二面角求解方法
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③围：
2、二面角出现的状态形式有哪些？
竖立式 横卧式
2、二面角的类型及基本方法
（1）四种常规几何作求法
定义法 垂面法；
三垂线法； 射影面积法 =S射影多边形/S多边形
（2）向量法：
①设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量
、 的夹角为 ，如图：
结论①：设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 、 的夹角为 ，则有 或
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法：
EF2=m2+n2+d2－2mn
例1：若p是 所在平面外一点，而 和 都是边长为2的正三角形，PA= ,求二面角P-BC-A的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作
平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点
间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）
取AC的中点E，连接BE，过E做EF PC,连接BF
平面ABC，PA 平面PAC
平面PAC 平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
平面PAE 平面PBC,平面PAE 平面PBC=PE
由三垂线定理知AM PC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1，AM= ,AF=
sin =
=argsin
解3：（投影法）
过B作BE AC于E,连结PE
平面ABC，PA 平面PAC
平面PAC 平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
BE 平面PAC
评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。
点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面。
例3：二面角 的大小为 ，A是它部的一点，AB ，AC ,B、C为垂足。
（1）求证：平面ABC ,平面ABC
（2）当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。
分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角
解：（1）设过 ABC的平面交平面 于BD,交平面 于CD
AB ,AB 平面ABC
平面ABC ,同理平面ABC
分析：由于这两个三角形是全等的三角形，
故采用定义法
解：取BC的中点E，连接AE、PE
AC=AB，PB=PC
AE BC，PE BC
为二面角P-BC-A的平面角
在 中AE=PE= ，PA=
=900
二面角P-BC-A的平面角为900。
例2：已知 是正三角形， 平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
是 在平面PAC上的射影
设PA=1,则PB=PC= ,AB=1
由射影面积公式得， ,
解4：（异面直线距离法）
过A作AD PC,BE PC交PC分别于D、E
设PA=1,则AD= ,PB=PC=
BE= = ,CE= ,DE=
由异面直线两点间距离公式得
AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE , =
[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，
故所求的二面角θ应满足 =
= = 。
点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。
解法2：（三垂线定理法）
解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.
BE 平面PAC
由三垂线定理知BF PC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点，BE= ,EF=
tan =
=arctan
解2：（三垂线定理法）
取BC的中点E，连接AE，PE过A做AF PE, FM PC,连接FM
AB=AC,PB=PC
AE BC,PE BC
BC 平面PAE,BC 平面PBC
又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.
∵AD＝ BC且AD∥BC
∴△ADE∽△BCE
∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
∴由三垂线定理得DF⊥SE
∴∠DFA为二面角的平面角,
∴tanDFA＝ 即所求二面角的正切值.
二面角的作与求
求角是每年高考必考容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
（2） AB
AB EF
同理AC EF
EF 平面ABDC
BD EF, CD EF
=Байду номын сангаас
BC= cm
有正弦定理得点A到EF的距离为：d= cm
《二面角的求法》
一、复习引入：
1、什么是二面角及其平面角？围是什么？
①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。
②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
结论②：一般地，若设 分别是平面 的法向量，则平面 与平面 所成的二面角 的计算公式是： 或 ，其中锐角、钝角根据图形确定。
二、例题讲解：
以锥体为载体，对求角的问题进行研究
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= .求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法3：（向量法）
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0， ，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量为 =(0， ，0)；设平面SDC的法向量为 =(x，y，z)，而 =(-1， ，0)， =(0， ， 1)，∵ ⊥面SDC，∴ ⊥ ， ⊥ ，n1⊥ .
2、二面角出现的状态形式有哪些？
竖立式 横卧式
2、二面角的类型及基本方法
（1）四种常规几何作求法
定义法 垂面法；
三垂线法； 射影面积法 =S射影多边形/S多边形
（2）向量法：
①设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量
、 的夹角为 ，如图：
结论①：设 和 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 、 的夹角为 ，则有 或
3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。
4、投影法：利用s投影面=s被投影面 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题
5异面直线距离法：
EF2=m2+n2+d2－2mn
例1：若p是 所在平面外一点，而 和 都是边长为2的正三角形，PA= ,求二面角P-BC-A的大小。
[思维]二面角的大小是由二面角的平面角
来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作
平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点
间距离公式求二面角的平面角。
解1：（三垂线定理法）
取AC的中点E，连接BE，过E做EF PC,连接BF
平面ABC，PA 平面PAC
平面PAC 平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
平面PAE 平面PBC,平面PAE 平面PBC=PE
由三垂线定理知AM PC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1，AM= ,AF=
sin =
=argsin
解3：（投影法）
过B作BE AC于E,连结PE
平面ABC，PA 平面PAC
平面PAC 平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC
BE 平面PAC
评注：常规法求解步骤：一作：作出或找出相应空间角；二证：通过简单的判断或推理得到相应角；三求：通过计算求出相应的角。
点评：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面。
例3：二面角 的大小为 ，A是它部的一点，AB ，AC ,B、C为垂足。
（1）求证：平面ABC ,平面ABC
（2）当AB=4cm,AC=6cm时求BC的长及A到EF的距离。
分析：本题采用作棱的垂面法找二面角的平面角
解：（1）设过 ABC的平面交平面 于BD,交平面 于CD
AB ,AB 平面ABC
平面ABC ,同理平面ABC
分析：由于这两个三角形是全等的三角形，
故采用定义法
解：取BC的中点E，连接AE、PE
AC=AB，PB=PC
AE BC，PE BC
为二面角P-BC-A的平面角
在 中AE=PE= ，PA=
=900
二面角P-BC-A的平面角为900。
例2：已知 是正三角形， 平面ABC且PA=AB=a,求二面角A-PC-B的大小。
是 在平面PAC上的射影
设PA=1,则PB=PC= ,AB=1
由射影面积公式得， ,
解4：（异面直线距离法）
过A作AD PC,BE PC交PC分别于D、E
设PA=1,则AD= ,PB=PC=
BE= = ,CE= ,DE=
由异面直线两点间距离公式得
AB2=AD2+BE2+DE2-2ADBE , =
[点评]本题给出了求平面角的几种方法，应很好掌握。
解法1：可用射影面积法来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB即可，
故所求的二面角θ应满足 =
= = 。
点评：（1）若利用射影面积法求二面角的大小，作为解答题，高考中是要扣分的，因为它不是定理.（2）由学生讨论解决，教师根据学生的解答情况进行引导、明确学生的解答。
解法2：（三垂线定理法）
解：延长CD、BA交于点E，连结SE，SE即平面CSD与平面BSA的交线.
BE 平面PAC
由三垂线定理知BF PC
为二面角A-PC-B的平面角
设PA=1,E为AC的中点，BE= ,EF=
tan =
=arctan
解2：（三垂线定理法）
取BC的中点E，连接AE，PE过A做AF PE, FM PC,连接FM
AB=AC,PB=PC
AE BC,PE BC
BC 平面PAE,BC 平面PBC
又∵DA⊥平面SAB，∴过A点作SE的垂线交于F.如图.
∵AD＝ BC且AD∥BC
∴△ADE∽△BCE
∴EA＝AB＝SA
又∵SA⊥AE∴△SAE为等腰直角三角形，F为中点， 又∵DA⊥平面SAE，AF⊥SE
∴由三垂线定理得DF⊥SE
∴∠DFA为二面角的平面角,
∴tanDFA＝ 即所求二面角的正切值.
二面角的作与求
求角是每年高考必考容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下：
1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。
（2） AB
AB EF
同理AC EF
EF 平面ABDC
BD EF, CD EF
=Байду номын сангаас
BC= cm
有正弦定理得点A到EF的距离为：d= cm
《二面角的求法》
一、复习引入：
1、什么是二面角及其平面角？围是什么？
①从一条直线出发的两个半平面所成的图形叫做二面角，记作：二面角α—l—β。
②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
结论②：一般地，若设 分别是平面 的法向量，则平面 与平面 所成的二面角 的计算公式是： 或 ，其中锐角、钝角根据图形确定。
二、例题讲解：
以锥体为载体，对求角的问题进行研究
例1、如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面AC，SA=AB=BC=1，AD= .求面SCD与面SAB所成的角的大小。
解法3：（向量法）
解：如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(-1，1，0)，D(0， ，0)，S(0，0，1)，易知平面SAB的法向量为 =(0， ，0)；设平面SDC的法向量为 =(x，y，z)，而 =(-1， ，0)， =(0， ， 1)，∵ ⊥面SDC，∴ ⊥ ， ⊥ ，n1⊥ .