导数的综合大题及其分类

导数得综合应用就是历年高考必考得热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题得热点主要有利用导数研究函数得单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程得根(或函数得零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想得运用、

题型一 利用导数研究函数得单调性、极值与最值

题型概览：函数单调性与极值、最值综合问题得突破难点就是分类讨论．

（1）单调性讨论策略：单调性得讨论就是以导数等于零得点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数得符号，在不能确定导数等于零得点得相对位置时，还需要对导数等于零得点得位置关系进行讨论．

(2)极值讨论策略：极值得讨论就是以单调性得讨论为基础，根据函数得单调性确定函数得极值点．

(3)最值讨论策略：图象连续得函数在闭区间上最值得讨论，就是以函数在该区间上得极值与区间端点得函数值进行比较为标准进行得，在极值与区间端点函数值中最大得为最大值，最小得为最小值．

已知函数f (x )＝x －1

x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )．

(1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )得单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤

0，12，求

h (x 1)－h (x 2)得最小

值．

[审题程序]

第一步：在定义域内，依据F ′(x )＝0根得情况对F ′(x )得符号讨论； 第二步：整合讨论结果，确定单调区间； 第三步：建立x 1、x 2及a 间得关系及取值范围；

第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)得函数，求出最小值．

[规范解答] (1)由题意得F (x )＝x －1

x －a ln x ， 其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1

x 2，

令m (x )＝x 2－ax ＋1，则Δ＝a 2－4、

①当－2≤a ≤2时，Δ≤0，从而F ′(x )≥0，∴F (x )得单调递增区间为(0，＋∞)； ②当a >2时，Δ>0，设F ′(x )＝0得两根为x 1＝a －a 2－42，x 2＝a ＋a 2－4

2，

∴F (x )得单调递增区间为

⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42与⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞，

F (x )得单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

a －a 2－42，

a ＋a 2－42、 综上，当－2≤a ≤2时，F (x )得单调递增区间为(0，＋∞)； 当a >2时，F (x )得单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42与⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋a 2－4

2，＋∞，

F (x )得单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫

a －a 2－42，

a ＋a 2－42、 (2)对h (x )＝x －1

x ＋a ln x ，x ∈(0，＋∞) 求导得，h ′(x )＝1＋1x 2＋a x ＝x 2＋ax ＋1

x 2

，

设h ′(x )＝0得两根分别为x 1，x 2，则有x 1·x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ， ∴x 2＝1x 1

，从而有a ＝－x 1－1x 1

、

令H (x )＝h (x )－h ⎝⎛⎭⎫1

x

＝x －1x ＋⎝

⎛⎭

⎫－x －1x ln x －⎣⎡⎦⎤

1x

－x ＋⎝⎛⎭⎫－x －1x ·ln 1x ＝2⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫－x －1x ln x ＋x －1

x

， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2(1－x )(1＋x )ln x x 2

、 当

x ∈⎝ ⎛⎦

⎥⎤

0，12时，H ′(x )<0， ∴H (x )在⎝ ⎛⎦

⎥⎤

0，12上单调递减，

又

H (x 1)＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x 1＝h (x 1)－h (x 2)，

∴[h (x 1)－h (x 2)]min ＝H ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12＝5ln2－3、

[解题反思] 本例(1)中求F (x )得单调区间，需先求出F (x )得定义域，同时在解不等式F ′(x )>0

时需根据方程x 2－ax ＋1＝0得根得情况求出不等式得解集，故以判别式“Δ”得取值作为分类讨论得依据．在(2)中求出h (x 1)－h (x 2)得最小值，需先求出其解析式．由题可知x 1，x 2就是h ′(x )＝0得两根，可得到x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝－a ，从而将h (x 1)－h (x 2)只用一个变量x 1导出．从而得到H (x 1)

＝h (x 1)－h ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1x 1，这样将所求问题转化为研究新函数

H (x )＝h (x )－h ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 在⎝ ⎛⎭

⎪⎫

0，12上得最值问题，体现

转为与化归数学思想．

[答题模板] 解决这类问题得答题模板如下：

[题型专练]

1．设函数f (x )＝(1＋x )2－2ln(1＋x )． (1)求f (x )得单调区间；

(2)当0