北师大版九年级数学下册课件：3.3 垂径定理

A
C MB
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
O
D
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直 径CD所在的直线
（2）AM=BM，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C
A
MB
O
D
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为M.
求证：AM=BM，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
A 证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
C E
F
●O
D
∴这段弯路的半径约为545m.
随堂演练Hale Waihona Puke Baidu
1.下列说法中,不正确的是( D ) A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M， 下列结论不成立的是( D )
A
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
C
D
B
O
∵ OA2 AD2 OD2 R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
C
A
D
B
O
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是
4.如图，⊙O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D， DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴ AD 1 AB 1 8 4cm
22
设OC=xcm，则OD=x-2,
根据勾股定理，得
E
·O
AD
B
C
解得 x=5，
即半径OC的长为5cm.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆
例题讲解
例1 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
解：如图，用AB表示主桥拱，设
AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为
D，与弧AB交于点C，则D是AB的中
点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
C MB
O
D
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分
AB的直径CD， 交AB于点M.
A
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是
什么？ 是，对称轴是直径CD所在的直线
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你
的理由. CD⊥AB，A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
C MB
O
D
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AM=BM. （1）CD⊥AB吗？为什么？
?
用几何语言表述为：
A
MB
∵ CD是直径，AM=BM，(条件)
O
∴ AB⊥CD，A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.(结论)
D
垂径定理的本质是:
（1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 知二得三 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么
关系？为什么？
解：AC=BD
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
O. A CE D B
即 AC＝BD.
课堂小结
内容
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
垂径定理
推论 辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平 分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就 可以推出其它三个结论（“知二推三”）
弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，
垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
OE CD, CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理，得 OC2 CF 2 OF 2,
R2 3002 R 902 . 解得R=545.
第三章 圆
3.3 垂径定理
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离) 为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，
垂足为M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
C MB
即△AOB是等腰三角形.
O
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC.
D
从而∠AOD=∠BOD. ∴A⌒D =B⌒D，A⌒C =B⌒C.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧. A
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，A⌒C =B⌒C,AD⌒=B⌒D.(结论)
A．CM＝DM C．∠ACD＝∠ADC
B. C⌒B＝D⌒B D．OM＝MB
3. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM， OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( A ) A．8 cm
B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
4.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点 (不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于 点D，则CD的长为_4__
两条辅助线： 连半径;作弦心距
基本图形及 构造Rt△利用勾股定 变 式 图 形 理计算或建立方程.
（2）A⌒C与B⌒C相等吗？ A⌒D与B⌒D相等吗？为什么？ A
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°， ∴CD⊥AB.
（2）由垂径定理可得A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
C MB
O
D
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. C