平方差公式2修改分数制
公式法之平方差公式
公式法之平方差公式平法差公式是指在代数运算中，存在一种形如(a+b)(a-b)的乘法运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式，从而简化计算。
平方差公式的推导可以通过展开乘法(a+b)(a-b)的过程进行，具体推导如下：首先，我们假设a和b是任意实数。
那么(a+b)可以看作是一个单位，(a-b)可以看作是一个差数。
我们将其展开：(a+b)(a-b)=a(a-b)+b(a-b)接下来，我们将展开式中的乘法运算进行分配：=a*a-a*b+b*a-b*b= a^2 - ab + ba - b^2由于ab和ba表示的是相同的乘法运算，所以我们可以将它们合并：= a^2 - ab + ab - b^2=a^2-b^2可以看到，展开式的结果是a^2和b^2的差。
这个差就是平方差公式的核心内容。
因此，平方差公式可以表示为：(a+b)(a-b)=a^2-b^2这个公式在代数运算中非常常用，并且在很多数学问题的解答中都会用到。
通过使用平方差公式，可以将两个相邻的平方差式简化为一个乘法式，从而可以更方便地进行运算。
举例来说，假设我们需要计算(3+2)(3-2)的值。
根据平方差公式，可以得到：(3+2)(3-2)=3^2-2^2=9-4=5因此，(3+2)(3-2)的值等于5平方差公式在解决二次方程、因式分解、简化分数等问题中都有广泛的应用。
通过运用平方差公式，可以将复杂的运算问题转化为简单的代数运算，从而更加容易进行计算和解答。
总结起来，平方差公式是一种代数运算规则，可以将两个相邻的平方差式表示为一个乘法式。
通过使用平方差公式，可以简化计算过程，提高计算效率。
在数学问题的解答中，平方差公式具有广泛的应用价值。
这就是平方差公式的基本原理和推导过程。
平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a －b)=a 2－b 2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧:1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b －3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解： 原式= (－3a)2 －(2b)2=9a 2－4b 2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x 2+4)(x －2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解： 原式=(x 2－4) (x 2+4)=x 4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b －c+6)(2a －b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b －c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b －c)][(2a+6)－(b －c)]=(2a+6)2 －(b －c)2=4a 2+24a+36－b 2+2bc －c 2.二．逆用技巧:灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算： (a+2)2－(a －2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009. 2.2提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；2.3分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028. 2.4指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mn n m a a =把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17.∴38－46能被17整除.2.5结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.2.6逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a 2－9b 2)÷(4a －3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a －3b)÷(4a －3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧:一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.3.1拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992， (2)(a+3)(a －1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a 2+2a+1－4= a 2+2a －3.3.2添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004.（2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.3结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x －y)2(x+y)2(x 2+y 2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()m m m b a ab =对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x －y)(x+y)(x 2+y 2)] 2=[(x 2－y 2)(x 2+y 2)] 2=(x 4－y 4)2=x 8－2x 4y 4+y 8.3.4结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a －b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b 看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a －b)[(a+b)+2]=(a －b)(a+b)+2(a －b)=a 2－b 2+2a －2b.。
平方差公式课件
02
平方差公式的基本概念
平方差公式的定义
平方差公式是数学中的一个基本公式，它表示两个数的平方差等于这两个数和与差的积。
具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
平方差公式的几何意义
• 平方差公式可以理解为两个平行线间距离的公式。如果两条平 行线被第三条直线所截，那么截得的两条线段的平方差等于两 条线段和与差的积。
平方差公式的代数表达
• 平方差公式也可以从代数角度理解，即利用多项式乘多项式 法则进行展开。具体形式为：$(a+b)(a-b)=a^2-ab+abb^2=a^2-b^2$
03
平方差公式的证明
利用多项式展开证明
总结词
通过代数运算，将两个多项式相乘，展开后得到两组完全平方项，最终化简得 到平方差公式。
详细描述
首先将两个多项式分别展开，然后根据分配律和结合律，将两个多项式相乘得 到一组新的完全平方项。通过观察和化简，可以发现这组完全平方项可以再次 组合成两个完全平方项的差，即平方差公式。
利用几何方法证明
总结词
通过几何图形，将两个正方形或矩形相减，得到一个新的正 方形或矩形，最终计算其面积得到平方差公式。
示例：计算$203\times197$的值。
习题三：挑战题
总结词：挑战难题
详细描述：本题主要考察学生对平方差公式的综合运用能力，要求学生 能够解决一些复杂的计算问题。
示例：计算$10000\times9999$的值。
THANKS
感谢观看
详细描述
首先画两个正方形或矩形，使它们的边长分别为a和b。然后 将其中一个正方形或矩形剪去，得到一个新的正方形或矩形 。通过计算这个新正方形的面积，可以得到平方差公式。
平方差公式变式
平方差公式变式平方差公式是数学中一个非常重要的公式，它在代数运算中有着广泛的应用。
而平方差公式的变式更是让这个公式的应用变得更加灵活多样。
咱们先来说说平方差公式本身，那就是：(a + b)(a - b) = a² - b²。
这看起来简单，可作用大着呢！比如说，在计算 102×98 时，咱们就可以把 102 看成 100 + 2，98 看成 100 - 2，这样一来，102×98 就可以写成 (100 + 2)(100 - 2)，然后套用平方差公式，就得到 100² - 2² = 10000 - 4 = 9996。
你瞧，是不是一下子就简单多了？接下来咱们聊聊平方差公式的一些常见变式。
有一种变式是位置变化，比如 (b + a)(-b + a) = a² - b²。
这就好像是把原来公式里的 a 和 b 换了个位置，但本质还是一样的。
我记得有一次给学生们讲这个的时候，有个小家伙一脸迷茫地问我：“老师，这换来换去有啥用啊？”我笑着跟他说：“你想想啊，如果给你的式子是 (-3 + x)(3 + x) ，你要是不懂得这种位置变化的变式，是不是就觉得有点头疼啦？但要是你知道可以变成 (x + 3)(x - 3) ，然后用平方差公式，是不是一下子就清晰明了啦？”小家伙听了恍然大悟，那表情别提多可爱了。
还有系数变化的变式，像 (3a + 2b)(3a - 2b) = 9a² - 4b²。
这里面的系数不再是 1 了，但原理不变。
有一回在课堂上做练习，有一道题是 (5x + 3y)(5x - 3y) ，不少同学一开始没反应过来，还是按照原来的思路硬算，结果越算越复杂。
我就提醒他们看看系数，想想平方差公式的系数变化的变式，很快就有同学反应过来，算出了正确答案。
符号变化的变式，比如 (-a - b)(a - b) = b² - a²，这也是常考的点哦。
平方差公式的推导与应用
03
对于等差数列的部分和，也可以利用平方差公式进行
求解，从而简化计算过程。
裂项相消法求解数列和
裂项相消法的基本思想
裂项相消法是一种通过将数列中的项进行拆分和重组，使得部分项相互抵消，从而简化 求和过程的方法。
平方差公式在裂项相消法中的应用
在裂项相消法中，平方差公式可以用于将复杂的数列项拆分为简单的形式，从而更容易 找到相消的项，简化求和过程。
THANK YOU
感谢观看
相互转化
在某些情况下，可以通过平方差 公式将完全平方公式进行因式分 解，或者通过完全平方公式将平 方差公式进行展开。
02
平方差公式推导过程
利用多项式乘法进行推导
设定两个二项式
设定两个二项式 $(a+b)$和$(a-b)$。
展开乘法
将两个二项式相乘，得 到$(a+b)(a-b)=a^2ab+ab-b^2$。
表示方法
用数学符号表示为$(a+b)(a-b)=a^2b^2$，其中$a$和$b$是任意实数或 代数式。
公式中各项含义与性质
$a$和$b$
代表任意实数或代数式，可以是具体的数值 ，也可以是含有变量的表达式。
$a^2-b^2$
表示$a$的平方减去$b$的平方，是平方差 公式的结果。
$(a+b)(a-b)$
其他推导方法简述及比较
代数恒等式法
通过代数恒等式直接推导出平方差公式，此方法较为抽象但逻辑严谨。
几何图形法
利用几何图形直观展示平方差公式的推导过程，易于理解但可能不够严谨。
各种方法比较
不同的推导方法各有优缺点，可以根据个人喜好和实际情况选择适合自己的方法。在实际应用中，可以根据 需要灵活选择推导方法，以便更好地理解和应用平方差公式。
湘教版数学七年级下册_平方差公式的运用技巧
平方差公式的运用技巧平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2是恒等式，是初中数学中的重要公式，公式中的字母可以表示数字，也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式.在灵活运用平方差公式解答有关问题时，应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算：(－3a+2b)( －2b－3a) .分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用，通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的.解：原式=(－3a)2－(2b)2=9a2－4b2.2．连续运用平方差公式例2 计算：(x+2)(x2+4)(x－2) .分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=(x2－4) (x2+4)=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：(2a+b－c+6)(2a－b+c+6).分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项，然后再合并同类项，但是若能把(2a+6)、(b－c)看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算.解：原式=[(2a+6) +(b－c)][(2a+6)－(b－c)]=(2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2.二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用，对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算：(a+2)2－(a－2)2.分析：此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁，若根据题目的特点，直接逆用平方差公式，便可化繁为简，迅速求解.解：原式=[(a+2)+(a －2)][ (a+2)－(a －2)]=2a×4=8a.例5 计算：(1－221)(1－231)(1－241)…(1－220081).分析：此题若直接先算出括号内的结果，将会出现2007个分数相乘的运算，但如果每个括号内都先逆用平方差公式，那么除了首尾两数以外，其余每相邻两数均互为倒数，正好约分，可以减少运算量.解：解：原式=(1－21)(1+21)(1－31)(1+31)(1－41)(1+41)·…·⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-200811200811 =2008200920082007454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =20082009200820072007200854454334322321⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅）（）（）（）（ =2008200921⋅=40162009.2.提公因式后逆用平方差公式例6计算： 6.98×512－492×6.98.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先提取提公因式6.98，再逆用平方差公式求解.解：原式=6.98×（512－492）=6.98×（51+49）×（51－49）=6.98×100×2=1396；3.分组后逆用平方差公式例7计算：12－22+32－42+…+20032－20042+20052－20062+20072.分析：此题的数据较多，中间带有省略号，直接先算乘方再求代数和运算量太大，且不易求到结果，根据题目的特点，将1后面的2006个数据两两分组，逆用平方差公式，在利用求和公式求得结果.解：原式=1+(32－22)+(52－42)+…(20032－20022)+(20052－20042)+（20072－20062） =1+(3+2)+(5+4)+…+(2003+2002)+(2005+2004)+（2007+2006）=2007220071⋅+=2015028.4.指数变形后逆用平方差公式例8证明38－46能被17整除.分析：此题若按常理应先算出38－46的结果，再看是不是17的整倍数，但这样做计算量较大，不如根据题目的特点，先逆用()mnnm aa=把38、46进行指数变形，再逆用平方差公式，可以快速求证.证明：38－46=（34）2－（43）2=（34+43）（34－43）=145×17. ∴38－46能被17整除.5. 结合积的乘方性质逆用平方差公式例9 计算：1.2222×9－1.3332×4.分析：此题无法直接逆用平方差公式，观察到题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再逆用平方差公式，可以快速求解.解：原式=1.2222×32－1.3332×22=(1.222×3)2－(1.333×2)2=(3.666+2.666)(3.666－2.666)=6.332.6. 逆用平方差公式后约分例10 计算：(16a2－9b2)÷(4a－3b).分析：此题根据题目的特点，先逆用平方差公式后发现可约分，则可化繁为简，迅速得解.解：原式=(4a+3b)×(4a－3b)÷(4a－3b)=4a+3b.三．创造条件运用技巧一些题目看似无法运用平方差公式运算，但若能认真审题，发现其中的规律，把题目进行适当的转化，便可适用平方差公式进行计算.1. 拆数(项)后运用平方差公式例11 计算：(1)2008×1992，(2)(a+3)(a－1).分析：此题直接计算也行，但是若能恰当拆数(项)后运用平方差公式，则更计算为简单，更能快速求得结果.解：(1) 原式=(2000+8)×(2000－8)=20002－82=3999936.(2)原式=[(a+1)+2][(a+1)－2]=(a+1)2－22=a2+2a+1－4= a2+2a－3.2 .添项后运用平方差公式例12计算：（1）99982，（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1).分析：本题若直接计算很繁，但添上一个数后，便能发现运用平方差公式进行巧算，不难求得结果.解：（1）原式=99982-22+22=（9998+2）（9998-2）+4=99960000+4=99960004. （2）原式=1×(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)·…·(2512+1)=(2512－1)·(2512+1)=21024－1；3.结合积的乘方性质运用平方差公式例13 计算：(x－y)2(x+y)2(x2+y2)2.分析：根据题目的特点，可以先逆用()mmm baab=对原式进行变形，再两次运用平方差公式，就可以求到结果.解：原式=[(x－y)(x+y)(x2+y2)] 2=[(x2－y2)(x2+y2)] 2=(x4－y4)2=x8－2x4y4+y8.4.结合乘法分配律运用平方差公式例14 计算：(1)(a－b)(a+b+2).分析：本题若直接计算可得到六项式后再合并同类项，但若根据题目的特点，把a+b看为整体，先用乘法分配律展开，再运用平方差公式，更为简单.解：原式==(a－b)[(a+b)+2]=(a－b)(a+b)+2(a－b)=a2－b2+2a－2b.。
2.平方差公式PPT课件
（4）(5a+b)(5a-b)= 25a2-b2 （5）(n+3m)(n-3m)= n2-9m2
（6）(x+2y)(x-2y）= x2-4y2
计算下列各题
视察 & 发现
（1)（a+5）(a-5)= a2-25 视察以上算式及其运
算结果，你发现了什
（2）(m+3) (m-3)= m2-9 么规律？
（3）(3x+7)(3x-7)= 9x2-49
平方差公式
平方差公式的几何背景：
第一回忆我们曾经用 几何的意义即图形面积来解释整式乘法
运算法则，如：a(b+c)=ab+ac;
平方差公式
平方差公式的几何背景：
请同学们思考如何用几何图形的 面积来解释（a +b）(a-b)呢？ 1、当a>b>0时，我们可能看成是以长为(a+b) , 宽为(a-b)的长方形的面积。
平方差公式
回顾 & 思考☞
多项式乘法 法则是:
用一个多项式的每一项 乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加。
(m+a)(n+b)= mn+mb+an+ab
如果m=n，且都用 x 表示，那么上式就成为:
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab
这是上一节学习的 一种特殊多项式的乘法——
两个相同字母的 二项式的ห้องสมุดไป่ตู้积 .
如果 (x+a)(x+b)中的a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习的内容．
计算下列各题
视察 & 发现
(完整版)平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习一、平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2概括小结公式的变式，正确灵巧运用公式：①地点变化， x y y x x2y2②符号变化， x y x y x 2 y2 x 2 y2③指数变化， x2 y2x2y2x4y4④系数变化， 2a b2a b4a2b2⑤换式变化， xy z m xy z mxy 2z m2x2y2z m z mx 2y2z22zm zm mx 2y2z222zm m⑥增项变化， x y z x y zx y 2z2x y x y z2x2xy xy y2 z2x22xy y2z222⑦连用公式变化，x y x y x y2222x y x y44x y⑧逆用公式变化，x y z 2x y z 2x y z x y z x y z x y z2x2y 2z4xy 4xz完整平方公式活用: 把公式自己适合变形后再用于解题。
这里以完整平方公式为例，经过变形或从头组合，可得以下几个比较实用的派生公式：1. a22ab a2b2 b2. a22ab a2b2 b3. a2a22 a 2b2b b4. a2a24ab b b灵巧运用这些公式，常常能够办理一些特别的计算问题，培育综合运用知识的能力。
例 1．已知a b 2 ， ab 1，求a2b2的值。
例 2．已知a b 8， ab2，求 (a b)2的值。
解：∵ (a b) 2 a 22ab b 2(a b)2a22ab b 2∴∵(a b) 2(a b) 24ab∴ (a b) 24ab =(a b) 2 a b 8， ab 2∴ ( a b) 282 4 2 56例 3已知 a b4， ab5，求 a2b2的值。
解：2222a ab ab425262三、学习乘法公式应注意的问题（一）、注意掌握公式的特色，认清公式中的“两数”．例 1 计算 (-2 x2-5)(2 x2-5)剖析：本题两个因式中“-5 ”同样，“2x2”符号相反，因此“-5 ”是公式 ( a+b)( a- b)= a2- b2中的a，而“ 2x2”则是公式中的b．例 2 计算 (- a2+4b) 2剖析：运用公式 ( a+b) 2=a2+2ab+b2时，“ - a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为 (4 b- a2) 2时，则“ 4b”是公式中的 a，而“ a2”就是公式中的 b．（解略）（二）、注意为使用公式创建条件例 3 计算 (2 x+y- z+5)(2 x- y+z+5) ．剖析：粗看不可以运用公式计算，但注意察看，两个因式中的“2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因此，可运用添括号的技巧使原式变形为切合平方差公式的形式．例 5 计算 (2+1)(2 2 +1)(2 4+1)(2 8+1) ．剖析：本题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（ 2-1 ），则可运用公式，使问题化繁为简．（三）、注意公式的推行计算多项式的平方，由( a+b) 2=a2+2ab+b2，可推行获得：( a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．可表达为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．例 6 计算 (2 x+y-3) 2解：原式 =(2 x) 2+y2 +(-3) 2+2·2x·y+2·2x(-3)+2 ·y(-3)=4x2+y2+9+4xy-12 x-6 y．（四）、注意公式的变换，灵巧运用变形公式例 7 已知：x+2y=7，xy=6，求 ( x-2 y) 2的值．例 10 计算 (2 a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b) 2剖析：本题能够利用乘法公式和多项式的乘法睁开后计算，但逆用完整平方公式，则运算更为简易．四、如何娴熟运用公式：熟习常有的几种变化有些题目常常与公式的标准形式不相一致或不可以直接用公式计算，此时要依据公式特色，合理调整变化，使其知足公式特色．常有的几种变化是：1、地点变化如（3x+5y）（5y－3x）互换3x和5y的地点后即可用平方差公式计算了．2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变成－（2m+7n）（2m －7n）后即可用平方差公式求解了（思虑：不变或不这样变，能够吗？）3、数字变化如 98×102，992，912平分别变成（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后即可以用乘法公式加以解答了．4、系数变化如（ 4m+ n）（2m－n）变成2（2m+ n）（2m－n）2444后即可用平方差公式进行计算了．（四）、注意公式的灵巧运用有些题目常常可用不一样的公式来解，此时要选择最适合的公式以使计算更简易．如计算（ a2+1）2·（a2－1）2，若分别睁开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法例后再进一步计算，则特别简易．即原式 =[ （a2+1）（a2－1）]2=（a4－1） 2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－1）（1－1）（1－1）（ 1223242－192）（1－1102），若分别算出各因式的值后再行相乘，不单计算繁难，并且简单犯错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则碰巧解本题．即原式 =（1－1）（1+1）（1－1）（1+ 1）× ×（ 1－1）（1+ 1）22331010 = 1× 3× 2× 4× × 9×11= 1× 11= 11．2233101021020有时有些问题不可以直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有： a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab 等．用这些变式解相关问题常能收到事半功倍之效．2222如已知 m+n=7，mn=－18，求 m+n，m－mn+ n 的值．面对这样的问题即可用上述变式来解，2222即 m+n =（m+n）－2mn=7－2×（－ 18）=49+36=85，2222m－mn+ n= （m+n）－3mn=7－3×（－ 18） =103．以下各题，难不倒你吧？！1、若a+ 1 =5，求（ 1）a2+ 12，（2）（a－1）2的值．a a a2、求（ 2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（ 216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．（答案： 1. （1）23；（2） 21．2. 6）五、乘法公式应用的五个层次乘法公式： (a ＋b)(a －b)=a 2－b2，(a ±b)=a 2±2ab＋b2，(a ±b)(a 2±ab＋b2)=a 3±b3．第一层次──正用即依据所求式的特色，模拟公式进行直接、简单的套用．例1计算( － 2x－y)(2x －y) ．．第二层次──逆用，马上这些公式反过来进行逆向使用．例2计算第三层次──活用：依据待求式的构造特色，探访规律，连续频频使用乘法公式；有时依据需要创建条件，灵巧应用公式．例 3 化简： (2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1．剖析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，假如再增加一个因式“ 2－1”即可连续应用平方差公式，从而问题水到渠成．解原式 =(2 －1)(2 ＋1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=(2 2－1)(2 2＋1)(2 4＋1)(2 8＋1) ＋1=216．第四层次──变用：解某些问题时，若能娴熟地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a ＋b) 2－2ab，a3＋b3=(a ＋b) 3－3ab(a ＋b) 等，则求解十分简单、明快．例 5 已知 a＋b=9，ab=14，求 2a2＋2b2的值．解：∵a＋b=9，ab=14，∴ 2a2＋2b2 =2[(a ＋b) 2－2ab]=2(9 2－2·14)=106 ，第五层次──综合后用：将 (a ＋ b) 2=a2＋ 2ab＋ b2和(a －b) 2 =a2－2ab＋ b2综合，可得 (a ＋b) 2＋(a － b) 2=2(a 2＋b2 ) ；(a ＋b) 2－(a －b) 2=4ab；等，合理地利用这些公式办理某些问题显得新奇、简捷．例 6 计算： (2x ＋y－z＋5)(2x －y＋z＋5) ．解：原式= 1[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-1[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]244=(2x ＋5) 2－(y － z) 2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz －z2乘法公式的使用技巧：①提出负号：关于含负号许多的因式，往常先提出负号，以防止负号多带来的麻烦。
修改后平方差公式2
（× ）
比较下列算式，观察共同特点
(1)79 88 1
(2)1113 12121
(3)7981 80801
请同学们类比以上式子，写出一个与它们相似 的式子，并用含字母a的等式表示出来(其中a表示
第二列数字)。 a 1a 1 a2 1
应用公式灵活计算
例2 利用平方差公式计算： (1) 799×801；(2)59.8×60.2;
“过奖了，这个算法超简单，我来告诉你怎样算的吧 你知道王敏捷同学用的是一个什么样的方法计算的吗
思维扩展训练
在式子(-3a + 2b )(
)的括号
内填入怎样的式子才能用平方差
公式计算.
灵活应用公式
(x-y)(x+y)(x2+y2)
我们一起来玩合作游戏
游戏规则：第一位同学说出任意两数的和：
第二位同学说出这两数的差; 第三位同学马上说出前两位同学积的结果； 第四位同学判断正确还是错误。 裁判是全班同学：全班同学认为配合好则鼓掌表扬
用今天学过的知识试一试：
(1)(a+随2)(堂a−练2)；习 (2)(3a +2b)(−2b +3a) ;
(3) ( 1 x y)( 1 x y)
4
4
挑战自我
心算题
(1) (a 2)(a 2)
(2) (-a+b)(a+b)
(3)(a-b)(b+a)
(4) (a 3b)(a 3b)
(5) (x 1)(x 1)
式及其运算结果，你发现等式两边有什么特点？
a
a b
b
你能从 这个游 戏中得 到一个 怎样的 等式？
如图：在边长为a的大正方形的一角剪去一个边长 为b的小正方形。
平方差公式的8种变形推导
平方差公式的8种变形推导你有没有觉得，数学公式就像是那些看不懂的成语，明明觉得应该能理解，可总是捉摸不透。
今天我们来聊聊一个超级经典的公式——平方差公式。
别着急哦，先别被它吓到，其实这个公式就像是那种大家都知道但没怎么重视的“老朋友”，你一旦弄明白了它的用法，什么问题都不怕了！平方差公式是什么呢？嗯，给你个简单的定义：((ab)(a+b)=a^2b^2)。
没错，就是这么简单。
两个数相乘，乘法看起来就像是“加加减减”的魔法，巧妙地简化了原本复杂的计算。
咱们数学里很多复杂的公式，都是从这个“看似简单”的平方差公式延伸出来的。
一、平方差公式的基本形式你先记住这个标准形式：((ab)(a+b)=a^2b^2)。
你仔细想想，两个括号，一边是加法，一边是减法，结果出来却是两项的差，没错，就是这种“减法”的奇妙效果。
想一想，如果我们把它稍微变个样子，它的“变形”可就多了。
比如，假设你已经知道了(a^2b^2)，只要看它的形式是不是这样的差，那你就能推测出它可以转化为((ab)(a+b))。
就好像你知道了某个菜的做法，突然间学会了好多变种的做法一样。
这里就有个小窍门啦。
如果你看到了(a^2b^2)，就知道它一定能被写成两个括号的形式。
就像你总能把那种“拆不开的包子”拆开一样，想不出办法都难。
这个公式特别好用，简直是做数学题的秘密武器。
有了这个公式，你可以一秒钟化繁为简，迅速搞定一些复杂的乘法问题。
二、平方差公式的8种变形接下来说点有意思的东西。
平方差公式并不是一成不变的。
它就像是变形金刚，能变来变去，关键看你怎么操作。
咱们现在就来扒拉扒拉，看看它都能变出什么样子。
1.((ab)^2=a^22ab+b^2)这其实是平方差公式的变形之一。
想象一下，把减法改成平方，你会发现，原本的两项变成了三项。
大家都知道，平方的结果会带出一个“2ab”项。
你看，多了一个中间项，看起来是不是复杂了点？别担心，背后还是那个平方差公式在支撑呢。
平方差公式2
平方差公式平方差公式(a+b)(a－b)=a2－b2 (两数之和乘以两数之差，等于两数的平方差。
一、抓住几种常用的变换将所给式子进行适当变换，是灵活使用公式的前提，常用的变换有以下几种：1．位置变换：如：(2b+3a) (3a－2b)= (3a +2b) (3a－2b) = (3a)2－(2b)2=9a2－4b2．如：(－b＋a)(b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2；2．系数变换：如：(2x+4y) (3x－6y)=2 (x+2y)·3 (x－2y)=6(x2－4y2)= 6x2－24y2．如：(2x＋3y)(2x－3y)＝(2x)2－(3y)2＝4x2－9y2；3．符号变换：如：(－2a－3b) (2a－3b)=－(2a+3b) (2a－3b)=－(4a2－9b2)=－4a2+9b2．如：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2；4．指数变换：如：(a+b)2(a－b)2=[(a+b) (a-b)]2=(a2－b2)2= a4－2a2b2+b4．如：(m3＋n2)(m3－n2)＝(m3)2－(n2)2＝m6－n4.5．分组变换：如计算(3－a +2b+c) (3+a－2b+c)=[ (3+c)－(a－2b)] [ (3+c)+(a－2b)]= (3+c) 2－(a－2b)2=9+6c+c2－a2+4ab－4b2．6．拆项变换：如计算20062－2008×200420062－(2006+2)( 2006－2)=20062－( 20062－22) =20062－20062+22 =4．四、抓住公式的正逆应用学习平方差公式时，我们不但要掌握其正向应用，还要适当地逆向公式，有时正逆联手使用可以达到变繁为简，变难为易的效果．如计算(a+b)2(a－b)2－(2a+b)2(2a－b)2=[(a+b) (a－b)]2－[(2a+b) (2a－b)]2=(a2－b2)2－(4a2－b2)2=(a2－b2－4a2+b2) (a2－b2+4a2－b2)=－3a2 (5a2－2b2)=－15a4+6a2b2．一、利用平方差公式计算：1.(a＋b)(a－b)= (a-b)(b＋a)=(－a－b)(－a＋b)=2.(－a＋b)(a＋b)=(x＋2)(x－2)=(3x＋2)(3x－2)=3.(2x＋1)(2x－1)= (p＋q)(p－q)=4.(x＋5y)(x－5y)= (2y＋z)(2y－z)=5.(y+3z)(y－3z)= (ab＋8)(ab－8)=6.(a＋3b)(a－3b)=(4＋3a)(4－3a)= (3＋2a)(－3＋2a)=7.(m+2)(m-2)= (2x+1)(2x-1)= (x＋5)(x－5)=8.(a＋2)(a－2)= (x+1)(x-1)= (3x＋7y)(3x－7y)=9.（-4a-1）(4a-1)= (2x＋3)(3－2x)= (x+y)(－x+y)=10.(b＋2a)(2a-b)= (3a＋2b)(3a－2b)= (1＋3a)(1－3a)=11. (5＋6x)(5－6x)= (x－2y)(x＋2y)= (x＋2y)(－x＋2y)=12.(－2x＋y)(－2x－y)= (xy－5)(－xy－5)=13.(0.5m－5)(0.5m+5)= (4x＋5y)(4x－5y)=14.(－x＋y)(－x－y)= (3m－5n)(5n＋3m)=15.(-x－2y)(-x＋2y)= (－1＋x)(－1－x)=16.(－x－1)(1－x)= (－2b－5)(2b－5)=17.(－4k＋3)(－4k－3)= (－m＋n)(－m－n)=18. （2+3m）（2-3m）= （ab-a）（ab+a）=19.(－14x －y)(－14x ＋y)= (14x －y)(－14x －y)= 20.(2x 2+3y 3)(2x 2－3y 3)= (－1－2a )(2a －1)= 21.(4x +32y )(－4x +32y ) = (51a+31b)(31b-51a)= 22.(-0.3x+y)(y+0.3x)= (a +2b +c )(a +2b -c )=23.(-0.5a-b)(0.5a-b)= (3x －5y 2)(－3x －5y 2)= 24. (2x +5)2 -(2x -5)2==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++x 21y x 21y x 41225.(x ＋y ＋z)(x ＋y －z)＝ (y ＋2)(y －2)-(y-1)(y+1)=26.(a +b －c )(a －b +c )= (a ＋b －c)(－a ＋b ＋c)=27.(x －3)(x 2＋9)(x ＋3)= (b －2)(b 2+4)(b +2)=28.(m ＋2)(m －2)－m(m －3)= x(x －1)＋(1－x)(1＋x)=29.(x ＋12)(x 2＋14)(12－x)= (x +y )(x 2+y 2)(x 4+y 4)(x -y )= 30.102×98= 20012 -19992= 31.79×81= 2001×1999= 32.992－1= 99×101×10001=33.( x – 1 )( x + 1 )( x 2 + 1 )(x 4+1)=34.(x +3y )2(x －3y )2(x 2+9y 2)2=35.(a ＋2b)(a －2b)＋2b 2＝36.(3x ＋2y)(3x －2y)(9x 2＋4y 2)=37.(2x －3y)(3y ＋2x)－(4y －3x)(3x ＋4y)=38.2111()()422x y x y x ++-=.39.［2a 2－(a +b )(a －b )］［(c －a )(a +c )+(－c +b )(c +b )］=1.判断正误．如果错误，应怎样改正？(1)(－a －b)(a －b)＝－a 2＋b 2.( )(2)(－a ＋b)(－a －b)＝－a 2－b 2.( )(3)(2x ＋3)(2x －3)＝2x 2－9.( )(4)(3x －1)(－3x －1)＝9x 2－1.( )(5)(4x+3b)(4x-3b)＝4x 2-3b 2( ) (6)(4x+3b)(4x-3b)＝16x 2-9( )(7) (x +2)(x -2)=x 2-2 ( ) (8) (-3a -2)(3a -2)=9a 2-4( )(9) (x +5)(3x -5)=3x 2-25 ( ) (10) (2ab -c )(c +2ab )=4a 2b 2-c 2( )2、判断下列式子是否可用平方差公式(1)(-a+b)(a+b)（ ） (2) (-2a+b)(-2a-b) （ ）(3) (-a+b)(a-b)（ ） (4) (a+b)(a-c) （ ）3.(4x 2－5y )乘以下列哪个式子，才能使用平方差公式进行计算( )A.－4x 2－5yB.－4x 2+5yC.－5y +4x 2D.4x +5y 24. 平方差公式22()()a b a b a b +-=-中的a 、b 表示（ ）A.只能是数或字母B.只能是字母C.只能是多项D.可以是单项式或多项式5.下列公式不能用平方差公式计算的是（ ）A.（m+n ）（m-n ）B.（m-n ）（-m-n ）C.（m-n ）（-m+n ）D.（n -m ）（-m-n ）6.下列式子中，两个多项式之积是25-t 2的是( )A. (t +5)(t -5)B.( -t +5) (t -5)C. (-t -5) (-t +5)D. (-t -5)( t -5)7. (1+x 2)(x 2-1)的计算结果是（ ）A.x 2-1B.x 2-1C.x 4-1D. 1-x 48．下列各式中不能用平方差公式计算的是( )A ．(x －y)(－x ＋y)B ．(－x ＋y)(－x －y)C ．(－x －y)(x －y)D ．(x ＋y)(－x ＋y)9．在下列各式中，计算结果是a 2b 2－64的是( )A ．(－ab ＋8)(－ab ＋8)B ．(8＋ab)(8－ab)C ．(－ab －8)(－ab ＋8)D ．(－ab ＋8)(ab －8)10．计算(－4a －1)(4a －1)的结果等于( )A ．16a 2－1B ．－8a 2－1C ．－4a 2＋1D ．－16a 2＋111．若a 2－b 2＝－116，a ＋b ＝－14，则a －b 的值为( ) A .14B ．－14C ．2D ．4 12．对于任意的整数n ，能整除(n ＋3)(n －3)－(n ＋2)(n －2)的整数是( )A ．4B ．3C ．5D ．213．下列算式不能用平方差公式计算的是( )A ．(x －y)(y ＋x)B ．(x －y)(－x －y)C ．(－y －x)(x ＋y)D ．(y －x)(－x －y)14．已知a ＋b ＝10，a －b ＝8，则a 2－b 2＝________．15. 如果三角形的一边长为a+b ，这边上的高比它短2b ，则这边上的高为________，这个三角形的面积为________.16.如果24(1)(1)1x M x x -⋅⋅+=-，则代数式M=________.17、参照平方差公式“（a+b ）（a －b ）= a 2－b 2”填空（1）(t+s)(t-s)= (2) (3m+2n)(3m-2n)=(3) (1+n)(1-n)= (4) (10+5)(10-5)＝(5)(x ＋4)(x －4)＝．(6)(a －b)(－b －a)＝．18．填空：(－3x 2＋2y 2)(__________)＝9x 4－4y 419．探索：1002-992+982-972+962-952+……+22-12的值。
平方差公式常见的变化形式
平方差公式常见的变化形式平方差公式啊，那可是数学学习中的一个重要小法宝！咱们来好好唠唠它常见的变化形式。
先来说说啥是平方差公式，它就是 (a + b)(a - b) = a² - b²。
这个公式看着简单，用处可大着呢。
咱先说第一种变化形式，把 b 换成 -b ，那就变成了 (a + (-b))(a - (-b)) ，也就是 (a - b)(a + b) ，结果还是 a² - b²。
这就好比你去超市买东西，本来想买巧克力，结果换成了糖果，但是最后花的钱还是差不多的。
再看第二种变化形式，把 a 换成 -a ，那就成了 (-a + b)(-a - b) ，算一下，结果是 (-a)² - b²，也就是 a² - b²。
就像你出门本来想走左边的路，结果临时改主意走了右边，但最终还是能到达目的地。
还有一种常见的，就是给 a 和 b 都添上系数，比如说 (2a + 3b)(2a -3b) ，这时候别慌，先把系数放一边，按照公式算里面的，就是 (2a)² - (3b)²，也就是 4a² - 9b²。
这就好像你组装玩具，零件大小变了，但组装的方法还是一样的。
我记得有一次给学生们讲这个知识点，有个小家伙特别可爱，瞪着大眼睛一直问我：“老师，这怎么这么复杂呀？”我就跟他说：“你别着急，咱们慢慢来，就像你学骑自行车，一开始觉得难，掌握了技巧不就轻松多啦。
”然后我带着他一步一步地分析，从最简单的例子开始，他慢慢就明白了。
后来做作业的时候，他做得可认真了，还跑来跟我说：“老师，我发现平方差公式也没那么难嘛！”看着他那得意的小表情，我心里别提多高兴了。
咱们继续说平方差公式的变化形式。
如果式子变成了 (a + b + c)(a -b - c) ，这时候咱们可以把 (b + c) 看成一个整体，那就变成了 [a + (b +c)][a - (b + c)] ，结果就是 a² - (b + c)²，再展开就是 a² - (b² + 2bc + c²) ，等于 a² - b² - 2bc - c²。
【高中数学】高中数学公式(平方差公式)_高中数学公式
【高中数学】高中数学公式（平方差公式）_高中数学公式除了课堂上的学习外，平时的积累与练习也是学生提高成绩的重要途径，本文为大家提供了高中数学公式（平方差公式），祝大家阅读愉快。
表达式：（a+b）（a-b）=a^2-b^2。
两个数之和与两个数之差的乘积等于两个数的平方差。
这个公式叫做乘法的平方差公式公式运用可用于分母中有根的某些分数：1/(3-4倍根号2)化简：一个×（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2）^2=（3+4x根号2）/（9-32）=（3+4x根号2）/-23[解方程]x^2-y^2=1991[思路分析]使用平方差公式[解题过程]x^2-y^2=1991(x+y)(x-y)=1991因为1991年可以分为1×1991，11×1881所以如果x+y=1991，x-y=1，解得x=996，y=995如果x+y=181，x-y=11，x=96，y=85，它也可以是负数所以解有x=996，y=995，或x=996，y=-995，或x=-996，y=995或x=-996，y=-995或者x=96，y=85，或者x=96，y=-85或者x=-96，y=85或者x=-96，y=-85有时应注意加减的过程。
常见错误平方差公式中常见错误有：① 学生很难跳出原有的刻板思维，如典型错误；（错误原因：基于公式和随意“创造”的类比）②混淆公式;③ 运算结果中的符号错误；④变式应用难以掌握。
三角平方差公式三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式：（新浪）^2-（新浪）^2=（cosb）^2-（cosa）^2=罪恶（a+b）罪恶（a-b）(cosa)^2-(sinb)^2=(cosb)^2-(sina)^2=cos(a+b)sin(a-b)这组公式是一种化工产品公式，因其与平方差公式相似而得名。
它主要用于求解三角形。
注意事项1.公式左边是两项的乘积，其中一项完全相同。
2、右边的结果是乘式中两项的平方差，相同项的平方减去相反项的平方。
平方差公式的运用技巧与窍门
平方差公式的运用技巧与窍门平方差公式是数学中常用的一个公式，用于求解两个数的平方差。
在数学计算中，经常会遇到需要使用平方差公式的情况，因此掌握平方差公式的运用技巧和窍门是非常重要的。
一、平方差公式的表达形式平方差公式可以表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，$a$和$b$为任意的实数。
通过这个公式，我们可以得到两个数的平方差，进而简化数学计算过程。
二、平方差公式的运用技巧1. 利用平方差公式进行算式的简化在进行数学运算时，我们经常会遇到需要计算两个数的平方差的情况。
这时可以利用平方差公式，将$(a+b)(a-b)$化简为$a^2-b^2$，从而简化计算过程，提高效率。
例如，计算$(7+3)(7-3)$，可以直接利用平方差公式化简为$7^2-3^2=49-9=40$，省去了逐项相乘的步骤。
2. 解决代数式中的平方差在代数式中，经常会涉及到平方差的运算。
利用平方差公式，可以简化代数式的计算，快速得出结果。
例如，对于代数式$x^2-4$，我们可以将其看作是$(x+2)(x-2)$，然后利用平方差公式化简为$x^2-2^2=x^2-4$，从而得出简化后的代数式。
三、平方差公式的运用窍门1. 异差平方公式的应用异差平方公式是平方差公式的一个变形，用于求解两个数的平方和。
通过将平方差公式和异差平方公式结合运用，可以更灵活地解决数学问题。
2. 注意因子的选取在运用平方差公式时，需要注意选取合适的因子，使得公式的运用更加方便和高效。
合理选择因子可以简化计算过程，减少出错的可能性。
3. 练习多种类型的题目为了熟练掌握平方差公式的运用技巧，需要多做练习。
通过练习不同类型的题目，可以提高解题的速度和准确性，增强对平方差公式的理解和掌握。
四、总结平方差公式是数学中常用的一个公式，掌握其运用技巧和窍门可以帮助我们更快地解决数学问题。
通过合理运用平方差公式，简化计算过程，提高效率，是数学学习中的重要一环。
将平方差公式因式分解练习题改为分式差公式因式分解练习题。
将平方差公式因式分解练习题改为分式差公式因式分解练习题。
将平方差公式因式分解练题改为分式差公式因式分解练题
背景
平方差公式是数学中常用的因式分解方法之一。
它用于将两个平方数的差表示为两个数的积。
然而，在某些情况下，使用分式差公式会更加方便和有效。
分式差公式用于将两个分式的差表示为两个数的积。
目标
本文档的目标是将给定的平方差公式因式分解练题，改为分式差公式因式分解练题。
通过这些练题，可以帮助学生更好地理解和掌握分式差公式的应用。
改写练题
以下是将平方差公式因式分解练题改写为分式差公式因式分解练题的示例：
1. 原题：因式分解 x^2 - 9
改写为：因式分解 1/(x^2) - 1/9
2. 原题：因式分解 16a^2 - 4b^2
改写为：因式分解 4/(a^2) - 1/(b^2)
3. 原题：因式分解 25x^2 - 49
改写为：因式分解 5/(x^2) - 7/(7^2)
总结
通过将平方差公式因式分解练习题改写为分式差公式因式分解练习题，我们可以帮助学生更好地理解和应用分式差公式。
这些练习题可以帮助他们提高因式分解的能力，并在数学学习中更加灵活地运用各种因式分解方法。
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1、下列各式计算正确的 是（） D （3分）
A、 (a 5)(a 5) a 2 5
C、 (a 2)(a 3) a 6
2
B、 (3x 2)(3x 2) 3x 2 4
D、 (3xy 1)(3xy 1) 9x 2 y 2 1
2、下列式子可用平方差公式计算的式子是（C ） （3分） b－a） x－1） A.（a－b）（ B.（－x+1）（ x+1） C.（－a－b）（－ a+b） D.（－x－1）（ （共计24分，每小题8分） 3、计算 15 2 1 1 2 8a b (1)( a b)( a b) (3a 2b)( 3a 2b) 答案： 4 2 2
y)
xy y 2 9 x 2 y 2 xy 9 x
2
4、选做计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1 （10分） 解： (2 1)( 2 2 1)( 2 4 1)......( 232 1) 1
2 1 (2 1)( 2 2 1)( 2 4 1)......( 232 1) 1 2 1 (2 1)( 2 1)( 2 2 1)( 2 4 1)......( 232 1) 1 2 1 (2 2 1)( 2 2 1)( 2 4 1)......( 232 1) 1 2 1 (2 4 1)( 2 4 1)......( 232 1) 1 2 1 (232 1)( 232 1) 1 2 1 264 1 1 264
整式的乘法
平方差公式（2）
七年级数学下册 主备人：陈攀 议课时间： 2月 23日 授课时间： 2月 29 日
自学目标（1分钟）
1、了解平方差公式的几何背景 .
2、会灵活运用平方差公式进行计算 .
自学指导(7分钟)
认真阅读教材P37—P38，完成下列各题
2 2
（2分） a b 1、图1-4中阴影部分的面积是：___________
2 2 2 2
x 3xy y
2Leabharlann 2讨论、更正、点拨（6分钟）
二、计算
（7分）
2、 [2x ( x y)(x y)][(z x)(z x) ( y z)( y z)]
2
点拨：整式的加、减、乘法混合运算中，首先确定运算顺序， 再灵活运用公式、法则进行计算。代数式中的积应作为整体括 起来，运算结果中有同类项的一定要合并同类项。
2
2
= 9996
2 1 ⑵ 50 49 （6分） 3 3 2 2 22 2 解：原式 (50 )(50 ) 50 ( )
2
（3） (a b)(a b )(a b) b
2
3
3
4 （6分）
5 2499 3 9
4
二、计算
1、 ( x
答案：a
y)(x y) ( x 2 y)(2 x y)（7分） ( x y)(x y)][(z x)(z x) ( y z )( y z )]
6399 6400
5.从第3题的过程中，你发现了什么规律？（6分）
每列上面算式的结果加1等于下面运算式的结果（答案不唯一）
6.请用字母表示表示这一规律吗？ （6分）
2 a 1 a 1 a 1
7、自学例3、例4
自学检测（8分钟） 一、仿照例3、例4计算下列各题 ⑴ 102×98 （6分） 2 解：原式= (100＋2)(100－2)= 100
（7分）
2、[2 x
2
讨论、更正、点拨（6分钟）
二、计算
（12分）
1、 ( x y)(x y) ( x 2 y)(2 x y)
2 2 2 2
点拨：代数式中的积作为一个整体应括起来
解： 原式 ( x y ) (2 x xy 4 xy 2 y ) x y 2 x xy 4 xy 2 y
解： 原式 [2 x ( x y )][ z x ( y z )] [2x 2 ( x 2 y 2 )][z 2 x 2 y 2 z 2 ]
2 2 2 2 2 2 2
(2 x 2 x 2 y 2 )( x 2 y 2 ) ( x y )( x y )
(2) y( x y) (3x y)(3x y) 答案： 9 x 2 xy
(3)1007 993
答案： 999951
（10分）
4、选做计算：(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1 答案： 264
3、计算 （共计24分，每小题8分） 解：(1)(a 1 b)(a 1 b) (3a 2b)(3a 2b)
2 2 2 2
( y 2 )2 ( x2 )2 y4 x4
小结（3分钟）
1. 平方差公式的内涵：
（a+b)(a-b) a b
2
2
2. 平方差公式的结构特征：
（1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中， 有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的 项的平方减去互为相反数的一项的平方；
(_____ a b)、 2、图1-5中阴影部分长、宽、面积分别是： (a b)(a b（ ) 6分） (a b) 、 __________ _________
63 64
143 144
3、你能用1、2的结果验证平方差公式吗？ （6分） 2 2 ( a b )( a b ) a b 4、计算下列各题 由面积相等可以得出 （12分）
2 2 1 2 2 a ( b) (3a) 2 (2b) 2 2 1 2 2 2 2 a b (9a 4b ) 4 1 2 2 a b 9a 2 4b 2 4 ( 2 ) y ( x y ) ( 3 x y )( 3 x 15 8a 2 b 2 2 2 4 xy y y (9 x y )