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全等三角形证明经典45题及答案

17．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：18．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．19、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

20、（10分）如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

O ED C B A FE D C B AFAFE DCBA21、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。

求证：BD⊥AC。

22、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。

求证：BF=CF23、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。

求证：AF=DE。

DCBAF DCBAF BA24.公园里有一条“Z ”字形道路ABCD ，如图所示，其中AB ∥CD ，在AB ，CD ，BC 三段路旁各有一只小石凳E ，F ，M ，且BE ＝CF ，M 在BC 的中点，试说明三只石凳E ，F ，M 恰好在一条直线上.25．已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ．26.已知：如图所示，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

27．如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．D A FE 654321E DCADCBAE28．已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．29．已知：如图，AB =AC ，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，BD 、CE 相交于点F ，求证：BE =CD ．30如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ．求证：（1）AD ⊥EF ；（2）当有一点G 从点D 向A 运动时，GE ⊥AB 于E ，GF ⊥AC 于F ，此时上面结论是否成立？31.已知：如图, AC ⊥BC 于C , DE ⊥AC 于E , AD ⊥AB 于A , BC =AE ．若AB = 5 ,求AD 的长？AC B DEF AEBF32．如图：AB=AC ，ME ⊥AB ，MF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，ME=MF 。

全等三角形经典题型50题(含答案)

全等三角形证明经典50题（含答案）1.已知：AB=4 , AC=2 , D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD延长AD 至U E,使DE=AD, 则三角形ADC 全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数，则AD=512.已知：D 是 AB 中点，/ ACB=90 °，求证： CD - AB2为BC=ED,CF=DF, / BCF= / EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）。

所以BF=EF, / CBF= / DEF 。

连接 BE 。

在三角形 BEF 中,BF=EF 。

所以 / EBF= / BEF 。

/ ABE= / AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形 ABF 和 / ABF= / ABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF 。

所以/ C= / D , F 是 CD 中点，求证：/ 1 = / 2证明：连接BF 和EF 。

因又因为 / ABC= / AED 。

所以三角形 AEF 中， AB=AE,BF=EF, 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 / BAF= / EAF （ / 仁/ 2）。

A3因为 EB = EF ,CE = CE ，所以△ CEBCEF 所以/ B = / CFE 因为/ B +/ D = 180° / CFE + / CFA = 180° 所以/ D = / CFA 因为 AC 平分/ BAD 所以/ DAC = / FAC 又因为 AC = AC 所以△ ADC 也厶AFC ( SAS ) 所以AD = AF 所以AE = AF + FE = AD + BE12.如图，四边形 ABCD 中，AB // DC ，BE 、CE 分别平分/ ABC 、/ BCD ，且点 E 在AD 上。

全等三角形经典题型50题[含答案解析]

全等三角形证明经典50题（含答案）1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD延长AD 到E,使DE=AD,则三角形ADC 全等于三角形EBD即BE=AC=2 在三角形ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE 即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6 又AD 是整数,则AD=52. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2ADBC证明：连接BF 和EF 。

因为BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。

所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF。

又因为 ∠ABC=∠AED。

所以 ∠ABE=∠AEB。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。

所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC≌⊿GDE（AAS）BACDF2 1 E∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE∴∠C=∠EDC∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE⊥AB所以∠CEB＝∠CEF＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB≌△CEF所以∠B ＝∠CFE因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180° 所以∠D＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD所以∠DAC＝∠FAC又因为AC ＝AC所以△ADC≌△AFC（SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝CDB AAD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形最全题型完整答案

全等三角形1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C（点A、B都在直线l的同侧），AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB．2．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝9厘米，AD＝BD＝6厘米．(1)如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，点P运动到BC的中点时，如果△BPD≌△CPQ，此时点Q的运动速度为多少．(2)若点Q以(1)②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=DC，求证：∠B=∠C4．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的两侧，BD⊥AE 于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：△ABD≌△ACE（2）试说明线段BD，线段DE和线段CE的数量关系5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，点E为AB中点，如果点P 在线段BC上以每秒2cm的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值及点Q的运动速度．6．已知：如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD=BC，AE=BF，CE=DF，求证：AE∥BF．7．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120º，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．8．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.9．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD=2BF+DE．10．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE ，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．11．如图①，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD AE ⊥于D ，CE AE ⊥于E .（1）求证：BD DE CE =+.（2）若将直线AE 绕点A 旋转到图②的位置时（BD CE <），其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何？请予以证明.12．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持90EDF ∠=︒，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．13．如图，CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝α，AD 、BE 交于点H ，连接CH .(1)求证：△ACD ≌△BCE ；(2)求证：CH 平分∠AHE ；(3)求∠CHE 的度数．(用含α的式子表示)14．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．（1）如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，试证明∠BOC＝90°+12A ∠（2）如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC 与∠A有怎样的关系？请说明理由．（3）如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC 与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）15．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．16．如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°.以点D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN.(1)求证：MN ＝BM ＋NC ；(2)求△AMN 的周长．17．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．18．如图，已知ABC 中，AB BC =，60B ∠=︒，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE CD =，DM BC ⊥，垂足为M ．()1求E ∠的度数；()2求证：M 是BE 的中点．19．如图，在等边△ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，且AD=BE ，BD ，CE 交于点P ，CF ⊥BD ，垂足为点F ．（1）求证：BD=CE ；（2）若PF=3，求CP 的长．20．如图，等边ABC ∆的边长为10cm ，点D 从点C 出发沿CA 向点A 运动，点E 从点B 出发沿AB 的延长线BF 向右运动，已知点D ，E 都以1cm/s 的速度同时开始运动，运动过程中DE 与BC 相交于点P ，点D 运动到点A 后两点同时停止运动．（1）当ADE ∆是直角三角形时，求D ，E 两点运动的时间；（2）求证：在运动过程中，点P 始终是线段DE 的中点．21．如图．在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD ∥AB ，OE ∥AC ．（1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系，写出你的判断过程．22．如图，ABC 是等腰三角形，AB AC =，点D 是AB 上一点，过点D 作DE BC ⊥交BC 于点E ，交CA 延长线于点F ．（1）证明：ADF 是等腰三角形；（2）若60B ∠=︒，4BD =，2AD =，求EC 的长．23．如图，D 是等边ABC ∆的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，,CE DA =连DE 接交AC 于F ，过D 点作DG AC ⊥于G 点．证明下列结论：()11;2AG AD = ()2;DF EF =()3DGF ADG ECF S S S ∆∆∆=+24．如图，点 C 为线段 AB 上一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，AN 、MC 交于点 E ，BM 、CN 交于点 F（1）说明 AN=MB 的理由（2）△CEF 是什么三角形？为什么？25．如图，∠AOB 内部求作一点P ，使PC ＝PD ，并且点P 到两边的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）26．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线OM 与边AC 的垂直平分线ON 交于点O ，分别交BC 于点D 、E ，已知△ADE 的周长5cm ．（1）求BC 的长；（2）分别连接OA 、OB 、OC ，若△OBC 的周长为13cm ，求OA 的长．27．如图1，在正方形ABCD 中，,E F 分别是, BC CD 上的点，且45EAP ∠=︒，则有结论EF BE FD =+成立；()1如图2，在四边形ABCD 中，,90, AB AD B D E F =∠=∠=︒、分别是, BC CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的一半，那么结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请说明理由．()2若将()1中的条件改为：如图3，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得EAF ∠仍然是BAD ∠的一半，则结论EF BE FD =+是否仍然成立?若成立，请证明；不成立，请写出它们的数量关系并证明参考答案1．见解析【解析】【分析】先证明DAC ECB ∠=∠，根据AAS 证ADC CEB ≌．【详解】∵∠DAC+∠DCA ＝∠ECB+∠DCA ＝90°，∴∠DAC ＝∠ECB ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC ECB AC BC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．2．（1）①全等，理由见解析；②4cm /s .（2）经过了24秒，点P 与点Q 第一次在BC 边上相遇．【解析】【分析】（1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根据等边对等角求得∠B=∠C ，最后根据SAS 即可证明；②因为V P ≠V Q ，所以BP≠CQ ，又∠B=∠C ，要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP=CP=4.5，根据全等得出CQ=BD=6，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ 的长即可求得Q 的运动速度；（2）因为V Q >V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB+AC 的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．【详解】(1)①1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等；理由如下：∵t =1秒，∴BP =CQ =3(cm )∵AB =12cm ，D 为AB 中点，∴BD=6cm，又∵PC=BC−BP=9−3=6(cm)，∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中,{BP CQ B C BD PC=∠=∠=，∴△BPD≌△CQP(SAS)，②∵V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6.∴点P的运动时间t=4.533BP==1.5(秒)，此时V Q=61.5CQt==4(cm/s).(2)因为V Q>V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得：4x=3x+2×12，解得：x=24(秒)此时P运动了24×3=72(cm)又∵△ABC的周长为33cm，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．点睛：本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质以及属性结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形的全都能的判定和性质.3．证明见解析．【解析】【分析】试题分析：首先根据角平分线的性质可得DE=DF ，又有BD=CD ，可证Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ），即可得证∠B=∠C ．试题解析：证明：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE=DF ，在△BDE 和△CDF 中，{DE DFBD DC ==∴△BDE ≌△CDE （HL ）∴∠B=∠C考点：1．角平分线的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．（1）证明见解析；（2）BD=DE+CE ．理由见解析【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余以及余角的性质即可证得∠ABD=∠CAE ，则利用AAS 即可证得△ABD ≌△CAE ；（2）利用全等的性质得BD=AE ，AD=CE ，由AE=AD+DE ，即可得到BD=DE+CE ．【详解】解：（1）证明：∵∠BAE+∠CAE=90°，又∵直角△ABD 中，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠ABD=∠CAE ．则在△ABD 和△ACE 中，===BAE CAE ADB AEC AB AC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABD ≌△CAE ；（2）∵△ABD ≌△CAE ；∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ．此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握有两组角对应相等，并且其中一组角所对边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．5．见解析【解析】【分析】由∠B=∠C=90°，可知存在以下两种情况使△BPE ≌△CQP ，（1）当BP=CP ，BE=CQ 时；（2）当BP=CQ ，BE=CP 时；设点Q 的运动的时间为vcm/s ，则由已知易得BP=2t ，CP=6-2t ，BE=2，CQ=vt ，由此根据上述两种情况分别列出关于t 和v 的方程，解方程即可求得对应的t 和v 的值.【详解】设点 Q 的运动速度为v cm/s ，则 2BP t =，62CP t =-，2BE =，CQ vt =． ∵∠B=∠C=90°，∴存在以下两种情况使△BPE ≌△CPQ.（1）当BP=CP ，BE=CQ 时，△BPE ≌△CPQ ，此时有：262t t =-，2vt =，解得：32t =，43v =；（2）当BP=CQ ，BE=CP 时，△BPE ≌△CPQ ，此时有：2t vt =，262t =-．解得：2t =，2v =．综上所述，t 的值为 32 秒，Q 点的速度为4/3cm s ；或t 的值为2秒，Q 点的速度为2 cm/s ．【点睛】 “由∠B=∠C=90°，知道存在以下两种情况使△BPE ≌△CQP ：（1）当BP=CP ，BE=CQ 时；（2）当BP=CQ ，BE=CP 时”是解答本题的关键.6．证明见解析.【解析】分析：可证明△ACE ≌△BDF ，得出∠A=∠B ，即可得出AE ∥BF ；详证明：∵AD=BC ，∴AC=BD ，在△ACE 和△BDF 中，AC BD AE BF CE DF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ACE ≌△BDF （SSS ）∴∠A=∠B ，∴AE ∥BF ；点睛：本题考查了全等三角形的判定及性质以及平行线的判定问题，关键是用SSS 证明△ACE ≌△BDF ．7．（1）CF=CG ；（2）CF=CG ，见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG ，由角平分线性质定理即可判断．(2)结论：CF=CG ，作CM ⊥OA 于M ，CN ⊥OB 于N ，证明△CMF ≌△CNG ，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG ；证明：∵OP 平分∠AOB ，CF ⊥OA ，CG ⊥OB ，∴CF=CG （角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG.理由如下：如图，过点C 作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∵OP 平分∠AOB ，CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，∠AOB=120º，∴CM=CN （角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60º（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC ，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º，∴∠MCO=90º-60º =30º，∠NCO=90º-60º =30º，∴∠MCN=30º+30º=60º，∴∠MCN=∠DCE ，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ，∴∠MCF=∠NCG ，在△MCF 和△NCG 中，CMF CNG CM CNMCF NCG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF ≌△NCG （ASA ），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）；【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．8．（1）见解析（2）成立（3）△DEF 为等边三角形【解析】解：（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，∴∠BDA ＝∠CEA=900．∵∠BAC ＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD ．又AB="AC" ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ．∴DE="AE+AD=" BD+CE ．（2）成立．证明如下：∵∠BDA =∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—α．∴∠DBA=∠CAE ． ∵∠BDA=∠AEC=α，AB=AC ，∴△ADB ≌△CEA （AAS ）．∴AE=BD ，AD=CE ． ∴DE=AE+AD=BD+CE ．（3）△DEF 为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ．∴∠DBF=∠FAE ．∵BF=AF ，∴△DBF ≌△EAF （AAS ）．∴DF=EF ，∠BFD=∠AFE ．∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．∴△DEF 为等边三角形．（1）因为DE=DA+AE ，故由AAS 证△ADB ≌△CEA ，得出DA=EC ，AE=BD ，从而证得DE=BD+CE ．（2）成立，仍然通过证明△ADB ≌△CEA ，得出BD=AE ，AD=CE ，所以DE=DA+AE=EC+BD ．（3）由△ADB ≌△CEA 得BD=AE ，∠DBA =∠CAE ，由△ABF 和△ACF 均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA ，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF ，即∠DBF=∠FAE ，所以△DBF ≌△EAF ，所以FD=FE ，∠BFD=∠AFE ，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF 是等边三角形．9．（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ．【详解】（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE ，在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAC ≌△DAE （SAS ）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE ，∴∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF ⊥BC ，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，∵AF ⊥BG ，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB 和△AFG 中，BF F AFB AFG AF AF G =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AFB ≌△AFG （SAS ），∴AB=AG ，∠ABF=∠G ，∵△BAC ≌△DAE ，∴AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，∴AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，∴∠G=∠CDA ，在△CGA 和△CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGA ≌△CDA ，∴CG=CD ，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ，∴CD=2BF+DE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．10．（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE【解析】【分析】(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，∴PC=PE；(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；(3)、AP＝CE理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，∴AP=CE考点：三角形全等的证明11．（1）见解析；（2）BD=DE-CE ，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AE=AD+DE ，所以BD=DE+CE ；（2）根据已知利用AAS 判定△ABD ≌△CAE 从而得到BD=AE ，AD=CE ，因为AD+AE=BD+CE ，所以BD=DE-CE ．【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∵AE=AD+DE ，∴BD=DE+CE ；（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，∴∠BDA=∠AEC=90°，∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，∴∠ABD=∠CAE ，∵AB=AC ，在△ABD 和△CAE 中，BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△CAE （AAS ），∴BD=AE ，AD=CE ，∴AD+AE=BD+CE ，∵DE=BD+CE ，∴BD=DE-CE ．【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．12．（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD ，并利用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，以此进行分析计算求出四边形AEDF 的面积即可；（3）根据题意连接AD ，运用全等三角形的判定判定△BDE ≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF 为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC ，AD=BD ，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE≌△CDF，∴S=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，四边形AEDF∴S∆ABC=2 S四边形AEDF,∴S=3.5 .四边形AEDF（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE和△ADF中，∠DAF=∠DBE，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．13．(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3) 90°－12α 【解析】试题分析：（1）由CA=CB ，CD=CE ，∠ACB=∠DCE=α，利用SAS ，即可判定：△ACD ≌△BCE ；（2）首先作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N ，由△ACD ≌△BCE ，可证∠CAD=∠CBE ，再证△ACM ≌△BCN ，（或证△ECN ≌△DCM ），可得CM=CN ，即可证得CH 平分∠AHE ；（3）由△ACD ≌△BCE ，可得∠CAD=∠CBE ，继而求得∠AHB=∠ACB=α，则可求得∠CHE 的度数．试题解析：(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCE ＝α，∴∠ACD ＝∠BCE .在△ACD 和△BCE 中， CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE (SAS)．(2)证明：过点C 作CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BE 于N .∵△ACD ≌△BCE ，∴∠CAM ＝∠CBN .在△ACM 和△BCN 中，90CAM CBN AMC BNC AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ACM ≌△BCN .∴CM ＝CN .∴CH 平分∠AHE .(3)令BC 、AH 交于点Q .∵∠AQC ＝∠BQH ，∠CAD ＝∠CBE ，∴∠AHB ＝∠ACB ＝α.∴∠AHE ＝180°－α. ∴∠CHE ＝12∠AHE ＝90°－12α. 14．（1）见解析；（2）∠BOC=12A ∠，理由见解析；（3）∠BOC=90°－12A ∠ 【解析】【分析】（1）利用△ABC 和△BOC 的内角和为180°进行角度转化可得结论；（2）设∠ABO=x ，∠ACO=y ，利用△ABC 和△OBC 的内角和，可得出2个关于x 、y 、∠A 、∠BOC 的方程，消去x 、y 可得；（3）设∠DBO=x ，∠ECO=y ，利用△ABC 和△OBC 的内角和，可得出2个关于x 、y 、∠A 、∠BOC 的方程，消去x 、y 可得．【详解】（1）∵OB 、OC 分别时∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠ABO=2∠1，∠ACB=2∠2在△ABC 中，∠A+2∠1+2∠2=180°，化简得：∠A+2(∠1+∠2)=180°在△BOC 中，∠1+∠2+∠BOC=180°，化简得：∠1+∠2=180°－∠BOC ，代入上式得：∠A+2(180°－∠BOC)=180°化简得：∠BOC=90°+12A ∠ （2）设∠ABO=x ，∠ACO=y∵O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点∴∠OBC=∠OBA=x ，∠OCD=∠OCA=y ，∠ACB=180°－2y∴在△ABC中，∠A+2x+(180°－2y)=180°，化简得：∠A=2(y－x)在△BOC中，x+∠BOC+(180°－2y+y)=180°，化简得：∠BOC=(y－x)∴∠BOC=12A ∠（3）设∠DBO=x，∠ECO=y同理，∠OBC=x，∠OCB=y，∠ABC=180°－2x，∠ACB=180°－2y∴在△ABC中，∠A+(180°－2x)+ (180°－2y)=180°，化简得：2(x+y)－∠A=180°在△OBC中，x+y+∠BOC=180°，化简得：x+y=180°－∠BOC，代入上式得：∠A+2∠BOC=180°，即：∠BOC=90°－12A ∠【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的性质，解题关键是利用方程思想，结合三角形内角和关系转化为方程的形式求解．15．（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】【分析】（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求解；（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.【详解】（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝12∠ADB，∠AEC＝12∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝1(ADB AEB)2∠+∠＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【点睛】本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.16．（1）证明见解析；（2）6.【解析】【分析】（1）先证明△BDF≌△CDN，得出∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，同时再证明△DMN≌△DMF，得出MN＝MF＝MB＋BF＝MB＋CN.（2）根据MN＝MB＋CN，得出△AMN的周长为AM＋AN＋MN＝AM＋MB＋AN＋CN＝AB＋AC＝6.【详解】解：(1)∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB 至F ，使BF ＝CN ，连接DF ，由SAS 可证△BDF ≌△CDN ，∴∠BDF ＝∠CDN ，DF ＝DN ，∵∠MDN ＝60°，∴∠FDM ＝∠BDM ＋∠CDN ＝60°，由SAS 可证△DMN ≌△DMF ，∴MN ＝MF ＝MB ＋BF ＝MB ＋CN(2)由(1)知MN ＝MB ＋CN ，∴△AMN 的周长为AM ＋AN ＋MN ＝AM ＋MB ＋AN ＋CN ＝AB ＋AC ＝6【点睛】本题属于开放性应用题，适当的构建三角形是解题的关键.题中构建辅助线的方法是“延长AB 至F ，使BF ＝CN ，连接DF ”，这是本题的重点.17．（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==．（3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合；②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．18．()130°；（2）见解析.【解析】【分析】（1）先推出△ABC 是等边△ABC ，再根据等边三角形的性质得到∠ACB=∠ABC=60°，然后根据等边对等角可得：∠E=∠CDE ，最后根据外角的性质可求∠E 的度数；（2）连接BD ，由等边三角形的三线合一的性质可得：11603022∠=∠=︒︒⨯=DBC ABC ，结合（1）的结论可得：∠DBC=∠E ，然后根据等角对等边，可得：DB=DE ，最后根据等腰三角形的三线合一的性质可得：M 是BE 的中点．【详解】（1）解：∵ABC 中，AB BC =，60B ∠=︒∴三角形ABC 是等边△ABC ，∴∠ACB=∠ABC=60°，又∵CE=CD ，∴∠E=∠CDE ，又∵∠ACB=∠E+∠CDE ， ∴1302E ACB ∠=∠=︒；（2）证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点， ∴11603022∠=∠=︒︒⨯=DBC ABC 由（1）知∠E=30°∴∠DBC=∠E=30°∴DB=DE又∵DM ⊥BC∴M 是BE 的中点．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质的解题的关键．19．（1）见解析；（2）6【解析】【分析】(1)根据等边三角形的性质得到AB=BC ，∠BAC=∠ABC ，且AD=BE 则可得出△ABD ≌△BCE ，再利用全等三角形的性质即可得到答案；(2)根据（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE 得到∠FPC 的度数，再根据有一个角是30°的直角三角形的性质即可得到答案；【详解】解：（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴ AB=BC ，∠BAC=∠ABC=60º，又∵AD=BE ，在△ABD 和△BCE 中，AB BC BAC ABC AD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴BD=CE（2）由（1）可知∠ABC=60º，△ABD ≌△BCE ，∴∠ABD=∠BCE ，∴∠ABD+∠CBD =∠ABC=60º，∴∠BCE+∠CBD =60º，∴∠BPC =180º-60º=120º（三角形内角和定理），∴∠FPC =180º-120º=60º，∵CF ⊥BD ，∴△CPF 为直角三角形，∴∠FCP =30º，∴CP=2PF ，∵PF=3，∴CP=6【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、有一个角是30°的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．20．（1）103秒；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）经过分析当△ADE 是直角三角形时，只有∠ADE=90°的情况，此时∠AED=30°．用运动时间t 表示出AD 和AE ，根据30度直角三角形的性质构造关于t 的方程即可求解；（2）过D 点作DK ∥AB 交BC 于点K ，证明△DKP ≌△EBP 即可说明点P 始终是线段DE 的中点．【详解】解：（1）ADE ∆中，60A ∠=︒，60AED ABC ∠≤∠=︒所以若ADE ∆是直角三角形，只能90ADE ∠=︒Rt ADE ∆中，60A ∠=︒得，∠AED=30°∴2AE AD =设D 点运动时间为t ，则E 点运动时间也为t ．∴10AD t =-，10AE t =+∴102(10)t t +=-，解得103t = 所以当ADE ∆是直角三角形时，D ，E 两点运动时间为103秒．（2）过点D 作//DK AB 交BC 于点K∵等边三角形ABC ∆中．60A ∠=︒，60C ∠=°且//DK AB∴60C CDK CKD ∠=∠=∠=︒∴CDK ∆为等边三角形∴CD DK CK ==，120DKB ADK CBE ∠=︒=∠=∠设D ，E 运动时间为t 秒，则CD BE t ==在DKP ∆与EBP ∆中DPK EPB DKP EBP DK BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DKP EBP AAS ∆∆≌∴PD PE =∴P 始终为DE 的中点【点睛】本题主要考查了等边三角形、全等三角形的判定和性质，用运动时间t 正确表示出对应线段长度是解题的关键．21．（1）△ODE 是等边三角形；理由见解析；（2）BD=DE=EC ，理由见解析；【解析】【分析】（1）根据平行线的性质及等边三角形的性质可得到△ODE 是等边三角形；（2）根据角平分线的性质及平行线的性质可得到∠DBO=∠DOB ，根据等角对等边可得到DB=DO ，同理可证明EC=EO ，因为DE=OD=OE ，所以BD=DE=EC ．【详解】解：（1）△ODE 是等边三角形，其理由是：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵OD ∥AB ，OE ∥AC ，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°∴△ODE 是等边三角形；（2）答：BD=DE=EC ，其理由是：∵OB 平分∠ABC ，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°，∵OD ∥AB ，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO，同理，EC=EO，∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．【点睛】等边三角形的判定与性质．22．（1）见详解（2）4【解析】【分析】（1）由AB=AC，可知∠B=∠C，再由DE⊥BC，可知∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90，然后余角的性质可推出∠F=∠BDE，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出∠F=∠FDA，于是得到结论；（2）根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论．【详解】证明：（1）∵AB=AC∴∠B=∠C，∵FE⊥BC，∴∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°，∴∠F=∠BDE，又∵∠BDE=∠FDA，∴∠F=∠FDA，∴AF=AD，∴△ADF是等腰三角形；（2）∵DE⊥BC，∴∠DEB=90°,∵∠B=60°,BD=4，∴BE=12BD=2∵AB=AC∴△ABC是等边三角形，∴BC=AB=AD+BD=6，∴EC=BC-BE=4【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、余角的性质、对顶角的性质等，根据余角性质求得相等的角是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=12 AD；（2）首先过点D作DH∥BC交AC于点H，证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；（3）由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S△ADG=S△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可证得S△DGF=S△ADG+S△ECF．【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵DG⊥AC，∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，∴AG=12 AD；（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB=∠A=60°，∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，∴△ADH 是等边三角形，∴DH=AD ，∵AD=CE ，∴DH=CE ，在△DHF 和△ECF 中，FDH E DFH EFC DH CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DHF ≌△ECF （AAS ），∴DF=EF（3）∵△ABC 是等边三角形，DG ⊥AC ，∴AG=GH ，∴S △ADG =S △HDG ，∵△DHF ≌△ECF ，∴S △DHF =S △ECF ，∴S △DGF =S △DGH +S △DHF =S △ADG +S △ECF ．【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．24．（1）见详解；（2）△CEF 是等边三角形，理由见详解．【解析】【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN ，△MCB 两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN 与线段BM 相等．（2）平角的定义得出∠MCN ＝60°，通过证明△ACE ≌△MCF 得出CE ＝CF ，根据等边三角形的判定得出△CEF 的形状．【详解】（1）证明：∵△ACM 与△CBN 都是等边三角形，∴AC ＝MC ，CN ＝CB ，∠ACM ＝∠BCN ＝60°．∴∠MCN ＝180°－∠ACM －∠BCN ＝60°，∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ，即：∠ACN ＝∠MCB ，在△ACN 和△MCB 中AC MC ACN MCB NC BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACN ≌△MCB （SAS ）．∴AN ＝BM ．（2）解：△CEF 是等边三角形，理由如下：∵∠ACM ═60°，∠MCN ＝60°，∴∠ACM ＝∠MCN ，∵△ACN ≌△MCB ，∴∠CAE ＝∠CMB ．在△ACE 和△MCF 中CAE CMF AC MC ACE FCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACE ≌△MCF （ASA ）．∴CE ＝CF ．又∵∠MCN ＝60°，∴△CEF 的形状是等边三角形．【点睛】本题考查了SAS ﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA ﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．25．见解析【解析】【分析】如图，作线段CD 的垂直平分线EF ，作∠AOB 的平分线OM ，OM 交EF 于点P ，点P 即为所求．【详解】如图，作线段CD的垂直平分线EF，作∠AOB的平分线OM，OM交EF于点P，点P即为所求．【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．（1）5；（2）4【解析】【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB、EA＝EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；（2）根据三角形的周长公式求出OB+OC，根据线段垂直平分线的性质得到OB＝OC，计算即可．【详解】解：（1）∵DM是线段AB的垂直平分线，∴DA＝DB，同理，EA＝EC，∵△ADE的周长5，∴AD+DE+EA＝5，∴BC＝DB+DE+EC＝AD+DE+EA＝5（cm）；（2）∵△OBC的周长为13，∴OB+OC+BC＝13，∵BC＝5，∴OB+OC＝8，∵OM垂直平分AB，。

三角形全等的判定(6种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

三角形全等的判定（6种题型）【知识梳理】一、全等三角形判定——“边边边”全等三角形判定——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .二、全等三角形判定——“边角边”1. 全等三角形判定——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.三、垂直平分线：1.定义：垂直于一条线段,并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线.2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等四、全等三角形判定——“角边角”全等三角形判定——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）.要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .五、全等三角形判定——“角角边” 1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”）要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.六、角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.【考点剖析】题型一、全等三角形的判定——“边边边”例1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 用全等三角形的性质和判定.【变式】已知：如图，AD ＝BC ，AC ＝BD.试证明：∠CAD ＝∠DBC.【答案】证明：连接DC ，在△ACD 与△BDC 中()AD BC AC BDCD DC ⎧=⎪=⎨⎪=⎩公共边 ∴△ACD≌△BDC（SSS ）∴∠CAD ＝∠DBC （全等三角形对应角相等）【变式2】、如图，在△ABC 和△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：∠BAD ＝∠CAE.【答案与解析】证明：在△ABD 和△ACE 中，AB AC AD AE BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE （SSS ）∴∠BAD ＝∠CAE （全等三角形对应角相等）.【总结升华】把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的判定和性质. 要证∠BAD ＝∠CAE ，先找出这两个角所在的三角形分别是△BDA 和△CAE ，然后证这两个三角形全等.题型二、全等三角形的判定——“边角边”例2、已知：如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2．求证：BC ＝DE ．【思路点拨】由条件AB ＝AD ，AC ＝AE ，需要找夹角∠BAC 与∠DAE ，夹角可由等量代换证得相等.【答案与解析】证明： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠DAE在△ABC 和△ADE 中AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ADE （SAS ）∴BC ＝DE （全等三角形对应边相等）【总结升华】证明角等的方法之一：利用等式的性质，等量加等量，还是等量.【变式】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A 、B 、D 三点共线，AB ＝CB ，EB ＝DB ，∠ABC ＝∠EBD ＝90°），连接AE 、CD ，试确定AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论．【答案】AE ＝CD ，并且AE ⊥CD证明：延长AE 交CD 于F ，∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形∴AB ＝BC ，BD ＝BE在△ABE 和△CBD 中90AB BC ABE CBD BE BD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△CBD （SAS ）∴AE ＝CD ，∠1＝∠2又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等）∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC ＝90°∴AE ⊥CD例3、如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD ．【思路点拨】延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．通过证全等将AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．利用三角形两边之和大于第三边解决问题.【答案与解析】证明：如图，延长AD 到点E ，使AD ＝DE ，连接CE ．在△ABD 和△ECD 中，AD DE ADB EDC BD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝．∴△ABD ≌△ECD （SAS ）．∴AB ＝CE ．∵AC ＋CE ＞AE ，∴AC ＋AB ＞AE ＝2AD ．即AC ＋AB ＞．【总结升华】证明边的大小关系主要有两个思路：（1）两点之间线段最短；（2）三角形的两边之和大于第三边．要证明AB ＋AC ＞2AD ，如果归到一个三角形中，边的大小关系就是显然的，因此需要转移线段，构造全等三角形是转化线段的重要手段．可利用旋转变换，把△ABD 绕点D 逆时针旋转180°得到△CED ，也就把AB 转化到△CEA 中，同时也构造出了2AD ．若题目中有中线，倍长中线，利用旋转变换构造全等三角形是一种重要方法．例4、已知，如图：在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，AD ⊥BC ，求证：AB ＝CD －BD ．【思路点拨】在DC 上取一点E ，使BD ＝DE ，则△ABD ≌△AED ，所以AB ＝AE ，只要再证出EC ＝AE 即可．【答案与解析】证明：在DC 上取一点E ，使BD ＝DE∵ AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADE在△ABD 和△AED 中，BD DE ADB=ADE AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝∠∠＝∴△ABD ≌△AED （SAS ）．∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AED ．又∵∠B ＝2∠C ＝∠AED ＝∠C ＋∠EAC ．∴∠C ＝∠EAC ．∴AE ＝EC ．∴AB ＝AE ＝EC ＝CD —DE ＝CD —BD ．【总结升华】此题采用截长或补短方法.上升到解题思想，就是利用翻折变换，构造的全等三角形，把条件集中在基本图形里面，从而使问题加以解决．如图，要证明AB ＝CD －BD ，把CD －BD 转化为一条线段，可利用翻折变换，把△ABD 沿AD 翻折，使线段BD 运动到DC 上，从而构造出CD －BD ，并且也把∠B 转化为∠AEB ，从而拉近了与∠C 的关系.【变式】已知，如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，并且AE ＝12（AB ＋AD ），求证：∠B ＋∠D ＝180°. AE D CB【答案】证明：在线段AE 上，截取EF ＝EB ，连接FC ，∵CE ⊥AB ，∴∠CEB ＝∠CEF ＝90°在△CBE 和△CFE 中，CEB CEF EC =EC EB EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△CBE 和△CFE （SAS ）∴∠B ＝∠CFE∵AE ＝12（AB ＋AD ），∴2AE ＝ AB ＋AD ∴AD ＝2AE －AB∵AE ＝AF ＋EF ，∴AD ＝2（AF ＋EF ）－AB ＝2AF ＋2EF －AB ＝AF ＋AF ＋EF ＋EB －AB ＝AF ＋AB －AB ，即AD ＝AF在△AFC 和△ADC 中(AF AD FAC DAC AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩角平分线定义）∴△AFC ≌△ADC （SAS ）∴∠AFC ＝∠D∵∠AFC ＋∠CFE ＝180°，∠B ＝∠CFE.∴∠AFC ＋∠B ＝180°，∠B ＋∠D ＝180°.题型三、全等三角形的判定——“角边角”例5、已知：如图，E ，F 在AC 上，AD ∥CB 且AD ＝CB ，∠D ＝∠B ．求证：AE ＝CF ．【答案与解析】证明：∵AD ∥CB∴∠A ＝∠C在△ADF 与△CBE 中A C AD CB D B ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADF ≌△CBE （ASA ）∴AF ＝CE ，AF ＋EF ＝CE ＋EF故得：AE ＝CF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】（2022•长安区一模）已知：点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE ＝CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先利用平行线的性质得到∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，再证明BC＝EF，然后根据“ASA”可判断△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，{∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）．5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件．例6、如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E.请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；然后证明：当AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG时，DE＝BF.【思路点拨】通过已知条件证明∠DAC＝∠C，∠CBF＝∠ADG，则可证△DAE≌△BCF【答案与解析】证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠C∵BF平分∠ABC∴∠ABC＝2∠CBF∵∠ABC＝2∠ADG∴∠CBF＝∠ADG在△DAE 与△BCF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠C DAC BCAD CBF ADG ∴△DAE≌△BCF（ASA ）∴DE＝BF【总结升华】利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下：(1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形；(2)证明这两个三角形全等；(3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．【变式】已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM.【答案】证明：∵MQ 和NR 是△MPN 的高，∴∠MQN ＝∠MRN ＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝∠2在△MPQ 和△NHQ 中，12MQ NQ MQP NQH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MPQ ≌△NHQ （ASA ）∴PM ＝HN题型四、全等三角形的判定——“角角边”例7.（2021秋•苏州期末）如图，在四边形ABCD 中，E 是对角线AC 上一点，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠ACD ，∠CED +∠B ＝180°．求证：△ADE ≌△CAB ．【分析】由等角对等边可得AC＝AD，再由平行线的性质可得∠DAE＝∠ACB，由∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，得∠AED＝∠B，从而利用AAS可判定△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，{∠DAE=∠ACB ∠AED=∠BAD=AC，∴△ADE≌△CAB（AAS）．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，解答的关键是由已知条件得出相应的角或边的关系．例8、已知：如图，AB⊥AE，AD⊥，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．【思路点拨】要证AC＝AD，就是证含有这两个线段的三角形△BAC≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，∴∠CAD＝∠BAE＝90°∴∠CAD＋∠DAB＝∠BAE＋∠DAB ，即∠BAC＝∠EAD在△BAC和△EAD中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．题型五：线段的垂直平分线例9．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图所示，在ABC 中，8AC =，5BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则BCE 的周长为（）A ．13B ．18C ．10.5D ．21【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE BE =，再将BCE 的周长转化为AC BC +的长，即可求解.【详解】解：DE 是AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∴BCE 的周长为BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+，8AC =，5BC =，∴BCE 的周长为8513AC BC +=+=，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式1】（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，点D 是ABC 边AC 的中点，过点D 作AC 的垂线交BC 于点E ，已知6AC =，ABC 的周长为14，则ABE 的周长是（）A ．6B ．14C ．8D ．20【答案】C 【分析】由题意可知：ED 垂直平分AC ,故EA EC =，结合6AC =，ABC 的周长为14，即可得出答案．【详解】解：∵点D 是ABC 边AC 的中点， ED AC ⊥,∴ED 垂直平分AC ,∴EA EC =，∵6AC =，ABC 的周长为14，∴1468AB BC +=−=,∴8AB BC AB BE EC AB BE AE +=++=++=,∴ABE 的周长是8．故选：C ．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质和判定，掌握垂直平分线的性质和判定是解题的关键．【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质可知，到A ，B ，C 表示三个居民小区距离相等的点，是AC ，BC 两边垂直平分线的交点，由此即可求解．【详解】解：如图所示，分别作AC ，BC 两边垂直平分线MN ，PQ 交于点O ，连接OA，OB，OC，∵MN，PQ是AC，BC两边垂直平分线，==，∴OA OB OC∴点O是到三个小区的距离相等的点，即点O是AC，BC两边垂直平分线的交点，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．八年级专题练习）如图，在ABC中，是ABC外的一点，且【分析】根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，即可证明A、D都在BC的垂直平分线上，由此即可证明结论．AB AC，【详解】证明：∵=∴点A在BC的垂直平分线上，BD CD，∵=∴点D在BC的垂直平分线上，∴A、D都在BC的垂直平分线上，∴AD垂直平分BC．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知线段垂直平分线的判定条件是解题的关键．【变式】．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，点E是△ABC的边AB的延长线上一点，∠BCE＝∠A＋∠ACB，求证：点E在BC的垂直平分线上．【分析】由三角形的外角性质得到∠EBC=∠A+∠ACB，结合已知推出∠BCE=∠EBC，得到BE=CE，即可得到结论．【详解】证明：∵∠BCE=∠A+∠ACB，∠EBC=∠A+∠ACB，∴∠BCE=∠EBC，∴BE=CE，∴点E在BC的垂直平分线上．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，线段垂直平分线的判定，用到的知识点：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．题型六：角平分线【答案】A【分析】根据角平分线上的点到两边的距离相等即可解答．【详解】根据题意要使集贸市场到三条公路的距离相等即集贸市场应建在三个角的角平分线的交点．故本题选A ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解答本题的关键．的中点，ABC ，则BED 的面积为（【答案】C【分析】作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点M ，根据角平分线的性质求出DM ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥于点MAD 是ABC 的角平分线DF AC ⊥于F ，DM AB ⊥，112122AC DF AB DM ∴⋅+⋅=，112122AC DM AB DM ⋅+⋅=∴即：3421DM DM +=得3DM =8AB =， E 是AB 的中点，142BE AB ∴== 1143622BEDS BE DM ∴=⋅=⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．(1)若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论；(2)线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．【答案】(1)AM 平分BAD ∠，证明见解析(2)DM AM ⊥，理由见解析【分析】（1）过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，证明ME MC MB ==即可得证．（2）利用两直线平行，同旁内角互补，证明1390∠+∠=．【详解】（1）AM 平分BAD ∠，理由为：证明：过点M 作ME AD ⊥，垂足为E ，∵DM 平分ADC ∠，∴12∠=∠，∵ME AD ⊥，MC CD ⊥∴MC ME =（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵MC MB =，∴ME MB =，∵MB AB ⊥，ME AD ⊥，∴AM 平分BAD ∠（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2）DM AM ⊥，理由如下：∵90B C ∠=∠=，∴,DC CB AB CB ⊥⊥，∴DC AB ∥（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴180DAB CDA ∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）又∵111,322CDA DAB ∠=∠∠=∠（角平分线定义） ∴2123180∠+∠=，∴1390∠+∠=，∴90AMD ∠=．即DM AM ⊥．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理和判定定理，平行线的性质，熟练掌握以上的知识是解题的关键．【变式1】（2023秋·浙江台州·八年级统考期末）如图 90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠．(1)求AED ∠的度数；(2)求证：E 是BC 的中点．【答案】(1)90︒(2)见解析．【分析】（1）利用已知条件可以得到180BAD CDA ∠+∠=︒，想要求AED ∠的度数，只需要根据三角形内角和定理和角平分线的性质即可得到结论．（2）过点E 做EF AD ⊥，根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可得结论．【详解】（1）解：∵90B C ∠=∠=︒，∴DC AB ∥，∴180BAD CDA ∠+∠=︒，∵AE 平分BAD ∠，DE 平分CDA ∠， ∴12EAD BAD ∠=∠，12EDA CDA ∠=∠， ∴1()902EAD EDA BAD CDA ∠+∠=∠+∠=︒，∴180()90AED EAD EDA ∠=︒−∠+∠=︒；（2）证明：过点E 作EF AD ⊥于点F ，∵AE 平分BAD ∠，90B Ð=°，EF AD ⊥，∴EF EB =．∵DE 平分CDA ∠，90C ∠=︒，EF AD ⊥，∴EF EC =．∴EB EC =，即E 是BC 的中点．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，以及角平分线上的点到角两边距离相等的性质，熟记性质和定理并做出辅助线是解题的关键．【变式2】．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在ABC 外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中90DAB CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =．连接DC 、BE 交于F 点．(1)求证：DAC BAE ≌△△； (2)直线DC 、BE 是否互相垂直，试说明理由；(3)求证：AF 平分DFE ∠．【答案】(1)见解析(2)DC BE ⊥，理由见解析(3)见解析【分析】（1）由题意可得AD AB =，AC AE =，由90DAB CAE ∠=∠=︒，可得到DAC BAE ∠=∠，从而可证DAC BAE ≌△△；（2）由（1）可得ACD AEB ∠=∠，再利用直角三角形的性质及等量代换即可得到结论；（3）作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，利用全等三角形的面积相等及角平分线的判定即可证得结论．【详解】（1）证明：∵90DAB CAE ∠=∠=︒，∴DAB BAC CAE BAC ∠+∠=∠+∠，即DAC BAE ∠=∠，又∵AD AB =，AC AE =，∴()SAS DAC BAE ≌△△；（2）解：DC BE ⊥，理由如下；∵DAC BAE ≌△△， ∴ACD AEB ∠=∠，∵90AEB AOE ∠+∠= ，AOE FOC ∠=∠，∴90FOC ACD ∠+∠=，∴90EFC ∠=，∴DC BE ⊥；（3）证明：作AM DC ⊥于M ，AN BE ⊥于N ，∵DAC BAE ≌△△， ∴DAC BAE S S ∆∆=，DC BE =， ∴1122DC AM BE AN ⋅=⋅，∴AM AN =，∴AF 平分DFE ∠．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，及直角三角形的性质，角平分线的判定，熟练掌握判定和性质是解决本题的关键．【变式3】（2023春·浙江金华·八年级浙江省义乌市后宅中学校考阶段练习）已知：OP 平分MON ∠，点A ，B 分别在边OM ，ON 上，且180OAP OBP ∠∠+=︒．(1)如图1，当90OAP ∠=︒时，求证：OA OB =；(2)如图2，当90OAP ∠<︒时，作PC OM ⊥于点C ．求证：①PA PB =；②请直接写出OA ，OB ，AC 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2OA OB AC −=【分析】（1）证明()AAS OPA OPB ≌，即可得证；（2）①作PD ON ⊥于点D ，证明()AAS PAC PBD ≌，即可得证； ②证明()AAS OCP ODP ≌，得出OD =，根据AC BD =，即可得证．【详解】（1）证明：180OAP OBP ∠∠+=︒，且90OAP ∠=︒，90OAP OBP ∠∠∴==︒，OP 平分MON ∠，POA POB ∠∠∴=，OP OP =，()AAS OPA OPB ∴≌，OA OB ∴=；（2）证明：①如图2，作PD ON ⊥于点D ，PC OM ⊥于点C ，PC PD ∴=，90PCA PDB OCP ∠∠∠===︒，180OAP OBP ∠∠+=︒，180DBP OBP ∠∠+=︒，OAP DBP ∠∠∴=，在PAC 和PBD 中，CAP DBP PCA PDBPC PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AAS PAC PBD ∴≌， PA PB ∴=；②结论：2OA OB AC −=．理由：在OCP 和ODP 中，OCP ODP COP DOP OP OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS OCP ODP ∴≌，OC OD ∴=，OA AC OB BD ∴−=+，AC BD =，2OA OB AC BD AC ∴−=+=．故答案为：2OA OB AC −=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【过关检测】一、单选题 1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边AC 上一点，3DA =，若点D 到BC 的距离为3，则下列关于点D 的位置描述正确的是（）A ．点D 是AC 的中点B ．点D 是B ∠平分线与AC 的交点 C ．点D 是BC 垂直平分线与AC 的交点D ．点D 与点B 的距离为5【答案】B 【分析】作DE BC ⊥于E ，连接BD ，利用角平分线的判定定理可证明BD 是ABC ∠的角平分线，即可作答．【详解】解：如图所示：作DE BC ⊥于E ，连接BD ，∵3DA =，点D 到BC 的距离为3，∴=AD DE ，∵90A ∠=︒，∴DA BA ⊥，∵DE BC ⊥，∴BD 是ABC ∠的角平分线，即点D 是ABC ∠的角平分线与AC 的交点，故B 项正确；其余选项，利用现有条件均无法得出，故选：B ．【点睛】本题主要考查了角平分线的判定定理，作出辅助线，证明BD 是ABC ∠的角平分线，是解答本题的关键． 2．（2023·浙江·九年级专题练习）如图，已知BF DE =，AB ∥DC ，要使ABF CDE ≅△△，添加的条件可以是（）A．BE DF =B ．AF CE =C ．AB CD = D ．B D ∠=∠【答案】C 【分析】根据AB ∥DC ，可得B D ∠=∠，又BF DE =，所以添加AB CD =，根据SAS 可证ABF CDE ≅△△．【详解】解：应添加AB DC =，理由如下：AB ∥DC ，B D ∴∠=∠．在ABF △和CDE 中，AB CD B DBF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(SAS)ABF CDE ∴≅，故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．3．（2023·浙江金华·统考二模）如图，ABC 和DEF 中，AB DE ∥，A D ∠=∠，点B ，E ，C ，F 共线，添加一个条件，不能判断ABC DEF ≌△△的是（）A ．AB DE =B ．ACB F ∠=∠C ．BE CF =D ．AC DF =【答案】B 【分析】根据AB DE ∥可得B DEF ∠=∠，加上A D ∠=∠，可知ABC 和DEF 中两组对角相等，因此一组对边相等时，即可判断ABC DEF ≌△△．【详解】解：AB DE ∥，∴B DEF ∠=∠，又A D ∠=∠，∴ABC 和DEF 中两组对角相等，当AB DE =时，根据ASA 可证ABC DEF ≌△△，故A 选项不合题意；当ACB F ∠=∠时，ABC 和DEF 中，三组对角相等，不能判断ABC DEF ≌△△，故B 选项符合题意；当BE CF =时，BC EF =，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故C 选项不合题意；当AC DF =时，根据AAS 可证ABC DEF ≌△△，故D 选项不合题意；故选B ．【点睛】本题考查添加条件使三角形全等，解题的关键是熟练掌握全等三角形的各种判定方法．．ABC 的三条中线的交点．ABC 三边的垂直平分线的交点．ABC 三条角平分线的交点．ABC 三条高所在直线的交点【答案】C【分析】角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此可解．【详解】解：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭应在ABC 三条角平分线的交点处．故选C ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交点之间的区别． 5．（2020秋·浙江·八年级期末）如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ，若7ABC S =△，2DE =，4AB =，则AC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【分析】先根据角平分线的性质得到2DF DE ==，再利用三角形面积公式得到11242722AC ⨯⨯+⨯⨯=，然后解关于AC 的方程即可．【详解】解：∵AD 是BAC ∠的平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，2DE =，∴2DF DE ==，∵7ABC S =△，4AB =，又∵ABD ACD ABC S S S +=△△△，∴111124272222AB DE DF AC AC ⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=，∴3AC =．故选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．理解和掌握角平分线的性质是解题的关键．本题也考查了三角形的面积及等积变换．6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，用B C ∠=∠，12∠=∠，直接判定ABD ACD ≌△△的理由是（）A ．AASB ．SSSC ．ASAD ．SAS【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法判定即可．【详解】解：在ABD △和ACD 中，12B CAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()AAS ABD ACD ≌，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握证明全等三角形的几种证明方法：AAS 、ASA 、SSS 、SAS 、HL ．A ．2B ．【答案】C 【分析】由FC AB ∥，得F ADE ∠=∠,FCE A ∠=∠，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明CFE ADE ≅，则4CF AD AB BD ==−=．【详解】解：FC AB ∥，F ADE ∴∠=∠，FCE A ∠=∠，在CFE 和ADE V 中，F ADE FCE AFE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS CFE ADE ∴≅， CF AD ∴=，5AB =，1BD =，514AD AB BD ∴=−=−=，4CF ∴=，CF ∴的长度为4．故选：C ．【点睛】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明CFE ADE ≅是解题的关键．A ．SSS【答案】B 【分析】根据已知条件两边，及两边的夹角是对顶角解答．【详解】解：在AOB 和COD △中，OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB COD SAS ∴≌．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，准确识图判断出两组对应边的夹角是对顶角是解题的关键． 9．（2022秋·浙江嘉兴·九年级校考期中）在联欢会上，有A 、B 、C 三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩“抢凳子”游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在ABC 的（）A ．三边垂直平分线的交点B ．三杂中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条高所在直线的交点【答案】A【分析】根据题意可知，当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，再由线段垂直平分线的性质即可求解．【详解】解：由题意可得：当木凳所在位置到A 、B 、C 三个顶点的距离相等时，游戏公平，∵线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，∴木凳应放的最适当的位置是在ABC 的三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质的应用，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．）可说明ABC 与△ 【答案】A 【分析】先根据垂直的定义可得90ACB ADB ∠=∠=︒，再根据角平分线的定义可得CAB DAB ∠=∠，然后根据AAS 定理即可得．【详解】解：,BC AC BD AD ⊥⊥，90ACB ADB ∴∠=∠=︒，AB 平分CAD ∠，CAB DAB ∴∠=∠，在ABC 和ABD △中，90ACB ADB CAB DABAB AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABC ABD ∴≌，故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．二、填空题【答案】CA FD =，B E ∠=∠，A D ∠=∠，AB DE ∥等【分析】可选择CA FD =添加条件后，能用SAS 进行全等的判；也可选择B E ∠=∠添加条件后，能用ASA 进行全等的判定；也可选择A D ∠=∠添加条件后，能用AAS 进行全等的判定；也可选择AB DE ∥添加条件后，能用ASA 进行全等的判定即可；【详解】解：添加CA FD =，∵12∠=∠，BC EF =，∴()SAS ABC DEF ≌△△，故答案为：CA FD =；或者添加B E ∠=∠，∵BC EF =，12∠=∠，∴()ASA ABC DEF ≌△△，故答案为：B E ∠=∠；或者添加A D ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：A D ∠=∠；或者添加AB DE ∥，∵AB DE ∥，∴B E ∠=∠，∵12∠=∠，BC EF =，∴()AAS ABC DEF ≌△△，故答案为：AB DE ∥．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解答本题关键是掌握全等三角形的判定定理，本题答案不唯一．【答案】AB DC =【分析】添加条件AB DC =，利用SAS 证明ABC DCB △≌△即可．【详解】解：添加条件AB DC =，理由如下：在ABC 和DCB △中，AB DC ABC DCBBC CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ABC DCB △≌△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有SSS SAS AAS ASA HL ，，，，． 13．（2023秋·浙江湖州·八年级统考期末）如图，已知AC DB =，要使得ABC DCB ≅，根据“SSS”的判定方法，需要再添加的一个条件是_______．【答案】ABDC =【分析】要使ABC DCB ≅，由于BC 是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS 判定其全等．【详解】解：添加AB DC =．在ABC 和DCB △中AB DC BC CB AC BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴()ABC DCB SSS ≅△△，故答案为：AB DC =．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．14．（2022秋·浙江丽水·八年级统考期末）如图，在ABC 中，CD 是边AB 上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，6BC =，若BCE 的面积为9，则DE 的长为______．【答案】3【分析】过E 作EF BC ⊥于F ，根据角平分线性质求出EF DE =，根据三角形面积公式求出即可．【详解】解：过E 作EF BC ⊥于F ，CD 是AB 边上的高，BE 平分ABC ∠，交CD 于点E ，DE EF ∴=，192BCE S BC EF =⋅=，1692EF ∴⨯⨯=，3EF DE ∴==，故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出3EF DE ==是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．八年级期末）如图，在ABC 中，【答案】4【分析】根据线段垂直平分线的性质得到2AD BD ==，则4CD AC AD =−=．【详解】解：∵AB 的垂直平分线交AB 于点E ，交AC 于点D ，∴2AD BD ==，∵6AC =，∴4CD AC AD =−=，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 16．（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）如图，在ABC 中，DE 是AC 的中垂线，分别交AC ，AB 于点D ，E ．已知BCE 的周长为9，4BC =，则AB 的长为______．【答案】5【分析】先利用三角形周长得到5CE BE +=，再根据线段垂直平分线的性质得到EC EA =，然后利用等线段代换得到AB 的长．【详解】解：∵BCE 的周长为9，9CE BE BC ∴++=，又4BC =，5CE BE ∴+=，又DE 是AC 的中垂线，EC EA ∴=，5AB AE BE CE BE ∴=+=+=；故答案为：5．【点睛】本题考查了垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．17．（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，已知12∠=∠，要说明ABC BAD ≌，（1）若以“SAS ”为依据，则需添加一个条件是__________；（2）若以“ASA ”为依据，则需添加一个条件是__________．【答案】 BC AD = BAC ABD ∠=∠【分析】（1）根据SAS 可添加一组角相等，故可判定全等；（2）根据ASA 可添加一组角相等，故可判定全等；【详解】解：（1）已知一组角相等和一个公共边，以“SAS ”为依据，则需添加一组角，即BC AD =故答案为：BC AD =；（2）已知一组角相等，和一个公共边，以“ASA ”为依据，则需添加一组角，即BAC ABD ∠=∠．故答案为：BAC ABD ∠=∠．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．添加时注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等． 18．（2019秋·浙江嘉兴·八年级校考阶段练习）如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB=DE ，BE=CF ，AC=6，则DF=________【答案】6.【分析】根据题中条件由SAS 可得△ABC ≌△DEF ，根据全等三角形的性质可得AC=DF=6．【详解】∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF∵BE=CF ，∴BC=EF ，在△ABC 和△DEF 中，AB DE B DEFBC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ），∴AC=DF=6．考点：全等三角形的判定与性质．。

全等三角形证明经典50题(含答案)

全等三角形证明经典 50 题(含答案)
1. 已知：AB=4，AC=2，D 是 BC 中点，AD 是整数，求 AD A
A
D
B
D
C
C
B
2. 已知：D 是 AB 中点，∠ACB=90°，求证： CD
1 AB 2
3. 已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F 是 CD 中点，求证：∠1=∠2 A 12 B E A 12 F C D E C F D B
E
D C
F A B
13.已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C 14. P 是∠BAC 平分线 AD 上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB C
A
P B
D
15. 已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE
16. 已知，E 是 AB 中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求 DC D C B
A F B
E C D
30.公园里有一条“Z”字形道路 ABCD，如图所示，其中 AB∥CD，在 AB，CD，BC 三段路旁各有一只小石凳 E，F，M，且 BE＝CF，M 在 BC 的中点，试说明三只石凳 E，F，M 恰好在一条直线上.
32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F 分别是 DC、BC 的中点，求证： AE＝AF。
4. 已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC
5. 已知：AD 平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C A
6. 已知：AC 平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
12. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，BE、CE 分别平分∠ABC、∠BCD，且点 E 在 AD 上。求证：BC=AB+DC。

全等三角形经典题型50题(含答案)

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BD AC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠EDC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

(完整版)全等三角形基础练习及答案

全等三角形判断一一、选择题1. △ABC和△中，若AB＝，BC＝，AC＝.则（）A.△ABC≌△B. △ABC≌△C. △ABC≌△D. △ABC≌△2. 如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3. 下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4. 如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5. 如图，将两根钢条，的中点O连在一起，使，可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边6. 如图，已知AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，AB＝CD，BC＝ED，以下结论不正确的是（）A.EC⊥ACB.EC＝ACC.ED ＋AB ＝DBD.DC ＝CB二、填空题7. 如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD互相平分，则图中全等三角形共有_____对.9. 如图，在△ABC和△EFD中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD（SSS）10. 如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11. 如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠Ｃ＝______．12. 已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌______，△ADC≌ ______.三、解答题13. 已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC＝∠BCD，AD＝BC，求证：CO＝DO．14. 已知：如图，AB∥CD，AB＝CD．求证：AD∥BC．分析：要证AD∥BC，只要证∠______＝∠______，又需证______≌______．证明：∵ AB∥CD （），∴∠______＝∠______ （），在△______和△______中，∴Δ______≌Δ______ （）．∴∠______＝∠______ （）．∴ ______∥______（）．15. 如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.答案与解析一.选择题1. 【答案】B；【解析】注意对应顶点写在相应的位置.2. 【答案】D；【解析】连接AC或BD证全等.3. 【答案】D；4. 【答案】C；【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.5. 【答案】A；【解析】将两根钢条，的中点O连在一起，说明OA＝，OB＝，再由对顶角相等可证.6. 【答案】D；【解析】△ABC≌△EDC，∠ECD＋∠ACB＝∠CAB＋∠ACB＝90°，所以EC⊥AC，ED ＋AB ＝BC＋CD＝DB.二.填空题7. 【答案】66°；【解析】可由SSS证明△ABC≌△DCB，∠OBC＝∠OCB＝，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°．8. 【答案】4；【解析】△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA.9. 【答案】BC＝ED；10.【答案】56°；【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°．11.【答案】20°；【解析】△ABE≌△ACD（SAS）12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13.【解析】证明：在△ADC与△BCD中，14. 【解析】3，4；ABD，CDB；已知；1，2；两直线平行，内错角相等；ABD，CDB；AB，CD，已知；∠1＝∠2，已证；BD＝DB，公共边；ABD，CDB，SAS；3，4，全等三角形对应角相等；AD，BC，内错角相等，两直线平行.15.【解析】证明：在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（SSS）∴∠ABC＝∠DCB，在△ABE和△DCE中∴△ABE≌△DCE（SAS）∴AE＝DE.全等三角形判断二一、选择题1. 能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠ＥB．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠ＥC．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠ＤD．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠Ｅ2．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）图4－3A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙3．AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（）A．DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件不能判定△ABM≌△CDN的是（）A．∠M＝∠Ｎ B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN5. 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的方法是()A.带①去B.带②去C.带③去D.①②③都带去6．如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下面结论中错误的是（）A．△ADC≌△BCD B．△ABD≌△BACC．△ABO≌△CDO D．△AOD≌△BOC二、填空题7. 如图,∠1＝∠2，要使△ABE≌△ACE，还需添加一个条件是_________.(填上你认为适当的一个条件即可).8. 在△ABC和△中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠＝69°，∠＝44°，且AC＝，则这两个三角形_________全等.（填“一定”或“不一定”）9. 已知，如图，AB∥CD，AF∥DE，AF＝DE，且BE＝2，BC＝10，则EF＝________.10. 如图，AB∥CD，AD∥BC，OE＝OF，图中全等三角形共有______对.11. 如图, 已知：∠1 ＝∠2 , ∠3 ＝∠4 , 要证BD ＝CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根据是_________ ，再证△BDE ≌△_________，根据是_________．12. 已知:如图，∠B＝∠DEF，AB＝DE，要说明△ABC≌△DEF，（1）若以“ASA”为依据，还缺条件_________（2）若以“AAS”为依据，还缺条件_________（3）若以“SAS”为依据，还缺条件_________三、解答题13．阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C．那么△AOD与△COB 全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由．答：△AOD≌△COB．证明：在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB （ASA）．问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.15. 已知：如图, AB∥CD,OA ＝ OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE ＝ DF.求证：EB∥CF.答案与解析【答案与解析】一.选择题1. 【答案】D；【解析】A、B选项是SSA，没有这种判定，C选项字母不对应.2. 【答案】B；【解析】乙可由SAS证明，丙可由ASA证明.3. 【答案】C；【解析】可由AAS证全等，得到A、B、D三个选项是正确的.4. 【答案】C；【解析】没有SSA定理判定全等.5. 【答案】C；【解析】由ASA定理，可以确定△ABC.6. 【答案】C；【解析】△ABO与△CDO中，只能找出三对角相等，不能判定全等.二、填空题7. 【答案】∠B＝∠C；【解析】可由AAS来证明三角形全等.8. 【答案】一定；【解析】由题意，△ABC≌△，注意对应角和对应边.9. 【答案】6；【解析】△ABF≌△CDE，BE＝CF＝2，EF＝10－2－2＝6.10.【答案】5；【解析】△ABO≌△CDO，△AFO≌△CEO，△DFO≌△BEO，△AOD≌△COB，△ABD≌△CDB.11.【答案】ASA，CDE，SAS；【解析】△AEB ≌△AEC后可得BE＝CE.12.【答案】（1）∠A＝∠D；（2）∠ACB＝∠F；(3) BC＝EF.三、解答题13. 【解析】解：这位同学的回答及证明过程不正确.因为∠Ｄ所对的是AO，∠Ｃ所对的是OB，证明中用到了OA＝OB，这不是一组对应边，所以不能由ASA去证明全等.14.【解析】证明：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SSS）∴∠B＝∠D，在△ABO和△CDO中∴△ABO≌△CDO（AAS）∴AO＝OC，BO＝DO，AC与BD互相平分.15.【解析】证明：∵AB∥CD,∴∠CDO＝∠BAO在△OAB和△ODC中，∴△OAB≌△ODC（ASA）∴OC＝OB又∵AE ＝ DF，∴AE＋OA＝DF＋OD，即OE＝OF在△OCF和△OBE中∴△OCF≌△OBE（SAS）∴∠F＝∠E，∴CF∥EB.。

全等三角形经典题型50题(含答案解析)

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以三角形ABF和三ADBC角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DG E ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠E DC ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB ＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

全等三角形考试题及答案

全等三角形考试题及答案一、选择题1. 两个三角形全等的条件是：A. 两个角相等B. 三条边相等C. 两边夹一角相等D. 两角夹一边相等答案：D2. 已知△ABC≌△DEF，其中AB=DE，AC=DF，∠A=∠D，那么BC与EF 的关系是：A. BC=EFB. BC>EFC. BC<EFD. 不能确定答案：A二、填空题1. 如果两个三角形的对应边成比例，且对应角相等，则这两个三角形______。

答案：相似2. 在△ABC中，∠A=∠B=50°，则∠C=______。

答案：80°三、解答题1. 已知△ABC≌△DEF，且AB=5cm，BC=7cm，求DE的长度。

答案：DE=5cm2. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D=60°，∠B=∠E=50°，求∠C和∠F 的度数。

答案：∠C=∠F=70°四、证明题1. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D=90°，AB=DE，AC=DF，证明：BC=EF。

答案：根据直角三角形全等的判定定理HL，因为∠A=∠D，AB=DE，AC=DF，所以△ABC≌△DEF，因此BC=EF。

2. 已知△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E，证明：∠C=∠F。

答案：根据全等三角形对应角相等的性质，因为△ABC≌△DEF，所以∠C=∠F。

五、应用题1. 一块三角形的木板ABC需要与另一块三角形的木板DEF进行拼接，已知AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，∠B=∠E，判断两块木板是否可以拼接。

答案：可以拼接，因为根据SAS判定定理，△ABC≌△DEF。

2. 已知一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度数。

答案：因为AB=AC，所以∠B=∠C，又因为三角形内角和为180°，所以∠B=∠C=(180°-50°)/2=65°。

全等三角形常考题型及详细解答-很全面的保你满意

一、补充条件型试题[例1] （1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO 。

应添加的条件为__________（添加一个条件即可）∠A=∠B,∠A=∠C ，∠B=∠C ，∠B=∠D ，AB ∥CD￥(2)(05重庆中考题) 如图，已知∠ACB=∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是__________。

（只需填写一个你认为合适的条件即可）BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,∠A=∠D ，S △ABO=S △CDO(3)(06深圳中考题) 如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需要增加的一个条件是__________ AB=CD,或∠BCA=∠CBD(4)（04四川中考）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE ≌△ACD 的是（） =AE B.∠AEB=∠ADC =CD =AC 补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B 二、\三、组合条件型试题[例2] （05杭州中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以ABOC DA DB C| A D B C A DBADE、证明：①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF【解析：若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF ，则另外两个条件可选择①AB=DE ④BE=CF ，证明全等的理由是边角边定理。

此时的真命题是：在△ABC 和△DEF 中，B,E,C,F 在同一直线上，若∠ABC=∠DEF,AB=DE,BE=CF,则AC=DF.若所选条件中不含有③∠ABC=∠DEF ，则另外三个条件也可构成一个真命题，此时证明全等的理由是边边边定理。

全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)

全等三角形的的性质与判定难题50道1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．3．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AEDB （填“>”，“ <”或“=” )．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”，“ <”或“=” )．理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC ∆的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ．（1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= ，并证明你的猜想．6．如图，已知ABC ∆和CDE ∆均为等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，连接AD 、BE ，交CE 和AC 分别于G 、H 点，连接GH ．（1）请说出AD BE =的理由；（2）试说出BCH ACG ∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH ∆是什么特殊的三角形，并加以说明．7．如图，已知ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1/cm s ，点Q 运动的速度是2/cm s ，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断BPQ ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，BPQ ∆的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC 上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E 、C 重合时，该结论也一定成立．问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACD α∠=，则AFB ∠= （用含α的式子表示）；（3）将图4中的ACD ∆绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACD α∠=，则AFB ∠与α的有何数量关系？并给予证明．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连接11D E 、11E F 、11F D ，可得△111D E F 是等边三角形，此时△11AD F 的面积114S S =，△111D E F 的面积114S S =．（1）当2D 、2E 、2F 分别是等边ABC ∆三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时如图2，①求证：△222D E F 是等边三角形；②若用S 表示△22AD F 的面积2S ，则2S = ；若用S 表示△222D E F 的面积2S '，则2S '= ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当n D 、n E 、n F 分别是等边ABC ∆三边上的点，11n n n AD BE CF AB n ===+时，(n 为正整数）△n n n D E F 是三角形；若用S 表示△n n AD F 的面积n S ，则n S = ；若用S 表示△n n n D E F 的面积n S '，则n S '= ．11．如图，在等边ABC ∆的三边上分别取点D 、E 、F ，使AD BE CF ==．（1）试说明DEF ∆是等边三角形；（2）连接AE 、BF 、CD ，两两相交于点P 、Q 、R ，则PQR ∆为何种三角形？试说明理由．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．13．如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．（1）若60B ∠=︒，求C ∠的值；（2）求证：AD 是EAC ∠的平分线．14．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．15．如图．在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ．（1）试判定ODE ∆的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．16．如图，ABC ∆是等边三角形，DF AB ⊥，DE CB ⊥，EF AC ⊥，求证：DEF ∆是等边三角形．17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？ 18．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是高，并且AB 恰好是DE 的垂直平分线．求证：ADE ∆是等边三角形．19．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，C 为角平分线上一点，过点C 作CD OC ⊥，垂足为C ，交OB 于点D ，//CE OA 交OB 于点E ．（1）判断CED ∆的形状，并说明理由；（2）若3OC=，求CD的长．20．如图，在ABC∆中，AB AC=，120BAC∠=︒，D、F分别为AB、AC的中点，且DE AB⊥，FG AC⊥，点E、G在BC上，18BC cm=，求线段EG的长．（提示：需要添加辅助线）21．已知，如图，ABC∆是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD BE CF==．请你说明DEF∆是正三角形．22．如图所示，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，试问：ABC∆是等边三角形吗？请说明理由．23．如图，ABC∆为等边三角形，BD平分ABC∠，//DE BC．（1）求证：ADE∆是等边三角形；（2）求证：12AE AB=．24．如图ABC∆是等边三角形（1）如图①，//∆是等边三角形；DE BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：ADE（2）如图②，ADE∆仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断BEC∠的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．25．如图，E是AOB⊥，C、D是垂足，连接CD ∠的平分线上一点，EC OB⊥，ED OA交OE于点F，若60∠=︒．AOB（1）求证：OCD∆是等边三角形；（2）若5EF=，求线段OE的长．26．如图，ABCBCD CBE∠=∠=︒，BAC∆中，60∠=︒，点D、E分别在AB、AC上，30 BE、CD相交于点O，OG BC+=．OE OD OG⊥于点G，求证：227．如图，在ABC∠=∠=︒，EBC E∠，60∆中，AB AC=，D、E是ABC∆内两点，AD平分BAC若30=，则BC=cm．DE cmBE cm=，228．如图，已知ABC=，∆为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD∠，CE BD 求证：ADE∆为等边三角形．29．如图，ABC∆∠=︒，DE与ABC ∆为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作60ADE的外角平分线CE交于点E，连接AE，且CE BD∆是等边三角形．=．求证：ADE30．如图，在ABC+=．求ABD∠=︒，BD DC AB ∆中，AB AC=，D是三角形外一点，且60证：60∠=︒．ACD31．如图，在等边ABCOD AB，//OE AC．∠与ACB∠的平分线相交于点O，且//∆中，ABC（1）求证：ODE∆是等边三角形．（2）线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）32．已知：如图，在ABC∠=︒，BD是中线，延长BC至点E，使C E C D=．A=，60∆中，AB AC求证：DB DE=．33．如图，ABD∆和BCD∆均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足2+=．AE CF（1）求证：BDE BCF∆≅∆；（2）判断BEF∆的形状，并说明理由．34．已知：如图，四边形ABCD中，AB BC CD DA a∠=︒，M为BC上====，120BAD的点(M不与B、C重合），若AMN∆有一角等于60︒．（1）当M 为BC 中点时，则ABM ∆的面积为（结果用含a 的式子表示）；（2）求证：AMN ∆为等边三角形；（3）设AMN ∆的面积为S ，求出S 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．35．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将B O C ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ．（1）COD ∆是什么三角形？说明理由；（2）若21AO n =+，21AD n =-，2(OD n n =为大于1的整数），求α的度数；（3）当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？36．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点．（1）求证：AD BE =；（2）求DOE ∠的度数；（3）求证：MNC ∆是等边三角形．37．已知：在AOB ∆和COD ∆中，OA OB =，OC OD =．（1）如图①，若60AOB COD ∠=∠=︒，求证：①AC BD =②60APB ∠=︒．（2）如图②，若A O B C O D α∠=∠=，则AC 与BD 间的等量关系式为，APB ∠的大小为（直接写出结果，不证明）38．如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上一点，BD CE =，12∠=∠，试判断ADE ∆形状，并证明你的结论．39．等边ABC ∆边长为6，P 为BC 上一点，含30︒、60︒的直角三角板60︒角的顶点落在点P 上，使三角板绕P 点旋转．（1）如图1，当P 为BC 的三等分点，且PE AB ⊥时，判断EPF ∆的形状；（2）在（1）问的条件下，FE 、PB 的延长线交于点G ，如图2，求EGB ∆的面积；（3）在三角板旋转过程中，若2CF AE ==，()CF BP ≠，如图3，求PE 的长．40．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可．如图，已知AB AD =，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，延长BC ，使C E C D =，连接DE ，求证：BC DC AC +=．思路点拨：（1）由已知条件AB AD=，60BAD∠=︒，可知：ABD∆是三角形；（2）同理由已知条件120BCD∠=︒得到DCE∠=，且CE CD=，可知；（3）要证BC DC AC+=，可将问题转化为两条线段相等，即=；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明⋯．请你完成证明过程：41．已知ABC∆是等边三角形，点P是AC上一点，PE BC⊥于点E，交AB于点F，在CB 的延长线上截取BD PA=，PD交AB于点I，PA nPC=．（1）如图1，若1n=，则EBBD=，FIED=；（2）如图2，若60EPD∠=︒，试求n和FIED的值；（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且3n=，其他条件不变，则EBBD=．（只写答案不写过程）42．如图ABC∆为等边三角形，直线//a AB，D为直线BC上任一动点，将一60︒角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1)求证：ADE∆是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2)，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．43．如图，在等边ABC=，点P从点C出发沿CB边向点B点以2/cm s的速AB cm∆中，9度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5/cm s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，PBQ∆为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC∆三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC∆的哪条边上相遇？44．如图：在ABC⊥于Q．==，AE CD∆中，AB BC AC=，AD与BE相交于点P，BQ AD求证：①ADC BEA∆≅∆；②2=．BP PQ45．如图1，点B是线段AD上一点，ABC∆分别是等边三角形，连接AE和CD．∆和BDE（1）求证：AE CD=；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断PBQ∆的形状，并证明．46．如图：已知ABC∆是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN FM=，连接DM、MN、DN．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断DMN∆是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图②解答：当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图③解答：当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．47．如图，ABC∆是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD BE CF∆是等边三角形吗？试证明你的结论；==，问DEF（2）若DEF∆是等边三角形，问AD BE CF==成立吗？试证明你的结论．48．如图，已知ABC=，连∆为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE BD 接CE，DE．求证：EC ED=．49．如图，已知ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，如图有一个60︒角的三角板绕着点A 旋转分别交BC 、CD 于点P 、Q 两点（不与端点重合）．（1）试说明：PAQ ∆是等边三角形；（2）求四边形APCQ 的面积；（3）填空：当BP = 时，APQ S ∆最小．50．如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，ABM ∆和BCN ∆是正三角形，P 是AN 中点，Q 是CM 中点．求证：BPQ ∆是正三角形．全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯【解答】解：连接AD 、DF 、DB ．六边形ABCDEF 是正六边形，ABC BAF AFE ∴∠=∠=∠，AB AF =，120E C ∠=∠=︒，EF DE BC CD ===， 30EFD EDF CBD BDC ∴∠=∠=∠=∠=︒， 120AFE ABC ∠=∠=︒， 90AFD ABD ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和RtAFD 中 AF ABAD AD =⎧⎨=⎩Rt ABD Rt AFD(HL)∴∆≅∆， 1120602BAD FAD ∴∠=∠=⨯︒=︒，60120180FAD AFE ∴∠+∠=︒+︒=︒， //AD EF ∴，G 、I 分别为AF 、DE 中点，////GI EF AD ∴，60FGI FAD ∴∠=∠=︒，六边形ABCDEF 是正六边形，QKM ∆是等边三角形， 60EDM M ∴∠=︒=∠，ED EM ∴=，同理AF QF =，即AF QF EF EM ===，等边三角形QKM 的边长是a ，∴第一个正六边形ABCDEF 的边长是13a ，即等边三角形QKM 的边长的13，过F 作FZ GI ⊥于Z ，过E 作EN GI ⊥于N ，则//FZ EN ， //EF GI ，∴四边形FZNE 是平行四边形，13EF ZN a ∴==，11112236GF AF a a ==⨯=，60FGI ∠=︒（已证）， 30GFZ ∴∠=︒，11212GZ GF a ∴==，同理112IN a =， 1111123122GI a a a a ∴=++=，即第二个等边三角形的边长是12a ，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是1132a ⨯；同理第第三个等边三角形的边长是1122a ⨯，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是111322a ⨯⨯；同理第四个等边三角形的边长是111222a ⨯⨯，第四个正六边形的边长是11113222a ⨯⨯⨯；第五个等边三角形的边长是11112222a ⨯⨯⨯，第五个正六边形的边长是1111132222a ⨯⨯⨯⨯；第六个等边三角形的边长是1111122222a ⨯⨯⨯⨯，第六个正六边形的边长是111111322222a ⨯⨯⨯⨯⨯，即第六个正六边形的边长是511()32a ⨯，故选：A ．二．解答题（共49小题）2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．【解答】解：（1）ABC ∆是等边三角形，60B ∴∠=︒， //DE AB ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒，60EDC ∠=︒，EDC∴∆是等边三角形．∴==，ED DC3∠=︒，F90∠=︒，30DEF∴==．DF DE263．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED EC=，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE =DB（填“>”，“<”或“=”)．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”，“<”或“=”)．理由如下：如图2，过点E作//EF BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED EC∆的边=．若ABC 长为1，2AE=，求CD的长（请你直接写出结果）．【解答】解：（1）故答案为：=．（2）过E作//EF BC交AC于F，等边三角形ABC，∴∠=∠=∠=︒，AB AC BC==，ABC ACB A60AFE ACB∴∠=∠=︒，60∠=∠=︒，AEF ABC60即60∠=∠=∠=︒，AEF AFE A∴∆是等边三角形，AEFAE EF AF ∴==，60ABC ACB AFE ∠=∠=∠=︒，120DBE EFC ∴∠=∠=︒，60D BED FCE ECD ∠+∠=∠+∠=︒，DE EC =，D ECD ∴∠=∠，BED ECF ∴∠=∠，在DEB ∆和ECF ∆中DEB ECF DBE EFC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEB ECF ∴∆≅∆，BD EF AE ∴==，即AE BD =，故答案为：=．（3）解：1CD =或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥， 1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ，AMB ENB ∴∆∆∽， ∴AB BM BE BN=， ∴11221BN=-， 12BN ∴=， 13122CN ∴=+=， 23CD CN ∴==；②如图2，作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥，1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ， ∴AB BM AE MN=， ∴1122MN=， 1MN ∴=，11122CN ∴=-=，21CD CN ∴==，即3CD =或1．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ．（1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．【解答】（1）证明：如图，过P 做//PF BC 交AC 于点F ，AFP ACB ∴∠=∠，FPD Q ∠=∠，PFD QCD ∠=∠ABC ∆为等边三角形，60A ACB ∴∠=∠=︒，60A AFP ∴∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形；AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=PFD QCD ∴∆≅∆，PD DQ ∴=．（2）APF ∆是等边三角形，PE AC ⊥，AE EF ∴=，PFD QCD ∆≅∆，CD DF ∴=，12DE EF DF AC =+=， 1AC =，12DE =． 5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= a ，并证明你的猜想．【解答】解：PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，//PE BC ，//PF AC ，ABC ∆是等边三角形，60PGF B ∴∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，PFG ∴∆是等边三角形，同理可得PDH ∆是等边三角形，PF PG ∴=，PD DH =，又//PD AB ，//PE BC ，∴四边形BDPG是平行四边形，∴=，PG BD∴++=++==．PD PE PF DH CH BD BC a故答案为a．6．如图，已知ABC∆均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、∆和CDEBE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD BE=的理由；（2）试说出BCH ACG∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH∆是什么特殊的三角形，并加以说明．【解答】解：（1）ABC∆均为等边三角形∆和CDE=∴=，EC DCAC BC∠=∠=︒ACB ECD60∴∠=∠ACD ECBACD BCE∴∆≅∆∴=；AD BE（2）ACD BCE∆≅∆∴∠=∠CBH CAGACB ECD∠=∠=︒，点B、C、D在同一条直线上60∴∠=∠=∠=︒ACB ECD ACG60又AC BC=ACG BCH∴∆≅∆；（3）CGH∆是等边三角形，理由如下：ACG BCH∆≅∆∴=（全等三角形的对应边相等）CG CH又60∠=︒ACG∴∆是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；CGH7．如图，已知ABC∆是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1/cm s，cm s，点Q运动的速度是2/当点Q运动到点C时，P，Q都停止运动．（1）出发后运动2s时，试判断BPQ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ和AC的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t，BPQ∆的面积为S，请用t的表达式表示S．【解答】解：（1）BPQ∆是等边三角形，//PQ AC，（2分）运动至2s时，2AP=，4BQ=，BP AB AP BQ∴=-==（4分）4又ABC∆是边长为6cm的等边三角形∴∠=︒B60∴∆是等边三角形（6分）BPQ∴∠=∠=︒60BPQ A∴．//PQ AC（2）过Q作QH AB⊥于H，=，30∠=︒，BQHBQ t2∴=，QH=．（10分）BH t=-BP t6213(6)3(6)2S t t t t ∴=-=-=+．（12分）8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E、C 重合时，该结论也一定成立．问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．【解答】证明：连接DE 、EF 、DF ．（1）当点G 在线段BE 上时，如图①，在EF 上截取EH 使EH BG =．D 、E 、F 是等边ABC ∆三边中点，DEF ∴∆、DBE ∆也是等边三角形且12DE AB BD ==．在DBG ∆和DEH ∆中，60DB DE DBG DEH BG EH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()DBG DEH SAS ∴∆≅∆，DG DH ∴=．BDG EDH ∴∠=∠．60BDE GDE BDG ∠=∠+∠=︒，60GDH GDE EDH ∴∠=∠+∠=︒∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（2）当点G 在射线EC 上时，如图②，在EF 上截取EH 使EH BG =．由（1）可证DBG DEH ∆≅∆．DG DH ∴=，BDG EDH ∠=∠．60BDE BDG EDG ∠=∠-∠=︒，60GDH EDH EDG ∴∠=∠-∠=︒．∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（3）当点G 在BC 延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G 在直线BC 上的任意位置时，该结论成立．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= 120︒ ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACDα∠=（用含α的式子表示）；∠=，则AFB（3）将图4中的ACD∆绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACDα∠与α的有何数量关系？并给予∠=，则AFB证明．【解答】解：（1）如图1，CA CD∠=︒，ACD=，60所以ACD∆是等边三角形．∠=∠=︒，ACD BCE=，60CB CE所以ECB∆是等边三角形．AC DC∠=∠+∠，BCD BCE DCE∠=∠+∠，=，ACE ACD DCE又ACD BCE∠=∠，∴∠=∠．ACE BCDAC DC=，=，CE BC∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠．EAC BDC∠是ADFAFB∆的外角．∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒AFB ADF FAD ADC CDB FAD ADC EAC FAD ADC DAC120．如图2，AC CD=，∠=∠=︒，EC CBACE DCB=，90∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠，AEC DBC又FDE CDB∠=︒，DCB∠=∠，9090EFD ∴∠=︒．90AFB ∴∠=︒．如图3，ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠-∠=∠-∠．ACE DCB ∴∠=∠．又CA CD =，CE CB =，ACE DCB ∴∆≅∆．EAC BDC ∴∠=∠．180180(180)120BDC FBA DCB ACD ∠+∠=︒-∠=︒--∠=︒， 120FAB FBA ∴∠+∠=︒．60AFB ∴∠=︒．故填120︒，90︒，60︒．（2）ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠．ACE DCB ∴∠=∠．CAE CDB ∴∠=∠．DFA ACD ∴∠=∠．180180180AFB DFA ACD α∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-．（3）180AFB α∠=︒-；证明：ACD BCE α∠=∠=，则ACD DCE BCE DCE ∠+∠=∠+∠，即ACE DCB ∠=∠．在ACE ∆和DCB ∆中AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，则()ACE DCB SAS ∆≅∆．则CBD CEA ∠=∠，由三角形内角和知EFB ECB α∠=∠=． 180180AFB EFB α∠=︒-∠=︒-．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连接11D E 、11E F 、11F D ，可得△111D E F 是等边三角形，此时△11AD F 的面积114S S =，△111D E F 的面积114S S =．（1）当2D 、2E 、2F 分别是等边ABC ∆三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时如图2，①求证：△222D E F 是等边三角形； ②若用S 表示△22AD F 的面积2S ，则2S = 29S ；若用S 表示△222D E F 的面积2S '，则2S '= ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当n D 、n E 、n F 分别是等边ABC ∆三边上的点，11n n n AD BE CF AB n ===+时，(n 为正整数）△n n n D E F 是三角形；若用S 表示△n n AD F 的面积n S ，则n S = ；若用S 表示△n n n D E F 的面积n S '，则n S '= ．【解答】解：（1）①ABC ∆为等边三角形，AB BC AC ∴==，60A B ∠=∠=︒，（1分）由已知得213AD AB =，213BE BC =，213CF AC =223AF AC ∴=，223BD AB = 22AD BE ∴=，22AF BD =（2分）△22AD F ≅△22BE D （3分） 2222D E F D ∴=同理可证△22AD F ≅△22CF E 2222F D E F =（4分） 222222D E E F F D ∴==∴△222D E F 为等边三角形；（5分）②229S S =；（6分）221393S S S S '=-⨯=（7分）（2）由（1）可知：△n n n D E F 等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：229S S =，3316S S =，2(1)n n S S n ⋯=+；（9分） 213S S '=，232711621n n n S S S S n n '-+'=⋯=++．（10分） 11．如图，在等边ABC ∆的三边上分别取点D 、E 、F ，使AD BE CF ==．（1）试说明DEF ∆是等边三角形；（2）连接AE 、BF 、CD ，两两相交于点P 、Q 、R ，则PQR ∆为何种三角形？试说明理由．【解答】证明：（1）ABC ∆是等边三角形， AB BC AC ∴==， AD BE CF ==，AF BD ∴=，在ADF ∆和BED ∆中，AD BEA B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF BED SAS ∴∆≅∆，DF DE ∴=，同理DE EF =，DE DF EF ∴==． DEF ∴∆是等边三角形；（2）PQR ∆是等边三角形，理由：由（1）证得ADF BED ∆≅∆，BD AF ∴=，在ABF ∆与CBD ∆中，AB BC BAC CBD AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABF CBD ∴∆≅∆， ABF BCD ∴∠=∠， 60ABF CBF ∠+∠=︒， 60CBF BCD ∴∠+∠=︒，60RPQ FBC BCD ∠=∠+∠=︒，同理60PQR PRQ ∠=∠=︒， PQR ∴∆是等边三角形．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．【解答】解：如图，延长并反向延长AB ，CD ，EF ，两两相交于点G 、H 、I ，六边形ABCDEF 的每个内角都是120︒，60G H I ∴∠=∠=∠=︒，60GCB GBC ∠=∠=︒， GHI ∴∆，GBC ∆是等边三角形，同理：HAF ∆，DEI ∆是等边三角形，9BG GC BC ∴===，5DE DI EI ===， 99523GI GC CD DI ∴=++=++=， 23GH GI HI ∴===， 13AH GH BG AB ∴=--=，13AF AH FH ∴===， 5EF HI EI FH ∴=--=，∴六边形ABCDEF 的周长113559942AB AF EF DE CD BC =+++++=+++++=．13．如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．（1）若60B ∠=︒，求C ∠的值；（2）求证：AD 是EAC ∠的平分线．【解答】（1）解：60B ∠=︒，BDA BAD ∠=∠， 60BAD BDA ∴∠=∠=︒，AB AD ∴=，CD AB =， CD AD ∴=， DAC C ∴∠=∠，2BDA DAC C C ∴∠=∠+∠=∠， 60BAD ∠=︒， 30C ∴∠=︒；（2）证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连接DM ，在ABE ∆和MDE ∆中， EM AE AEB MED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE MDE ∴∆≅∆，B MDE ∴∠=∠，AB DM =，ADC B BAD MDE BDA ADM ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在MAD ∆与CAD ∆，DM CD ADM ADC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MAD CAD ∴∆≅∆， MAD CAD ∴∠=∠，AD ∴是EAC ∠的平分线．14．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， 60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒． //DE BC ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒．ADE ∴∆是等边三角形．（2）ABC ∆为等边三角形， AB BC AC ∴==．BD 平分ABC ∠，12AD AC ∴=．ADE ∆是等边三角形， AE AD ∴=．12AE AB ∴=． 15．如图．在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ．（1）试判定ODE ∆的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．【解答】解：（1）ODE ∆是等边三角形，其理由是：ABC ∆是等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，（2分） //OD AB ，//OE AC ，60ODE ABC ∴∠=∠=︒，60OED ACB ∠=∠=︒（3分）ODE ∴∆是等边三角形；（4分）（2）答：BD DE EC ==，其理由是：OB 平分ABC ∠，且60ABC ∠=︒， 30ABO OBD ∴∠=∠=︒，（6分） //OD AB ，30BOD ABO ∴∠=∠=︒， DBO DOB ∴∠=∠，DB DO ∴=，（7分）同理，EC EO =， DE OD OE ==，BD DE EC ∴==．（8分） 16．如图，ABC ∆是等边三角形，DF AB ⊥，DE CB ⊥，EF AC ⊥，求证：DEF ∆是等边三角形．【解答】证明：ABC∆是等边三角形，ABC ACB CAB∠=∠=∠=︒，∴==，60AB AC BC⊥，DE CBDF AB⊥，⊥，EF AC∴∠=∠=∠=︒，DAB ACF CBE90∴∠=∠=∠=︒，FAC BCE DBA30∴∠=∠=∠=︒-︒-︒=︒，D E F180903060∴==，DF DE EFDEF∴∆是等边三角形，17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？【解答】解：等边三角形各边长相等，故按照上图搭出图形，即为9根火柴搭出5个等边三角形．18．如图，ABC∆是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．求证：ADE∆是等边三角形．【解答】证明：A在DE的垂直平分线上，∴=，AE AD∴∆是等腰三角形，ADE⊥，AB DE90ADE BAD ∴∠=︒-∠，AD BD ⊥，90B BAD ∴∠=︒-∠，由90ADE BAD ∠=︒-∠，90B BAD ∠=︒-∠，得：60B ADE ∠=∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形．19．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，C 为角平分线上一点，过点C 作CD OC ⊥，垂足为C ，交OB 于点D ，//CE OA 交OB 于点E ．（1）判断CED ∆的形状，并说明理由；（2）若3OC =，求CD 的长．【解答】解：（1）CED ∆是等边三角形，理由如下： OC 平分AOB ∠，60AOB ∠=︒， 30AOC COE ∴∠=∠=︒， //CE OA ，30AOC COE OCE ∴∠=∠=∠=︒，60CED ∠=︒， CD OC ⊥， 90OCD ∴∠=︒， 60EDC ∴∠=︒， CED ∴∆是等边三角形；（2）CED ∆是等边三角形， CD CE ED ∴==，又COE OCE ∠=∠， OE EC ∴=， CD ED OE ∴==，设CD x =，则2OD x =，在Rt OCD ∆中，根据勾股定理得：2294x x +=，解得：x =则CD =．20．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，且DE AB ⊥，FG AC ⊥，点E 、G 在BC 上，18BC cm =，求线段EG 的长．（提示：需要添加辅助线）【解答】解：如图，连接AE 、AGD 为AB 中点，ED AB ⊥， EB EA ∴=，ABE ∴∆为等腰三角形，又30B EAB ∠=∠=︒， 30BAE ∴∠=︒， 60AEG ∴∠=︒，同理可证：60AGE ∠=︒， AEG ∴∆为等边三角形， AE EG AG ∴==，又AE BE =，AG GC =，BE EG GC ∴==，又18()BE EG GC BC cm ++==， 6()EG cm ∴=．21．已知，如图，ABC ∆是正三角形，D ，E ，F 分别是各边上的一点，且AD BE CF ==．请你说明DEF ∆是正三角形．【解答】解：ABC==，∆为等边三角形，且AD BE CF∴==，AE BF CD又60∠=∠=∠=︒，A B CADE BEF CFD SAS∴∆≅∆≅∆，()∴==，DE EF FD∴∆是等边三角形．DEF22．如图所示，DEF∆是等边三角形，且123∆是等边三角形吗？请∠=∠=∠，试问：ABC说明理由．【解答】解：ABC∆是等边三角形，理由：DEF∆是等边三角形，∴∠=︒，DEF60∴∠=︒，BEC120BCE∴∠+∠=︒，260∠=∠，23BCE∴∠+∠=︒，360ACB∴∠=︒，60同理60∠=∠=︒，ABC BACABC ∴∆是等边三角形．23．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠，//DE BC ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形；（2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形，60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，//DE BC ，60AED ABD ∴∠=∠=︒，60ADE ACB ∴∠=∠=︒，A AED ADE ∴∠=∠=∠，ADE ∴∆是等边三角形；（2）ADE ∆是等边三角形AD AE ∴=ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴= BD 平分ABC ∠，D ∴是AC 的中点（三线合一）1122AD AC AB ==， 12AE AB ∴=． 24．如图ABC ∆是等边三角形（1）如图①，//DE BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：ADE ∆是等边三角形；（2）如图②，ADE ∆仍是等边三角形，点B 在ED 的延长线上，连接CE ，判断BEC ∠的度数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60B C ∴∠=∠=︒，//DE BC ，60ADE B ∴∠=∠=︒，60AED C ∠=∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形；（2）解：AE CE BE +=．60BAD DAC ∠+∠=︒，60CAE DAC ∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAD CAE ∴∆≅∆，BD CE ∴=，120AEC ADB ∠=∠=︒，BE BD DE AE CE ∴=+=+，CE BD DE ==，30EBC ∴∠=︒，60BEC ∴∠=︒．25．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，EC OB ⊥，ED OA ⊥，C 、D 是垂足，连接CD交OE 于点F ，若60AOB ∠=︒．（1）求证：OCD ∆是等边三角形；（2）若5EF =，求线段OE 的长．【解答】解：（1）点E 是AOB ∠的平分线上一点，EC OB ⊥，ED OA ⊥，垂足分别是C ，D ，DE CE ∴=，在Rt ODE ∆与Rt OCE ∆中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩Rt ODE Rt OCE(HL)∴∆≅∆，OD OC ∴=，60AOB ∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形；（2）OCD ∆是等边三角形，OF 是COD ∠的平分线，OE DC ∴⊥，60AOB ∠=︒，30AOE BOE ∴∠=∠=︒，60ODF ∠=︒，ED OA ⊥，30EDF ∴∠=︒，210DE EF ∴==，220OE DE ∴==．26．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，点D 、E 分别在AB 、AC 上，30BCD CBE ∠=∠=︒，BE 、CD 相交于点O ，OG BC ⊥于点G ，求证：2OE OD OG +=．【解答】证明：延长OE 至点M ，使OM OC =，连接CM ，30BCD CBE ∠=∠=︒，OB OC ∴=，303060MOC ∠=︒+︒=︒，OM OC =，OMC ∴∆为等边三角形，CM OC OB ∴==，60M ∠=︒，DBO MCE ∴∠=∠，在BOD ∆和CME ∆中，DBO MCE BO CMDOB M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOD MCE ∴∆≅∆，DO EM ∴=，OE OD OM OB ∴+==，在Rt OBG ∆中，30OBG ∠=︒，OG BC ⊥，2OG OB ∴=，2OE OD OG ∴+=．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是ABC ∆内两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若30BE cm =，2DE cm =，则BC = 32 cm ．【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∠，AB AC=，AD平分BAC=，AN BC∴⊥，BN CN∠=∠=︒，EBC E60∴∆为等边三角形，BEMEFD∴∆为等边三角形，DE=，30BE=，2∴=，28DM∆为等边三角形，BEMEMB∴∠=︒，60⊥，AN BC∴∠=︒，90DNM∴∠=︒，30NDM∴=，NM14∴=，16BN∴==，BC BN232故答案为32．28．如图，已知ABC=，∠，CE BD ∆为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD 求证：ADE∆为等边三角形．【解答】证明：ABC ∆为等边三角形，60B ACB ∴∠=∠=︒，AB AC =，即120ACD ∠=︒， CE 平分ACD ∠，1260∴∠=∠=︒，在ABD ∆和ACE ∆中，1AB AC B BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，又60BAC ∠=︒，60DAE ∴∠=︒，ADE ∴∆为等边三角形．29．如图，ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上一点，以AD 为边作60ADE ∠=︒，DE 与ABC ∆的外角平分线CE 交于点E ，连接AE ，且CE BD =．求证：ADE ∆是等边三角形．【解答】解：过D 作//DG AC 交AB 于G ，则13∠=∠，GDB ∆为等边三角形，120AGD DCE ∠=∠=︒，AG DC =．又60ADE ACE ∠=∠=︒，ACE ECF ∠=∠，12∴∠=∠，31∴∠=∠．在AGD ∆和DCE ∆中，31AGD DCE AG DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGD DCE AAS ∴∆≅∆，AD DE ∴=，60ADE ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形．30．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【解答】证明：延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和ADE ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD ADE SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．31．如图，在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ．（1）求证：ODE ∆是等边三角形．（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，//OD AB ，//OE AC ，60ODE ABC ∴∠=∠=︒，60OED ACB ∠=∠=︒，ODE ∴∆是等边三角形；。

完整版)全等三角形经典例题(含答案)

完整版)全等三角形经典例题(含答案)全等三角形证明题精选1.在四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。

证明：△ADE≌△CBF；若AC与BD相交于点O，证明：AO=CO。

2.已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。

证明：AC∥DE；若BF=13，EC=5，求BC的长。

3.在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE。

证明：BE=CD。

4.点O是线段AB和线段CD的中点。

证明：△AOD≌△BOC；AD∥BC。

5.点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD。

证明：∠B=∠D。

6.已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC。

证明：AE=BC。

7.在△ABE和△DEF中，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF。

证明：AF=DF。

8.点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

证明：AB∥DE。

9.在△ABC中，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。

证明：AE=CE。

10.点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF。

证明：DE=CF。

11.点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD。

证明：AE=FB。

12.已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2.证明：BD=CE；∠M=∠N。

13.在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD。

证明：AB=AC。

14.在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD。

证明：∠B=∠E。

15.在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

证明：AB=AC；若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长。

16.已知直角三角形ABC和直角三角形DBF，且它们相似，∠D=28°，求∠GBF的度数。

专题01 全等三角形【考题猜想,35题12种题型】(解析版)

专题01 全等三角形（35题12种题型）一、全等图形的识别（共2小题）1．（2022秋·河南驻马店·八年级校考期中）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据全等图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；B、两个图形能完全重合，属于全等图形，故此选项符合题意；C、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意；D、两个图形不能完全重合，不属于全等图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握“能完全重合的两个图形，是全等图形”是解题的关键．2．（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）下列四个图形中，属于全等图形的是（）A．①和②B．②和③C．①和③D．③和④【答案】A【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形可得答案．【详解】解：①、②和④都可以完全重合，因此全等的图形是①和②．故选：A．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形．二、利用全等三角形求正方形网格中的角度之和（共2小题）3．（2022秋·江苏宿迁·八年级统考期中）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点∠-∠-∠的度数为（）．均为格点，则123A．30°B．45°C．55°D．60°【答案】B【分析】根据网格特点，可得出190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，进而可求解．【详解】解：如图，则190∠=o ，24∠∠=，3445∠+∠=o ，∴123∠-∠-∠904545=-=o o o ，故选：B ．【点睛】本题考查网格中的全等图形、三角形的外角性质，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．4．（2022秋·山东菏泽·八年级统考期末）如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠3-∠2=（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°【答案】B 【分析】首先利用SAS 定理判定△ABC ≌△DBE ，根据全等三角形的性质可得∠3=∠ACB ，再由∠ACB+∠1=∠1+∠3=90°，可得∠1+∠3-∠2．【详解】∵在△ABC 和△DBE 中AB BD A D AC ED ìï∠∠íïî＝＝＝，∴△ABC ≌△DBE （SAS ），∴∠3=∠ACB ，∵∠ACB+∠1=90°，∴∠1+∠3=90°，∵∠2=45°∴∠1+∠3-∠2=90°-45°=45°，故选B ．【点睛】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等．三、全等三角形的识别（共2小题）5．（2022秋·四川乐山·八年级统考期中）已知ABC DEF ≌△△，且A ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，则下列说法中正确的是（）A ．AC 与DF 是对应边B ．AC 与DE 是对应边C ．AC 与EF 是对应边D ．不能确定AC 的对应边【答案】A【分析】根据全等三角形的概念即可得到答案．【详解】解：A Q ∠与D ∠是对应角，B ∠和E ∠是对应角，C \∠和F ∠是对应角，AC \与DF 是对应边，故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形，理解全等三角形的概念，准确找出对应边是解题关键．6．（2022秋·河南开封·八年级统考期末）下列说法中，正确的有（）①形状相同的两个图形是全等形 ②面积相等的两个图形是全等形 ③全等三角形的周长相等，面积相等 ④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB EF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据全等的定义和性质判断即可．【详解】①形状大小都相同的两个图形是全等形，故①错误；②面积相等的两个图形不一定是全等形，故②错误；③全等三角形的周长相等，面积相等，是对的，故③正确；④若ABC DEF ≌△△，则A D ∠=∠，AB DE =，故④错误；故正确的有1个．故选：A【点睛】此题考查全等三角形的定义和性质，解题关键是掌握全等三角形的定义．四、全等三角形的性质（共3小题）7．（2022秋·湖北荆门·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，若ADB EDB EDC V V V ≌≌，则C ∠的度数为（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°【答案】D 【分析】根据EDB EDC V V ≌，推出90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，再由ADB EDB V V ≌，得到90,DAB DEB DBA DBE ∠=∠=°∠=∠，利用直角三角形中两个锐角互余即可得出.【详解】∵EDB EDC V V ≌，∠DEB +∠DEC =180°，∴90,DEB DEC DBE DCE ∠=∠=°∠=∠，又∵ADB EDB V V ≌，∴90,DAB DEB DBA DBE∠=∠=°∠=∠∴90DBA DBE DCE ∠+∠+∠=°，即30DBA DBE DCE ∠=∠=∠=°故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形两个锐角和等于90°，掌握全等的性质是解题的关键.8．（2022秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图，若ABC ADE △△≌则下列结论中不成立的是（）A ．BAD CAE ∠=∠B ．BAD CDE ∠=∠C ．DA 平分BDE ∠D ．AC DE=【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质得出∠B ＝∠ADE ，∠BAC ＝∠DAE ，AB ＝AD ，∠E ＝∠C ，再逐个判断即可．【详解】解：A ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC −∠DAC ＝∠DAE −∠DAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，故本选项不符合题意；B ．如图，∵△ABC ≌△ADE ，∴∠C ＝∠E ，∵∠AOE ＝∠DOC ，∠E ＋∠CAE ＋∠AOE ＝180°，∠C ＋∠COD ＋∠CDE ＝180°，∴∠CAE ＝∠CDE ，∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＝∠CDE ，故本选项不符合题意；C ．∵△ABC ≌△ADE ，∴∠B ＝∠ADE ，AB ＝AD ，∴∠B ＝∠BDA ，∴∠BDA ＝∠ADE ，∴AD 平分∠BDE ，故本选项不符合题意；D ．∵△ABC ≌△ADE ，∴BC ＝DE ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．9．（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，则123∠+∠+∠的度数是（）A ．90oB ．120oC ．135oD ．180o【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形的外角可得123456360,578180°°∠+∠+∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠=，即123360180°°∠+∠+∠=-．【详解】解：如图所示：∵图中是三个全等三角形，∴48,67∠=∠∠=∠,又∵三角形ABC 的外角和123456360°=∠+∠+∠+∠+∠+∠=，又578180°∠+∠+∠=，即564180∠+∠+∠=°，∴123360180018°°∠+∠+=∠=-°，故选：D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形性质以及三角形的内角和定理，解题关键点：熟记全等三角形的性质．五、利用“SSS”证明两个三角形全等（共4小题）10．（2022秋·福建龙岩·八年级校考期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在AOB ∠的两边OA 、OB 上分别在取OC OD =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C 、D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是AOB ∠的平分线．这里构造全等三角形的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可．【详解】解：由题意可知,OC OD MC MD==在OCM ODM △和△中OC OD OM OMMC MD =ìï=íï=î∴OCM ODM @△△(SSS )∴COM DOM∠=∠∴OM 就是AOB ∠的平分线故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键．11．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）如图，通过尺规作图得到A O B AOB '''∠=∠的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA 【答案】A△△【分析】根据作图过程利用SSS可以证明OCD≌【详解】解：根据作图过程可知，14．（2022秋·福建龙岩·八年级统考期中）如图，已知AB AD =，BC DE =，且10CAD ∠=°，25B D ∠=∠=°，120EAB ∠=°，则EGF ∠的度数为（）A．120°B．135A．60°B．【答案】B【分析】先证△BAE ≌△CAD ，得出∠B=∠C，再证∠CFB=∠BAC=90°即可．【详解】解：∵AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAE=∠CAD ，在△BAE 和△CAD 中，BA CA BAE CAD AE AD =ìï∠=∠íï=î,∴△BAE ≌△CAD ，∴∠B=∠C ，∵∠BGA=∠CGF ，∴∠CFB=∠BAC=90°,∴∠BFD =90°,故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是确定全等三角形并通过8字型导角求出度数．16．（2022秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CE ，BE ＝CF ，若∠A ＝50°，则∠DEF 的度数是（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】B 【分析】首先证明△DBE ≌△ECF ，进而得到∠EFC ＝∠DEB ，再根据三角形内角和计算出∠CFE ＋∠FEC 的度数，进而得到∠DEB ＋∠FEC 的度数，然后可算出∠DEF 的度数．【详解】解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，在△DBE 和△ECF 中，BD CE B C BE CF =ìï∠=∠íï=î，∴△DBE ≌△ECF （SAS ），∴∠EFC ＝∠DEB ，∵∠A ＝50°，∴∠C ＝（180°−50°）÷2＝65°，∴∠CFE ＋∠FEC ＝180°−65°＝115°，∴∠DEB ＋∠FEC ＝115°，∴∠DEF ＝180°−115°＝65°，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．17．（2022秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，已知C D ∠=∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③12∠=∠；④B E ∠∠=．其中能使ABC V ≌AED △的条件有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答．【详解】解：①C D ∠∠=Q ，AC AD =，AB AE =，ABC \V 和AED △不一定全等，故①不符合题意；②C D ∠∠=Q ，AC AD =，BC DE =，ABC \V ≌()SAS AED V ，故②符合题意；③12∠∠=Q ，12EAB EAB ∠∠∠∠\+=+，CAB DAE ∠∠\=，C D ∠∠=Q ，AC AD =，ABC \V ≌()ASA AED V ，故③符合题意；④B E ∠∠=Q ，C D ∠=∠，AC AD =，ABC \V ≌()D AAS AE V ，故④符合题意；所以，增加上列条件，其中能使ABC V ≌AED △的条件有3个，故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．七、利用“SSS”证明两个三角形全等（共3小题）A ．3cm 2B ．4cm 【答案】C 【分析】证△ABP ≌△EBP ，推出12S PBC S ABC D =D ，代入求出即可．∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠EBP ，∵AP ⊥BP ，∴∠APB ＝∠EPB ＝90°，在△ABP 和△EBP 中，∠ABP ＝∠EBPA ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAA【答案】C 【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：士兵的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点B ；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点E 上；得∠A =∠D ，∵AC =DF ，∴∠ACB =∠DFE =90°，∴判定△ABC ≌△DFE 的理由是ASA ．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，分析题意找到相等的角和边判定三角形的全等是解题的关键．21．（2021秋·吉林长春·八年级统考期中）如图，在ABC V 中，过点A 作ABC ∠的平分线的垂线AD 交ABC V 内部于点P ，交边BC 于点D ，连结CP ，若ABP V ，CDP △的面积分别为4、2，则ABC V 的面积是（）A ．24B ．12C ．8D ．6【答案】B 【分析】根据ASA 可证ABP DBP @V V ，由全等的性质可得，AP DP =，即P 是AD 中点，由等底同高可得，DBP ABP S S =V V ，APC DPC S S =V V ，从而计算ABC ABP DBP APC DPC S S S S S =+++V V V V V ，故得出答案．【详解】由题可得：ABP DBP ∠=∠，BP AD ^，90BPA BPD \∠=∠=°，在ABP V 与DBP V 中，ABP DBP BP BPBPA BPD ∠=∠ìï=íï∠=∠î，()ABP DBP ASA \@V V ，AP DP \=，4DBP ABP S S \==V V ，2APC DPC S S ==V V ，442212ABC ABP DBP APC DPC S S S S S \=+++=+++=V V V V V ．故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，求等底同高的面积，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．八、利用“AAS”证明两个三角形全等（共小题）A ．50B ．62【答案】A 【分析】由AE AB ^，EF FH ^，BG ^以证明EFA ABG @V V ，所以AF BG =，A ．30B ．32【答案】B 【分析】根据角的和差关系可得∠AEF =∠BAG ，利用可证明△CDH ≌△BCG ，可得CH =BG ，CG =DH 形EFHD -2S △ABC ，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．24．（2022秋·河北保定·八年级统考期末）如图，在ABC V 中，AB AC =，AD 是高，能直接判断ABD ACD @△△的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．HLD ．ASA【答案】C【分析】根据直角三角形的全等证明即可判断．【详解】证明：∵AD ⊥BC∴ABD △和ACD V 是直角三角形，∵AB AC =，AD =AD （公共边），所以ABD △≌ACD V （HL ）故选C【点睛】本题主要考查直角三角形的全等证明，掌握直角三角形的全等证明方法是解题的关键．25．（2023春·河北张家口·八年级统考期中）已知：如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，DB ＝DC ，DE AB ^，DF AC ^，垂足分别为E ，F ，DE ＝DF ．求证：Rt Rt DEB DFC ≌△△．以下是排乱的证明过程：①∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，②∴()Rt Rt DEB DFC HL ≌△△．③∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，④∵在Rt DEB △和Rt DFC △中，DB DC DE DF =ìí=î，证明步骤正确的顺序是（）A ．③→②→①→④B ．③→①→④→②C ．①→②→④→③D ．①→④→③→②【答案】B【分析】根据垂直定义得出∠BED =∠CFD =90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可．【详解】证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD =90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，BD CD DE DF =ìí=î，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC （HL ），即选项B 正确；选项A 、选项C 、选项D 都错误；故选：B ．【点睛】本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等还有HL ．26．（2022·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，AB ＝12米，AC ＝6米，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，动点E 从A 点出发以2米/秒沿射线AN 运动，点D 为射线BM 上一动点，随着E 点运动而运动，且始终保持ED ＝CB ，当点E 经过t 秒时，由点D 、E 、B 组成的三角形与△BCA 全等．请问t有几种情况？（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】D【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12﹣6＝6，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6，∴BE＝6，∴AE＝12+6＝18，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12，∴BE＝12，∴AE＝12+12＝24，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4种情况．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在于找到所有符合题意的情况．27．（2021秋·河北沧州·八年级统考期末）如图所示，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向DF的长度相等，则（1）AB=DE；（2）∠ABC+∠DFE=90°；（3）∠ABC=∠DEF．其中正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D 【分析】由已知条件判断两个直角三角形全等，根据全等三角形的性质逐一分析即可.【详解】解：由题意知90BAC EDF ∠=∠=o在Rt BAC V 和Rt EDF V 中：∵BC EF AC DF=ìí=î∴Rt BAC Rt EDF @△△(HL )∴AB DE =，ABC DEF∠=∠∴（1）、（3）正确∵+90DEF DFE ∠∠=o ，ABC DEF∠=∠∴+90ABC DFE ∠∠=o∴（2）正确故选：D【点睛】本题考查两个直角三角形全等的判定和性质，牢记相关的定理和性质内容是解题的关键．十、添加一个条件使两个三角形全等（共小题）28．（2023春·湖南衡阳·八年级校考期末）如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B =∠E ，BF =EC ，添加一个条件，不能判断△ABC ≌△DEF 的是（）A ．AB =DEB ．∠A =∠DC ．AC =DFD ．AC ∥FD【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定与性质逐一分析即可解题．【详解】解：Q BF =EC ，BC EF\=A. 添加一个条件AB =DE ，又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF SAS ∴△≌△故A 不符合题意；B. 添加一个条件∠A =∠D又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF AAS \V V ≌故B 不符合题意；C. 添加一个条件AC =DF ，不能判断△ABC ≌△DEF ，故C 符合题意；D. 添加一个条件AC ∥FDACB EFD\∠=∠又,BC EF B E=∠=∠Q ()ABC DEF ASA \V V ≌故D 不符合题意，故选：C ．【点睛】本题考查添加条件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．29．（2022秋·安徽合肥·八年级统考期末）如图，点B 、E 在线段CD 上，若A DEF ∠=∠，则添加下列条件，不一定能使ABC EFD V V ≌的是（）A ．C D ∠=∠，AC DE=B ．BC DF =，AC DE =C ．ABC DFE ∠=∠，AC DE=D ．AC DE =，AB EF=【答案】B 【分析】利用三角形全等的判定方法进行分析即可．【详解】解：A ．添加∠C =∠D ，AC =DE 可利用ASA 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；B ．添加BC =FD ，AC =ED 不能判定△ABC ≌△EFD ，故此选项符合题意；C ．添加∠ABC =∠DFE ，AC =DE 可利用AAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；D ．添加AC =DE ，AB =EF 可利用SAS 判定△ABC ≌△EFD ，故此选项不合题意；故选：B ．【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS 、ASA 、SAS 、SSS，直角三角形可用HL定理，注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．十一、尺规作图与三角形全等（共3小题）故答案为：④．【点睛】本题考查了利用SSS 定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．31．（2021秋·浙江宁波·八年级统考期末）已知：两边及其夹角，线段a ，c ，a ∠．求作：ABC V ，使BC a =，AB c =，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．请你根据所学的知识，说明尺规作图作出ABC a ∠=∠，用到的是三角形全等判定定理中的______，作出的ABC V 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的______．【答案】作图见解析；SSS ，SAS ．【分析】（1）首先根据一个角等于已知角的方法作∠B=∠α，再在角的两边分别截取BC=a ，AB=c ，再连接AC ；（2）根据三角形全等的判定定理可得．【详解】解：（1）如图所示：（2）尺规作图作出∠ABC=∠α，用到的是三角形全等判定定理中的SSS ，作出的△ABC 是唯一的，依据是三角形全等判定定理中的SAS ．【点睛】本题主要考查用尺规作三角形，全等三角形的判定定理，关键是掌握作一个角等于已知角的方法以及全等三角形的判定方法．32．（2021秋·重庆梁平·八年级校联考期中）用尺规作图的方法，画出与下面△ABC 全等的△DEF （保留作图痕迹）．【答案】见解析【分析】分析根据SSS 画一个△DEF 与△ABC 全等即可．【详解】作法：作射线EM，在EM上截取线段EF，使EF=BC；分别以E点和F点为圆心，以BA、CA长为半径画弧，两弧相交于D点；连接ED，FD．则△DE F即为所求作的三角形．【点睛】本题主要考查了利用尺规作图法作全等三角形．可以根据全等三角形的判定方法SSS，SAS，ASA 选择一种方法即可．熟练掌握基本的尺规作图是解题的关键．十二、证明两个三角形全等（共3小题）33．（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【答案】（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【详解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，又∵∠A=∠D，∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEC ，在△ABC 和△DEF 中A DB DEF AB DE ∠∠ìï∠∠íïî＝＝＝ ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．34．（2021秋·江西抚州·八年级统考期中）如图，从①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =；④ADB E ∠=∠；⑤BAC DAE ∠=∠五个条件中，选出三个条件，利用全等三角形的判定定理，可使ABD ACE ≌△△，你能想出几种方法，罗列出来，并挑选其中一种方法写出你的证明过程．【答案】可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤ ，证明见解析【分析】根据全等三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：可选①②③或①②⑤或①④⑤或②③④或③④⑤或②④⑤选①②③，证明：在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，AD AE =，BD CE = ，∴()ABD ACE SSS V V ≌；选①②⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，∴()ABD ACE SAS △≌△；选①④⑤，证明：∵BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE △中，∵ADB E ∠=∠，BAD CAE ∠=∠，AB AC =，（1）求证：FC AD =；（2）若4AE =，4BE =【答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用ASA 证明（2）根据题意，ABCD S 四边形。

全等三角形经典题型50题[含答案]

因为 BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF 。

所以三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)。

所以 BF=EF,∠CBF=∠DEF 。

连接BE 。

在三角形BEF 中,BF=EF 。

所以 ∠EBF=∠BEF 。

又因为 ∠ABC=∠AED 。

所以 ∠ABE=∠AEB 。

所以 AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中，AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF 。

所以三角形ABF 和三角形AEF 全等。

所以 ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

ADBC4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 证明：过E 点，作EG//AC ，交AD 延长线于G 则∠DEG=∠DCA ，∠DGE=∠2又∵CD=DE ∴⊿ADC ≌⊿GDE （AAS ）∴EG=AC ∵EF//AB ∴∠DFE=∠1∵∠1=∠2∴∠DFE=∠DGE ∴EF=EG ∴EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C证明：在AC 上截取AE=AB ，连接ED ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD=∠BAD 又∵AE=AB ，AD=AD ∴⊿AED ≌⊿ABD （SAS ）∴∠AED=∠B ，DE=DB ∵AC=AB+BDAC=AE+CE ∴CE=DE ∴∠C=∠ED C ∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C ∴∠B=2∠C6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF 因为CE ⊥AB 所以∠CEB＝∠CEF ＝90° 因为EB ＝EF ，CE ＝CE ，所以△CEB ≌△CEF 所以∠B ＝∠CFE 因为∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° 所以∠D ＝∠CFA 因为AC 平分∠BAD 所以∠DAC ＝∠FAC 又因为AC ＝AC 所以△ADC ≌△AFC （SAS ）所以AD ＝AF 所以AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

(word完整版)初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析),推荐文档

初二全等三角形所有知识点总结和常考题知识点：1. 基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形•⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2. 基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3. 全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS）:三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4. 角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上5. 证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系）⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.常考题:.选择题（共14小题）1 •使两个直角三角形全等的条件是（）A. —个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等2 .如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△D. AD// BC3•如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA4•到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点5. 如图，△ ACB^A A CBV BCB =30°则/ACA的度数为（）A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°6 .如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处7 .如图，AD是厶ABC中/BAC的角平分线，DE± AB于点E, S SBC=7, DE=2AB=4,贝U AC 长是（）8 .如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC ◎△DEC不能添加的一组条件是（）A. BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DCC. BC=DC / A=Z DD.Z B=Z E，10. 要测量河两岸相对的两点 A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD=BC 再定出BF 的垂线DE,使A ，C, E 在一条直线上（如图所示），可以说明△ EDC^A ABC,得ED=AB 因此测得 ED 的长就是 AB 的长，判定△ EDC^ △ ABC 最恰当的理由是（）A .边角边B .角边角 C.边边边 D .边边角 11. 如图，△ ABC 的三边AB, BC, CA 长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将 12. 尺规作图作/ AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA , OB 于C,D ,再分别以点C, D 为圆心，以大于丄CD 长为半径画弧，两弧交于点P ,作射线OP 由作法得厶OCF ^A ODP 的根据是（）9. 如图，已知在△ ABC 中，CD 是AB 边上的高线, BC=5 DE=2则厶BCE 的面积等于（）BE 平分/ 4 D. 3: 4: 55D . 4S A BCO ： S A CAO 等△ ABC 分为三个三角形，则S A ABO ： A . 1: 1: 1 B. 1: 2: 3 C. 2: 3:B.有两边对应相等，且有一角为30°勺两个等腰三角形全等C•有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等14.如图，已知/ 仁/2, AC=AD,增加下列条件：① AB=AE②BC=ED③/ C= / D;④/ B=Z E.其中能使厶ABC^A AED的条件有（）2个D. 1个二.填空题（共11小题）15.如图，在△ ABC中，/ C=90°, AD平分/ CAB BC=8cm, BD=5cm,那么点D 到线段AB的距离是_________ cm.AD平分/ BAQ AB=5, CD=2,则厶ABD的面积17. 如图为6个边长等的正方形的组合图形，则/ 1+Z 2+Z 3= _____18. 如图，△ ABC^A DEF请根据图中提供的信息，写出19. _________________________________________ 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带__________________________________________ 去玻璃店.20. ____________________________________________________________ 如图，已知AB// CF, E为DF的中点，若AB=9cm, CF=5cm J则BD= _______ cm.21 •在数学活动课上，小明提出这样一个问题：/ B=Z C=90°, E是BC的中点, DE平分/ ADC, / CED=35,如图，则/ EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，/ B=100o，/ BAC=30，那么/ AED= 度.小英第一个得出正确答案，是___________ 度.23.如图所示，将两根钢条AA，BB'的中点O连在一起，使A A', BB可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A的长等于内槽宽AB,那么判定△ OAB^A OA的理由是______________________ .24.如图，在四边形ABCD中, / A=90°, AD=4,连接BD, BD丄CD, / ADB=Z C.若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为____ .三•解答题（共15小题）26.已知：如图，C 为BE 上一点，点A , D 分别在BE 两侧，AB// ED, AB=CEC=90°, CA=CB 点 M 在线段 AB 上，/ GMB 二 / A , BGcm .若 MH=8cm ，贝U BG=第11页(共36页)29. 如图，C是AB 的中点，AD=BE CD=CE 求证：/ A=Z B.30. 已知：如图，在梯形ABCD中，AD// BC, BC=DC CF平分/ BCD DF// AB, BF的延长线交DC于点E.求证：(BFC^A DFQ(2) AD=DE31. 如图，已知，EC=AC Z BCE W DCA / A=Z E 求证：BC=DC32. 如图，把一个直角三角形ACB(/ACB=90)绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C 旋转到AB边上的一点D,点A旋转到点E的位置.F，G分别是BD，BE 上的点，BF=BG延长CF与DG交于点H.(1)求证：CF=DG(2)求出/ FHG的度数.33. 已知，如图，△ ABC和厶ECD都是等腰直角三角形，/ ACB=Z DCE=90，D 为AB边上一点.求证：BD=AE第13页(共36页)ABCDE的边BC CD上的点，且BM=CN, AM交BN于点P.(1) 求证：△ ABM^A BCN；(2) 求/ APN的度数.ABCD中，E 点在AD 上，其中/ BAE=/ BCE W ACD=90,且BC=CE求证：△ ABC与厶DEC全等.36. 如图，△ ABC和厶ADE都是等腰三角形，且/ BAC=90, / DAE=90, B, C, D 在同一条直线上.求证：BD=CE37. 我们把两组邻边相等的四边形叫做筝形”如图，四边形ABCD是一个筝形, 其中AB=CB AD=CD对角线AC, BD相交于点O, 0E丄AB, 0F丄CB,垂足分别是E, F.求证OE=OF第14页(共36页)D38. 如图，在△ ABC 中，/ ACB=90, CE L AB于点E, AD=AG AF 平分/ CAB 交CE于点F, DF的延长线交AC于点G.求证：(1) DF// BC; (2) FG=FE39. 如图：在厶ABC中，BE CF分别是AC AB两边上的高，在BE上截取BD=AC 在CF的延长线上截取CG=AB连接AD、AG.(1)求证：AD=AG(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由.40. 如图，已知△ ABC中，AB=AC=10cm BC=8cm 点D为AB的中点.(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动.①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△ BPD与厶CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△ BPD与厶CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在厶ABC 的哪条边上相遇？初二全等三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一•选择题（共14小题）1. （2013?西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A、—个锐角对应相等B.两个锐角对应相等C•一条边对应相等D.两条边对应相等【分析】利用全等三角形的判定来确定. 做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证.【解答】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误；C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误；D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确.故选：D.【点评】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA SAS AAS SSS HL,可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等.2. （2013?安顺）如图，已知AE=CF / AFD=Z CEB那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF^A CBE的是（）A __________ ?A. Z A=Z CB. AD=CBC. BE=DFD. AD// BC【分析】求出AF=CE再根据全等三角形的判定定理判断即可.【解答】解：：AE=CF••• AE+EF=C+EF,••• AF=CEA、t在厶ADF和厶CBE中|fZA=ZCIZAFD=ZCEB•••△ADF^A CBE（ASA，正确，故本选项错误；B、根据AD=CB AF=CE / AFD=Z CEB不能推出厶ADF^A CBE错误，故本选项正确；C、・.•在△ ADF和厶CBE中AF=CE[DF=BE•••△ ADF^A CBE（ SAS ,正确，故本选项错误；D、t AD// BC,•••/ A=Z C,•••在△ ADF和厶CBE中|fZA=ZC{ACEHZAFD=ZCEB•••△ ADF^A CBE（ASA ,正确，故本选项错误；故选B.【点评】本题考查了平行线性质，全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS3. （2014秋？江津区期末）如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A. SSSB. SASC. AASD. ASA【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据角边角”画出.【解答】解:根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用角边角”定理作出完全一样的三角形.故选D.【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键.4. （2007?中山）至9三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条高的交点C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.【解答】解：•••角的平分线上的点到角的两边的距离相等，•••到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点.故选：D.【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为c.5. （2011?呼伦贝尔）如图，△ACB^A A C, BCB =30则/ACA的度数为（）【分析】本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可.【解答】解：•••△ ACB^A A CB•••/ ACB=/ A CB即/ ACA+Z A CB=B' CHB/ A CB•••/ ACA = B ' C,BD. 40又Z B' CB=30 •••Z ACA =30°故选：B.【点评】本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解.6. （2000?安徽）如图，直线11、12、13表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A. 1处B. 2处C. 3处D. 4处【分析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点. 把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求.【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处. 故选：D .【点评】本题考查了角平分线的性质；这是一道生活联系实际的问题，解答此类题目时最直接的判断就是三角形的角平分线，很容易漏掉外角平分线，解答时一定要注意，不要漏解.7. （2014?遂宁）如图，AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE± AB于点E, S A ABC=7, DE=2 AB=4,贝U AC长是（）A. 3B. 4C. 6D. 5【分析】过点D作DF丄AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF再根据S A ABC=S ABC+&ACD列出方程求解即可.【解答】解：如图，过点D作DF丄AC于F，••• AD是厶ABC中/ BAC的角平分线，DE丄AB，••• DE=DF由图可知，S ABC=S ABD+S ACD,.•.J-X 4X 2「X ACX 2=7，解得AC=3.故选：A.【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键.8. （2013?铁岭）如图，在△ ABC和厶DEC中，已知AB=DE还需添加两个条件才能使△ ABC^A DEC不能添加的一组条件是（）A、BC=EC Z B=Z EB. BC=EC AC=DC C. BC=DC / A=Z D D.Z B=Z E, / A=Z D 【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可.【解答】解：A、已知AB=DE再加上条件BC=EC / B=Z E可利用SAS证明△ABC^A DEC故此选项不合题意；B、已知AB=DE再加上条件BC=EC AC=DC可利用SSS证明厶ABC^A DEC 故此选项不合题意；C、已知AB=DE再加上条件BC=DC / A=Z D不能证明厶ABC^A DEC故此选项符合题意；D、已知AB=DE再加上条件/ B=Z E , / A=Z D可利用ASA证明△ ABC^A DEC 故此选项不合题意；故选：C.【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL注意：AAA SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.9. （2015?湖州）如图，已知在厶ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC 交CD于点E, BC=5 DE=2则厶BCE的面积等于（）B CA. 10B. 7C. 5D. 4【分析】作EF丄BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2然后根据三角形面积公式求得即可.【解答】解：作EF丄BC于F，••• BE平分/ ABC ED丄AB，EF丄BC••• EF=DE=2S^BCE^^BC?EF= X 5 X 2=5，故选C.【点评】本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.10. （1998?南京）要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C, D,使CD=BC再定出BF的垂线DE,使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△ EDC^A ABC,得ED=AB因此测得ED的长就是AB的长，判定△ EDC^AABC最恰当的理由是（A.边角边B.角边角C.边边边D.边边角【分析】由已知可以得到/ ABCN BDE又CD=BC / ACB W DCE由此根据角边角即可判定△ EDC^A ABC.【解答】解：：BF丄AB, DE± BD•••/ ABC2 BDE又••• CD=BC Z ACBN DCE•••△ EDC^A ABC （ASA）故选B.【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的.11. （2017?石家庄模拟）如图，△ ABC的三边AB, BC, CA长分别是20, 30, 40,其三条角平分线将△ ABC分为三个三角形，则& ABO：S BCO：S CAO等于【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20, 30, 40,所以面积之比就是2: 3: 4.【解答】解：禾I」用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C.故选C.【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面3 C. 2: 3:4 D. 3: 4: 5积公式.做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的.12. （2009?鸡西）尺规作图作/ AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA, OB于C, D,再分别以点C, D为圆心，以大于二CD长为半径画弧，两弧交于点P,作射线OP由作法得厶OCF^A ODP的根据是（）【分析】认真阅读作法，从角平分线的作法得出厶0。

全等三角形证明经典(含答案)

全等三角形证明经典50题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角） ∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又，EF ∥AB ∴，∠EFD ＝∠1 ∠1=∠2ADBCBA CDF2 1 E∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD解：延长AD到E,使AD=DE∵D是BC中点∴BD=DC在△ACD和△BDE中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD≌△BDEADB CA∴AC=BE=2 ∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=28. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：1CD AB9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF 。

(word完整版)全等三角形证明经典40题(含),文档

1.： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD 的长 .AB CD解：延长 AD 到 E,使 AD=DE∵D 是BC中点∴BD=DC在△ ACD 和△ BDE 中AD=DE∠B DE= ∠ ADCBD=DC∴△ ACD ≌△ BDE∴A C=BE=2∵在△ ABE 中AB-BE ＜ AE ＜ AB+BE∵A B=4即 4-2＜ 2AD ＜4+21＜AD ＜3∴A D=22.： BC=ED ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2证明：连接BF 和 EF∵BC=ED,CF=DF, ∠ BCF= ∠ EDF∴三角形 BCF 全等于三角形EDF( 边角边 )∴BF=EF, ∠ CBF= ∠ DEF连接 BE在三角形 BEF 中 ,BF=EF∴ ∠ EBF= ∠BEF。

∵ ∠ABC= ∠AED 。

∴ ∠ABE= ∠AEB 。

∴AB=AE 。

在三角形 ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠A BF= ∠ ABE+ ∠ EBF=∠ AEB+ ∠ BEF= ∠ AEF∴三角形 ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF= ∠EAF ( ∠1=∠2)。

3.：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB过 C 作 CG∥ EF 交 AD 的延长线于点 GCG∥EF，可得，∠ EFD＝ CGDDE＝ DC∠F DE＝∠GDC〔对顶角〕∴△ EFD≌△ CGDEF＝CG∠CGD＝∠ EFD又， EF∥ AB∴，∠ EFD＝∠ 1∠1= ∠2∴∠ CGD＝∠ 2∴△ AGC 为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝ CG∴E F＝ AC4.： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ C A证明：延长AB 取点 E，使 AE ＝AC ，连接 DE∵AD 均分∠ BAC∴∠ EAD ＝∠ CAD∵AE ＝ AC ， AD ＝AD∴△ AED ≌△ ACD〔SAS〕∴∠ E＝∠ C∵AC ＝ AB+BD∴AE ＝ AB+BD∵AE ＝ AB+BE∴BD ＝ BE∴∠ BDE ＝∠ E∵∠ ABC ＝∠ E+∠ BDE∴∠ ABC ＝2∠E∴∠ ABC ＝2∠C5.： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE证明：在 AE 上取 F，使 EF＝ EB，连接 CF∵CE ⊥AB∴∠ CEB ＝∠ CEF＝ 90°∵EB ＝EF， CE＝CE，∴△ CEB ≌△ CEF(SAS)∴∠ B＝∠ CFE∵∠ B＋∠ D＝ 180°，∠ CFE＋∠ CFA ＝ 180°∴∠ D＝∠ CFA∵AC 均分∠ BAD∴∠ DAC ＝∠ FAC∵AC ＝ AC∴△ ADC ≌△ AFC 〔 SAS〕∴AD ＝ AF∴AE ＝AF ＋FE＝AD ＋BE6. 如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC， BE 、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD 上。

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一、补充条件型试题[例1] （1）（06湖北宜昌课改）如图，AB=CD,AD 、BC 相交于点O ，要使△ABO ≌△DCO 。

应添加的条件为__________（添加一个条件即可）∠A=∠B,∠A=∠C ，∠B=∠C ，∠B=∠D ，AB ∥CD(2)(05重庆中考题) 如图，已知∠ACB=∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是__________。

（只需填写一个你认为合适的条件即可）BD=CA,∠ABD=∠ACD,∠ABC=∠DCB,∠A=∠D ，S △ABO=S △CDO(3)(06深圳中考题) 如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB,若不增加任何字母与辅助线，要使△ABC ≌△DCB ，则还需要增加的一个条件是__________ AB=CD,或∠BCA=∠CBD(4)（04四川中考）如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍然无法判断△ABE ≌△ACD 的是（） =AE B.∠AEB=∠ADC =CD =AC 补充两个三角形中任意一组对应边相等即可，选B 二、组合条件型试题[例2] （05杭州中考）如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个座位题设，余下的一个作为结论，下一个真命题，加以ABOCDA DB CO A D B C A DBA DE C证明：①AB=DE ②AC=DF ③∠ABC=∠DEF ④BE=CF解析：若所选条件中含有③∠ABC=∠DEF ，则另外两个条件可选择①AB=DE ④BE=CF ，证明全等的理由是边角边定理。

真命题是：在△ABC 和△DEF 中，B,E,C,F 在同一直线上，若AB=DE,BE=CF,AC=DF,则∠ABC=∠DEF 。

[例3]（06湖北中考）如图，给出下列三个式子：①EC=BD; ②∠BDA=∠CEA;③AB=AC 请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明解析：当条件中含有②∠BDA=∠CEA ，由于∠A 共用，故无论选择①EC=BD 还是③AB=AC 其中的一个作为条件，剩下的作为结论，均能构成真命题。

真命题如下：如果∠BDA=∠CEA ，EC=BD ，那么AB=AC 如果∠BDA=∠CEA ，AB=AC ，那么EC=BD当条件中不含有②∠BDA=∠CEA 时，只能以①EC=BD ；③AB=AC 作为条件，不能证明△ABD ≌△ACE,故不能得出②∠BDA=∠CEA 。

此时没有真命题。

三、探索型试题[例4](06北京课改)如图（1）所示，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。

ADCB E请你参考这个做全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图（2），在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC,∠BCA 的平分线，AD,CE 相交于点F.请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系（2）如图（3），在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其他条件均不变，请问，你在（1）中得到的结论是否仍然成立若成立，请证明：若不成立，请说明理由。

解析：（1）FE=FD.证明：在AC 上取点M,使得AM=AE ，连接FM 。

易证△AEF ≌△AMF,△MCF ≌△DCF,故EF=FM=FD.（2）在AC 上取点M,使得AM=AE,连接FM 。

∵∠BAD=∠CAD,AF=AF,AE=AM ∴△AEF ≌△AMF ∴EF=FM,∠AFE=∠AFM∵∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,∠B=60° ∴∠AFC=120°，∠AFE=60° ∴∠MFC=60°=∠DFC ∵∠BCE=∠ACE,CF=CFOMNP (1)BC DAE(2BDC A EF(3FBCDAE(2MBDCAEF(3∴△MFC ≌△DFC ∴DF=FM=EF[例5] （2007年北京市中考题）我们知道，有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义，至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形。

(1) 请写出一个你学过的特殊四边形中师等对边四边形的图形的名称；(2) 如图，在△ABC 中，点D,E 分别在AB,AC 上，设CD,BE 相交于O ，若∠A=60°,∠DCB=∠EBC=21∠A,请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； (3) 在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D,E 分别在AB,AC 上，且∠DCB=∠EBC=21∠A,探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。

解析：（1）平行四边形，等腰梯形等等；（2）与∠A 相等的角是∠BOD(或∠COE),四边形DBCE 是等对边四边形；（3）此时存在等对边四边形DBCE.如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点。

∵∠DCB=∠EBC=21∠A,BC 为公共边 ∴△BCG ≌△CBF ∴BF=CG∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A∴∠BDF=∠GEC,∴△BDF ≌△CEG∴BD=CE 故四边形BCED 为等对边四边形AEC BDOAECBDOFG四、借助角平分线造全等[例6]（06郑州中考）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC,DG ⊥BC 且平分BC,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE,BE 的长。

解析：（1）连接BD 、CD ∵BG=CG,DG ⊥BC ∴BD=CD∵AD 平分∠BAC,DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴DE=DF∵DE ⊥AB,DF ⊥AC ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ∴BE=CF(2)由（1）可知，BE=CF.故AB=AE+BE=a,AC=AF-CF=AE-BE=b,故AE=2b a +，BE=2ba -[例7]如图，已知△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC,BE 平分∠B ，CE ⊥BD,求证：BD=2CE.解析：延长BA 、CE 交于点M∵BE ⊥CE,∠CBE=∠MBE,BE 为公共边 ∴△CBE ≌△MBE ∴ME=CE ∵BE ⊥CE,AB ⊥ACAC BEGDFACBEG D FAED. CBAED. C BM∴∠MCA=∠MBE ∵AB=AC ∴△ABD ≌△ACM ∴BD=CM=2CE五、倍长中线（线段）造全等[例8]已知，如图△ABC 中，AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是_______解析：延长AD 至E,使得AD=DE,连接CE. ∵AD=DE,BD=CD,∠ADB=∠EDC∴△ABD ≌△ECD,∴AB=CE三角形三边关系定理可知，AB-BC=5-3=2<2AD<AB+BC=3+5=8,即1<AD<4[例9] 如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，试比较BE+CF 与EF 的大小。

解析：延长FD 至M,使得DM=DF,连接BM 、EM易证△DCF ≌△DBM,故DM=DF,BM=CF 。

又DE ⊥DF,故ME=EF,在△BEM 中，BE+BM>EM,即BE+CF>EF.[例10]如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.解析：延长AE 至M ，使AE=EM,连接DMACBDAF C B ED ACE DBACBDE AF CB EDACE DBM∵DE=EC,AE=EM,∠AEC=∠MED ∴△AEC ≌△MED ∴DM=AC=BD,∠ACD=∠MDC∵∠ADB=∠DAC+∠ACD,∠ADM=∠ADC+∠MDC AC=CD →∠DAC=∠ADC AD 共用∴△ABD ≌△AMD ∴∠BAD=∠MAD 即AD 平分∠BAE[例11] 如图，已知△ABC 中，AD 平分∠是BC 的中点，ME ∥AD 交AB 于F ，交CA 延长线于E,AB>AC,求证：BF=CE解析：延长EM 至H,连接BH,易证△BHM ≌△CEM,故BH=CE ∵ME ∥AD∴∠BAD=∠BFH,∠CAD=∠CEM=∠BHF ∵∠BAD=∠CAD ∴∠BFH=∠BHF ∴BF=BH=CE[例12]（天津数学竞赛）已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC,延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF.解析：延长AD 至M,使得AD=DM,连接BM.E A CDM BAFDCBE EACDM BH AFDCBE∵∠BDM=∠CDA,AD=DM,BD=DC ∴△BDM ≌△CDA ∴BM=AC,∠BMD=∠CAD ∵BE=AC∴BE=BM,∠BEM=∠BMD ∴∠AEF=∠EAF ∴ AF=EF1、（中考题）已知：如图，OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD【解析】由OP 是∠AOC 和∠BOD 的平分线可知，∠AOB=∠COD,又OA=OC,OB=OD,故△AOB ≌△COD,所以AB=CD..2、（中考题）已知：如图，AB ∥ED ，点F 、点C 在AD 上，AB=DE,AF=DC.求证：BC=EF.【解析】∠AMB=∠CND,或∠MAB=∠NCD,或AC=BD,或AB=CD2、（06新疆）如图，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB=DE;②BC=EF;③AC=DF; ④∠A=∠D ⑤∠B=∠E;⑥∠C=∠F,以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（）A. ①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④PABDCOD A BB FEC MNA CB DA CBDEF【解析】D3、如图，P 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线AD 上的点（不与A 重合）。

求证：PB+PC>AB+AC【解析】在AE 上取点F,使得AF=AC,连接PF. ∵∠CAD=∠EAD,AC=AF,AP=AP ∴△CAP ≌△FAP ∴PF=PC 在△BPF 中，BP+PF>BF 故PB+PC>AB+AC1、如图，在△ABC 中，AC>AB,AD 为BC 边上的中线，求证：∠CAD<∠BAD【解析】延长AD 至E,使得AD=DE,连接CE, ∵∠CDE=∠BDA,AD=DE,CD=BD ∴△CDE ≌△BDA ∴CE=AB, ∠BAD=CEA 在△ACE 中，AC>AB=CE ∴∠CAD<∠CEA 故∠CAD<∠BADAEP DCBABDCAEPD CBF。