第四章Z变换解析

位圆上均匀抽样，就是对 DTFT 即信号频谱抽样，这本自就
是 DFT 与频域抽样的关系。
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4.2 Z变换的收敛域
X
(z)
x(n) z n
n
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x(2) z 2
x(1) z
x(0)
x(1) z
x(2) z2
由于z变换是一个无穷级数，必然存在收敛问题。即： 并不是任何信号的z变换都存在，也不是任何复数z都 能使一个信号的z变换存在。
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例： (3) x(n) 1 n[u(n) u(n 8)] 3
有限长序列
X
(z)
8 1
换式连同相应的 ROC，才能与信号建立一一对应的关系。
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例五、
x(n) u(n)
X (z)
n0
z n
1 1 z 1
z 1
表明 z 变换比
DTFT 的适用范围广。
X (e j )
1 1 e j
(
k
2k )
例六、 x(n) (n)
X (z) 1 ROC 为整个 z 平面。
当 x （ z ） 的 收 敛 域 ROC 包 括 单 位 圆 时
z 变换是离散时间傅立叶变换的推广，他的适用范围 更广，收敛性更强。
当 r=1 时 Z e j ，z 变换即成为离散时间付氏变换，
故 DTFT 是 z 变换的特例，（r Z ....Z平面上半径为r的圆 ）， DTFT 是在单位圆上的所作的 z 变换。
3
三． z 变换与拉氏变换的关系： 设 x（n）是对连续时间信号xa (t) 理 想抽样后而得到的序列。
1
1
1 2z
1
z z1
1
1
1 2
z
1
Z 1 2
j Im[z]
2
Rx2
0
Re[ z ]
z
1 2
Rx2
收敛半径
n2 1 0 包括Z 0
1 2
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
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例3： (4) x(n) 1 n
3
X (z)
1
1 n
z n
1
z 1
n
n 3
n0 3
双边序列
xp (t) xa (nT ) (t nT ) n
x(n) xa (nT )
p(t) (t nT ) n
4
对 xp (t) 作拉氏变换有： 对 x（n）作 z 变换有：
X p (s) xa (nT )esnT n
X (z) xa (nT )zn n
X (z) ZeST X p (s)
X (e j ) X (z) ze j
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二。z 变换的几何表示，零极点图
如果
X（Z）是有理数：
X
(Z
)
(Z （Z
Z i） Zp)
在 z 平面上标出 x（z）的全部零极点，就构成了零极点图。
它与实际的 z 变换式最多只相差一个常数因子。
如果在零极点图上标出 ROC，这就是 x（z）的几何表示，
除了相差一个常数因子外，它与有理 z 变换是等价的。
j 2 kn
x(n)e N
n0
n0
N 1
对 x(n) 作 N 点 DFT 有 X (k) x(n)WNkn n0
X
(k)
X (z)
z
WNk
e
j
2 N
k
这表明有限长序列的 DFT 就是该序列的 z 变换在单位圆
上以
2
N
等间隔抽样所得的样本。这是必然的。因为在单位圆
上的 z 变换就是 DTFT 也即是 x（n）的频谱。对 z 变换在单
第四章、Z变换
本章要点 Z变换的基本概念和基本性质 Z变换的Z域分析 离散系统的系统函数 离散系统的频率响应
1
在前面，已讨论过复指数信号是一切 LTI
系统的特征函数
zn h(n) H (z)zn
H (z) h(n)Z n
n
当 z e j 时，即成为离散时间付氏变换
H (e j ) h(n)e jwn n
z z3
z
z
1
(z
8 3
z
3)(z
1 3
)
8 3
1 (1 3z1)(1
1 3
z 1)
3
j Im[z]
1 z 3 3
o
Re[ z ]
11
例四、
x(n)
(
1 3
)n
u
(n)
(
1 2
)
n
u
(
n
1)
X (Z ) (1)n z n 1 (1 )n z n
n0 3
n 2
11
1
1 3
z 1
1
1 2
本章讨论更一般的情况 z re j ，则成为双
边 z 变换。它与连续时间下的拉氏变换对
应。
2
4.1 双边 z 变换：
一、 定义：
X (z) x(n)zn n
X (e j ) x(n)e jn n
Z re j是一个复数
二．z 变换与离散时间傅立叶变换的关系。
X (z) X (re j ) x(n)r ne jn F[x(n)r n ] n
右边序列
X (z)
1
n0 2
n
z 1
1
1 1
z 1
z
z
1
2
2
j Im[z]
1
Rx 1
2
Rx1
1 2
z 1
1 2
2
z 1 2
Re[ z ]
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例2： (2) x(n) 1 n u(n 1)
2
X (z)
1
1
z 1
n
nm
1
z 1
m
n 2
m1 2
左边序列
1 (2z)m
m0
收敛域：能够使一个信号的z变换存在的那些复数z的 集合，称为该z变换的ROC.
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由于 Z[x(n)] F[x(n)r n ] 因此当：
[x(n)rn ] 时
n
x(n) 的 z 变换存在。可见 z 变换的 ROC 与 x(n) 及 z r 有关。
先看几个例子：
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例1： (1) x(n) 1 n u(n) 2
这表明：抽样信号的拉氏变换与抽样所得序列的 z 变换
之间，本质上是一种映射关系。即通过 z esT 将 s 平面的
X p (s) 映射成 z 平面上的 x（z）。
z esT eT e jT z re j
0 r 1......j轴 单位圆
0 r 1.....左半面 单位圆内
0 r 1.....右半面 单位圆外
0 0...S实轴 正实轴
T
....... 负实轴
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四。z 变换与 DFT 的关系：
如果 x(n) 是有限长序列，长度为 N，则其 Z 变换为：
N 1
X (z) x(n)zn
n0
X (z) zWNk
N 1
x(n)WNkn
N 1
z
1
1 z 1
3
2
x(n) ( 1 )n u(n) (1)n u(n 1)
2
3
X (z) 1 1
1
1 3
z
1
1
1 2
z
1
（z
1 3
，
z
1 2
）
由于两个的 ROC 无公共域，表明该信号的 z 变换不存在。
以上实例说明，不同的信号可能具有相同或不同的 z 变
换式，只是 ROC 不同，因此 ROC 是至关重要的。只有 z 变