必修2 第八章 立体几何初步 8.1-8.3节

立体图形的直观图及几何体的表面积与体积

立体图形的直观图

核心知识点：空间几何体的直观图

（1）斜二测画法及其规则

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：

①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长

度为原来的一半。

（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴使 ∠xOz =90°，且∠yOz =90°。

②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°（或135°）， ∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面。

③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。

④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。

⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。 （3）直观图的面积与原图面积之间的关系

①原图形与直观图的面积比为S

S ='，即原图面积是直观图面积的

例题1 按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图。

解：（1）在图①中作AG ⊥x 轴于点G ，作DH ⊥x 轴于点H 。

（2）在图②中画相应的x ′轴与y ′轴两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°。

（3）在图②中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝

21OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝21GA ，H ′D ′＝2

1

HD 。 （4）连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水

平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′（如图③）。

总结提升：

1. 在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点。

2. 画平面图形的直观图时，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段则通过与坐标轴平行的线段来确定它的两个端点，然后连接成线段。

例题2画棱长为2 cm的正方体的直观图。

解：如图，按如下步骤完成：

第一步：作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm。

第二步：过A作z′轴，使∠BAz′＝90°。

分别过点B，C，D作z′轴的平行线，在z′轴及这组平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝2 cm。

第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，并擦去多余的辅助线，得到的图形就是所求的正方体直观图。

总结提升：画简单几何体直观图的步骤

1. 画轴：通常以高所在直线为z轴建系。

2. 画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面。

3. 确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点。

4. 连接成图。

例题3如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图。若A1D1∥O′y′，A1B1

∥C 1D 1，A 1B 1＝3

2

C 1

D 1＝2，A 1D 1＝O ′D 1＝1。试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积。

解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取OD ＝O ′D 1＝1，OC ＝O ′C 1＝2。在过点D 的y 轴的平行线上截取DA ＝2D 1A 1＝2。

在过点A 的x 轴的平行线上截取AB ＝A 1B 1＝2。 连接BC ，即得到了原图形。

由作法可知，原四边形ABCD 是直角梯形，上、下底长度分别为AB ＝2，CD ＝3，直角腰的长度AD ＝2，

所以面积为S ＝

2

3

2 ×2＝5。 总结提升：1. 平面图形的直观图与原图形的关系为：（1）与x 轴、y 轴平行线段的平行性不变。（2）长度关系的变化，与y 轴平行的线段长度折半。

2. 直观图与原图面积之间的关系。

若一个平面多边形的面积为S ，其直观图的面积为S ′，则有S ′＝

4

2

S 或S ＝22S ′。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。

1. 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可。

画图时紧紧把握住一斜——在已知图形中垂直于x 轴的线段，在直观图中与x ′轴成45°或135°角；二测——两种度量形式，即在直观图中平行于x 轴的线段长度不变，平行于y ′轴的线段变为原长度的一半。

2. 画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取，为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示。

3. 注意由直观图求原图形有关问题时，要把平行于y ′轴的线段长度变为两倍才是原图形