数学说题稿
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初中数学说题稿
数形结合的函数题历来是师生关注的焦点,它一般有动态问题、开放性题型、探索性题型、存在性题型等类型,涉及到代数、几何多个知识点,囊括初中重要的数学思想和方法。对于考生而言,数形结合的函数题是一根标尺,可以比较准确的衡量学生综合解题能力以及数学素养,同时它的得失,可以直接影响到学生今后的发展。下面我就一条数形结合的函数题进行讲评。
题目:如图,在直角坐标系xOy中,直线
与双曲线
相交于A(-1,a)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△BOC的面积是1.
(1)求m、n的值;
(2)求直线AC的解析式.
一、阐述题意
本题的已知条件是:正比例函数与反比例函数相交于A(-1,a),△BOC的面积是1。由于此题是数形结合的题目,因此里面隐含着很多的条件,比如点A与点B关于原点中心对称,点B横坐标等于OC的长度,点B的纵坐标的绝对值等于BC的长度等,这是学生所不注意的地方,也正是解决问题的突破口和切入点。题
目的难点是学生难想到将A点的坐标转化到B点坐标,利用△BOC的面积求出点B 坐标,总有“老虎吃天无从下口”的感觉。学生在求A点坐标时比较容易出错。用好中心对称和平面直角坐标系是解决此题的关键。由于此题综合性较强,条件较分散,对学生分析问题的能力要求较高,因此难度较大,难度系数是0.3。
二、题目背景
此题来自新人教版一次函数与反比例函数知识的一道改编综合题,在知识点整合上很经典,非常有探索性和价值性。
1、本题知识点涉及:正比例函数,反比例函数,平面直角坐标系,中心对称,求函数的解析式等。
2、重在考查学生的基础知识、基本技能、基本活动经验和数学思想方法;提升学生的观察能力、探究能力和运用数学知识分析和解决问题的能力.
3、变式与拓展经历了从猜想到验证的过程,培养学生建模思想、化归思想、函数思想,建立起新旧知识间的联系,引起学生的思考。
4、此题的评价功能:从学生熟悉而又简单的问题出发,通过不断演变,逐渐深入研究,不仅有利于消除学生学习的畏难情绪,让学生积极、主动地投入到数学学习中,而且有利于帮助学生全面系统复习已掌握的数学知识、思想和方法,有利于提高学生综合应用解决问题的能力。
三、题目解答
同一个问题,从不同的角度探究与分析,可有不同的解法。一题多解,有利于沟通各知识的联系,培养学生思维的发散性和创造性。
思路与解法一:从A、B两点关于原点O中心对称这一条件出发,运用“数形结合”这一思想,可将条件集中到△BOC的面积是1上,通过三角形的面积公式来解决。
解法如下:
解:⑴∵点A(-1,a)与点B是直线
与双曲线
的交点. ∴点A(-1,a)与点B原点O中心对称. ∴点B的坐标是(1,-a). ∵BC⊥x轴,点B在第四象限. ∴OC=1,BC=a. ∵△BOC的面积是1. ∴S△BOC =
×1×a=1.
∴a=2. ∴点A(-1,2).将点A(-1,2)代入直线
与双曲线
得m=-2,n=-2.
⑵∵点B的坐标是(1,-2), BC⊥x轴. ∴点C的坐标是(1,0).设直线AC的解析式是:y=kx+b(k≠0).则:
解之得
∴直线AC的解析式:y=-x+1.
评析:这种解法先从点与点的中心对称开始,运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法,使解题思路明确,计算过程简洁。
思路与解法二:从△BOC的面积是1这一条件出发,设点B(x,
),运用“数形结合”这一思想,可将条件集中到求n上来(即求出反比例函数解析式)。
解法如下:
解:⑴设点B(x,
),则OC= x,BC=
.∵△BOC的面积是1. ∴S△BOC =
×x×(
)=1即n=-2.∴双曲线的解析式是
. 将点A(-1,a)代入
中求得a=2.即点A(-1,2). 将点A(-1,2)代入直线
中得m=-2.∴m=-2, n=-2.
⑵∵点B的坐标是(1,-2), BC⊥x轴. ∴点C的坐标是(1,0).设直线AC的解析式是:y=kx+b(k≠0).则:
解之得
∴直线AC的解析式:y=-x+1.
评析:这种解法先从设未知数,利用三角形面积开始,运用了数形结合、转化、待定系数法等思想方法,使解题思路明确,计算过程简洁。
四、总结提炼
本题的解题过程突出地体现了数学中常见的转化思想、数形结合思想、建模思想、函数思想、启发、讨论、与多媒体相结合等。运用了假设存在、由已知条件推理论证、得出结论等解题规律。
五、题目变式
题目:
如图,在直角坐标系xOy中,直线
与双曲线
相交于A(-1,a)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△BOC的面积是1.
(1)求m、n的值;
(2)求直线AC的解析式.
1、改变条件:如图,在直角坐标系xOy中,直线
与双曲线
相交于A(-1,2)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C.
(1)求直线AC的解析式;
(2)求△BOC的面积.
2、改变结论:如图,在直角坐标系xOy中,直线
与双曲线
相交于A(-1,a)、B两点,BC⊥x轴,垂足为C,△BOC的面积是1.
(1)求m、n的值;
(2)求出AB的长度.
小结:本小题在原题基础上有了拓展,但条件改变后,难度不大,便于学生积极主动参与深入探究,有利于学生系统复习数学知识、思想和方法。
六、教学设计
在数学课堂教学中,培养学生的思维能力是一项重要任务,那么如何激发和引导学生的思维,从而提高课堂效率呢?这就需要在课堂教学中精心创设问题情境。创设问题情境可以使学生自觉主动,深层次地参与教学。以利于其发现、理解和解决问题,学习中产生明显的意识倾向和情趣共鸣。总之,精心创设问题情境是启发引导学生学习的有效手段。
教师引导: