北师大版九年级数学下册课件：3.3 垂径定理
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北师大版九年级数学下册第三章《3.3垂径定理》公开课课件(共12张PPT)
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/292021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月29日星期四2021/7/292021/7/292021/7/29
CE=DE，
AC=AD,BC=BD
证明结论
已知：在⊙O中，CD是直径， AABE是＝弦BE，，CA⌒DC⊥＝AB⌒BC，，垂A⌒足D＝为B⌒ED。。求证：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
因为垂直于弦AB的直径CD所在的直
线既是等腰三角形OAB的对称轴又
是⊙ O的对称轴。所以，当把圆沿着
直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/292021/7/292021/7/297/29/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/292021/7/29July 29, 2021
例题3 C A 例3 已知：⊙O中弦 AB∥CD。
求证：A⌒C＝B⌒D
M
D B
.O
证明：作直径MN⊥AB。
N
∵BMA，B∥CMCD＝，D∴MM（⌒N垂⊥直C平⌒D分。弦则的A⌒M直＝径⌒平
分弦所对的弦）
A⌒M－C⌒M＝BM⌒ －D⌒M
∴A⌒C＝B⌒D
C
O
A
A
E
九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤
3,3垂径定理-九年级数学下册课件(北师大版)
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道．
总结
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先正确画 出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用 勾股定理求解．
1 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的 跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距 离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
弦所对的弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径 CD AB
CD平分AB
AD
BD
AB不是直径
AC
BC
即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另
一条弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
1 如图，⊙O 的直径CD＝10 cm，AB 是⊙O 的弦，AM＝BM， OM∶OC＝3∶5，则AB 的长为( A )
A．8 cm B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
2 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC ＝2，则弦BC 的长为( C )
A. 3 B．3 C．2 3 D．4
CD AE
AB BE
AD BD
AC
BC
例3 下列说法正确的是( C ) A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线一定经过圆心 C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
例4 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD ，点O 是 CD 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E 为CD 上一点，且OE 丄CD，垂足为F，EF =90m.求这段弯路的半径.
总结
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先正确画 出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用 勾股定理求解．
1 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的 跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距 离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
弦所对的弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径 CD AB
CD平分AB
AD
BD
AB不是直径
AC
BC
即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另
一条弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
1 如图，⊙O 的直径CD＝10 cm，AB 是⊙O 的弦，AM＝BM， OM∶OC＝3∶5，则AB 的长为( A )
A．8 cm B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
2 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC ＝2，则弦BC 的长为( C )
A. 3 B．3 C．2 3 D．4
CD AE
AB BE
AD BD
AC
BC
例3 下列说法正确的是( C ) A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线一定经过圆心 C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
例4 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD ，点O 是 CD 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E 为CD 上一点，且OE 丄CD，垂足为F，EF =90m.求这段弯路的半径.
3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册
弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.
垂径定理课件北师大版九年级下册数学
预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究
3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册
*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
北师大版数学九年级下册3.3垂径定理教学课件
则OD=0C-DC=R-2.
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
O
的一条直径，CD交AB于点M，且AM=BM，
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则：OF＝（R－90）m， ∵AM ＝ BM，CD为⊙O的直径，
（1）两条弦在圆心的同侧 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC.
∵OE⊥CD，∴CF＝ CD ＝ ×600 ＝ 300（m）， 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
例如图，一 条公路的转弯处是一段弧（即
C
CD 图中 CD，点O是 则AE＝BE，CE＝DE。
所在圆的圆心）.其中
CD m E OE CD ＝600 ， 为 证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
（3）AM ＝ BM；
CD ＝ ， ＝ ,
上一点，且 ⊥ ，垂足
E FD
F EF m 为 ， ＝90 .求这段弯路的半径. AE－CE＝BE－DE。
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2
N
图中 ，点O是 所在圆的圆心）.
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴∠AON－∠CON ＝ ∠BON － ∠DON ∴ ∠AOD ＝ ∠BOD
OC2＝CF2＋OF2，∴R2＝3002＋（R－90）2 所以，当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别和BC、BD重合。
提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况。
（1）两条弦在圆心的同侧
（2）两条弦在圆心的两侧
1.两条弦在圆心的同侧
M
（3）AM ＝ BM； 证明：连接OA、OB、OC、OD，
∠BOD ＝ 180°－ ∠BOC，
作直径MN⊥AB，则MN⊥CD， ∵∠AOD ＝ 180°－ ∠AOC，
数学【北师大版】九年级下册：3.3-垂径定理ppt教学课件
（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
数 学 精 品 课 件
北 师 大 版
Байду номын сангаас翼 课件
学练优九年级数学下（BS） 教学课件
第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
C
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
⌒ ， AD ⌒ =BC ⌒ =BD. ⌒ （2）由垂径定理可得AC
E A
·
B D
O
归纳总结
垂径定理的推论
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的弧.
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不 C 能，请举出反例.
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
D O ·
∵AB⊥CD， ∴AP=BP， ∠AOC=∠BOC. 从而∠AOD=∠BOD. ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC. ∴AD =BD，
A
P C
B
归纳总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. C 推导格式： ∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件) ⌒ ⌒ ⌒ =⌒ ∴ AP=BP, AC BC,AD =BD.(结论)
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第三章
圆
*3.3 垂径定理
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标 1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形. 2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用 它解决一些简单的计算、证明和作图问题.（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.（难点）
特别说明： A O ·
圆的两条直径是互相平分的. D
B
垂径定理的本质是: （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 满足其中任 两条，必定 同时满足另 三条 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧
北师大版九年级下册垂径定理课件
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
A C 和 B C 重 合 ,A D 和 B D 重 合 .
A C B C ,A D B D .
定理：
垂直于弦 的直径 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
C 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴ AM = BM =1 AB，
A
2
M B
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 答案:D
B．16
C．18
D．20
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的 中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论 ①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ AE 1 AB
第三章 圆
3.3 垂径定理
学习目标
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有 关的计算和证明.
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同
A．5cm 答案:D
B．2．5cm
C．2cm
D．1cm
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，
AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm
B．7 cm
C．12 cm
D．17 cm或7 cm
答案：D
CN D
AM
九年级数学下册(北师大版)课件：3.3 垂径定理
推论2 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两 条弧.
推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦并且平分 弦所对的另一条弧.
【例2】如图X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3， 则⊙O的直径CD的长为.
解析 首先连接OA，由于M是AB的中点，⊙O的直径是CD， 根据垂径定理，可得CD⊥AM，AM= AB= ×8=4，然后由
2. 已知：如图X3-3-12，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中 点，AB=CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
证明：连接OM，ON，AO，OC，如答图X3-3-1所示. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. 又AB=CD，∴AM=CN. 在Rt△AOM和Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）. ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM， 即∠AMN=∠CNM.
广东学导练 数学 九年级全一册 配北师大版
下册 第三章 圆
*3 垂径定理
课前预习
1. （2014毕节地区）如图X3-3-1，已知⊙O的半径为13，弦AB
长为24，则点O到AB的距离是
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
(B )
2. （2014南京）如图X3-3-2，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥
CD，垂足为点E，连接BC，若AB=
∠BCD=22°30′，
则⊙O的半径为_____2_____cm.
3. （2014包头）如图X3-3-3，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E 是 的中点，OE交BC于点D. 连接AC，若BC=6，DE=1,则AC
的长为_____8______.
推论3 平分弦所对的一条弧的直径，垂直于弦并且平分 弦所对的另一条弧.
【例2】如图X3-3-9，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3， 则⊙O的直径CD的长为.
解析 首先连接OA，由于M是AB的中点，⊙O的直径是CD， 根据垂径定理，可得CD⊥AM，AM= AB= ×8=4，然后由
2. 已知：如图X3-3-12，在⊙O中M，N分别为弦AB，CD的中 点，AB=CD，AB不平行于CD.
求证：∠AMN=∠CNM.
证明：连接OM，ON，AO，OC，如答图X3-3-1所示. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥CD. 又AB=CD，∴AM=CN. 在Rt△AOM和Rt△CON中，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL）. ∴OM=ON. ∴∠OMN=∠ONM. ∴∠AMO+∠OMN=∠CNO+∠ONM， 即∠AMN=∠CNM.
广东学导练 数学 九年级全一册 配北师大版
下册 第三章 圆
*3 垂径定理
课前预习
1. （2014毕节地区）如图X3-3-1，已知⊙O的半径为13，弦AB
长为24，则点O到AB的距离是
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3
(B )
2. （2014南京）如图X3-3-2，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥
CD，垂足为点E，连接BC，若AB=
∠BCD=22°30′，
则⊙O的半径为_____2_____cm.
3. （2014包头）如图X3-3-3，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E 是 的中点，OE交BC于点D. 连接AC，若BC=6，DE=1,则AC
的长为_____8______.
垂径定理ppt课件
连接OA,如图所示,则OA=OD=250,
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
数学
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
数学
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
1
AC=BC= AB=150,
2
∴OC= 2 − 2 = 2502 − 1502 =200,
∴CD=OD-OC=250-200=50,即这些钢索中最长的一根为50 m,
故选B.
数学
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2.如图,☉O的弦AB垂直于CD,点E为垂足,连接OE,若
2
∵AC垂直平分OD,垂足为E,
1
∴∠AEO=90°,OE= OD,
2
1
∴OE= OA,设OE=x,则OA=OB=2x,
2
在Rt△AEO中,AE2+EO2=AO2,
即:32+x2=(2x)2,解得x= 3.
∴BE=OE+OB=x+2x=3x=3 3.
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北师大版 九年级数学下册
4.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出
代表作,其中《方田》章给出计算弧田
(即弓形)面积所用的公式为:弧田面积
1
= (弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中
2
“弦”指圆弧所对弦长AB,“矢”指弓形高,在如图所示的弧田中,
半径为5,“矢”为2,则弧田面积为
10
.
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5.如图,已知OC是☉O的半径,点P在☉O的直径BA的延长线上,
弦的一半和圆心到弦的垂线段构成的直角三角形),利用直角
三角形的相关知识进行解题.
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知识点二 垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的 弧 .
北师大版九年级数学下3.3垂径定理课件(共14张PPT)
1.判断
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧…………………………………………..( × )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..(√ )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × )
圆上任意两点间的部分叫圆叫做直径.
2.圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？是中心对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相 等吗？如果弦相等呢？
1.垂直于弦的直径与这条弦及这条弦所对的两条
.O
E
B
D
叠
合 法
3.结论提炼：
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 两条弧。
推理格式：如图所示 ∵CD⊥AB，CD为⊙O的直径
∴AM=BM，A⌒D=B⌒D，A⌒C=B⌒C.
4.弧如(右即图图所中示⌒C，D ，一点条O公是路C⌒的D 的转圆弯处心是) ，一其段圆中 CD=600m，E为C⌒D上一点，且OE⊥CD，垂足 为F，EF=90 m．求这段弯路的半径．
北师大版九年级下册第三章《圆》
3.3 垂径定理
学习目标: 利用圆的轴对称性研究垂径定理及其 逆定理，并能合理利用垂径定理及其逆 定理解决实际问题. 学习重点：利用圆的轴对称性研究垂径 定理及其逆定理. 学习难点：垂径定理及其逆定理的证明， 以及应用时如何添加辅助线.
1.什么是弦？什么是弧？什么是直径？
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
3.3垂径定理(课件)九年级数学下册(北师大版)
C
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
➢特别说明：圆的两条直径是互相平分的.
A
·O
B
D
二、自主合作，探究新知
典型例题
C
例2：如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,
点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,
且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
E
●
解:连接OC. 设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
股定理计算或建立方程.
五、当堂达标检测
1.已知☉O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心到
弦AB的距离为( D )
A.8cm
B.5cm
·O
C.9cm
D.12cm
2.坐标网格中一段圆弧经过点A，B，C，其中点B
的坐标为（4，3），点C坐标为（6，1），则该圆
弧所在圆的圆心坐标为（ B ）A.（0，0） B.
六、布置作业
教材习题3.3；
圆心的 直线 .对称中心为 圆心 。
2.在 同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相
等，那么它们所对应的其余各组量都分别
相等 ．
一、创设情境，引入新知
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)
O
F
D
三、即学即练，应用知识
1.如图，CD是☉O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接OA，
OB，下列结论中不一定正确的是( C )
⌒ ⌒
A.AE＝BE
B.AD＝BD
C.OE＝DE
D.∠AOD＝∠BOD
2.如图，在☉O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB
3.3 垂径定理 北师大版数学九年级下册导学课件
感悟新知
2. 示例：如图3-3-1，CD ⊥ AB 于点E，CD是⊙ O 的直径， 那么可用几何语言表述为
感悟新知
例 1 如图3-3-2，弦CD 垂直于⊙ O 的直径AB，垂足为点H， 且CD=2 2，BD= 3，则AB 的长为( B ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
感悟新知
解题秘方：构造垂径定理的基本图形解题. 把 半径、圆心到弦的垂线段、弦的一半构建在 一个直角三角形里是解题的关键. 解：连接OD，如图3-3-2. ∵ CD ⊥ AB，CD=2 2， ∴ CH=DH= 2 .
感悟新知
︵ 例 5 如图3-3-7，一条公路的转弯处是一段圆弧(AB)，
︵ 点O 是这段弧所在圆的圆心，点C 是AB的中点，半 径OC 与AB相交于点D，AB=120 m，CD=20 m，求 这段弯路所在圆的半径. 解题秘方：紧扣垂径定理的推论，利用 “平分弧，且经过圆心”推出“垂直平分 弦”，结合勾股定理求出半径的长.
感悟新知
在Rt △ BHD 中，由勾股定理，得BH=1.
设⊙O的半径为r，
在Rt △ OHD 中，OH2+HD2=OD2，
即(r－1)2+( 2)2=r2，
解得r=
3 2
∴ AB=3.
.
利用勾股定理列方程
感悟新知
1-1.［中考·泸州］ 如图，AB 是⊙ O 的直径，OD垂直于
弦AC于点D，DO 的延长线交⊙ O 于点E. 若AC=4 2，
感悟新知
证明：过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M，如图3-3-3. ∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM. ∵ AC=BD，∴ CM=DM. 又∵ OM ⊥ CD， ∴ OC=OD. ∴△ OCD 为等腰三角
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的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么
关系？为什么？
解：AC=BD
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
O. A CE D B
即 AC＝BD.
课堂小结
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
垂径定理
推论 辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
A．CM＝DM C．∠ACDMB
3. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM， OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( A ) A．8 cm
B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
4.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点 (不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于 点D，则CD的长为_4__
?
用几何语言表述为：
A
MB
∵ CD是直径，AM=BM，(条件)
O
∴ AB⊥CD，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.(结论)
D
垂径定理的本质是:
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 知二得三 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
A
C MB
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直 径CD所在的直线
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C
A
MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
A 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
例题讲解
例1 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
即△AOB是等腰三角形.
O
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
D
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D，A⌒C =B⌒C.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. A
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，A⌒C =B⌒C,AD⌒=B⌒D.(结论)
C E
F
●O
D
∴这段弯路的半径约为545m.
随堂演练
1.下列说法中,不正确的是( D ) A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 下列结论不成立的是( D )
（2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？ A
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
C MB
O
D
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. C
C MB
O
D
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
什么？ 是，对称轴是直径CD所在的直线
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你
的理由. CD⊥AB，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM. （1）CD⊥AB吗？为什么？
弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
OE CD, CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 . 解得R=545.
第三章 圆
3.3 垂径定理
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，
垂足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
两条辅助线： 连半径;作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
A
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
C
D
B
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
C
A
D
B
O
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是
4.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D， DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ AD 1 AB 1 8 4cm
22
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
E
·O
AD
B
C
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆