数值逼近 第5章)
数值逼近 第五章 数值积分
第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。
证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。
结论成立。
2.证明柯特斯系数满足。
证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。
3.证明柯特斯系数满足方程组：证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。
证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。
再由：和得：。
同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。
证毕5.假设在上连续，。
证明：存在成立证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。
又若令，则由得：。
故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。
6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
7.函数由表14给出，利用复化梯形公式按如下的尺度，计算：（1）（2）（3）解：（1）时，=1.7683(2) 时，=1.7728(3)时，8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。
解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。
证毕。
9．分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算下列积分：（1），解：（1）令，则：（2），；（3），；（4），。
10．假设在上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时，收敛于积分值。
证明：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得：；在每个小区间上采用辛卜生公式得：11。
11.111 11.证明等式：，并用理查森外推法计算的近似值。
证明：由于当时，，令得：，即：若令，并记，则上式成为：，因此该公式符合理查森外推法的条件，若记由外推算法：，，并取（即）得：与相比，有8位有效数字。
数值逼近：有理逼近
Rm 1 am 1 Pm 1 a m Pm 2 bm 1 a bm qm 1 m 1 qm 1 a m qm 2 bm 1 bm Pm 1
bm 1 Pm a m 1 Pm 1 bm 1qm a m 1qm 1
由序列 { Pk }, {qk } 的定义，上式右端的分子为 Pm 1 分母为
但自由度只有 m n 1 个.
给定 f ( x ) 的 n m 1 个互异的节点 xi 处的值 yi f ( xi )，要求寻找一个有理分式
Rm ,n ( x i ) f ( x i )
( i 0, 1, , n m )
Rm ,n ( x )
使得
（6）
1°插值问题（6）是否有解，解是否唯一? 问题： 2°怎样构造插值函数？ 3°插值函数的误差估计.
此处
P1 1, q1 0, P 0 b 0 , q0 1
（3）
则由（2）式定义的 Rk 等于 P k , qk 之比，即
Pk Rk qk ,
k 1, 2, , n来自（4）a1 b0 b1 a1 证： k 1 时，由（2）有 R1 b0 b1 b1
另一方面，由关系式（3）有
x x0 R( x ) v 0 ( x 0 ) x x1 v 1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x x n 1 x x n 1 vn ( xn ) vn ( x )
（9）
（9）式是一个连分式，假设对于互异节点 x0 , x1 , , x n 函数 v k ( x) 在 x k 处有定义，那么有
R n的连分式可采用递推公式来计算.
R n b0 a1 b1 b2 a2 an bn
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
《数值逼近》教学大纲
《数值逼近》教学大纲第一篇：《数值逼近》教学大纲《数值逼近》教学大纲（课程编号520271）（学分3.5，学时56）一、课程的性质和任务本课程是信息与计算科学专业的专业大类课。
函数逼近论研究函数的各类逼近性质，是计算数学和其它科学工程计算中诸多数值方法的理论基础。
本课程除了介绍几类古典的函数逼近理论和方法之外，还介绍了现代逼近理论中样条函数、曲线与曲面拟合等方面的理论与技巧。
在介绍上述内容的同时，安排学生上机实习，使学生能够更深刻地理解与掌握逼近论的基本理论与方法，达到理论与实践相结合的目的。
二、课程内容、基本要求 Weierstrass 定理与线性算子逼近掌握 Weierstrass 第一定理、第二定理，了解算子逼近理论。
一致逼近掌握函数一致逼近理论中的Borel 存在定理、最佳逼近定理，熟练掌握Tchebyshev 最小零偏差多项式，了解三角多项式逼近理论和代数多项式逼近理论中的 Jackson 型和 Bernstein 型定理。
多项式插值方法熟练掌握 Lagrange 插值公式、Newton 插值公式、Hermite 插值，等距节点插值与差分，插值余项估计等。
平方逼近理论掌握最小二乘法、最佳平方逼近理论，空间中的直交函数系与广义Fourier 级数、直交函数系的构造方法、直交多项式的一般性质，了解直交多项式级数的收敛性、几种特殊的直交多项式。
数值积分掌握Newton-Cotes 公式、Romberg 方法，熟练掌握代数精度法构造求积公式，熟练掌握Gauss 型求积理论，了解Euler-Maclaurin 公式，三角精度与周期函数的求积公式、奇异积分的计算等内容。
样条逼近方法掌握样条函数及其基本性质、B-样条及其性质、三次样条插值。
曲线、曲面的生成和逼近了解微分几何中的曲线、曲面论，掌握数据处理、累加弦长法、参数样条曲线、Bezier 方法、B-样条方法等曲线与曲面设计方法。
三、课程的教学环节课内 56 学时，课外 12 学时（学生自行上机完成数值实习作业）。
数值逼近
第一章 Weierstrass 定理与线性算子逼近教学目的及要求：要求掌握基本Weierstrass 第一定理、Weierstrass 第二定理、线性正算子与Korovkin 定理如所知，逼近的目的，是用简单的函数来逼近复杂的函数.本章讲述用多项式序列逼近有界闭区间上连续函数的可行性.§１．Weierstrass 第一定理在实变函数的数学分析中，最重要的函数类实连续函数类[]b a C ,与连续的周期函数类π2C .[]b a C ,是定义在某一闭区间[]b a ,上的一切连续函数所成的集合；π2C 是定义在整个实轴()∞∞-,上的以π2为周期的连续函数全体所成的整体.定理1（Weierstrass ） 设()∈x f []b a C ,，那么对于任意给定的0>ε，都存在这样的多项式()x P ,使得()()ε<-≤≤x f x P bx a m ax关于这个著名的定理，现在已有好多个不同的证法，下面介绍Bernstein 的构造证法.Bernstein 证法：不妨假定函数的定义区间是[]b a ,[]1,0≡.事实上,通过如下的线性代换:()a x a b t +-=,就能将x 的区间10≤≤x 变换成t 的区间b t a ≤≤.同时,显而易见,x 的多项式将变成t 的多项式, x 的连续函数将变成t 的连续函数. 因此只须就连读函数类[]b a C ,来证明Weiersrtass 定理就行了,对于给定的()∈x f []1,0C ,作如下的一串多项式()⋅⋅⋅=,3,2,1n ：()()kn k nk x x k nn k f x B -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑10ｆｎ， （1.1） 显然()x B ｆｎ是一个n 次多项式.下面我们要证明极限关系式()()x f x B n =∞→ｆｎlim 换句话说, Weierstrass 定理中提及的()x P ,只要取()x B ｆｎ(其中N n ≥)就可以了.为了证明上述命题, 需要用到一个初等恒等式:()()()x nx x k n k nx kn k nk x -=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑112（1.1） 这个恒等式式容易验证的. 事实上, 由于()()[]1101≡-+≡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-=-n nk k n k x x k n x x ,可知 左端 =()()x x kx n kn k nk k n nkx -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+102222=x n 22+()()x x x xk k n n k kkn knk k n k nx k n +∑-∑-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛110022=x n22+()()x x kn knk k n k k -∑-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101+()()∑-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+nk kn kx xk n k nx 0121=xn 22+()()()nx nx k n n n k x xk n k nk 212211222-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----∑--==x n22+()x n n 21-+()nx nx 21- =右端.对于[]1,0中的每一固定的x 及任一固定的正整数n , 令()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k f x f x n max ε,上式右端代表当k 取所有合乎条件⎪⎭⎫ ⎝⎛<-n x n k 141 的正整数式所得的最大差数. 根据()x f 在[]1,0上的一致连续性, 可见必存在一串0>εn , 使得()x n ε<εn 0↓ ()∞→n记()()()()()()x n k f x f x n k f x f x x f k n k n B λλ,'','⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑∑ｆｎ, 其中∑'与∑"分别表示对满足如下条件的一切k 所取的和：n nx k 43<- ，n nx k 43≥-；而()()x x k n k k n k nx --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1,λ． 令()x f M max =,则显然有()()()()()x M x M x x x f k n n k n k n n B λελλε,",",'22∑∑∑+<+<-ｆｎ，而且利用已经验证过的恒等式()2.1可知()()()()4,02,"23nx nx x x kn nk k n nx k n ≤=≤∑-∑=λλ． 因此，()21,"141⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑n x kn λ，()()x x f Bｆｎ-＜εn ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛n M．注意上列不等式的右端与x 无关, 而且随着x 的无限增大而趋向0.这就证明了多项式序列()x B ｆｎ对于()x f 的一致连续性.W eierstrass 的第一定理实际上正好解决了如何利用多项式作成的函数项级数来表示连续函数的问题.因此任意取定一个单调下降于0的数列δn , 则对每个δn 都可以找到一个多项式()x P n 使得#()()δnn x f x P <-. 于是令()()x x P Q 11=，()()(),1x x x P P Q n n n --= 1>n ，可知级数()x n n Q ∑∞=1的前n 项之和恰好与()x P n 相合, 因而该级数也就一致的收敛于()x f .在Bernstein 的证明中, 不仅证明了近似多项式序列()x P n 的存在性, 而且还给出了构造()x P n 的一个具体方法. 事实上,()x B ｆｎ()⋅⋅⋅=,3,2,1n 便构成了连续函数()()10≤≤x x f 的一个近似多项式序列.这样的证法通常称之为构造性的证明方法, 它要比一般数学上的纯粹存在性的证明方法更有价值.§２．Weierstrass 第二定理周期连续函数(不妨假定周期为#)的最简单逼近工具式如下三角多项式()()∑=++=nk k k kx kx A x T b a 1sin cos ．如果其中的系数a k 和b k 不全为0,则称()x T 为n 阶三角多项式. 相应Weierstrass 第一定理, 有如下的定理1 (Weierstrass 第二定理) 设()C x f π2∈, 则对任意给定的0>ε,都有三角多项式()x T 存在, 使得()()εππ<-≤≤-x T x f x ma x （2.1）这个定理可以从Weierstrass 第一定理, 通过诱导函数来证明. 此处直接才用Vallee-Poussin 算子[]()()()dt x t t f n n x f V n n 2!!12!!221;cos 2--=⎰-πππ来证明, 其中()()()()()()133212!!1224222!!2⋅⋅⋅⋅--=-⋅⋅⋅⋅-=n n n n n n ，． 作平移,显然有⎰⎰-=-=πππ0222cos 22cosdt t dt x t n nn I再做变换#,可算得上述积分为()()()⎰⎰---=--=10212110121112dv v v dv v v v n nn I＝()121212+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γn n ＝()()!!2!!122n n -π．从而()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n nn I 21;cos 2--=-⎰-ππ因为()C x f π2∈,所以()x f 一致连续.即对任意给定的0>ε,有0>δ存在,使得当δ<''-'x x 时,()()2ε<''-'x f x f ．今将()[]x f V x f n ;-分成两部分()[]()()[]dt x t t f x f x f V x f n x t n n I 21;cos 2--=-⎰<-δ+()()[]dt x t t f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ21C C += （2.2）以下估计1C 和2C≤1C ()()21221cos2εεδ=<--⎰≥-dt x tt f x f n x t n I ． （2.3）记()x f M x maxππ≤≤-=，12cos<=δq ，则≤1C ()()dt x tt f x f n x t n I 21cos 2--⎰≥-δ≤ πδ2212cos2⋅⋅⋅n nI M()()qn n n M 2!!12!!22-⋅= q nn M 24⋅⋅<．因此存在自然数N 使得当时N n >22ε<C（2.4）综合（2.2），（2.3）和（2.4），即可知Weierstrass 第二定理成立．§３．线性正算子与Korovkin 定理设()t x ,ϕ对集E 中每一个x , 在区间b t a ≤≤#上关于t 都连续, 则积分()()()()()()x g dt t f t x x x f L x f L ba ===⎰,;;ϕ （3.1） 对于每一在区间[]b a ,上连续的函数()x f 都确定了一个函数()()x f L x g ;=. 定义 1 设已知函数集F, 如果对于集F 中的每一函数()t f , 均有一个函数()()x f H x ;=ϕ与之对应,则说在函数集F 上定义了算子()()()x t f H x f H ;;=.定义2 称算子()x f H ;是线性的,如果随着()t f .与()t g .属于它的存在域,()()t bf t af +.(其中a 与b 为任意的实数)也属于它的存在域且成立如下等式:()()()x bH x f aH x b af H ;;;ϕϕ+=+.例1 由(3.1)式定义的算子()x f L ;.是线性的.事实上,由下列等式即可以推出算子()x f L ;.的线性性质:()()()()()dt t f t f t x x f f L ba 2121,;βαϕβα+=+⎰=()()()()dt t f t x dt t f t x ba b a 21,,⎰⎰+ϕβϕα=()()x f L x f L ;;21βα+.例2 设()x u 1，()x u 2，．．．()x u n 为定义于集E 上的函数.令()()()x t f x f H u k nk k ∑==1;，其中()t f .为在实数集1t ，2t ，．．．，n t 上有定义的函数.可以证明算子()x f H ;.是线性的. 事实上()()()()()x u t b t af x b af H k nk k k ∑=+=+1;ϕϕ.＝()()()()x u t b x u t f a k nk k k n k k ∑∑==+11ϕ＝()()x bH x f aH ;;ϕ+．定义 3 如果对于每一个正函数()t f .及E x ∈.,线性算子()x f L ;.满足条件:()0;≥x f L , 则称()x f L ;.为集E 上的线性正算子.显然,对于每一固定的值x ,线性算子()x f L ;.成为线性泛函数.因此,如果对于集E 中每一固定的值x ,线性泛函数均是正的,则线性算子()x f L ;.在集E 上是正的.例如,当()x u k ()n k ,...2,1=.在E 上为函数时,算子()()()∑==nk k k x u t f x f L 1;为集E 上的线性正算子.又如,若()t x ;ϕ.对集E 中每一固定的x 在区间[]b a ,上关于t 为连续的正函数,则算子()()()⎰=ba dt t f t x x f L ,;ϕ在集E 上是正的.还须指出的是,在线性算子()x f L ;中,变元f 的变元与x 不同,()()()x t f L x f L ;;=,在计算算子()x f L ;的值时,我们将x 当作常数(但为集E 中任意的),因此等式()()()()x L x f x x f L ;1;=成立,这是由于()x f 为常数(与t 无关).现在我们来研究线性正算子序列()x f L n ;.在区间[]b a ,上的一致收敛于函数()x f .的条件.这里的()x f 是[]b a ,上的连续函数,并且在整个实轴上有界.如在泛函数情形一样,我们将证明,序列()x f L k n ;在[]b a ,.上一致收敛于()k k x x f =()2,1,0=k 蕴含序列()x f L n ;.一致收敛于()x f .(如果()x f .满足上面指出的条件).下面将引进这一论断的一种证法,它是以闭区间上的连续函数必一致连续这个事实为基础的.先证明一个引理.引理 1 若函数()x f 在区间[]b a ,上连续,在点b 为右连续,在点a 为左连续,则对0>ε,有0>δ,使得当b x a x y ≤≤<-,δ时,恒成立不等式()()ε<-x f y f证明 令02'>=εε.根据函数()x f 在区间[]b a ,上的一致连续性可以求出这样的01>δ.,使得当b x a x y ≤≤<-,1δ时,有不等式()()'ε<-x f y f （3.2）由于函数()x f 在点a 连续(左连续是假定的,而右连续则是依函数在闭区间[]b a ,上的连续性得知),所以对0'>ε有02>δ,使得当2δ<-x y 时()()'ε<-a f y f （3.3）同理有03>δ,使得当3δ<-x y 时()()'ε<-b f y f （3.4）令取()321,,min δδδδ=.并证明,当b x a x y ≤≤<-,δ时,有()()εε=<-'2x f y f事实上,若x 与y 均属于区间[]b a ,,则后面的不等式由(3.2)推得.若a y <(当然x 必须属于区间[]b a ,),则a x a y x y -+-=-.,且由于δ<-x y ,所以δ<-a y ,δ<-a x 现在得到()()()()()()()()()()a f x f a f y f x f a f a f y f x f y f -+-≤-+-=-. 依(3.3)式不等式右边第一项小于'ε;而依(3.2)式第二项也小于'ε.从而()()εε=<-'2x f y f如此已证明当a y <.时引理为真,对于b y >得情况可以同样证明. 现在我们给出线性正算子序列的收敛性定理.定理 3(korovkin ) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件:(1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=;(3)()()x x x t L n n γ+=22;其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,上一致收敛于零;又设函数()t f 有界且在区间[]b a ,上连续,于点b 为右连续,于点a 为左连续.则在区间[]b a ,上序列()x f L n ;一致收敛于函数()t f . 证明 由于函数()t f 有界()()M t f M <<-#.,所以对一切x 与t 均成立不等式()()M x f t f M 22<-<- (3.5)其次,依引理1,对于0>ε有0>ε使得,当b x a ≤≤,δ<-x t 时,成立不等式()()εε<-<-x f t f (3.6)假定()()2x t t -=ψ(x 为区间[]b a ,上的任意一点,且一经取好就固定了),由(3.5)、(3.6)式不难得到()()()()t Mx f t f t Mψδεψδε2222+<-<--.由此再依算子()x f L n ;的线性性质与单调性(其中x 为固定的,因而()x f #.为常数)()()()()()x x f L x f L x L Mx L n n n n ;;;2;12-≤--ψδε. (3.7)=()()()()()x L Mx L x L x f x f L n n n n ;2;1;1;2ψδε+≤- (3.8)现在我们可以断定, ()x L n ;ψ在区间[]b a ,一致收敛于零.事实上,由定理的条件与算子()x f L n ;的线性性质推出()()x x tx t L x L n n ;2;22+-=ψ=()()()x L x x t xL x t L n n n ;1;2;22+-=()()()()()x a x x x x x x n n n +++-+1222βγ =()()()x a x x x x n n n 22+-βγ =()x n δ;其中()x n δ在区间[]b a ,上一致收敛于零.考虑到这一点及定理中第一个条件,便可断言不等式(3.8)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-据此可以求出这样的序标N ε,使得当N n >,b x a ≤≤时,成立不等式()()()εε<-<-x L x f x f L n n ;1;最后,依ε的任意性,序列()()()x L x f x f L n n ;1;-在区间[]b a ,上一致收敛于零,从而再依定理中第一各条件便可断言序列()x f L n ;在区间[]b a ,上一致收敛于零()x f .定理4(Korovkin) 设线性正算子序列()x f L n ;满足条件: (1) ()()x a x L n n +=1;1. (2) ()()x x x t L n n β+=cos ;cos (3) ()()x x x t L n n γ+=sin ;sin其中()x a n ,()x n β,()x n γ在区间[]b a ,.上一致收敛与零;又设函数()t f .有界且具有周期π2,在区间[]b a ,上连续,于点b 右连续,于点a 左连续.在上述条件下,序列()x f L n ;在[]b a ,上一致收敛于()x f证明 对于对于函数()x f ,定理3的条件满足,由此不等式(3.5)与(3.6)成立,其中第一个适于一切x 与t 的值,而第二个为一下条件所约束:b x a ≤≤,δ<-x t .对固定的x (b x a ≤≤),依这些不等式,类似定理3中(3.7)式的证明,可得()()()()t M x f t f t M ψδεψδε2sin 22sin 222+<-<-- (3.9)其中 ()2s i n2xt t -=ψ,b x a ≤≤,∞≤≤∞-x 由不等式(3.9)得到()()()()()x L x f x f L x L M x L n n n n ;1;;2sin2;1-≤--ψδε ()()x L M x L n n ;2s i n2;12ψδε+≤. (3.10)但是()()t x t x t sin sin cos cos 121--=ψ. 于是 ()(){()()}x t L x x t xL x L x L n n n n ;sin sin ;cos cos ;121;--=ψ.(){()()}x x x x x x x nn n 322sin sin cos cos 121γβα----+= (){()()}x x x x x nn n sin cos 212γβα--==()x n δ 其中()x n δ于区间[]b a ,上一致收敛于零.依上述等式及定理条件可推出,不等式(3.10)右边在区间[]b a ,上一致收敛于ε,而左边一致收敛于ε-.因此有εN ,使得当N n >,b x a ≤≤时,有不等式()()()εε2;1;2<-<-x L x f x f L n n由此可以推出.()()()()x x L x f x f L n n n λ=-;1;,其中()x n λ在区间[]b a ,上一致收敛于零.从而依据定理条件得到()()()()(){}1;1;-+=-x L x f x x f x f L n n n λ=()()()()x v x x f x n n n =+αλ其中()x v n 在区间[]b a ,上一致收敛于零,于是序列()x L n ;ψ在这个区间上一致收敛于函数()x f .注记 请注意,在定理3与定理4的证明过程中我们已经指明,如果序列()x L n ;1在区间[]b a ,上一致收敛于1,而序列()x L n ;ψ (在定理3中, ()()2x t t -=ψ;在定理4中, ()2sin 2xt t -=ψ)在这区间上一致收敛于零,那么这些定理是正确的. 验证在所述诸定理中指出的这两个条件,而非三个条件,在多数情形下是较易实现的.下面研究特殊的算子序列的一致收敛性. 引理2 设函数()x ϕ满足条件:(1) ()x ϕ在区间[]c c ,-,0>c 上连续,(1) ()1=x ϕ;当0≠x , []c c x ,-∈时, ()10<≤x ϕ.若令c <≤δ0固定,()dx x I cc n n ⎰-=ϕ及()()dx x I n n ⎰-=δδϕδ则()1lim =∞→nn n I I δ 证明 我们有()()()()dx x dx x dx x dx x I cn n c n cc n n ⎰⎰⎰⎰++==----δδδδϕϕϕϕ＝()()()δϕϕδδn cn c n I dx x dx x ++⎰⎰-- (3.11) 由于函数()x ϕ在区间[]δ--,c 上连续,可设()x q cx c ϕmax 1≤≤-=#..由引理条件(2)推出101<<q ,同理()1max 2<=≤≤x q cx ϕδ．令(){}21,max q q q q ==δ,则在集[]δ--,c 和[]c ,δ上函数()x ϕ满足不等式()()10<=≤≤δϕq q x据此有()()()()n n n cn c n cq c q c q dx x dx x 20<-+-<+≤⎰⎰--δδϕϕδδ． (3.12)现在来估计()δn I 依()x ϕ在点0=x #.处的连续性及()1=o ϕ.,对于021>-=qε有01>δ（δδ<1）.使得,当1δ<x 时,有 ()q q q x >=+=->~211εϕ 由此再依函数()x ϕ.的正性,得到()()n n n n qdx x dx x I ~2111⎰⎰-->≥=δδδδδϕϕ (3.13) 由(3.11)与(3.12)推出()()n n n n cq I I I 2+<≤δδ把这些不等式各部分除以()δn I .并注意到不等式(3.13),得到()()nn n n n n nq q q c q c cq I cq I I ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+<+<≤~1~2212111δδ (3.14) 由于q q>~,所以上面的不等式的右边趋于1,由此便证明了引理. 定理5 设函数()x ϕ满足引理2的条件且()dx x I cc n n ⎰-=ϕ又设函数()x f 在区间[]b a ,上连续,则算子序列()()()dt x t t f I x f L nba nn -=⎰ϕ1;（c a b ≤-≤0） 在区间[]δδ-+b a ,（0>δ）上一致收敛于函数()x f证明：依定理4的注记，要证明定理只需验证，在区间[]δδ-+b a ,上序列()x L n ;1一致收敛于1,且序列()x L n ;ψ一致收敛于零,此处()()2x t t -=ψ. 我们有 ()()dt x t I x L n bann -=⎰ϕ1;1.令x t z -=,则得()()dz z I x L xb x a nnn ⎰--=ϕ1;1 我们指出, δδ-≤≤+b x a .,故()()c c a b b a x a ->-≥--=--≥-δδδ ()δδ-=+-≤-a a x a ()δδ=--≥-b b x b()()c c a b a b x b <-≤--=+-≤-δδδ 由此再依函数()x ϕ的正性有()()()()n cc n xb x a n n n I dz z dz z dz z I =≤≤=⎰⎰⎰----ϕϕϕδδδ.()()()1;1≤=≤⎰--x L dz z I I n x b x a nnn ϕδ 又依引理2,上述最后的不等式的左边趋于1,因此若εN n >,0>ε,δδ-≤≤+b x a ,则有不等式()1;11≤<-x L n ε，()01;1≤-<-x L n ε这就验明了序列()x L n ;1在区间[]δδ-+b a ,上一致收敛于零.剩下的是要验证序列()x L n ;ψ在这一区间上一致收敛于零，其中()()2x t t -=ψ,我们有()()()dt x t x t I x L nba nn --=<⎰ϕψ21;0 ()dz z z I x b xa nn⎰--=ϕ21由于c x a -≥-,而c x b ≤-.且函数()x ϕ#.在区间#[]c c ,-上是正的,所以()()dt x t zI x L n cc nn -≤<⎰-ϕψ21;0=(){()dz z z dz z z I n c a n a c n ϕϕ⎰⎰+--221()dz z zI n aa nϕ⎰-+21在第一与第二积分号下22c z ≤,而在第三积分号下22a z ≤.因而()(){()}()⎰⎰⎰---++<<aa nnca na cn nn dz z I a dz z dz z I c x I ϕϕϕψ22;0依不等式(3.12)得到()()a I I a I cq c x L n n nn n n +⋅<<2;02ψ (3.14)现在设0>ε及22ε=a ..依引理2,不等式(3.15)右边第二项有极限数22ε=a 而依不等式(3.14),第一项趋于零.因而成立不等式()εψ<<x L n ;0如果εN n >,b x a ≤≤.从而推得,序列()x L n ;ψ在区间b x a ≤≤上一致收敛于零,定理得证.采用Korovkin 定理和上述定理,可证明许多算子的收敛性质.例如Bernstein 算子,Landau 算子,Weierstrass 算子,Jackson 算子,以及Kontrovitch 算子等的相应收敛性均可由它们验证.第二章 一致逼近教学目的及要求：要求掌握一致逼近定理、收敛速度估计、函数的构造性理论、代数多项式逼近理论中的有关结果。
数值逼近
Runge现象一、题目对于函数f(x)=错误！未找到引用源。
，在[-1,1]上用等距节点插值，分别取n=4,n=8,n=12,写程序，并画出的图像。
二、源程序代码1.拉格朗日插值函数：lagrl.mfunction f = Larguage(x,y,x0)%求已知数据点的拉格朗日插值多项式%已知数据点的x坐标向量:x%已知数据点的y坐标向量:y%插值点的x坐标:x0%求得的拉格朗日插值多项式或在x0处的插值:fsyms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);elsedisp('x和y的维数不相等!');return;end %检错f = 0.0;for(i = 1:n)l = y(i);for(j = 1:i-1)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for(j = i+1:n)l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j)); %计算拉格朗日基函数end;f = f + l; %计算拉格朗日插值函数simplify(f); %化简if(i==n)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0); %计算插值点的函数值elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f,6); %将插值多项式的系数化成6位精度的小数endendend2.matlab命令：>> n=4;m=8;k=12;>> x=-1:0.01:1;>> y=1./(1+25.*x.^2);>> z=0*x;>> x0=-1:2/n:1;>> y0=1./(1+25.*x0.^2);>> z0=lagrl(x0,y0,x);>> x1=-1:2/m:1;>> y1=1./(1+25.*x1.^2);>> z1=lagrl(x1,y1,x);>> x2=-1:2/k:1;>> y2=1./(1+25.*x2.^2);>> z2=lagrl(x2,y2,x);>> plot(x,y,x,z0,'-',x,z1,'-.',x,z2,':',x,z,'y')>>legend('f(x)','n=4','n=8','n=12')3.运行结果：图1最小二乘法一题目：将下列数据按最小二乘法计算出结果并画图，且与原来的结果进行比较x=[1 2 3 4 5 6]y=[256 201 159 61 77 40]二源程序代码1.函数文件：nafit.mfunction p=nafit(x,y,m)%多项式拟合%x,y是数据向量，m为拟合多项式次数%p返回多项式降幂排列A=zeros(m+1,m+1);for i=0:mfor j=0:mA(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j));endb(i+1)=sum(x.^i.*y);enda=A\b';p=fliplr(a');2.matlab命令：>> x=[1 2 3 4 5 ];>> y=[256 201 159 61 77];>> nafit(x,y,2)ans =6.1429 -86.6571 343.2000>> x1=1:0.1:5;>> y1=6.1429.*x1.^2-86.6571.*x1+343.3000;>> plot(x,y,'.',x1,y1)3.运行结果：图2课程设计三规范正交一题目：将1，x,x^2,x^3,x^4在[-1,1]，p(x)=1变成规范正交基二源程序代码1标准正交化函数：function biaozhunzhengjiao(f)syms x;f1=danweihua(f(1,1)); %对第一个元素先进行单位化for i=1:5 %用循环实现正交化for j=1:i-1p1=f(1,i)*f(1,j);p2=int(p1,x,-1,1);p3=f(1,i)-p2*f(1,j);f(1,i)=p3;endf(1,i)=danweihua(f(1,i)); %进行单位化endffunction fx=danweihua(fx) %单位化函数syms x;f1=fx*fx;f2=int(f1,x,-1,1);fx=fx/sqrt(f2);2.matlab命令及结果：>> syms x;>> f=[1 x x^2 x^3 x^4];>> biaozhunzhengjiao(f)f =[ 1/2*2^(1/2), 1/2*x*6^(1/2), 3/4*(x^2-1/3)*10^(1/2), 5/4*(x^3-3/5*x)*14^(1/2), 105/16*(x^4+3/35-6/7*x^2)*2^(1/2)]课程设计四里米兹算法一、题目利用里米兹算法求函数f(x)=错误！未找到引用源。
5.《数值逼近》课程设计报告
temp=i*h; x[i]=a+temp; } /*cout<<"x的值为："<<endl; for(i=0;i<2*n+1;i++) { cout<<"x["<<i<<"]"<<"="<<x[i]<<" "; if(i%5==0) cout<<endl; } cout<<endl<<endl;*/ } void get_f() { char temp[ARRAY_LEN]; cout<<"请输入f(x)的表达式;"; cin>>temp; strcpy(f,temp); } void cal_y() { int i=0; double temp=0; for(i=0;i<2*n+1;i++) { temp=13*(x[i]-x[i]*x[i])*exp(-1.5*x[i]); y[i]=temp; } /*cout<<"y的值为："<<endl; for(i=0;i<2*n+1;i++) { cout<<"y["<<i<<"]"<<"="<<setprecision(8)<<y[i]<<" "; if(i%5==0) cout<<endl; } cout<<endl<<endl;*/
数值逼近
第八章 框架(I) 8.1 8.2 8.3 定义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 伪逆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 对偶框架 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R
我们有如下的定理： 定理 1.2 如果 f 和 g 属于 L1 (R), 那么 f ∗ g 也在 L1 (R) 中. 且 ∥f ∗ g ∥1 ≤ ∥f ∥1 ∥g ∥1 . 练习 1.1 证明 f ∗ g = g ∗ f, (f ∗ g ) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
从上面的结果可看出, 卷积运算满足分配律与结合律. 那么, 是否存在一个单位元 δ ∈ L1 (R), 使得对任意的 f ∈ L1 (R), 我们均有 f ∗ δ = f? 事实上, 在通常函数的意义下, 这样的函数 δ 并不存在. 但是, 我们可以构造一个函数序 列 {Kn }n∈N , 使得当 n 趋向于无穷的时候, Kn ∗ f 在 f 连续的紧集上一致收敛到 f . 也 就是说, 函数序列 {Kn }n∈N 逐渐收敛到一个“单位元”. 下面我们介绍 Dirac 序列的定义. 我们说函数序列 K1 , K2 , . . . 是一个 Dirac 序 列(或者说“好核”) 如果满足如下条件： 1. （非负性）对所有的 n ∈ N, Kn ≥ 0； 2. （单位性）对所有的 n ∈ N, ∫
n ∑ k=0
(k − nx)2 Bn,k (x)
函数的数值逼近
函数的数值逼近用比较简单的函数代替复杂的函数,是函数逼近。
函数最佳逼近,即不满足插值条件而整体具有好的逼近效果的函数拟合方法。
下面先讨论函数的数值逼近的基本理论与方法，例如最佳平方逼近函数的存在性、惟一性以及最佳平方逼近函数的求法。
最后讨论曲线拟合的最小二乘解问题。
1、 预备知识1.1正交多项式的概念及几个重要性质定义1.1 设有C [a,b]中的函数组,),(,),(),(10 x x x n ΦΦΦ若满足{)1.1()()()(),(,0,⎰≠=>=ΦΦ=ΦΦbak j k j A k j k j k dx x x x ρ其中)(x ρ为权函数,则称此函数组为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交函数组,其中k A 为常数,若k A =1,称该函数组是标准正交的.定理1.1 设函数组{}∞=Φ0)(k k x 正交,则它们一定线性无关.证 设),,2,1()(n i x i =Φ为{}∞=Φ0)(k k x 中任意n 个函数,令,0)()()(2211=Φ++Φ+Φx C x C x C n n 上式两边与)(x k Φ作内积,由内积的性质和正交性有 ).,,2,1(0),(n k C k k k ==ΦΦ因为,0),(≠ΦΦk k 故有),,2,1(0n k C k==.得证.定理1.2 设{}],,[)(0b a C x nk k ∈Φ=它们线性无关的充分必要条件是其Gram 行列式,0≠n G 其中)2.1(),(),(),(),(),(),(),(),(),(101110101000n n n n n n n G ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ=证 我们主要在实内积空间讨论问题.由内积的定义可知),,(),(k j j k ΦΦ=ΦΦ故n G 对应的矩阵是对称矩阵.考虑以n a a a ,,,10 为未知元的线性方程组∑===ΦΦnk k j kn j a)3.1().,,1,0(0),(其系数行列式为n G .由线性代数知识知道：式（1.3）仅有零解),,1,0(0n k a k ==的充要条件是,0≠n G充分性 设,0≠n G 要证明{}n k k x 0)(=Φ线性无关. 作线性组合∑==Φnk kk a 0,0显然有∑∑∑=====ΦΦ=ΦΦ=ΦΦnk nk nk k j k j k k j k k n j a a a 0).,,1,0(0),(),(),(这表明),,1,0(n k a k =满足式(1.3).又因,0≠n G 故有),,1,0(0n k a k ==,按线性无关的定义知{}nk k x 0)(=Φ线性无关.必要性 设{}nk k x 0)(=Φ线性无关.要证明.0≠n G设),,1,0(n k a k =满足式(1.3).即 ∑===ΦΦnk k j kn j a).,,1,0(0),(则有 ∑∑====ΦΦ=ΦΦnk j k k nk j k kn j a a),,,1,0(0),(),(从而有 .0),(0∑∑===ΦΦnk nk kkkka a由上式可知.00∑==Φnk kk a由于{}nk k x 0)(=Φ线性无关,则有),,1,0(0n k a k ==,即齐次线性方程组(1.3)仅有零解,故.0≠n G定义1.2 给定区间[a,b]和对应的权函数)(x ρ及多项式序列∑===kj jjk k x ax g 0),,2,1,0()(其中首项系数,0≠k a 若满足{)9.1()()()(),(,0,⎰≠=>==ba k j k j A k j k j k dx x g x g x g g ρ则称之为在区间[a,b]上带权)(x ρ的正交多项式序列, )(x g k 称为k 次正交多项式. 没说明时,认为权函数)(x ρ≡1.2、最佳平方逼近2.1 最佳平方逼近函数的概念定义2.1 设],[)(b a C x f ∈及],[b a C 中的子集},,,,{10n span ΦΦΦ=Γ 其中n ΦΦΦ,,,10 线性无关. 若存在Γ∈*)(x S 使得)1.2()]()()[(min ||)()(||min ||)()(||22222⎰-=-=-Γ∈Γ∈*ba S S dxx S x f x x S x f x S x f ρ 成立,则称)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.特别地,当},,,,1{nx x span =Γ满足式(2.1)的Γ∈*)(x S n 称为f(x)的n 次最佳平方逼近多项式,简称n 次最佳平方逼近.2.2 最佳平方逼近函数的求法定理 2.1 对于任意的函数],[)(b a C x f ∈,其在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *是存在且唯一的.证 Γ中的函数形如∑=Φ=nj jj x a x S 0),()(由式(2.1)可知,求f(x)的最佳平方逼近函数等价于求多元函数∑⎰=Φ-=nj j j ban dxx a x f x a a a I 0210)2.2()]()()[(),,,(ρ的最小值问题.由极值存在的必要条件有)3.2(),,,1,0(0n k a Ik==∂∂积分与求导交换次序有: ∑⎰==Φ-Φ-nj k j j badx x x a x f x 0.0))()](()()[(2ρ故∑⎰===ΦΦ-nj k j j ban k dx x x a x f x 0)4.2(),,,1,0(0)()]()()[( ρ∑⎰⎰=Φ=ΦΦnj babak j k j dx x x f x dx x x x a 0.)()()()()()(ρρ所以∑==Φ=ΦΦnj k j j kn k f a 0)5.2().,,1,0(),(),(这是以n a a a ,,10为未知元的线性方程组,因为n ΦΦΦ,,,10 线性无关,其系数行列式,0≠n G 故式(2.5)有唯一解.设其解为),,,1,0(n i a i =*则∑=**Φ=ni iia x S 0)6.2(.)(下面证明)(x S *满足式(2.1).即需证明,)(Γ∈∀x S⎰⎰-≤-*babadx x S x f x dx x S x f x 22)]()()[()]()()[(ρρ成立.为此只需证明 ⎰⎰≥---=*babax S x f x dx x S x f x D .0)]()()[()]()()[(22ρρ由于⎰⎰*-=b abadxx S x dx x S x D 22)]()[()]()[(ρρdx x S x f x dx x S x f x bab a⎰⎰*+-)()()(2)()()(2ρρ⎰*-=badx x S x S x 2)]()()[(ρ⎰**--+badx x S x f x S x S x ,)]()()][()()[(2ρ由于,)()(Γ∈-*x S x S 由(2.4)知上式第二项为零. 故 .0)]()()[(2⎰≥-=*badx x S x S x D ρ这表明)(x S *为f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数.由于式(2.5)的解),,,1,0(n i a i =*存在且唯一,所以f(x)在Γ中的最佳平方逼近函数)(x S *存在且唯一. 最佳平方逼近函数的误差由式(2.4)知 22||)()(||x S x f *-),(),(),(),(f S f S S f f S f S f S f ******-=---=--= ),(||||),(),(022∑=**-=-=nk k k f a f f S f f φ)7.2(.),(||||022∑=*-=k k k f af φ例 2.1 求函数x e x f =)(在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式)(1x S *,并计算22||)()(||x S x f *-.解 设,)(101x a a x S +=*1,1)(,,1},,1{10===Φ=Φ=Γn x x x span ρ，由式（2.5）知⎩⎨⎧Φ=ΦΦ+ΦΦΦ=ΦΦ+ΦΦ),(),(),(),(),(),(11110010110000f a a f a a ⎰==ΦΦ1000,11),(dx⎰==ΦΦ=ΦΦ10110,21),(),(xdx ⎰⎰-==Φ==ΦΦ10010211,1),(,31),(e dx e f dx x x ⎰==Φ11,1),(dx xe f x所以 ,11312121110⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡e a a⎩⎨⎧-=-=.618,10410e a e a 故.)618(104)(1x e e x S -+-=*由式(2.7)知22||)()(||x S x f *-=∑=-=122),(||||k k k f a f φ.1094.3)618()1)(104(132⎰-⨯=-----=e e e dx e x 3、用正交多项式作函数的最佳平方逼近设},,,,{10n span ϕϕϕ =Γ{}ni i 0=ϕ在[a,b]上带权)(x ρ正交。
浅谈数值逼近
浅谈数值逼近摘要：本文简要的谈论了数值逼近思想中的极限思想，二分逼近思想及逐次逼近思想，同时说明了它在生活中的一些运用.关键词：数值逼近；极限；二分逼近；逐次逼近1引言逼近法是数学分析中贯穿全局的基本方法 ,它不完全等同于近似，它是一个过程.它遵循着这样一个简朴实用的原则：以简御繁以“已知 ”去研讨“未知” .逼近无论在理论上还是在实践中都有重要的意义.但逼近的思想和方法在某些方面还没达到成熟，一些领域如倒数逼近尚需进一步的探索.在此，我对逼近理论中一些较成熟的方法及其运用做了一个初步的探索.作为一个分析论证方法 ,逼近法是简朴实用原则的具体化 、数量化.他的应用是广泛而多样的.现在来介绍它在数值逼近方面的一些运用. 2数值逼近思想在极限中的运用定义2.1：当n 趋于∞时，若n a 逼近于一个定数a ，则{}n a 的极限等于a . 数列{}n a 以a 为极限 ,其意即为用12,,............n a a a 去逐步逼近常数a . 下面介绍一个典型的由两侧逼近求数列极限的例子.例1：（两边加逼定理）设0lim ()lim ()x x xx f x g x A ==，且在某0'0(;)x d 有()()()f x h x g x ≤≤ (1.1)则0lim ().x x h x A ®=证明：按假设，0,e ">分别$正数1d 和2d ，..s t 当010||x x δ<-<时有(),A f x e -< (1.2)当020||x x δ<-<时有().g x A e <+(1.3)令'12m in{,,},d d d d =则当00||x x d <-<时，不等式（1.1），（1.2），（1.3）同时成立，故有()()()A f x h x g x A e e-<＃<+由此得|()|,h x A e -<所以0lim ().x x h x A ®=例2：求1lim.1nn xdx x+ò解：当01x ≤≤时，0,1nnxx x＃+所以1110.11nnxdxx dx xn ＃=++蝌由夹逼原理可得1lim0.1nx xdx x=+ò3二分逼近法二分逼近法在对定理或问题分析论证中的思想是：欲找一个具有某一性质P 的实数 ,则可从一个具有相应性质*P 的闭区间出发 ,逐次二等分 ,得到一个始终保持*P 的闭区间列,以这些闭区间的两个端点值分别形成左右两个夹逼数列 ,将具有性质P 的实数“夹逼 ”出来 ,而实数的连续性则确保了此数的存在 ,使这种逼近不至于“逼 ”空 .现将二分逼近法典型证明方式说明于下：3.1确定一个闭区间11[,]A B 使其具有某一性质*P （*P 由性质P 而定）. 3.2将11[,]A B 等分成111[,]2A B A +与111[,]2A B B +，则至少有一个区间保持性质*P ，将保持*P 的区间定为22[,]A B .3.3逐次二等分得到闭区间列{[,]}m m A B ,则所有的闭区间都具有性质*P ,且1221..................mmA A AB B B ＃＃＃＃，（亦可写成 （1,12,23,3,[][][]......[]......m m A B A B A B A B 缮缮 ）从而得到左右夹逼数列{}m A 与{}m B 满足111lim ()lim()02m m mm m B A B A-=-=.3.4由实数的连续性得到实数k ,属于所有的闭区间 ,数k 满足 3.4.1具有性质P .这是由于k 属于所有的闭区间 ,被{}m A 与{}m B 左右夹逼,不妨形象地表示为:()m m A kB m.因而, k 的任意小的邻域内(,)k k e e -+都包含[,]m m A B (m 足够大),于是(,)k k e e -+具有性质*P ,故k 具有性质P .3.4.2 k 是唯一的.事实上 ,若k 不唯一 ,设k 'k ¹,且满足()m m A k B m,则对任何,m k <',m m B k A >,得到'mm k k B A -?，而lim ()0m m m B A-=，故'k k =.即唯一 .以下我们通过实例证明一为体会二分逼近法的思想及应用 .例3：设在[,]a b 上连续的单调递增函数()f x 满足()f a a <,()f b b >,则存在(,)c a b ∈,使()f c c =.证明：令1,1a A b B ==，将11[,]A B 二等分，分点112A B +，若f (112A B +)=112A B +,则命题结论成立 .否则，若f (112A B +)>112A B +,则取111[,]2A B B +=22[,]A B ，若f (112A B +)<112A B +，则取111[,]2A B A +=22[,]A B .逐次二等分区间.一般地对[,]m m A B ，若f (2m mA B +)=2m mA B +,则命题结论成立，否则 , 若f (2m mA B +)>2m mA B +,则取[2m mA B +，m B ]=11[,]m m A B ++.若f (2m mA B +)<2m mA B +,则取[m A ,2m mA B +]=11[,]m m A B ++.从而得到两个夹逼数列{}m A 与{}m B 满足： (3.1)1221..................mmA A AB B B ＃＃＃＃且lim ()0m m m B A-=.（3.2）()m m f A A >,()m m f B B <.于是可知 ,存在实数c 使()m m A cB m由于()f x 单增 ,所以()()()m m f A f c f B ≤≤即()()()m m m m A f A f c f B B <≤≤<令m，()f c c =.上述证明中 ,所求的数c 具有的性质P : ()f c c =,而构造的闭区间列{[,]m m A B }的性质*P 则确定为()m m f A A >,()m m f B B <,从而得到夹逼数列{}m A 与{}m B . 将c “逼 出” .在不同问题的论证中性质P 与相应的*P 是具体的 ,不同的 ,必须紧扣实际加以明确 ,这是正确应用二分逼近法的关键.二分逼近法是微积分学中许多基本定理证明的重要工具 ，是逼近法的最简明的形式之一 ,它在生活中有着非常广泛的运用,下面来看一个简单的实例，以体会二分逼近法给我们的生活带来的诸多便利.中央电视台“幸运52”栏目曾有一项活动：主持人李咏拿出一件物品，让参赛者猜这件物品的价格，若选手猜对，则将这件物品作为奖品奖励给这位选手.若选手想要在规定时间内拿到较多的奖品，应制定怎样的策略，才能实现自己的目标呢？ 实际上,选手根据对某一件物品的了解程度，首先可判断出该物品的价格在某一范围内，然后再进一步猜出该物品的价格.在知道该物品的价格在某一范围内，如在a 元与b 元之（不含a 、b ，且为整数，为便于讨论,假设物品的价格数为整数，单位为元），那么应该怎样猜才能比较快地拿到奖品呢？在整数a 与b 之间，共有1b a N --=个整数，若是对这几个数一个一个地猜，设猜了k 次能猜中的概率为k P , 则1P 1/N =，2111111(1)2/,......,(1)/1k K P P P N P P P k NN N k-=+-⨯==+-⨯=--若要有80% 以上的把握猜对的话，则猜的次数应不少于[80%N ].显然这样要拿到奖品是比较困难的.但运用二分法逼近猜测，则情况大不相同. 二分法逼近猜测的方法如下： 3.1 首先取1[]2a b ξ+=，若1ξ恰好是该物品的价格ξ元，则取1ξ=ξ即为所求.3.2 若1ξξ≠3.2.1 当a 与b 之间的整数个数为21()N n n N +=-∈时，则2b a n =+，取 3.2.1.1当1ξ＜ξ时，令1a =1ξ,1b =b ,则有1a ＜ξ＜1b ，且1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(2)()11a n a n n +-+-=-=1[][]22b a N --=；3.2.1.2当1ξ＞ξ时，令1a =a , 1b =1ξ ,则有1a ＜ξ＜1b 且在1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=()11a n a n +--=-=]2[]21[N a b =--.3.2.2 当a 与b 之间的整数个数为2()N n n N +=∈时， 则21b a n =++， 取n a n a b a +=++=+=]21[]2[1ξ，3.2.2.1 当1ξ＜ξ时，令1a =1ξ,1b =b ,则有1a ＜ξ＜ 1b ，且1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(2)()1a n a n n +-+-== ]2[]21[N a b =--；3.2.2.2 当1ξ ＞ξ时,令1a =a , 1b =1ξ,则有1a ＜ξ＜1b 且在1a 与1b 之间的整数个数为1N =1b -1a -1=(a+n)-a-1=n-1< n = ]2[]21[N a b =--.综上所述，当1ξ ≠ξ时，可得到1a ＜ξ＜1b 且1a 与1b 之间的整数的个数为1N ≤[N/2].3.2.3对整数1a 与1b 重复上述做法，当ξ= 2ξ时，则ξ即为该物品的价格；若ξ≠2ξ=]2[11b a +，同样可求得2a 和2b ，使得2a ＜ξ＜2b 且2a 与2b 之间的整数的个数为2N =2b －2a －1≤]2[1N =]2/]2[[N.……，由此可得，当k N =k b -k a -1=1（即k a 与k b 之间只有一个整数）时，取ξ=]2[1kk k b a +=+ξ，即为该物品的价格，此时有k N +1=[k N /2]=0.那么当k 为多少时，[k N /2]=0 呢? 我们先解决如下问题：引理1 任意一个正整数N ，存在整数0......210≥>>>>p k k k k , 使得p kk kk N 2 (2)22210++++=,其中10022+<≤k k N .证明：对任意一个正整数N ，显然存在一个正整数0k ，使得122+<≤kk N .又因为正整数N 可以表示成一个二进制的数，在这个二进制的表示形式中的第i k +1 位（从右到左）的数字为1，其对应的十进制的数字为2ik （i=0,1,2,……,p ），而二进制中的数字0，对应的十进制的数字也为0 ，所以pk k k k N 2 (2222)1++++=.引理2若整数12......0k i i i >>>>，则12111[ (222)i i i+++= 0 . 证明：∵ 0 <12111[......]222k i i i +++ ≤12111......222i +++=1 － 112i < 1∴ 12111[ (222)iii+++=0.有了上述两个引理，现在我们来证明如下定理：定理：对任意的一个正整数N ，记1N =[N/2]，212[/2][[]/2]NN N ==，322[/2][[[]/2]/2]NN N ==，……， 则1[/2][]2n n nN N N -== （n 为正整数）.证明：由引理1可得，对任意正整数n ，存在整数012......0p k k k k >>>>≥， 使得p kk kk N 2 (2)22210++++=,其中10022+<≤k k N .1.1若p k =0，显然1N = [N / 2 ] 成立；若1p k ≥， 因为0112(22...21)pppp pk kk k k k k N ----=++++即011(22...2)2ppp ppk k k k k k k N ----=+++是整数.因此2/2,/2,......,/2pkN N N 都是整数，所以n N = [N /2n ]（其中1p n k ≤≤）.即，当p k = 0或者p k ≥1 ，n N = [N /2n ]（ 1p n k ≤≤） 成立.1.2若p k ＞ 0 ，且1≤n ≤0k 时，由Ⅰ、可知，当n =p k 时，有n N =[N /2n ] .设当n m = (1i k +＜m ＜i k ,i=0,1,2,……, p -1)时，原式成立.即m N = [N / 2m ] ， 此时m N = 01111[22 (2)...]22i pi k mk mk mm k m k +-----++++++=01111[22 (2)][...]22i pi k mk mk mm k m k +-----++++++=0122 (2)i kmk mk m---+++当1n m =+时，因为11i i i k m k k +-<≤<，所以110i k m ---≥，此时1[/2][[]/2]2m m mN N N +===0111111[22 (22)]i i k m k m k m k m ---------++++=011111122 (2)[2]i i km k m k m k m ---------++++;而1[]2m N +=0111111111[22 (2)22 (2)]p i i i k m k m k m k m k m k m -+------------+++++++= 0111111111[22......2][22......2]p i i i k m km k m k m k m k m -+------------+++++++;1.1当i k >m ，即i k -m -1 ≥ 0 时，由条件得11......i p m k k ++>>>，此时1111111111[22 (2)][2][......][2]22p i i i i ipk m k m k m k m k m m k m k +----------+-+-+++=+++=；1.2当i k =m ，即i k - m - 1 ＜ 0 时，而m +1>1i k +>…>p k ， 此时11111111111[22 (2)][ 0][2]222p i i i ipik m k m k m k m m k m k m k +--------+-+-+-+++=++===即11111[22 (2)][2]p i i i k m k m k m k m +--------+++=由上可知，当[/2]m m N N =时，可推出11[/2]m m N N ++=所以当p k <n ≤0k 时，n N =[N /2n ]成立.1.3当n >0k 时，因为02k ≤n < 012k+，有1≤ N / 02k < 2 ，所以0[]2k k N N ==1，从而有0012[[]/2]0k Nk N +==，……, n N = 0 ；又由于0122k k N N +≤<1，所以[N /2n ]=0；即n N =[N /2n ].由1.1,1.2,1.3，可得对一切正整数n ,n N =[N /2n ]成立.现在我们可以解决前面的问题了，根据定理，当1k N += [N /12k +] = 0 , 即[N /12k +] = 0 时，有1012k N +≤<,因此当k +1>2[log ]N ,即k 2[log ]N ≥时，1k N +0=，所以用二分法最多2[log ]N 次就能猜中.这种二分法逼近猜数的效果如何？我们设猜了k 次能猜中的概率为k p ，则：1p = 1/N；2111111111(1)(1)[]2p p p N N N N =+-⋅=+-⋅3/N≥;……111121(1)kk k k k p p p N N----=+-⋅≥;且当k ³[2log N ]时，k p =1. 由此可见，当k =1 时，11p P =； 当1<k ≤[2log N ]时，有k k p P >； 当k >[2log N ]时，k k p P >.可见用二分逼近法的猜数比在a 与b 之间随意地猜的方法的效果更好，能更快地猜出其物品的价格.因此，选手可用这种二分法逼近的方法来猜测物品的价格，可在规定的时间内获得更多的奖品.同样，对于一些连续性的问题，我们可以根据闭区间上连续函数的介值定理，运用二分法逼近的方法求解.如用二分法逼近求方程3x 10x --=在区间（1 ，2 ）内的近似根，使误差不超0.01.则用这种方法7 次就可求得符合条件要求的方程的近似根为77a b ξ≈==1.32. 通过以上面的分析说明，利用二分法逼近解题的思想方法，可把原来较大范围内不易求解的问题，逐步缩小范围，从而最终求出符合条件的解，这种思想方法对一些问题的解决能起到积极的作用.4 数值逼近中的逐次逼近在积分方程的求解中，逐次逼近法是一种极其有效的方法.而皮卡序列在逐次逼近中也发挥了十分重要的作用.在此，对皮卡序列的证明及应用做了一定的研究，并对皮卡逐次逼近法给出了一些论述，且将这种方法运用到了其他一些学科的研究中，如数值分析.本部分主要是通过利用皮卡逐次逼近法证明存在唯一性定理，求解积分方程，对积分方程求近似解.4.1主要定理定义 4.1 设函数(,)f x y 在区域D 内满足不等式 1212(,)(,)||f x y f x y L y y -≤-|其中常数L>0，称函数(,)f x y 在区域D 内对y 满足李氏条件. 定理 4.1（存在唯一性定理）给定积分方程0(,)xx y y f x y d x =+ò(4.1)(,)f x y 在矩形区域S :00||,||x x a y y b-≤-≤内连续，且对y 满足李氏条件，则积分方程(4.1)在区间00[,]x h x h -+上有且只有一个解，其中m in{,}b h a M=,max |(,)|M f x y =, (,)x y S ∈.在定理4.1的基础上我们加一些限制条件把定理4.1推广如下:定理 4.2 给定积分方程()()(,,())b ax f x k x d ϕλξϕξξ=+⎰(4.2)其中()f x 在[,]a b 上为已知函数，可(,,())k x ξϕξ在[,;,]Q a b c d =上为已知连续函数，且满足1212|(,,(,,())(,,())||()()|k x x k x L ξξϕξξϕξϕξϕξ-≤-，则当||λ足够小时，方程(4.2)在区间0||x x h -≤上有且只有一个解，其中m in{,}d c h b a M-=-,(,)max |(,,())|x y QM k x ξϕξ∈=.证明: 我们在区间00x x x h ≤≤+,对于00x h x x -≤≤讨论完全一样. 这里定义区0||x x h -≤,m in{,}d c h b a M-=-.作逐次逼近函数列:010()(),()()(,,()),{0,1,2 (x)n n x x f x x f x k x d n ϕϕλξϕξξ+==+=⎰ (4.3)第一步: 对于所有的n ，(4.2) 式中函数在00x x x h ≤≤+上有意义，连续且满足不等式1|()()|n n x x ϕϕ+-≤d c-.当0n =时，(,,())k x ξϕξ在区间[,;,]Q a b c d =上连续. 由010()()(,,())xx x f x k x d ϕλξϕξξ=+⎰. (4.4)知1()x ϕ在00x x x h ≤≤+上有意义连续且当||λ足够小时有100|()()|(,,())xx x x k x d ϕϕλξϕξξ-=⎰000||(,,())||||||()xx k x d M x x d c d cλξϕξξλλ≤≤-≤-≤-⎰即题当1n =时成立. 依此类推()n x ϕ在00x x x h ≤≤+有意义连续且满足不等式1|()()|n n x x d c ϕϕ+-≤-.第二步: 函数序列{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+上是一致收敛的.考虑级数011()[()()]k k k x x x ϕϕϕ∞-=+-∑, (4.5)因此要证明函数序列{()}n x ϕ在00x x x h ≤≤+上一致收敛，只需要证明级数(4.5) 在00x x x h ≤≤+上一致收敛. 下证级数(4.5) 是一致收敛的.先证明不等式101(||)|()()|||(1)!n nn n M L x x x x n ϕϕλ++--≤+1 当0n =时由第一步证明可知，假设成立.2 假设当n k =时成立. 则1n k =+0211|()()||||(,,())(,,())|xk k k k x x x k x k x d ϕϕλξϕξξϕξξ+++-=-⎰£0121001||()(||)|||()()|||||(1)!(2)!k k k k xx k k k x x L M x x M L x x L d L d k L k λλϕξϕξξλξλ++++---≤=++⎰⎰于是由数学归纳法可知, 对于所有的正整数k , 有如下估计:11()|()()|||(1)!k kk k M Lh x x L k ϕϕλ++-≤+.由等式知级数(4.5) 在00x x x h ≤≤+上一致收敛，因此序列{()}n x ϕ 也在00x x x h ≤≤+上一致收敛.现在设lim ()()n n x x ϕϕ→∞=则{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+上连续.第三步: ()x ϕ是积分方程(4.2) 在00x x x h ≤≤+上的连续解.由序列{()}n x ϕ 在00x x x h ≤≤+一致收敛于()x ϕ，对(4.3)式取极限，可得:011lim ()()||lim(,,())()||lim (,,())x xn x x n n n nn x f x k x d f x k x d ϕλξϕξξλξϕξξ+→∞→∞→∞-=+=+⎰⎰即0()()(,,())xx x f x k x d ϕξϕξξ=+⎰,这就是说()x ϕ是积分方程(4.2)在00x x x h ≤≤+上的连续解.第四步: 证明其唯一性.设(,)x y φ是积分方程(3.2) 在00x x x h ≤≤+上的连续解, 则可以用第二步的方法证明(,)(,)x y x y φϕ=, 00x x x h ≤≤+.综合以上四步可以得到积分方程解的存在唯一性. 4.2 近似计算和误差估计我们在数学分析、抽象代数以及数值分析等学科当中已学习过关于近似计算和误差估计的知识. 在本段落中的存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且给出了求方程近似解的一种方法picard 逐次逼近法，对方程的第n 次近似解()n x ϕ：00010()()(,()){1,2 (x)n n x x y x y f x x dxn ϕϕϕ-==+=⎰它和正真解()y x ϕ=在00[,]x h x h -+内的误差估计为1|()()|(1)!nn n M Lx x hn ϕϕ+-≤+.上式可用数学归纳法证明.这样，我们在进行近似计算的时候，可以根据误差的要求，先取适当的逐次逼近函数()n x ϕ.例4 讨论初值问题21(0)0{dyy dxy =+=解存在且唯一区间解: 对任意给定的正数,a b , 函数均(,)1f x y =+2y在矩形区域{(,)|0,0}R x y x a y b =≤≤≤≤内连续且对y 的偏导数连续， 计算22(,)m ax |(,)|1,m in{,}1x y Rb M f x y b h a b∈==+=+.由于a 和b 都可以任意取，我们先取b ，使21b b+最大，显然1b =时,21b b+12= 为21b b+的最大值，故可取1,1a b ==，此时依定理得到初值问题解存在唯一的区间是1122x -≤≤例5 利用picard 迭代法求初值问题2(1())(0)0{dyx y x dxy =+=的解.解: 初值问题等价于积分方程0()2(1())x y x x y x =+⎰其迭代序列分别为021042220()0,()2,()2(1),2!x x y x y x xdx x xy x x x dx x ====+=+⎰⎰44622304622()2(1),2!2!3!....................................()......,2!3!!x nn xxxy x x x dx x xxxy x x n =++=++=++++⎰2lim ()1xn n y x e→∞=-.取极限得2lim ()1x n n y x e →∞=-即初值问题为21y e =-.通过以上的定理、推论和例题我们对picard 逐次逼近法做了一定的介绍.这种思想在各门学科中都有一定的体现. 结束语综上所述,数值逼近中的极限逼近、二分逼近和逐次逼近在理论上和实践中都有具体的运用,掌握了这些对在数学上的进一步深造和解决生活中的问题都有很大的作用.参考文献[1]吴宗敏，苏仰峰.数值逼近[M]，科学出版社.[2]周晓农.逼近法的涵义及运用[J].金筑大学学报，2000年第二期，116—119. [3]李刚升，张艳敏.皮卡逐次逼近法的运用[J].教育战线.77—78.[4]华东师范大学数学系.数学分析[M],高等教育出版社.[5]苏金源.二分逼近解题的数学思想方法[J].科技论坛.[6]虞旦盛，周颂平.有理逼近的一些最新进展[J].数学进展，2005年6月，269—280.[7]钱吉林.数学分析题解精粹[M],崇文书局.About the Process of Gaining the ApproximateMeng Xiao-ying(School of Mathematics and Statistics,Anyang Normal University,Anyang,Henan 455002)Abstract：This article is main about the process of gaining the approximate.It involves analysis on the thought of mathematical limit、the way of gaining the limit through dividing an interval into two parts continuously and the thought of successive approximation . At the same time , this article introduce some application in the life of the means.Key words: process of gaining the approximate;mathematical limit；the way of gaining the limit through dividing an interval into two parts continuously；successive approximation。
王仁宏老师的《数值逼近》4
第五章 数值积分教学目的及要求：掌握Newton-Cotes 公式、Romberg 方法、Euler-Maclaurin 公式、Gauss 型求积公式等数值积分公式及方法。
§1．数值积分的一般概念本章讨论定积分的近似计算问题。
从微积分学中我们知道能够利用Newton-Leibni 公式()()[]b x ax b adx x f dx x f ==⎰⎰=去计算的定积分是很少的。
事实上，在实际问题中，我们常常无法利用初等函数去表出原函数()⎰.dx x f 例如，对于概率积分与椭圆积分和()()⎰≤≤+=tt dx x k t E 02220sin 1π来说，我们便遇到了上述的困难。
因此不能不考虑定积分的近似计算问题。
以下，我们所讨论的求积公式绝大多数具有如下形式： （1.1）其中k x 为求积公式的结点，k A 为求积系数。
通常，称右端的和为求积和； 又称为求积误差。
有时，也将求积公式写成()),0(202∞<≤=⎰-t dx e t P t x π()()()⎰∑=≈bank k k x f A dx x f x 1,ρ[]()()()⎰∑=-=bank k k x f A dx x f x f E 1ρ在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数()x ρ是已知的固定的函数且常常是()1≡x ρ，以后我们将称它为权函数。
此外，我们还假定积分()()()()Λ,2,1,0,=⎰⎰m dx x x dx x f x babam ρρ总是存在的，并且函数()x f 在点n x x ,,1Λ处是有定义的。
一般说来，求积公式（1.1）中的结点k x 和系数k A 可以按所希望的方式随意选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中去选取k x 了）。
自然，我们总是希望通过k x 和k A 的选取使得在某种意义下求积误差尽可能地小。
概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题：（1） 求积公式的具体构造问题； （2） 精确性程度的衡量标准问题；（3） 余项估计问题（亦即，误差估计问题）。
数值分析 第五章学习小结
第五章 插值与逼近--------学习小节一． 本章学习体会本章学习了插值与逼近，经过本章的学习我对插值法有了进一步的认识。
插值与逼近就是寻找一个简单的函数来代替表达式复杂甚至无法写出表达式的函数。
可以说我们现在学习推导出来的方法公式等都是前人的辛苦钻研的结果，本章除了学到了许多的插值与逼近方法，更重要的是了解了许多科学前辈的故事以及他们许多做研究的态度与方法。
我感觉了解一下数学家的人生故事对我们学习数值分析或别的数学知识有很大的帮助。
上课时王老师给我们讲了数学奇才Hermite 的传奇故事，一个不会考试，基本上每次考数学都不及格的‘笨学生’，后来成为了伟大的数学家。
不是每个数学家都特别聪明，他们所具有的是作为一名科学家的品质，想别人没有想过的问题，在研究中创新，我们应该学习他们那种做研究的态度与精神。
学习这章时有一个小小的困惑，在曲线拟合的求法时，求多元函数的极小值*2200[()()]min [()()]im nm njj i i j j i i c i j i j cx f x c x f x φφ====-=-∑∑∑∑2010(,,,)[()()]mnn j j i i i j F c c c c x f x φ===-∑∑ 老师讲时说用0kFc ∂=∂求得，那万一求出的是极大值呢？ 二．本章知识梳理数值分析中的插值是一种有力的工具，它最终得出的曲线图像都是过节点的，我们的目的使用它得出的图像来近似估计插值点的函数值。
我们首先学了代数插值中的一元函数插值，一元函数插值中学了拉格朗日插值但其插值公式没有延续性，后来学了牛顿插值，其优点是插值公式具有延续性，但前两者都有缺点，就是插值节点一般不超过三个，否则会有很大误差。
但实际工程中我们会测的许多的数据，也就有许多的节点，这样前两种差值方法就不能用了，后来我们又引进了分段线性插值，就是将这许多的节点进行分段，在每段中应用拉格朗日插值或牛顿差值。
Chap5函数的数值逼近
(k 0,1, 2,) ,
其中首项系数 ak 0 , 若 gk(x) 满足
( g j , gk )
b a
则称 g k ( x ) 0 为在区间[a ,b]上带权 ρ(x) 的正 k 交多项式序列, gk(x) 称为k 次正交多项式.
5: 函数的数值逼近 6
0 ( x) g j ( x) g k ( x)dx Ak 0
5: 函数的数值逼近 5
k ( x )
n k 0
与 k ( x ) 可互相线性表示 .
n k 0
2.正交多项式及其性质
2.1 正交多项式定义 定义 5.1.2 给定区间 [a, b] 和对应的权函数 ρ(x) 及多项式序列 k
g k ( x) a j x
j 0 j
3 2
由上式可推出：
L4 ( x) x 4 16 x3 72 x 2 96 x 24
5: 函数的数值逼近
15
5.2 最佳平方逼近
5: 函数的数值逼近
16
1.最佳平方逼近函数的概念
定义 5.2.1 设有 f ∈C [a , b] 及 C [a , b] 中的子集 span{ 0 , 1 ,, n } 其中 0 , 1 , , n 线性无关。若存在 S * ( x) 使得
讨论曲线拟合的最
乘解
小二乘问题
5: 函数的数值逼近 2
5.1 正交多项式
1. 正交函数组及其性质
定义 5.1.1 设有 C [a , b] 中的函数组 0 , 1 ,, n ,, 若满足
( j , k )
b a
0 ( x) j ( x) k ( x)dx Ak
数值逼近
(x0, y0的),(直x1,线y1，)
因此可表为如下对称形式：
p1 x y0l0 x y1l1 x
其中
l1 x和
l0
x
x x1 x0 x1
, l1
x
x x0 x1 x0
l0 分x别 满足条件
l0 x0 1,l0 x1 0,l1 x1 1,l1 x0 0
n
f x0 , x1,L , xn
f xk
n
k0
xk x j
j0, jk
由此可知，改变式中的节点次序，差商值保持不变。这种性质称
为差商的对称性。
数值分析简明教程
2.值公式
再考虑拉格朗日插值问题：
问题 求作次数 多n 项式 pn ，x使满足条件， pn xi yi ,i 0,1,L n
本章先讨论代数插值，然后在此基础上进一步研究所谓的样条 插值。
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2.2
王能超 编著
问题的提出
“温故而知新”。本节将从插值方法的角度重新审视泰勒公式，
从而提出所谓的泰勒插值问题，继而在此基础提出拉格朗日插值问
题。
下述插值问题称作泰勒插值问题：
问题 求作次数 多n 项式 pn ，x使满足条件，
可见，插值问题的解 p1 可x以通过插值基函数 l0和 x
的组合得出，且组合系数分别是所给数据 y0 , y1。
l1 x
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2.5
王能超 编著
拋物插值
问题 求作二次式 p2 ，x使满足条件 p2 x0 y0 , p2 x1 y1, p2 x2 y 2
数值逼近(复旦大学)答案
习题一1.用3位数字计算出方程：的解x，y，再用6位数字计算出x与y，已知正确解为练习练习x=1,y=-1,计算结果说明什么？解：用3位浮点计算：，即得：，解得：用6位浮点计算：，即得：，解得：此例说明，在计算过程中，选取有效数字位数越多，相对误差越小，计算结果越精确。
11．将（2，4，-2，2）中的数全部列出来，且在实轴上表示出来，问总共有多少？解：(2,4,-2,2)系统中的所有正数为：共有个，再加上中的80个负数以及0，故共有161个。
15．求的误差分析。
解：其中。
16．有误差，，问的传播误差是多少？解：因为若，则，又由于：，则：当时，，当时，，当时，。
14．假设有一种算法，求可得到6位有效数字，问为了使有4位有效数字，应取几位有效数字？解：因为其中：为取近似值时的相对误差，为求开方运算的相对误差，由题设和定理1知所以：若，即对取6位有效数字时，有4位有效数字（由定理1）。
10．都是中的数，试给出的向前误差分析和向后误差分析。
解：（1）由定理5，向前误差分析为其中，。
（2）向后误差分析，仍由定理5其中：。
第二章函数的插值1．下列函数表（表18）中的数字都是有效数字。
（1）通过ctgx的函数表，进行插值，求ctg(0.0015)，并估计误差；解：先作差分表：取：又由：所以误差为：2．给定的函数值如表19所示，用3种途径求3次插值多项式。
解：（1）用牛顿方法。
先作差商表：所以：（2）用Lagrange 方法化简得：（3）用内维尔方法再由：得：3．给定的函数值如表20所示，求解：先作差商表：即：故：4．求，利用，取节点作插值，并估计截断误差。
解：先作差商表：所以，。
故：其截断误差：由于，所以5．证明：在两个节点：上作线性插值，当时，余项为证：因为其中：6．若是小量，则三个函数值应怎样线性组合，才能得到较好的的近似值。
解：由于所以：，即：。
7．证明。
证：设，则11．用拉格朗日途径导出如下的次埃尔米特插值，满足：。
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y
P1 P0 P1
y f Pi Pi1
Pn Pn
x
Pi Pi1
x 0 x0 x1 xi xi1 xn
不断重复上述过程，就可以得到一系列的点
P0, P1,…, Pn。对已知得的 Pnxn , yn 点以 y xn f xn, yn 为 斜率作直线 y yn f xn, ynxxn，当 x xn时，便可得到 方程 yn1 yn f xn, ynxn1 xn
第五章 常微分方程数值解法
龙 引 尤 格本
拉 库节 方 塔总 言 法 方结
法
引言
许多实际问题，往往不能直接找出需要的函数关系， 却比较容易列出表示未知函数及其导数（或微分）与自 变量之间关系的等式。这样的等式就是微分方程。1676 年詹姆士贝努利致牛顿的信中第一次提出微分方程，直 到 18 世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科，微分 方程成为研究，了解和知晓现实世间的重要工具。1846 年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现 了一颗有名的新星——海王星。。
f x, y1 f x, y2 L y1 y2 对 R内任意两个 y1， y2 都成
立，则方程
y f x yx0
,y y0
的解
y
y x 在a , b上存在且惟一。
数值方法的基本思想：对常微分方程初值问题的数值解
法，就是要算出精确解 yx在区间a,b上的一系列离散节
点
a x0 x1 xn1 xn b 处的函数值
取 yxn yn，这样从 x0逐一算出 x1, x2,…, xn所对应的数
值解 y1, y2,…, yn，同时也获得了一条曲线 P1P2P3 Pn 作为 原曲线的近似曲线，因此又称欧拉法为折线法。
在计算时，一般取 xi1 xi hi h（常数）。则欧拉公
式为
yi 1
yi y0
hf xi x0
yxn
1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142 1.4832 1.5942 1.6125 1.6733 1.7321
例
用
欧
拉
法
求
解
初
值
问
题
y y xy2
y0 1
0 x 0.6 取步长h 0.2，计算过程保留 4 位小数。
,
yi
i 0,1,2 ,n
除此之外，还可以通过泰勒展开和数值积分的方法
得到欧拉公式。现假设在 xi 附近把 yx展开成泰勒级数：
y xi
h
y xi
hy xi
h2 2
y xi
yxi
hf
xi ,
yxi
h2 2
yxi
取h的线性部分，并用 yi表示 yxi 的近似值，即可得
到欧拉公式 yi1 yi hf xi , yi i 0,1,2, , n 1
法来解决。本章主要讨论一阶常微分方程初值问题
y f x, y
yx0
y0
在区间a x b上的数值解法。
可以证明，如果函数 f x, y在带形区域
R : a x b, y 内连续，且关于 y 满足李普希兹
（ Lipschitz） 条件 ，即 存在常 数 L （ 它与 x, y 无 关 ）使
一步的值外，还要用到前面k k 1,2 步的值，其
代表是亚当姆斯法。
欧拉方法
一、欧拉公式 二、后退的欧拉公式
三、梯形公式 四、改进的欧拉公式
五、欧拉两步公式
一、欧拉公式
欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法。
初值问题
y f x, y
yx0
y0
的解 y yx代表通过点x0, y0 的一条称为微分方程的 积分曲线。积分曲线上每一点x, y的切线的斜率 yx0 等 于函数 f x, y在这点的值。
yx0 , yx1 ,…, yxn ，的近似值 y0, y1,…, yn。
相邻两个节点的间距h xi1 xi 称为步长，步长可以 相等，也可以不等。本章总是假定h为定数，称为定步长，
这时节点可表示为 xi x0 ih i 1,2, 数值解法
需要把连续性的问题加以离散化，从而求出离散节点的
如果未知函数 y 及其各阶导数 y, y,…, yn，都是一次
的，则称它是线性的，否则称为非线性的。由给定的初
始条件和微分方程所给出的定解问题称为初值问题。其
F x, y, y, , y n 0
yx0 y0 yx0 y1
中n阶常微分的初值问题为
y n1 x0 y n1
从实际问题当中归纳出来的微分方程，主要依靠数值解
y0 1
解 求解
h
yn
2xn yn
取步长h 0.1，计算结果见表
xn 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
yn 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5095 1.5803 1.6494 1.7187 1.7848
数值解。
初值问题的数值解法有个基本特点，都采用“步进式”，
即求解过程随着节点排序的次序一步一步地向前推进。
对于这类算法的描述，只要给出已知信息
yi
,
yi
1
,
yi
2
,…,
y0
就可以计算
yi
的递推公式。
1
递推公式通常分为两类。 1. 单步法：这类方法在计算 yi1时，只需要用前一步
计算出来的值。因此，在给出了初值的情况下，可 以逐步往下计算，其代表是龙格-库塔法。 2. 多步法：这类方法在计算 yi1时，除了要用到前面
1991 年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰 人，据躯体所含碳原子消失的程度，通过求解微分方程， 推断这个冰人大约遇难于 5000 年以前，类似的实例还有 很多。在微分方程的发展史中，数学家牛顿，莱布尼茨， 贝努利家族，拉格朗日，欧拉，拉普拉斯等都做出了卓 越的贡献。
在微分方程中，自变量的个数只有一个，称为常微 分方程。自变量的个数为两个或两个以上的微分方程叫 偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的 阶数称为微分方程的阶数。
如果用数值积分得方法从 x到 xk 积分恒等式
yt
f t, yt ，得到 yx k
yx xk x
f t, yt dt
取 x xi，k h，并让被积函数取常数值，也可以得
到 yi1 yi hf xi , yi i 0,1,2, , n 1
例
求解初值问题 y
y 2x y
0 x 1