水产的养殖与捕捞
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水产的养殖与捕捞
[摘要]:
由于社会的快速发展，人们的生活水平不断提高，大家对于食物的要求也不断提高，光从自然界中捕捞的水产品的量已经不足以满足人们的需求了，从而衍生出了人工养殖水产这一职业。本文解决的是一个从实际生活中引发出的问题，该问题在考虑部分影响因素的情况下，确定一些必要量，对三种不同情况，分别运用微分法和规划论，建立相应的微分规划，积分规划和变分法数学模型，再利用微分法，变分法及Maple 数学软件进行求解，对不同的投资情况进行求解。
[关键字]:虾量 捕捞策略 养殖策略 利润最大
1 问题重述
人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。
现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定比例量捕捞。用)(t x 表示养殖场中第t 月的虾量（单位：斤），用)(t y 表示第t 月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据：
1）这种虾的自然死亡率为05.0,=λλ（1/月）；
2）环境容许的最大虾量为=N N ，104（斤）；
3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)(t x 的增加速度与月养殖费)(t y 成正比，其比例系数是)(t x 的函数；当)(t x 达到N 时，此函数为0；当)(t x 为0时，此函数为常数1＝，αα（斤/元）
； 4）虾的捕捞采用拉网式固定比例量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量)(t x 成正比，比例系数为E .这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为斤）元(1.0,=ββ；
5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元.
（1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费
)(t
y与该月虾量)(t
a
a（元/斤﹒月）。试制定捕
,=
x成正比，比例系数为2.0
捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？
（2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费)
(t
y与该月虾量)
x成正比，
(t
比例系数为a,又取E＝0.08（1/月）。试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大。如果初始虾量为103斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？
（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度1.0
E（1/月）捕捞，试制定
=
养殖场策略（确定养殖费)
y）,使5年的总利润最大.
(t
2问题假设
（1）虾群作为一个相对独立的整体，且不与其他生物发生竞争；或者虽然有竞争，但是其影响就限于虾的自然死亡率范围内[1]
（2）在同一个问题中，虾群的捕捞模式一定，采用拉网式固定比例量捕捞，每月的捕捞量与此时养殖场虾量)
x成正比，比例系数为常量E
(t
（3）每月捕捞过后全部销售完，销售价格不变，且不计销售成本
（4）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量)
x的增加速度与月养殖费
(t
y成正比，其比例系数是)(t
)(t
x达到N时，此函数为0；
x的函数；当)(t
α（斤/元）
当)
(t
x为0时，此函数为常数1
，α
＝
（5）虾一旦捕捞上岸，不考虑死亡情况
（6）养殖费)
y只与虾量)
(t
x有关，不随市场的不稳定而波动
(t
3符号约定
N是环境允许的最大虾量
α是固定的增长率
E是与每月虾量相关的捕捞系数
y t是每月的养殖费用
()
λ是该养殖场虾的自然死亡率
p是虾销售的数学期望，即平均价格
)(t
x是养殖场中第t月的虾量
t是单位时间
a是养殖费用与虾量的比例系数
4 基本模型的分析与建立
这道题是动态变化中有约束条件的最优问题，分别对三个小问进行分析。
第一小题要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费)
(t
y与该月虾量)
(t
x
成正比，比例系数为2.0
,=
a
a（元/斤﹒月），在此约束条件下可以列出每月虾量的微分方程，再根据相应的收入与支出关系确定捕捞策略，确定月最大利润。
第二小题由于采用了固定的捕捞策略，常量E一定，可以列出相应的积分方程，再根据相应的收入与支出关系确定利润最大。
第三小题同样是采用了固定的捕捞策略，要制定养殖策略，使五年的总利润最大。
我们运用变分法，把目标函数和约束条件结合起来，转换成泛函极值的问题，进而归结为求微分方程组的问题，用Maple数学软件可以计算出结果。
基于以上分析可以建立以下基本数学模型：
（1）虾的自然死亡率：
()
()
dx t
x t
dt
λ
=⋅，0.05
λ=（1/月）
（2）每月虾的捕捞规律：
()
() dx t
E x t dt
=⋅
（3）每月虾的增长与养殖费的关系函数：
()
(())(1)
x t
P x t
N
α
=-，1
α=（斤/元）
（4）每月的虾量随时间变化的关系函数：
()()
(1)()()() dx t x t
y t E x t dt N
αλ
=--+
（5）每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3，小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元，可以求得虾的
平均价格为7.5，下面出现的虾的价格均可以根据平均价格求,记为p。
5 模型的建立与求解