人教A版高中数学选修4-4导学案

二中高二数学选修4-4导学案 编号：15-12-11-603

新课标人教A 版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案

§4.1.1—第一课 平面直角坐标系

本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.

一、 温故而知新

1．到两个定点A （-1，0）与B （0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？

2．在⊿ABC 中，已知A （5，0），B （-5，0），且6=-BC AC ，求顶点C 的轨迹方程.

二、

重点、难点都在这里

【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s ，各观测点均在同一平面上.）（详解见课本）

【问题2】：已知⊿ABC 的三边c b a ,,满足2225a c b =+，BE ，CF 分别为边AC ，AB 上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE 与CF 的位置关系.

三、 懂了，不等于会了

4．两个定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹. 课前小测

典型问题 技能训练

5．求直线0532=+-y x 与曲线x

y 1

=的交点坐标.

6．已知A （-2，0），B （2，0），则以AB 为斜边的直角三角形的顶点C 的轨迹方程 是 .

8．已知A （-3，0），B （3，0），直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为9

4

，则 点M 的轨迹方程是 .

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【基础知识导学】

1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。

2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化

这一思想方法。

3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。 知识要点归纳】

思考1：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x?

坐标压缩变换：

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来 1/2，得到点

P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎪⎩

⎪⎨⎧==y y x x ''2

1通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。

思考2：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。

设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标x 不变，将纵坐标y 伸长为原来 3倍，得到

点P’(x’,y’).坐标对应关系为： ⎩⎨⎧==y y x x 3'

'通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

思考3：怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sin2x? 写出其坐标变换。

定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换⎩⎨⎧>=>=)

0(,)

0(,:''y y y x x μλλϕ的作用下，点P(x,y)对

应P’(x’,y’).称ϕ为平面直角坐标系中的伸缩变换。

【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。 将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，

分析：设变换为⎩⎨

⎧>⋅='>⋅='),

0(,),

0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，

将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλ

【解】(1)⎩

⎨⎧='='y y x

x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得

到直线42='-'y x 。

达标检测

A1.求下列点经过伸缩变换⎩

⎨⎧==y y x

x 3'2'后的点的坐标：

（1） （1，2）； （2） （-2，-1）

A2．点),(y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪

⎨⎧==y

y x x 3'21'后的点的坐标是（-2，6）

，则=x ，=y ； A3．将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（ ）

A.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y y x x 23'32'

B.⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

==y

y x x 32'23' C.⎩⎨⎧==x y y x '' D.⎩⎨⎧-=+=1'1'y y x x

A4．将直线22=-y x 变成直线4''2=-y x 的伸缩变换是 .

B6.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧==y

y x

x 3'2'后的图形：

（1）032=+y x ；

（2）12

2

=+y x .

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1.2.1极坐标系的的概念

1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.

2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

学习过程

一、学前准备

情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定

它们的位置以便将它们引爆？

情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？

（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？

问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？ 二、新课导学

◆探究新知（预习教材P 8～P 10，找出疑惑之处）

1、如右图，在平面取一个 O ，叫做 ； 自极点O 引一条射线Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通

常取

方向），这样就建立了一个 。 2、设M 是平面一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。有序数对 叫做点M 的 ，记作 。

3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？ ___________________________________________. ◆应用示例

例题1：(1)写出图中A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 各点的极坐标

)20,0(πθρ<≤>.

（2）：思考下列问题，给出解答。

①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种

表示方法？

③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ ⑤本题点G 的极坐标统一表达式。 答：

),(θρM

●

ρ

θ

O

x