331几何概型公开课精品PPT课件
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331几何概型(共24张PPT)
全优69页变式训练
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23
4.已知地铁列车每10min一班，在车站停1min， 则乘客到达站台立即乘上车的概率为______．
解析：由于地铁列车每10min一班， 则两班列车停靠车站之间时间可用长度为 10的线段表示．
而列车在车站停1min，乘客到达站台立即 乘上车的时间可用长度为1的线段表示．
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20
解：
分析： 试验的基本事件是:
金币的中心投在由若干个小正
方形组成的阶砖面里. 3
S A
设事件A={金币不与小正方形 边相碰}
不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.
3
Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}
由几何概型的定义知：参加者获奖的概率为:
P( A)
n个A的面积 n个S的面积
A的面积 S的面积
则乘客到达站台立即乘上车的概率
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全优71页基础夯实24
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14
3.在半径为1的半圆内，放置一个边长为1/2的 正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在 正方形内的概率为___________.
解析：本题只与面积有关
由几何概型的计算公式得
全优86页限时规范训练
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15
2．如图所示的矩形，长为5，宽为2.在矩形内 随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄 豆数为138颗．则我们可以估计出阴影部分的 面积约为________．
在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
卧室
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卧室
书房
4
（1）甲壳虫每次飞行,
停留在任何一块方砖上
的概率是否相同?
（2）图中共有10X10=100
块方砖，其中有10X2=20
331几何概型(两课时)很全面PPT课件
10
x 30
题型二：区域是平面图形的几何概型问题
例2.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30~7:30之间把
报纸送到你家,你父亲在早上7:00~8:00之间离家去上班,求你父亲 在离家前能得到报纸(称为事件A)的概率.
解:以x表示报纸送到时间,以y表示父亲离家时间,建立平面直角坐标系. (x,y)可以看成平面 试中 验的 的点 全， 部结 区果 域构
9
4、向面积为S的△ABC内任投一点P，则△PBC的
面积小于 S 的概率为（ 3 ）
2
4
举例
（五）与体积有关的几何概型
（五）与体积有关的几何概型
（六）几何概型的应用
理论迁移
题型一：区域是线段的几何概型问题
例1.某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过（假设每辆车带走站
上的所有乘客），乘客到达车站的任一时刻是任意的，求乘客候 车时间不超过3分钟的概率。
1.如右下图,假设你在每个图形上随机撒 一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概 率.
练习
练习：课本：P142 A组 1, 2，3
1.一张方桌的图案如图所示.将一颗豆子 随机地扔到桌面上，假设豆子不落在线上， 求下列事件的概率： （1）豆子落在红色区域； （2）豆子落在黄色区域； （3）豆子落在绿色区域； （4）豆子落在红色或绿色区域； （5）豆子落在黄色或绿色区域.
解: 以x及 y轴分别表示甲乙二人到达约定地点的时间（分钟）, 则
，0x30 ,如图: 0 y 30
且二人会面 xy 10
y
在平面直角坐标系下，(x,y)的所有可能 30
结果是边长为30的正方形,而事件A“两人
能够会面”的可能结果由图中的阴影部
分表示,则
几何概型课件(公开课)(28张PPT)
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
3.3.1 几何概型公开课教学课件共20张PPT (共20张PPT)1
4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.
七、 作业
1.课本142 A组1、2、3题. 2.预习教材137-140页.
概率. 2.在区间[1，4]随机取出1个数，求这个数大于2的概率. 3.在区间[1，4]随机取出2个数，求这两个数的和小于3的概率. 4.在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到
显微镜下观察，发现草履虫的概率.
解决疑问：某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现， 红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至 多需要等待15秒才出现绿灯的概率为多少？
3.3 几何概型
3.3.1 几何概型
学习目标
1.理解几何概型的定义及特点(重点）． 2.会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率（重点、难点）． 3.了解几何概型与古典概型的区别．
一、复习回顾:
1.古典概型的特征
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件为有限个. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等.
A事件的区域长度15
总长度40
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至多需要等待15秒才 出现绿灯的概率为15 /40=3/8.
问：若至少需要等待15秒呢？
四、学以致用
（一）.与长度有关的几何概型
例1、某人午觉醒来，发现表停了，他打开收 音机，想听电台报时，求他等待的时间不多 于10分钟的概率。
极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心
对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ).
A1
Bπ
C1
Dπ
4
8
2
4
3.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱，点 O 为这个圆柱底面圆
331几何概型课件
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式3】在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM 交线段AB于M，求使|AM|＞|AC|的概率．
解 如图所示，因为过一点作射线是均匀 的，因而应把在∠ACB内作射线CM看做 是等可能的，基本事件是射线CM落在 ∠ACB内任一处，使|AM|＞|AC|的概率只与∠BCC′的大小 有关，这符合几何概型的条件． 设事件D为“作射线CM，使|AM|＞|AC|”． 在 AB 上取点 C′使|AC′|＝|AC|，因为△ACC′是等腰 三角形，所以∠ACC′＝180°－2 30°＝75°， μA＝90－75＝15，μΩ＝90，所以 P(D)＝1950＝16.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
特别提示 在使用几何概型中，事件 A 的概率计算公式
P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的构区成域的长区度域面长积度或面体积积或 体积时，公式中 分子和分母涉及的几何度量一定要对等．即若一个是长度，则另 一个也是长度．一个若是面积，则另一个也必然是面积，同样， 一个若是体积，另一个也必然是体积．
距离平面 ABCD 及平面 A1B1C1D1 的距离都大于a3的概率为13.
(8 分)
(3)设点 M 到平面 ABCD 的距离为 h，由题意，得13a2h＜16a3，
∴h＜a2.
∴使四棱锥 M－ABCD 的体积小于16a3 的概率为12.
(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【题后反思】 分清题中的条件，提炼出几何体的形状， 并找出总体积是多少．以及前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
解 记 E：“A 与 C，B 与 D 之间的距离都不小于 10 米”， 把 AB 三等分，由于中间长度为 30×13＝10(米)，所以 P(E) ＝1300＝13.
3.3.1 几何概型(共36张PPT)
.
几何概型的概率计算公式中的“长度”并不是实际意义上 的长度,它的意义取决于试验的全部结果构成的区域,当区域分别是 线段、平面图形和几何体时,相应的“长度”分别是线段的长度、平 面图形的面积和几何体的体积.
【做一做 1】一个红绿灯路口,红灯亮的时间为 30 秒,黄灯亮的 时间为 5 秒,绿灯亮的时间为 45 秒.当你到达路口时,恰好看到黄灯亮 的概率是( ) A.
题型一
长度型的几何概型
【例题 1】一只蚂蚁在三边边长分别为 3,4,5 的三角形的边上爬行, 某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 为 .
解析:如图所示,△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5, 则△ABC 的周长为 3+4+5=12.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三 个顶点的距离均超过 1 为事件 A, 则
1 答案:2 ������������ +������������+������������ P(A)= ������������ +������������+������������
=
3+2+1 12
=
1 . 2
如果试验的结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意义 上的线段长度,这种概率称为长度型的几何概型,可按下列公式来计 算其概率: P(A)=
几何概型 ①基本事件无限个 ②P (A)=0⇐A 为不可能事件 ③P (B)=1⇐B 为必然事件
因此判断一个概率模型属于古典概型还是属于几何概型的步骤是: (1)确定一次试验中每个结果(基本事件)的可能性(概率)是否均 等, 如果不均等, 那么既不属于古典概型也不属于几何概型; (2)如果试验中每个结果出现的可能性是均等的, 再判断试验结 果的有限性. 当试验结果有有限个时, 这个概率模型属于古典概型;当 试验结果有无限个时, 这个概率模型属于几何概型.
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思考1：①某班公交车到终点站的时间可 能是11：30～12：00之间的任何一个时 刻； ②往一个方格中投一粒芝麻，芝麻 可能落在方格中的任何一点上.
这两个试验可能出现的结果是有限个， 还是无限个？若没有人为因素，每个试 验结果出现的可能性是否相等？
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩 转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲 获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率 分别是多少？
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
知识探究（二）：几何概型的概率计算
对于具有几何意义的随机事件，或 可以化归为几何问题的随机事件，一般 都有几何概型的特性，我们希望建立一 个求几何概型的概率公式.
问题1：有一根长度为3m的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得的两段的长 度都不小于1m的概率是多少？你是怎样 计算的？
问题1
试验是什么？
所有基本事件 所有点形成的线段 所有点形成 形成的集合 所有点形成的大圆面区域D
随机事件A对 应的集合
事件A发生 的概率线段CD 小圆面区域D内的某个 指定区域d
P(
A)
d的测度（长度、 D的测度（长度、
面积等） 面积等）
例题讲解
例1. 某人午觉醒来，发现表停了， 他打开收音机，想听电台整点报时，求 他等待的时间不多于10分钟的概率.
60
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
P(A)=6０２－4０２
6０２
＝５
９
小结
1.几何概型的特点：试验可能出现的结 果有无限多个，并且每个结果发生的可 能性相等，
2.几何概型是不同于古典概型的又一个 最基本、最常见的概率模型，其概率计 算原理通俗、简单，对应随机事件及试 验结果的几何量可以是长度、面积或体 积.
上述每个扇形区域对应的圆弧的长度 （或扇形的面积）和它所在位置都是可 以变化的，从结论来看，甲获胜的概率 与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？ 哪个因素无关？
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形 区域所在的位置无关.
如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概型.
问题2
基本事件
所有基本事件 形成集合
随机事件A对 应的集合 事件A发生的 概率
在大圆面内取某 一点
直径为122cm的 大圆面
直径为12.2cm的 小圆面
小圆面的面积 P( A) 大圆面的面积
思考：上述2个概率问题有什么共同点？
问题1、问题2 提炼概括
一个基本事件 在线段AB上取一点在对应的整个图 在大圆面内取一点 形上任取一点
例4 .假设你家订了一份报纸,送报人可 能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你 家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前 能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
变式训练3. 甲乙两人相约上午8点到9点 在某地会面，先到者等候另一人20分钟， 过时离去，求甲乙两人能会面的概率.
·
例3 .在1L高产小麦种子中混入了一 粒带麦锈病的种子，从中取出10mL， 含有麦锈病种子的概率是多少？
解：设“取出含有麦锈病种子”为事件A
P(A)=
变式训练 1.某路公共汽车10分钟一班 准时到达某车站,求任一人在该车站 等车时间少于3分钟的概率（假定车 到来后每人都能上）.
2 .在1万平方千米的海域中有40平 方千米的大陆架储藏着石油,假设在 海域中任意一点钻探,钻到油层面的 概率是多少？
1.古典概型有哪两个基本特点？
（1）试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个（有限性）；
（2）每个基本事件出现的可能性相等 （等可能性）. 2.在现实生活中，常常会遇到试验的所 有可能结果是无穷多的情况，这时就不 能用古典概型来计算事件发生的概率.对 此，我们必须学习新的方法来解决这类 问题.
知识探究（一）：几何概型的概念
解：设“等待时间不多于10分钟”为事件A，事件所有结 果是分钟数在[0,60]的任意时刻，事件A所在的区域是 [50,60]的任意时刻.那么
P(A)=
例2. 取一个边长为2a的正方形及其内切 圆（如图），随机向正方形内丢一粒 豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：设“豆子落入圆内”为事件A 2a
P(A)=
若甲8点到， 乙8点15分到， 能会面吗
两人相约于 8 时到 9 时在公园见面，先到者等 候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。
解.
以 7 点为坐标原点，
y
60
小时为单位。x，y 分别表示
S
A
两人到达的时间，( x，y ) 20
构成边长为 60的正方形S，
o
显然这是一个几何概率问题。
20
x
一个基本事 件是什么？ 所有基本事件 的集合是？
事件A对应的 集合是？
在线段AB上任
3m
取一点
A
B
3m
取到线段AB上 A
B
某一点
线段AB
3m
A
B
线段CD
1m
AC DB
问题2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色 的分环，从外向内依次为白色、黑色、 蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？
这两个试验可能出现的结果是有限个， 还是无限个？若没有人为因素，每个试 验结果出现的可能性是否相等？
思考2：下图中有两个转盘，甲乙两人玩 转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲 获胜，否则乙获胜.你认为甲获胜的概率 分别是多少？
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
知识探究（二）：几何概型的概率计算
对于具有几何意义的随机事件，或 可以化归为几何问题的随机事件，一般 都有几何概型的特性，我们希望建立一 个求几何概型的概率公式.
问题1：有一根长度为3m的绳子，拉直后 在任意位置剪断，那么剪得的两段的长 度都不小于1m的概率是多少？你是怎样 计算的？
问题1
试验是什么？
所有基本事件 所有点形成的线段 所有点形成 形成的集合 所有点形成的大圆面区域D
随机事件A对 应的集合
事件A发生 的概率线段CD 小圆面区域D内的某个 指定区域d
P(
A)
d的测度（长度、 D的测度（长度、
面积等） 面积等）
例题讲解
例1. 某人午觉醒来，发现表停了， 他打开收音机，想听电台整点报时，求 他等待的时间不多于10分钟的概率.
60
他们能见面应满足 | x – y | ≤ 20 ，因此，
P(A)=6０２－4０２
6０２
＝５
９
小结
1.几何概型的特点：试验可能出现的结 果有无限多个，并且每个结果发生的可 能性相等，
2.几何概型是不同于古典概型的又一个 最基本、最常见的概率模型，其概率计 算原理通俗、简单，对应随机事件及试 验结果的几何量可以是长度、面积或体 积.
上述每个扇形区域对应的圆弧的长度 （或扇形的面积）和它所在位置都是可 以变化的，从结论来看，甲获胜的概率 与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？ 哪个因素无关？
与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形 区域所在的位置无关.
如果每个事件发生的概率只与构成该 事件区域的长度（面积或体积）成比例， 则称这样的概率模型为几何概型.
问题2
基本事件
所有基本事件 形成集合
随机事件A对 应的集合 事件A发生的 概率
在大圆面内取某 一点
直径为122cm的 大圆面
直径为12.2cm的 小圆面
小圆面的面积 P( A) 大圆面的面积
思考：上述2个概率问题有什么共同点？
问题1、问题2 提炼概括
一个基本事件 在线段AB上取一点在对应的整个图 在大圆面内取一点 形上任取一点
例4 .假设你家订了一份报纸,送报人可 能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你 家,你父亲离开家去工作的时间在早上 7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前 能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?
变式训练3. 甲乙两人相约上午8点到9点 在某地会面，先到者等候另一人20分钟， 过时离去，求甲乙两人能会面的概率.
·
例3 .在1L高产小麦种子中混入了一 粒带麦锈病的种子，从中取出10mL， 含有麦锈病种子的概率是多少？
解：设“取出含有麦锈病种子”为事件A
P(A)=
变式训练 1.某路公共汽车10分钟一班 准时到达某车站,求任一人在该车站 等车时间少于3分钟的概率（假定车 到来后每人都能上）.
2 .在1万平方千米的海域中有40平 方千米的大陆架储藏着石油,假设在 海域中任意一点钻探,钻到油层面的 概率是多少？
1.古典概型有哪两个基本特点？
（1）试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个（有限性）；
（2）每个基本事件出现的可能性相等 （等可能性）. 2.在现实生活中，常常会遇到试验的所 有可能结果是无穷多的情况，这时就不 能用古典概型来计算事件发生的概率.对 此，我们必须学习新的方法来解决这类 问题.
知识探究（一）：几何概型的概念
解：设“等待时间不多于10分钟”为事件A，事件所有结 果是分钟数在[0,60]的任意时刻，事件A所在的区域是 [50,60]的任意时刻.那么
P(A)=
例2. 取一个边长为2a的正方形及其内切 圆（如图），随机向正方形内丢一粒 豆子，求豆子落入圆内的概率。
解：设“豆子落入圆内”为事件A 2a
P(A)=
若甲8点到， 乙8点15分到， 能会面吗
两人相约于 8 时到 9 时在公园见面，先到者等 候 20 分钟就可离去，求两人能够见面的概率。
解.
以 7 点为坐标原点，
y
60
小时为单位。x，y 分别表示
S
A
两人到达的时间，( x，y ) 20
构成边长为 60的正方形S，
o
显然这是一个几何概率问题。
20
x
一个基本事 件是什么？ 所有基本事件 的集合是？
事件A对应的 集合是？
在线段AB上任
3m
取一点
A
B
3m
取到线段AB上 A
B
某一点
线段AB
3m
A
B
线段CD
1m
AC DB
问题2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色 的分环，从外向内依次为白色、黑色、 蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫 “黄心”.奥运会射箭比赛的靶面直径是 122cm，黄心直径是12.2cm，运动员在距 离靶面70m外射箭.假设射箭都等可能射 中靶面内任何一点，那么如何计算射中 黄心的概率？