（ ） A ．甲 > 乙 B ．甲 < 乙C ．甲 = 乙D ．无法比较【答案】C【解析】乙的四个扇形恰好组成一个圆． 【总结】本题主要考查对阴影部分的面积的计算．【例19】 要画一个面积是3.14平方厘米的圆，圆规两脚之间的距离要取______厘米． 【答案】1．【解析】圆规两脚间的距离就是圆的半径，2 3.14 3.1411r r =÷==，所以厘米． 【总结】考查利用圆的面积求圆的半径．【例20】 在周长为24厘米的正方形纸片上剪去一个最大的圆，则剩余部分的周长是______厘米，面积是______平方厘米．（结果保留π）．【答案】42.84；7.74．【解析】剩余部分的周长是正方形的周长加上圆的周长，剩余部分的面积是正方形面积减去圆的面积，而最大圆的直径为正方形的边长，因为正方形的周长为24厘米，故边长为6厘米，即636d r C d ππ====圆，，故厘米，24C =正方形厘米，所以剩余部分周长为：62418.842442.84π+=+=厘米，面积为226633697.74r πππ=⨯-⨯=-=平方厘米．【总结】考查圆的周长与面积的计算，注意正方形中剪出的最大圆的直径即为正方形的边长．【例21】 如图，阴影部分周长相同的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】阴影部分的周长都等于大半圆的长加小半圆的长，每个图中都只有一个大半圆， 所有的小半圆周长也相等，所以四个阴影部分周长都相等，故选D ． 【总结】考查阴影部分的周长的计算．【例22】 如图，正方形中，分别以两个对角顶点为圆心，以正方形的边长6为半径画弧，形成树叶形的图案（阴影部分），求树叶形图案的周长．【答案】18.84．【解析】树叶形的周长是半径为6的半圆的周长，所以618.84C r ππ===．【总结】考查阴影部分的周长的计算，注意认真分析图形的特征．【例23】 扇形的面积是314平方厘米，扇形所在的圆的面积是1256平方厘米，这个扇形的圆心角是多少度？【答案】90︒．【解析】扇形的面积与圆心角成正比，所以314360901256⨯=︒． 【总结】考查扇形的面积与圆心角的关系．8 / 16ABCD A B CD【例24】 如图，AB = BC = CD = 2厘米，分别求出大、中、小圆的周长和面积． 【答案】642C C C πππ===小大中厘米，厘米，厘米；94S S S πππ===小大中平方厘米，平方厘米，平方厘米．【解析】64C d C d ππππ====大大中中厘米，厘米， 2C d ππ==小小厘米，2r S ππ==小小平方厘米，22r 9r 4S S ππππ====大大中中平方厘米，平方厘米．【总结】考查圆的周长和面积的计算．【例25】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 12 cm ，求图中阴影部分的面积． 【答案】28.26cm 2． 【解析】6AD BC cm ==， 212672cm S S =⨯==长半圆，226218cm ππ⨯÷=，()()211367218928.26cm 22ABD S S S S ππ=--=--==△阴影长半圆． 【总结】考查阴影部分面积的计算，注意用规则图形的面积去表示不规则图形的面积．【例26】 一辆自行车轮胎的外直径是0.7米，如果车轮每分钟转90周，40分钟能行多远？通过一座567米的大桥需要多少分钟？（π取3）【答案】76503米，分．【解析】40分钟能行：30.790407560⨯⨯⨯=米，需要时间：5671893÷=分． 【总结】考查圆的周长的在实际问题中的应用．【例27】 在长19厘米，宽9厘米的长方形纸片中，剪半径都是1.5厘米的小圆，共可剪出小圆多少个？剪去这些小圆后，剩下的边角料的总面积是多少？．【答案】43.83平方厘米．【解析】9 1.523÷⨯=（）， 19 1.5261÷⨯=（），所以可剪出3618⨯=个圆，剩下的面积是：219918 1.517140.543.83ππ⨯-⨯⨯=-=平方厘米． 【总结】考查长方形中剪出圆的问题，注意认真分析．【例28】 四个半径为2厘米的圆围成的图形中，求阴影部分的面积和周长．【答案】3.44平方厘米，12.56厘米．【解析】面积：2442164 3.44ππ⨯-⨯=-=平方厘米； 周长：222412.56r πππ=⨯⨯==厘米．【例29】 如图，圆的周长为6.28厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是______厘米．【难度】★★★ 【答案】7.85厘米．【解析】圆的半径为：6.28 3.1421÷÷=厘米，则2r 3.14S S π===圆长方形平方厘米，故长方形的长为：3.141 3.14÷=厘米，所以阴影部分的周长为：()3.1412 6.28427.85cm +⨯+÷-=厘米．【总结】考查阴影部分的周长的计算，注意此周长包含了四分之一的弧长和三条线段长．【例30】 两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子直径是3 dm ，当它旋转7周时，另一个轮子转了5周，则另一个轮子的半径是______dm ．10 / 16拥有2台拥有1台20% 其他 【难度】★★★ 【答案】4.2．【解析】由题意，可得另一个轮子的半径为：375 4.2⨯÷=dm ． 【总结】本题中要找到两个轮子转动的距离的关系，然后再计算即可．【例31】 将一个圆沿半径剪开，再拼成一个近似长方形，已知这个长方形的周长是41.4厘米，那么，这个圆的周长和面积各是多少？【难度】★★★【答案】31.4厘米，78.5平方厘米．【解析】圆的半径为：41.42 3.1415÷÷+=（）厘米，故圆的周长为：2 3.14531.4⨯⨯=厘米，圆的面积为：3.145578.5⨯⨯=平方厘米．【总结】考查圆的周长与面积的计算．【例32】 在一次对某小区500户家庭拥有电视机的数量的调查中，调查结果如图所示，根据图中所给的信息回答问题：（1）家中拥有一台电视机的家庭有几户？（2）如果拥有一台电视机的家庭数正好是拥有2台电视机的家庭数的27，那么拥有2台电视机的家庭有几户？（3）图中的“其他”的扇形的圆心角是几度？【难度】★★★【答案】（1）100户；（2）350户；（3）36． 【解析】（1）()50020%100⨯=户；（2）21003507÷=（户）； （3）()35050070%360120%70%36÷=⨯--=︒，．【总结】考查有关扇形图的简单计算．【作业1】 若一弧的长是它所在圆的周长的15，则此弧所对的圆心角是______度． 【难度】★【答案】72．【解析】弧长与圆心角成正比，1360725⨯=． 【总结】考查弧长与圆心角的关系．【作业2】 如果一条弧所对的圆心角缩小为原来的14，所在圆的半径扩大为原来的3倍，那么所得的新弧长与原来的弧长之比是______．【难度】★【答案】3:4．【解析】180n l r π=，弧长与圆心角、半径成正比，所以比为3:4． 【总结】考查弧长与圆心角和半径的关系．【作业3】 甲圆与乙圆的半径之比是 2 : 3，则甲与乙的直径之比是______，周长之比是______，面积之比是______．【难度】★【答案】2：3，2：3，4：9．【解析】半径比等于直径比等于周长比，面积比等于半径比的平方．【总结】考查圆中各个基本量之间的关系．课后作业12 / 16【作业4】 下列说法正确的个数是（ ）（1）半径越大，圆的面积越大；（2）半径越大，所对的弧越长；（3）弧是圆上两点间的一条线段；（4）圆心角相等，它们所对的弧长也相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A【解析】2S r π=，圆的面积只与半径有关，（1）√；180n l r π=弧长与半径和圆心角都有关系；（2）×； （3）×； （4）×，弧长与半径和圆心角都有关．【总结】考查弧长的影响因素．【作业5】 求下列各圆的周长和面积：（1）r = 3，C =______，S =______；（2）d = 8，C =______，S =______； （3）l = 5，n = 72°，S =______．【答案】（1）C = 9.42，S = 28.26；（2）C = 25.12，S = 50.24； （3）S = 49.76． 【解析】222360n C r S r S r πππ===，，． 【总结】考查圆的周长与面积的计算．【作业6】 求下列弧的弧长：（1）r = 4，n = 90°，l =______；（2）d = 9，n = 120°l =______； （3）C = 20，n = 175°l =______．【答案】（1）6.28；（2）9.42；（3）9.72．【解析】（1）9042180180n l r πππ==⨯==6.28，（2）91209239.4221802r d l ππ=÷==⨯==，； （3）10175101759.72218018C r l ππππ===⨯=≈，． 【总结】考查弧长的计算．【作业7】 在长是6厘米，宽是4厘米的长方形内剪一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米【答案】12.56．【解析】圆的直径等于4厘米，2412.56S r ππ===平方厘米．【总结】考查圆的面积的计算．【作业8】 用一根长为37.68厘米的铅丝围成一个圆，圆的面积是______平方厘米．【答案】113.04平方厘米．【解析】237.68 3.142636113.04r S r ππ=÷÷====厘米，平方厘米．【总结】本题中铁丝的总长度就是所围成的圆的周长，从而算出半径和面积．【作业9】 一个圆环形纸片，外环半径6厘米，内环半径5厘米，这个圆环的面积是______平方厘米，周长是______厘米．【答案】34.54；69.08．【解析】221236251134.54S r r πππππ=-=-==圆环平方厘米；()1222269.08C r r ππ=+==圆环厘米．【总结】考查圆环的面积与周长的计算．【作业10】 已知一个扇形的半径是6厘米，圆心角是120°，则此扇形的周长是______厘米．【答案】24.56厘米． 【解析】1202261241224.56180180n C l r r r πππ=+=+=⨯+=+=扇厘米． 【总结】考查扇形周长的计算，注意扇形的周长还要包含两条半径的长．14 / 16A BO【作业11】 扇形的半径是6分米，扇形的弧长是4π分米，这段弧所对的圆心角是______度，这个扇形的面积是______平方分米．（结果保留π） 【答案】120，12π．【解析】180********l n r πππ⨯===，212012360S r ππ==平方分米． 【总结】考查扇形的圆心角和面积的计算．【作业12】 一个时钟的时针长5厘米，它从上午8点到下午4点，时针针尖走过的距离是（ ）．A ．203πB ．103πC ．60πD ．30π 【答案】203π． 【解析】2402051801803n l r πππ==⨯=． 【总结】考查弧长在计算时针所走过的路程中的计算．【作业13】 已知一条弧长等于1，它的半径为R ，这条弧所对的圆心角增加1°，则它的弧长增加（ ）A ．1nB ．180Rπ C ．180R π D ．1360【答案】B【解析】由弧长公式1800n R l π=可知，当圆心角增加1°时，弧长则增加180R π． 【总结】考查对弧长公式中每个量的理解．【作业14】 如图，半径r = 12，60AOB ∠=︒，求这个图形的周长．【答案】86.8厘米．【解析】30012122202486.8180C ππ=⨯+⨯=+=厘米． 【总结】此图的周长包含了弧长和两条半径的长．A B CAB C D ABCD【作业15】 如图，正方形ABCD 的边长为4，求阴影部分的面积和周长．【答案】面积为16，周长为18.84．【解析】阴影部分的面积是正方形的面积加上圆的面积，再减去扇形的面积；阴影部分的周长则是三段弧的长的和．故2244441624S ππ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭阴影， 12242618.844C r R πππππ=+⨯=+==阴影． 【总结】考查阴影部分的面积和周长的计算，认真分析阴影图形的特征．【作业16】 如图，四边形ABCD 是长方形，AB = 10 cm ，BC = 6 cm ，求阴影部分的周长．【答案】33.12厘米．【解析】()121026448833.124C πππ=⨯+⨯++=+=厘米． 【总结】考查阴影部分周长的计算，注意包含了每一段弧和线段的长．【作业17】 如图，一个边长是1厘米的等边三角形，将它沿直线作顺时针方向翻动，到达图示中最右边三角形的位置，点B 所经过的路程是______厘米．（结果保留π）【难度】★★★【答案】2π．16 / 16 A B CD【解析】分析整个运动过程，可知B 经过的路程恰好为一个圆周，所以B 所经过的路程 是22r ππ=．【总结】考查图形在翻转过程中，图形上每个一点的运动轨迹，综合性较强，教师要带领学 生共同分析．【作业18】 如图所示，已知正方形ABCD 的边长为3.2厘米，在这个正方形中有个半径为0.4厘米的圆沿着它的四条边滚动一周，求圆滚动时扫过的面积．（保留π）【难度】★★★【答案】7.040.16π+．【解析】经过分析可知圆扫过的面积为，大正方形的面积减去 中间空白处的小正方形的面积再减去四个弯角的面积．一个弯角的面积是：210.40.40.40.160.044ππ⨯-⨯⨯=-， 则4个弯角的面积是：(0.160.04)40.640.16ππ-⨯=-， 而中间空白部分的正方形的面积是：(3.20.80.8)(3.20.80.8) 1.6 1.6 2.56--⨯--=⨯=， 故圆扫过的面积为：3.2 3.2 2.56(0.640.16)7.040.16ππ⨯---=+．【总结】本题综合性较强，主要是要分析清楚圆在滚动时扫过的面积的状态．。
北师大版九年级下册数学第18讲《弧长和扇形面积》知识点梳理
北师大版九年级下册数学第 18 讲《弧长和扇形面积》知识点梳理【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180 都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n°的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.3 (3) 扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类似，可类比记忆；(4) 扇形两个面积公式之间的联系： .【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1. 如图（1），AB 切⊙O 于点 B ，OA= 2，AB=3，弦 BC∥OA ，则劣弧 B»C 的弧长为（ ）． A ． 3 π B ． 3 π 3 2 C ．π D ． 3π 2A图（1）【答案】A.【解析】连结 OB 、OC ，如图（2）则∠OBA ＝90︒ ，OB= ， ∠A ＝30︒ ， ∠AOB ＝60︒ ，由弦 BC ∥OA 得∠OBC ＝∠AOB = 60︒ ，所以△OBC 为等边三角形， ∠BOC ＝60︒ .则劣弧 B»C 的弧长为 60π 3 = 3π ，故选 A. 图（2） 180 3【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料， 试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到 0.1mm)3 C B O【答案】R=40mm，n=110∴的长= = ≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．2.如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC= OC= OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S 扇形= ．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2 为半径的⊙A 与BC 相切于点D，交AB 于E，交AC 于F，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（）．A．4 -4πB．4 -8πC．8 -4πD．8 -8π 9 9 9 9A PE FB D C图（1）的面积是： 【答案】连结 AD ，则 AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD= ×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形 80π 22 EAF = 8π.360 9故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形 EAF 的面积= 4- 8π． 图（2） 9故选 B ．3.（2015•ft西模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，∠A=30°，BC=2，点 D 是 AB 的中点， 连接 DO 并延长交⊙O 于点 P ，过点 P 作 PF⊥AC 于点 F ．（1） 求劣弧 PC 的长；（结果保留 π）（2） 求阴影部分的面积．（结果保留 π）．【答案与解析】解：（1）∵点 D 是 AB 的中点，PD 经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A=30°，∴∠POC=∠AOD=60°，OA=2OD ，∵PF⊥AC，∴∠OPF=30°，∴OF=OP ，∵OA=OC，AD=BD ，∴BC=2OD，∴OA=BC=2，∴⊙O 的半径为 2，∴劣弧 PC 的长===π；（2）∵OF=OP ，∴OF=1，∴PF== ，∴S阴影=S 扇形﹣S△OPF=﹣×1×=π﹣．【总结升华】本题考查了垂径定理的应用,弧长公式以及扇形的面积公式等知识，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键．类型二、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB 是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC= =2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S 扇形OBC=π×OC2= π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
讲义-数学七年级上册-第18讲-几何图形初步专题复习
讲义一、多姿多彩的图形考点·方法·破译1．会识常见的几何图形，并了解它们的名称．2．会画基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)的三视图，会判断简单物体的三视图，以根据三视图描述基本几何体或实物原型．3．了解基本几何体与其三视图、展开图之间的关系．经典·考题·赏析【例1】根据下图回答问题(1)请说出①～⑥中几何体的名称，并简要叙述它们的一些特征．(2)将①～⑥中的几何体分类．【解法指导】认识几何体，以直观观察为主，一般特征也以观察者获得的形象加以表述即可．但对几何体尽可能地进行深入观察，全方位发现每个几何体的特征，从而逐步揭示其本质．解：(1) ①圆柱：特征如，两个底面是圆的几何体．②圆锥：特征如，像锥体，且底面是圆．③正方形：特征如，所有面都是正方形．④长方体：特征如，其侧面均为长方形．⑤棱柱：特征如，底面为多边形，侧面为长方形．⑥球：特征如，圆的实体．(2) ①③④⑤为一类，它们都是柱体．②是一类，它是锥体．⑥是一类，它是球体．【变式题组】01．(黄冈)下图四个几何体分别为长方体、圆柱体、球、三棱柱，这四个几何体中有三个从某个角度看到的图形都是一种几何图形，则另一个几何体是( )02． (宜昌)下列物体的形状类似于球体的是( )A ．茶杯B ．羽毛球C ．乒乓球D ．白炽灯泡 03． (广东茂名)用平面去截下列几何体，截面的形状不可能是圆的几何体是( )A ．球B ．圆锥C ．圆锥D ．正方体 04． (武汉)如图，立方体各面上的数字是连续的整数，如果相对的两个面上的两个数的和都相等，那么这三对数的总和是( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．81【例2】 (深圳)如图所示，仔细观察图中的两个物体，则它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【解法指导】 注意结合立体图形的形状并注意从某一方向看到图形的对应关系，抓住其主要特征，同时要分清不同视图的异同．故选择A ．【变式题组】01．(重庆)由四个大小相同的正方体组成的几何体如图所示，那么它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．02．(昆明)如图，这个几何体从上面看到的平面图形是( )03．(沈阳)如图所示，圆柱从上面看到的图形是图中的( )04．(成都)如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从正面、左面、上面看到的图形，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是( ) A ．3个 B ．6个 C ．7个 D ．8个正面151411从正面看从左面看从上面看【例3】(湛江)将如右图所示的Rt△ABC绕直角边BC旋转一周，所得几何体从左面看到的是( )【解法指导】以直角三角形的直角边AC、BC为旋转轴得到的都是圆锥，故选择A．【变式题组】01．(广州)将右图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )02．(南京)若一个棱柱有12个顶点，则在下列说法正确的为( )A．这个棱柱有5个侧面B．这个棱柱有5条侧棱C．这个棱柱的底面是六边形D．这个棱柱的是一个12棱柱03．(安徽)四棱柱的顶点数、棱数、面数分别为( )A．8，12，6B．8，10，6C．6，8，12D．8，6，12【例4】(福建泉州)观察下列图形，其中不是正方体的展开图的为( )A．B．C．D．【解法指导】学习立体图形的展开图，要养成动手实验的好习惯，动手折一下往往会一目了然，故本题选择D．【变式题组】01．(武汉)一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是下图中的( )A．只有图①B．图①、图②C．图②、图③D．图①、图③①②③02．(唐山)如图所示的是一个由白纸拼成的立体图形，但有两面刷上黑色，将该立体图形展开后应该是( )A．B．C．D．03．(陕西)下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案的正方体盒的是( )A．B．C．D．04．(北京)如图所示是三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )A．B．C．D．【例5】(山西)一个画家有14个边长为1米的正方体，他在地面上把它们摆成如右图的形状，然后他把露出的表面涂上颜色，那么被涂上颜色的总面积为( )A．19平方米B．21平方米C．33平方米D．34平方米【解法指导】本题把涂上颜色的面积一块一块加起来计算很麻烦，应从整体角度出发，把立体转化为平面，观察题图所给的几何体，从前、后、左、右四个方向都只能看到6个1×1的正方形，从上面看可以看到一个3×3的大正方形轮廓，所以被涂上颜色的总面积应为4×6×1×1+3×3×1×1＝33(平方米)，故选C．【变式题组】01．(宜宾)如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体．那么其三种视图中面积最小的是( )A．正视图B．左视图C．俯视图D．三种一样02．(益阳)将一个底面直径为2 cm，高为2 cm的圆柱形纸筒沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图的面积为( )A．2πcm2B．3πcm2C．4πcm2D．5πcm203．(青岛)一个大长方体是由四个完全一样的小长方体拼成的，如果每个小长方体的长、宽、高分别是3，1，1那么这个大长方体的表面积可能有______种不同的值，其中最小值为______．【例6】(巴中)李明为好友制作一个(右图)正方形礼品盒，六个面上各有一字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的平面展开图可能是( )【解法指导】 本例主要考查立方体的展开图中对面、邻面的分布规律，可动手折叠发现答案，故应选择C ．【变式题组】01．(资阳)已知一个正方体的每一面都填有唯一一个数字，且各相对面上所填的数互为倒数，若这个正方 体的平面展开图如右图所示，则A 、B 的值分别是( )A ．13，12B ． 13，1C ．12，13D ．1，1302．(南宁)在下图中添加一个小正方形，使该图经过折叠后能围成一个四棱柱，不同的添法共有( )A ．7种B ．4种C ．3种D ．2种03．(沈阳)将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图①、②所示的方式对折后，然后沿图③中的虚线裁剪，得到图④，最后将图④的纸片再展开铺平，则所得到的图案是( )【例7】 (第21届江苏省竞赛题)设5 cm ×4 cm ×3 cm 长方体的一个表面展开图的周长为n cm ，则n 的最 小值是______．【解法指导】 把展开图的周长用相应的代数式表示．长方体的展开图的周长为8c +4b +2a ．故周长最小值为8×3+4×4+2×5＝50，故填50 cm ．【变式题组】01．(广州)将一个长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，如图现有一个边长为4厘米，宽为3厘米的长方形，分别绕它的长、宽所在的直线旋转一周，得到不同的圆柱体，它们的体 积分别是多大?02．(南京)如图是几个小立方块所搭成的几何体．从上面看图形，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，那么是这个几何体从正面看的图形的是( )A ．B ．C ．D ．03．(烟台)如图①是由若干个小正方体所搭成的几何体， ②是①从上面看到的图形，则①从左面看到的图 形是( )1122BA 3121①②A ．B ．C ．D ．演练巩固 反馈提高01．(连云港)水平位置的下列几何体，从正面看的图形不是长方形的是( )02．(邯郸)有一个外观为圆柱形的物体，它的内部构造从外部看不到，当分别用一组平面沿水平方向(自上而下)和竖直方向(自左而右)截这个物体时(如图)，得到了如图所示的(1)、(2)两组形状不同的截面，则 这个物体的内部构造是( ) A ．空心圆柱 B ．空心圆锥 C ．空心球 D ．空心半球03．(唐山)将如图所示图形折叠成立方体后，下面四个选项正确的是( )04．(河南)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图如图所示，其中正方形的数字表示在该位置上的小正方体的个数，那么，这个几何体的左视图是( )A ．B ．C ．D ．05．(湖州)一个正方体的表面展开图如图所示，则原正方体中的“★”所在面的对面所标的字是( ) A ．上 B ．海 C ．世 D ．博21231★会博世海上006．(芜湖)一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是( )A ．B ．C ．D ．07．(安徽)如图，下列四个几何体中，其主视图、左视图、俯视图中只有两个相同的是( )08．(哈尔滨)如下图所示的某一几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．圆柱B ．圆锥C ．正方体D ．球 正视图 左视图 俯视图09．(泰州)如图是一个几何体的三视图，根据图中提供的数据(单位： cm )可求得这个几何体的体积为( ) A ．2 cm 2 B ．4 cm 2 C ．6 cm 2 D ．8 cm 2 主视图 左视图 俯视图10．如图所示是无盖长方体盒子的表面展开图(重叠部分不计)则盒子的容积为( )A ．4B ．6C ．12D ．1511．(宜黄)宜黄素有“华南虎之乡”的美誉，将“华南虎之乡美”六个字填写在一个正方体的六个面上，其平 面展开图如图所示，那么在该正方体中，和“虎”字相对的字是______．12．(黄冈)如图是由棱长为1的正方体搭成的积木三视图，则图中棱长为1的正方体的个数是______．主视图左视图俯视图121211美乡之虎南华13．设有一个边长为1的正三角形，记作A1，将A1的每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2；将A2的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A3，现将A3的每条边三等分，重复上述过程，所得到的图形记作A4，则A4的周长是多少?14．(温州)由3个相同的小立方块搭成的几何体如图所示，请画出它的主视图和俯视图．主视方向15．一个五棱柱如图，它的底面边长都是4厘米，侧棱长6厘米，回答下列问题．(1)这个五棱柱一共有多少个面?它们分别是什么形状?哪些面的形状、面积完全相同？(2)这个五棱柱一共有多少条棱?它们的长度分别是多少?02．（北京）根据下列语句画出图形⑴直线AB 经过点C ；⑵经过点M 、N 的射线NM ； ⑶经过点O 的两条直线m 、n ；⑷经过三点E 、F 、G 中的每两点画直线． 03．（温州）如图A 、B 、C 表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．【例3】已知：线段AB ＝10cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝1.5cm ，求AP 的长．【解法指导】题中已说明P 在AB 所在直线上，即说明P 点可能在线段AB 上，也可能在AB 的延长线上（不可能在BA 的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P 在线段AB 上时，点N 在点M 的左侧，则AP ＝2AN ＝2（AM －MN ）＝2（12AB －MN ）＝2×（5－1.5）＝7（cm ）；⑵当点P 在线段AB 的延长线上时，N 点在M 点的右侧如图②，则AP ＝2AN ＝2（AM ＋MN ）＝2（12AB＋MN ）＝2×（5＋1.5）＝13（cm ）；所以AP 的长为7cm 或13cm【变式题组】 01．（昆明）已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．8cm 或10cm 02．（十堰）如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 03．（青海）已知线段AB ，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，下面等式不正确的是（ ）A ．CD ＝AB －BDB ．CD ＝AD －BCC ．CD ＝12AB －BDD ．CD ＝13ABA ．B ．C ．D ．bb b bMQNMQNMQN aaaaN Q M①P N M BA ②A N M PB ABDC【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问： ⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票． 【变式题组】 01．（河南）如图从A 到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A 到B 有2条水路、2条陆路；从B 地到C 地有3条陆路可供选择；走空中从A 不经B 地直接到达C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）A ．20种B ．8种C ．5种D ．13种02．（海南）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与FH 交于点O ，则图中的菱形共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 3．（佛山实验区）A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【例5】如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC 的长．【解法指导】由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，可设AB ＝2x ，CD ＝3x ，CD ＝4x ，由CD ＝4x ＝8，而求得x 的值，进而求出MC 的长．解：设AB ＝2x ，由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，得CD ＝4x ，CD ＝3x ，AD ＝（2＋3＋4）x ＝9x ，∵CD ＝8，∴x ＝2，∴AD ＝9x ＝18，∵M 是AD 的中点，∴MC ＝MD －CD ＝12AD －CD ＝12×18－8＝1【变式题组】01．（河北）如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分MC ∶CB ＝1∶2，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm02．（随州）已知线段AB ＝16cm ，点C 在线段AB 上，且BC ＝13AC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为________.03．（黄冈）已知线段AB ＝12cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝6cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．EDCBADCBAMCBAO HG FAB C DE【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短． 解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB 即为最短路线． 【变式题组】 01．（天津）下列直线的说法错误的是（ ）A ．经过一点可以画无数条直线B ．经过两点可以画一条直线C ．一条直线上只有两个点D ．两条直线至多只有一个公共点 02．（湘潭）如图所示，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（ ） A ．两点之间线段最短 B ．两直线相交只有一个交点 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB ＝12DE ＝200，∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600．答：A 、B 两市相距600千米． 【变式题组】 01．（哈尔滨）已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为____cm ． 02．（银川）AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由． 03．（河南）如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．图（2）图（1）BAB AEDCBAODCBA演练巩固 反馈提高01．当AB ＝5cm ，BC ＝3cm 时，A 、C 两点间的距离是（ ）A ．无法确定B ．2cmC ．8cmD ．7cm 02．下列说法正确的是（ ）A ．延长直线AB B ．延长线段ABC ． 延长射线ABD ．延长线段AB 03．若P A ＋PB ＝AB ，则（ ）A ．P 点一定在线段AB 上 B ．P 点一定在线段AB 外C ．P 点一定在AB 的延长线上D ．P 点一定在线段BA 的延长线上 04．（内江）已知点C 是线段AB 上的一点，下列说法中不能说明点C 是线段AB 的中点是（ ）A ．AC ＝BCB ．AC ＝12ABC ．AC ＋BC ＝ABD ．2AC ＝AB05．如图，已知线段AD ＞BC ，则线段AC 与BD 的关系是（ ）A ．AC ＞BDB ．AC ＝BD C ．AC ＜BD D ．不能确定 06．（黄冈）某公司员工分别在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A 、B 两区之间 07．（广州）线段AB ＝4cm ，在直线AB 上截取BC ＝1cm ，则AC ＝________.08．（云南）延长线段AB 到点C ，使BC ＝13AB ，D 为AC 的中点，且DC ＝6cm ，则AB 的长是________cm ．09．在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16cm ，再截取AC ＝40cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN ＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．如图B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC 的长．13．指出图中的射线（以O 为端点）和线段．ABCDACDBM ABCD14．判断下列语句是否正确：⑴直线l 有两个端点A 、B ； ⑵延长射线OA 到C ；⑶已知A 、B 两点，经过A 、B 两点只有一条线段．15．已知A 、B 、C 三点：⑴AB ＝10cm ，AC ＝15cm ，BC ＝5cm ；⑵AB ＝5.2cm ，AC ＝9cm ，BC ＝3.8cm ；⑴AB＝3.2cm ，AC ＝1.5cm ，BC ＝4.5cm ．A 、B 、C 三点是否在一条直线上？3、角考点•方法•破译1．进一步认识角，会比较角的大小，会计算角度的和差，认识度、分、秒，会进行简单的换算． 2．了解角平分线及其性质，了角余角、补角，知道等角的余角相等，等角的补角相等．经典•考题•赏析例1：如图AOE 是直线，图中小于平角的角共有（ ）A ．7个B ．9个C ．8个D ．10个【解法指导】公共端点的两条射线组成的图形叫做角，数角注意抓住概念，表示角用大写字母表示或希腊字母及数字表示，故选择B ．【变式题组】01．在下图中一共有几个角？它们应如何表示．02．下列语句正确的是（ ）A ．从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角B ．两条直线相交组成的图形叫做角C ．从同一点引出的两条线段组成的图形叫做角D ．两条线段相交组成的图形叫做角 03．关于平角和周角的说法正确的是（ ）A ．平角是一条直线B ．周角是一条射线C ．反向延长射线OA ，就是成一个平角D ．两个锐角的和不一定小于平角A B CO例2：38.33°可化为（）A．38°30′3〃B．38°33＇C．38°30′30″〃D．38°19′48″〃【解法指导】注意度、分、秒是60进制的，把度转化成分要乘60，把分转化成秒要乘60；反之把秒化成分要除以60，把分化成度要除以60，把秒化成度要除以3600，故选择D．【变式题组】01．把下列各角化成用度表示的角：⑴15°24′36″〃⑵36°59′96″〃⑶50°65′60″〃02．⑴3.76°＝度分秒⑵3.76°＝分秒⑶钟表在8：30时，分针与时针的夹角为度．03．计算：⑴23°45′36＋66°14′24″；⑵180°－98°24′30″；〃⑶15°50′42″×3；⑷88°14′48″÷4例3：若∠α的余角与∠α的补角的和是平角则∠α＝．【解法指导】两个角的和等于90°叫做余角，两个角的和等于180°叫做互补，同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等．解：根据题意得90°－∠α＋180°－∠α＝180°，所以∠α＝45°【变式题组】01．如图所示，那么∠2与12（∠1－∠2）之间的关系是（）A．互补B．互余C．和为45° D．和为22.5°02．55°角的余角是（）A．55° B．45° C．35° D．125°03．如果∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的余角的式子中：∠90°－∠β；∠∠α－90°；∠12（∠α＋∠β）∠12（∠α－∠β）（）A．4个B．3个C．2个D．1个例4：如图，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD＝30°，则∠AOC＝．【解法指导】注意找出图中角的和、差、倍、分关系，图中有∠AOD＋∠BOD＝180°，∠AOD＝2∠AOC．解：因为∠AOD＝180°－∠BOD＝180°－30°＝150°，又因为OC平分∠AOD，所以∠AOC＝12∠AOD＝12×150°＝75°．【变式题组】01．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC＝100°，则∠BOD等于（）A．20° B．40° C．50° D．80°02．如图直线a，b相交于点O，若∠1＝40°，则∠2等于（）A．50° B．60° C．140° D．160°03．一束光线垂直照射水平地面，在地面上放一个平面镜，欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（）A．45° B．60° C．75° D．80°例5：如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（）A．160° B．180° C．120° D．150°【解法指导】角此类问题可结合题意画出相应刻度的示意图，并准确地把握时针、分针的旋转一圈12小时，则它1小时转的角度为360°×112＝30°，1分钟转过的角度为30°×160＝0.5°，分针转一圈是1个小时，分针每分钟转过的角度为360°×160＝6°．故选择A．【变式题组】01．钟表上12时15分，时针与分针的夹角为（）A．90° B．82．5° C．67.5° D．60°02．由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是．例6：考点办公室设在校园中心O点，带队老师休息室A位于O点的北偏东45°，某考室B位于O点南偏东60°，请在图中画出射线OA，OB，并计算∠AOB的度数．【解法指导】此类问题紧扣方位角的概念作出射线OA，OB是关键．解：如图，以O为顶点，正北方向线为始边向东旋转45°，得OA，以O为顶点，正南方向线为始边向东旋转60°，得OB，则∠AOB＝180°－（45°＋60°）＝75°．【变式题组】01．如图所示，某测绘装置有一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针按顺时针旋转14周．⑴指针所指方向为；⑵图中互余的角有对，与∠BOC互补的角是．02．轮船航行到C处时，观察到小岛B的方向是北偏西35°，同时从B观察到轮船C的方向是（）A．南偏西35° B．北偏西35° C．南偏东35° D．南偏东55°03．如图下列说法不正确的是（）A．OA的方向是东偏北30° B．OB的方向是西偏北60°C．OC的方向是西偏南15° D．OD的方向是西南方向例7：如图，O是直线AB上一点，∠AOD＝120°，∠AOC＝90°，OE平分∠BOD，则图中彼此互补的角共有对．【解法指导】彼此互补的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关，从计算相应角的度数入手，故共有6对．【变式题组】01．如图所示，A、O、B在一条直线上，∠AOC＝12∠BOC＋30°，OE平分∠BOC，则∠BOE＝．02．如图，已知∠AOB∶∠BOC∶∠COD＝3∶2∶4，∠AOD＝108°，求∠AOB、∠BOC、∠COD的度数．03．如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．演练巩固反馈提高01．已知∠α＝35°，则∠α的余角是（）A．55° B．45° C．145° D．135°02．如图直线l1与l2相交于点O，OM∠l1，若∠α＝44°，则∠β等于（）A．56° B．46° C．45° D．44°03．把一张长方形的纸片按图的方位折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在MB＇的延长线上，则∠EMF 的度数是（）A．85° B．90° C．95° D．100°04．书店、学校、食堂在同一个平面上，分别用A、B、C表示，书店在学校的北偏西30°，食堂在学校的南偏东15°，则平面图上的∠ABC应是（）A．65° B．35° C．165° D．135°05．如果∠α＝3∠β，∠α＝2∠θ，则必有（）A．∠β＝12∠θ B．∠β＝23∠θC．∠β＝13∠θ D．∠β＝34∠θ06．某校初一年级在下午3：00开展“阳光体育”活动，下午3：00这一时刻，时针上分针与时针所夹角等于°．07．已知∠AOB＝30°，又自∠AOB的顶点O引射线OC，若∠AOC：∠AOB＝4：3，那么∠BOC等于（）A．10° B．40° C．45° D．70°或10°08．已知∠AOB＝120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3，那么∠AOC的度数是（）A．40° B．40°或80° C．30° D．30°或90°09．⑴如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数；⑵如果⑴中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数；⑶你从⑴⑵的结果中，能发现什么规律？10．如图，已知OB、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．⑴若∠AOD＝70°，∠MON＝50°，求∠BOC的大小；⑵若∠AOD＝α，∠MON＝β，求∠BOC的大小．（用字母α、β的式子表示）11．如图所示，已知∠AOE＝100°，∠DOF＝80°，OE平分∠DOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数．12．如图所示，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．⑴求∠DOE的度数；⑵若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会改变吗？13．如图，根据图回答下列问题：⑴∠AOC是哪两个角的和；⑵∠AOB是哪两个角的差．14．如图，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，根据图形回答问题：⑴图中哪些角是∠2的2倍；⑵图中哪些角是∠3的3倍；⑶图中哪些角是∠AOD的12倍；⑷射线OC是哪个角的三等分线．15．如图直线AB与CD相交于点O，那么∠1＝∠2吗？试说明理由．。
数图形
联通知识
学习方法
拓展思维
主讲：李康其 杭州市小学数学学科带头人 省精品教学空间
主讲：李康其 杭州市小学数学学科带头人 省精品教学空间
B
o
A
数角
C B
o
A
2+1=3
数角
o
D C
3+2+1=6
B A
E
数角
D
④③ C
②
B
①
o
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4+3+2+1=10
E D
C B
o
A
数三角形
4
3
① ② ③④
5 × 4 ÷ 2=10 线段条数=点数×段数÷2
数长方形
4+3+2+1=10
A
B
C
D
E
5 × 4 ÷ 2=10
长方形的个数=长边上线段的条数
数长方形
第一层：4+3+2+1=10
第二层：4+3+2+1=10
A
B
C
D
E
第三层：4+3+2+1=10
10+10+10=30（个）
数长方形
分层数
A
B
C
D
一层有多少个长方形?
有几层长方形？
一共有几个长方形？
有序数
E
5×4÷2=10 不重复
3×2÷2=3
10×3=30（个）
不遗漏
长方形的个数=长边上的线段条数×宽边上的线段条数
1.图中一共有（ ）条线段。
2.图中一共有（ ）个三角形。
数图形的学问(课件)
D
有多少条不同的路线？
A
B
C
3＋ 2＋1 ＝ 6(条)
1
D
2
智慧大闯关——第一关
数一数，下图中共有多少条线段？
智慧大闯关——第二关
数一数，下图中有多少个角？
我收获了……
六年级上册……
智慧大闯关——第三关 5个小朋友见面，每2个 人之间握一次手，一共 要握多少次手？
北师大版 四年级上册 数学好玩
钻洞规则
任选一个洞口进入，向前走， 再任选一个洞口钻出来.
一共有多少条不同的路线？
用自己喜欢的方式画一画、数一数, 并记录数的过程。
先画好的同学在4人小组内： 1、说一说： （1）怎么表示洞口 （2）怎么表示路线 （3）一共有几条路线 2、评一评： 组内谁的方法更好呢？
小学数学《数图形》ppt
知识讲解
【思路点拨】图中的正方形的个数可以分类 数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个， 2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有 4×1=4个。因此图中共有18＋10＋4=32个正方 形。
【答案】共有18＋10＋4=32个正方形。
【思路点拨】为了保证不漏数又不重复，我们可以形有6个； （2）由4个小正方形组合而成的正方形有2个； （3）中间还可围成2个正方形。 所以共有6＋2＋2=10个。 【答案】共有6＋2＋2=10个。
【思路点拨】我们可以分类来数：
1.单一的小三角形有16个；2.两个小三角形组合的 有10个；
3.四个小三角形组合的有8个；4.八个小三角形组合 的有2个。
数图形
课前游戏，知识导入
引导学生在动手操作，用手中的小棒 搭出长方形、正方形、三角形，再用钉板 围一围这些基本图形，并没有一味的让学 生说出长方形、正方形、三角形的特征。 而是让学生在动手的过程中，在头脑里建 立起这些基本图形的表象，为今后进一步 认识长方形、正方形、三角形的特征打下 基础。
数学中也有许多有趣的，这节课老师 带你们去数学迷宫探索，好吗？
所以，图中一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。
【答案】一共有16＋10＋8＋2=36个三角形。
培优训练
规律小结
课后游戏
齐心协力（18人）
每队抽6名队员上场，2名运球， 2名投球（必须采用背投式），2名 接球（背上捆纸篓），限时3分钟， 限时内投入球最多者为胜。（18人） －－有竞赛效果、真正体现出齐心 协力的主题。
（1）图中共有6个小三角形； （2）由两个小三角形组合的三角形有3个； （3）由三个小三角形组合的三角形有4个； （4）由六个小三角形组合的三角形有1个。 所以共有6＋3＋4＋1=14个三角形。 【答案】共有6＋3＋4＋1=14个三角形。
《数图形中的学问》课件
五角形数
五角形数规律
五角形数是指从1开始，每次递增1，每5个数为一组相加的和为同一个常数的一组数。 这个常数是第n个五角形数，用数学公式表示为Wn=(n*(n+1)/2)*(n+1)。
五角形数的特点
五角形数也具有等差数列的特性，即任意两个相邻五角形数的差都等于1。同时，五角 形数的和也具有规律性，即任意三个相邻五角形数的和都等于这三个数中中间那个数的
建筑学
在建筑学中，数图形的方法也被广泛应用。建筑师需要通过 数图形来了解建筑的结构和形态，从而进行建筑设计、施工 和规划等工作。
建筑学中的一些问题，如建筑的平面布局、立体构成、空间 划分等，都需要用到数图形的学问。通过数图形，建筑师可 以更好地把握建筑的属性和美学价值，从而创造出更加优秀 和独特的建筑作品。
四角形数
四角形数规律
四角形数是指从1开始，每次递增1，每4个数为一组相加的和为同一个常数的一组数。这个常数是第 n个四角形数，用数学公式表示为Zn=n*(n+1)*(2n+1)/6。
四角形数的特点
四角形数也具有等差数列的特性，即任意两个相邻四角形数的差都等于1。同时，四角形数的和也具 有规律性，即任意三个相邻四角形数的和都等于这三个数中中间那个数的3倍。
数图形的规律
三角形数
三角形数规律
三角形数是指从1开始，每次递增1，每3个数为一组相加的和为同一个常数的一组数。这个常数是第n个三角形 数，用数学公式表示为Tn=n*(n+1)/2。
三角形数的特点
三角形数具有等差数列的特性，即任意两个相邻三角形数的差都等于1。同时，三角形数的和也具有规律性，即 任意三个相邻三角形数的和都等于这三个数中中间那个数的3倍。
四年级奥数第18讲-数数图形
第18讲数数(shù shù)图形一、知识(zhī shi)要点在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个(zhúgè)计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
二、精讲精练(jīngliàn)【例题(lìtí)1】数一数下图中有多少个长方形？【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形？【例题2】数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形？（每个小方格为边长是1的小正方形）【例题(lìtí)3】数一数下图中有多少个正方形？（其中(qízhōng)每个小方格都是边长为1个长度(chángdù)单位的正方形）【思路(sīlù)导航】边长是1个长度(chángdù)单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。
小学奥数：第18讲四年级数学图形的周长和面积教案 ;;
1、上节学习了几何计数问题，利用上节课学到的知识和技能解答下面题目：（1）数一数下图中，各有多少条线段？各有多少个三角形？（2）如下图数一数图中长方形的个数。
一、专题导入同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
二、专题精讲【例1】有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
分析解答：根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
【例2 】一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？分析解答：思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
【例3 】已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？分析解答：从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
【例4 】下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
六年级上册数学培优奥数讲义-第18讲 与圆有关的组合图形2
第18讲与圆有关的组合图形2知识与方法在进行组合图形的面积计算时，要仔细观察，认真思考，不仅要看清组合图形是由几个基本单位组成的，还要找出图中的隐蔽条件与已知条件以及要求的问题间的关系。
初级挑战1求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）思维点拨：观察发现，阴影部分的面积＝（）－（）。
答案：2×2-π×1²＝0.86（平方厘米）能力探索1如图所示，圆的半径为2厘米，∠AOC为直角，则图中阴影部分的面积是多少？答案：3.14×22÷4－22÷2＝1.14（平方厘米）如图，扇形AFB是一个圆心角为90的扇形，四边形BCDE和AFBG都是正方形。
那么图中阴影部分的面积是多少？（单位：厘米）思路点拨：方法一：如下图，连接AB，将阴影部分分为①②两部分，分别计算出两部分的面积，再相加即可。
方法二：如图，阴影部分的面积也可看成是三角形ACG的面积减去空白部分③的面积，分别算出这两部分的面积，再相减即可。
答案：[3.14×42÷4－4×4÷2]＋3×4÷2＝10.56（平方厘米）能力探索2如图，边长为3cm与5cm的两个正方形并排放在一起，在大正方形中画一个以它的顶点B为圆心，边长为半径的圆弧，则阴影部分的面积是多少？答案：（3＋5）×3÷2＋3.14×25÷4－（3＋5）×3÷2＝19.625（平方厘米）已知下图中正方形的周长是40厘米，图中阴影部分的面积是多少？思维点拨：方法一：图中阴影部分是由四个以正方形的边长为直径的半圆相交而成的，因此可将阴影部分进行分解再求。
方法二：四个半圆加起来，减去一个正方形的面积，正好是阴影部分的面积。
答案：正方形的边长a＝40÷4＝10（厘米）圆的半径r＝10÷2＝5（厘米）方法一（连接正方形的对角线画圆）：3.14×52－10×5÷2＝14.25（平方厘米），14.25×4＝57（平方厘米）方法二：正方形的边长a＝40÷4＝10（厘米）圆的半径r＝10÷2＝5（厘米）阴影部分面积：πr2÷2×4－a2＝50π－100＝157－100＝57（平方厘米）能力探索2下图中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全
小学四年级奥数举一反三第1讲至第40讲全目录第1讲找规律（一）第2讲找规律（二）第3讲简单推理第4讲应用题（一）第5讲算式谜（一）第6讲算式谜（二）第7讲最优化问题第8讲巧妙求和（一）第9讲变化规律（一）第10讲变化规律第11讲错中求解第12讲简单列举第13讲和倍问题第14讲植树问题第15讲图形问题第16讲巧妙求和第17讲数数图形第18讲数数图形第19讲应用题第20讲速算与巧算第二十一周速算与巧算（二）第二十二周平均数问题第二十三周定义新运算第二十四周差倍问题第二十五周和差问题第二十六周巧算年龄第二十七周较复杂的和差倍问题第二十八周周期问题第二十九周行程问题（一）第三十周用假设法解题第三十一周还原问题第三十二周逻辑推理第三十三周速算与巧算（三）第三十四周行程问题（二）第三十五周容斥原理第三十六周二进制第三十七周应用题（三）第三十八周应用题（四）第三十九周盈亏问题第四十周数学开放题第1讲找规律（一）一、知识要点观察是解决问题的根据。
通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律，在一般情况下，我们可以从以下几个方面来找规律：1．根据每组相邻两个数之间的关系，找出规律，推断出所要填的数；2．根据相隔的每两个数的关系，找出规律，推断出所要填的数；3．要善于从整体上把握数据之间的联系，从而很快找出规律；4．数之间的联系往往可以从不同的角度来理解，只要言之有理，所得出的规律都可以认为是正确的。
二、精讲精练【例题1】先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，19【思路导航】在这列数中，相邻的两个数的差都是3，即每一个数加上3都等于后面的数。
根据这一规律，括号里应填的数为：10+3=13或16－3=13。
像上面按照一定的顺序排列的一串数叫做数列。
练习1：先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..【例题2】先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
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第18讲 数数图形(二)
一、知识要点
在解决数图形问题时，首先要认真分析图形的组成规律，根据图形特点选择适当的方法，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来。
二、精讲精练
C
D
B
A
【例题1】 数一数右图中有多少个长方形?
【思路导航】图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形。
数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
练习1：：数一数，下面各图中分别有几个长方形?
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
【例题2】数一数，下图中有多少个正方形?
(每个小方格是边长为1的正方形)
【思路导航】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，
边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的
正方形有1×1=1个。
所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几
列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1+2×2+…+n×n。
练习2：：数一数下列各图中分别有多少个正方形?(每个小方格为边长是1的小正方形)
【例题3】数一数下图中有多少个正方形?(其中每个小方格都是
边长为1个长度单位的正方形)
【思路导航】边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是
2个长度单位的正方形有2×1=2个。
所以，图中正方形的总数为：
6+2=8个。
经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份(长和宽的每一份都是相等的)那么正方形的总数为：mn+(m-1)(n-1)+(m-2)(n-2)+…+(m-n+1)n.
练习3：
1.数一数下列各图中分别有多少个正方形。
2.下图中有多少个长方形，其中有多少个是正方形?
【例题4】从广州到北京的某次快车中途要停靠8个大站，铁路局要为这次快车准备多少种不同车的车票?这些车票中有多少种不同的票价? 【思路导航】这道题是数线段的方法在实际生活中的应用，连同广州、北京在内，这条铁路上共有10个站，共有1+2+3+…+9=45条线段，因此要准备45种不同的车票。
由于这些车站之间的距离各不相等，因此，有多少种不同的车票，就有多少种不同的票价，所以共有45种不同的票价。
练习4：
1.从上海到武汉的航运线上，有9个停靠码头，航运公司要为这段航运线准备多少种不同的船票?
2.从上海至青岛的某次直快列车，中途要停靠6个大站，这次列车有几种不同票价?
3.从成都到南京的快车，中途要停靠9个站，有几种不同的票价?
【例题5】求下列图中线段长度的总和。
(单位：厘米)
【思路导航】要求图中的线段长度总和，可以这样计算：
AB+AC+AD+AE+BC+BD+BE+CD+CE+DE
=1+(1+4)+(1+4+2)+(1+4+2+3)+4+(4+2)+(4+2+3)+2+(2+3)=352厘米 从上面的计算中可以发现这样一个规律，算式中长1厘米的基本线段(我们把不能再划分的线段称为基本线段)出现了4次，长4厘米的线段出现了(3×2)次，长2厘米的线段出现了(2×3)次，长3厘米的线段出现了(1×4)次，所以，各线段长度的总和还可以这样算：
1×4+4×(3×2)+2×(2×3)+3×(1×4)
=1×(5-1)+4×(5-2)×2+2×(5-3)×3+3×(5-4)×4=52厘米
上式中的5是线段上的5个点，如果设线段上的点数为n，基本线段分别为a1、a2、…a(n-1)。
以上各线段长度的总和为L，那么L=
a1×(n-1)×1+ a2×(n-2)×2+ a3×(n-3)×3+…+ a(n-1)×1×(n-1)。
练习5：
1.一条线段上有21个点(包括两个端点)，相邻两点的距离都是4厘米，所有线段长度的总和是多少?
2.求下图中所有线段的总和。
(单位：米)
3.求下图中所有线段的总和。
(单位：厘米)。