华工自动化线性系统第一次 大作业
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三、求状态转移矩阵的几种方法
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
XT=M*(X0+B) subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2]) subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
a0=a(1,1); %求解公式中的第一个系数 a1=a(2,1); %求解公式中的第二个系数 a2=a(3,1); %求解公式中的第三个系数 a3=a(4,1); %求解公式中的第四个系数disLeabharlann ('状态转移阵位');
M=a0*I+a1*A+a2*A^2+a3*A^3; %求系统的状态方程
X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0];
subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
运行结果为： 图2为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图2 拉氏反变换法求单位脉冲响应仿真波形
3、利用凯莱—哈密顿定理求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear clc syms s t a M a0 a1 a2 a3 b0 b1 b2 b3 X0 B XT I=eye(4); A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; [V,D]=eig(A); b1=D(1,1);b2=D(2,2);b3=D(3,3);b4=D(4,4); c=[1 b1 (b1)^2 (b1)^3;1 b2 (b2)^2 (b2)^3;1 b3 (b3)^2 (b3)^3;1 b4 (b4)^2 (b4)^3]; d=inv(c); disp('系数矩阵如下:'); f=[exp((b1)*t);exp((b2)*t);exp((b3)*t);exp((b4)*t)]; a=d*f;
所以对一个系统而言，的求解是很重要的，只要求出的值 就可以计算出系统的输出，也就可以了解到系统的特性。显 然，求解状态方程的解的实质是求解状态转移矩阵的问题。
为了得到系统的零输入响应，需要求出状态转移阵，同时 可以得到每个状态在任意时刻的输出，由于输出是各个状态的 线性组合，所以就可以知道了系统在不同的C阵和D阵下的输 出。因此，求解对系统很重要，是求解系统的核心，所以先讨 论的求解方法。
， ，。
当A的特征根存在重根时，若A的特征根为，代数重数为 4，几何重数为1，则只有一个无关解，则需要3个线性无关向 量构成的一组 基。这3个 向量满足下面的性质。。如果A的个 特征向量v满足，。v称为generalized eigenvector of grade n。
（2）的特征值有重根，此时，，其中。 ,.
四、仿真结果及分析
下面通过飞机的例子说明对系统的状态转移矩阵的求解方 法，比较各种方法的不同之处，并对例子进行一定的分析。
例如: 描述AFTI-16战斗机纵向运动的状态空间方程为：
1、利用定义法求及仿真：
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear syms M t X0 B XT X0=[0;0;0;0];%初始状态。 disp('矩阵A为:') A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0] %求解2!3!4！5！. n2=factorial(2); n3=factorial(3); n4=factorial(4); n5=factorial(5); I=eye(4); disp('取最高次为5时M的值为：') M=I+A*t+(1/n2)*A^2*t^2+(1/n3)*A^3*t^3+ (1/n4)*A^4*t^4+(1/n5)*A^5*t^5 %求解本系统的状态转移矩阵。 B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) ezplot(XT(1,1),[0,2])%画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显 示在左上角。 subplot(2,2,2) ezplot(XT(2,1),[0,2]) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它 显示在右上角。 subplot(2,2,3) ezplot(XT(3,1),[0,2]) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它
运行结果为： 图3为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图3 凯莱—哈密顿定理求单位脉冲响应仿真波形
4、利用约旦标准型法求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear clc syms M B N t a0 a1 a2 a3 X0 XT A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; [T,D]=eig(A);%求特征值和特征向量. H=inv(T)*A*T; a0=D(1,1); a1=D(2,2); a2=D(3,3); a3=D(4,4); N=[exp(a0*t) 0 0 0;0 exp(a1*t) 0 0;0 0 exp(a2*t) 0;0 0 0 exp(a3*t)]; M=T*N*inv(T); X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0];
= =
当A的特征根互异时，一般计算方法为： A的特征根均相同时，为时，则
方法4：变换为约旦标准型： （1）的特征根互异，此时，其中是使变换为对角矩阵的变
换阵，。设A的特征根为，i=1,2,3……，n。是A关于的特征向 量，满足。可得到基于n个特征向量构造变换阵T，，则状态方 程可通过奇异变换而化为Jordan标准型。
线性时不变系统的响应=零输入响应+零状态响应。即：， 其中，为初始条件，为输入，所以在输入矩阵、输入信号、初 始状态已知的情况下，只要求出来状态转移阵，就可以求出系 统的输出。例如：线性系统输入为一个脉冲信号时，系统的响 应为脉冲响应。脉冲响应可以描述系统的输入输出特性。当线 性系统初始条件为零时，脉冲响应：。它本质上也是求的系统 的状态转移阵。
XT=M*(X0+B) %其中，M即为所求的结果，B为A矩阵的约旦标准型，T为变换矩阵。 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2]) subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
显示在左下角。 subplot(2,2,4) ezplot(XT(4,1),[0,2]) %画出x(t)d第四个分量X1(t),并把它 显示在右下角。
运行结果为： 图1为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图1 定义法求单位脉冲响应仿真波形
2、利用拉氏反变换法求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
通常地，我们将横向运动和纵向运动分开，因为在许多情 况下，横向运动和纵向运动的耦合很弱。因此，控制系统的设 计可以将各个通道独立进行考虑。
飞机机体的轴由X、Y和Z表示，原点选在某些参考点（通常 是飞机的重心）。侧倾、俯仰和偏航运动组成围绕x，y和z轴 的旋转。θ表示在侧视图向上旋转俯仰角的增加；在飞机的顶 视图上，ψ表示偏航角，以逆时针方向增加；在飞机的前视图 上，滚动角φ（以逆时针方向增加）。我们让
==
因为，两边取拉氏变换得：，即 ，所以。对上式两边取拉氏反变换，可得： 。
方法3：利用凯莱—哈密顿定理求： （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程， 即 所以有： 它是的线性组合。 同理，可得，以此类推，都可以用线性表示。 （2）在的定义中，用上面的方法可以消去的n及n以上的幂次 项，即
运行结果为： 图4为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
分别表示偏航率、俯仰速率和滚转率。速度矢量V是以U、V 和W为投影分别投射到X、Y和Z轴上的。迎角α是速度向量与X 轴俯仰方向的夹角，侧滑角β是它与X轴偏航方向的夹角。注 意，当角很小的时候，
飞机的俯仰运动通常由叫做升降舵的控制面控制，翻滚由 副翼控制，偏航由方向舵控制。
我们只对其中一些变量感兴趣。作为一个具体的例子，考 虑实际飞机的数字数据，一架AFTI-16（F16战斗机的一个修改
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
XT=M*(X0+B) subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2]) subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
a0=a(1,1); %求解公式中的第一个系数 a1=a(2,1); %求解公式中的第二个系数 a2=a(3,1); %求解公式中的第三个系数 a3=a(4,1); %求解公式中的第四个系数disLeabharlann ('状态转移阵位');
M=a0*I+a1*A+a2*A^2+a3*A^3; %求系统的状态方程
X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0];
subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
运行结果为： 图2为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图2 拉氏反变换法求单位脉冲响应仿真波形
3、利用凯莱—哈密顿定理求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear clc syms s t a M a0 a1 a2 a3 b0 b1 b2 b3 X0 B XT I=eye(4); A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; [V,D]=eig(A); b1=D(1,1);b2=D(2,2);b3=D(3,3);b4=D(4,4); c=[1 b1 (b1)^2 (b1)^3;1 b2 (b2)^2 (b2)^3;1 b3 (b3)^2 (b3)^3;1 b4 (b4)^2 (b4)^3]; d=inv(c); disp('系数矩阵如下:'); f=[exp((b1)*t);exp((b2)*t);exp((b3)*t);exp((b4)*t)]; a=d*f;
所以对一个系统而言，的求解是很重要的，只要求出的值 就可以计算出系统的输出，也就可以了解到系统的特性。显 然，求解状态方程的解的实质是求解状态转移矩阵的问题。
为了得到系统的零输入响应，需要求出状态转移阵，同时 可以得到每个状态在任意时刻的输出，由于输出是各个状态的 线性组合，所以就可以知道了系统在不同的C阵和D阵下的输 出。因此，求解对系统很重要，是求解系统的核心，所以先讨 论的求解方法。
， ，。
当A的特征根存在重根时，若A的特征根为，代数重数为 4，几何重数为1，则只有一个无关解，则需要3个线性无关向 量构成的一组 基。这3个 向量满足下面的性质。。如果A的个 特征向量v满足，。v称为generalized eigenvector of grade n。
（2）的特征值有重根，此时，，其中。 ,.
四、仿真结果及分析
下面通过飞机的例子说明对系统的状态转移矩阵的求解方 法，比较各种方法的不同之处，并对例子进行一定的分析。
例如: 描述AFTI-16战斗机纵向运动的状态空间方程为：
1、利用定义法求及仿真：
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear syms M t X0 B XT X0=[0;0;0;0];%初始状态。 disp('矩阵A为:') A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0] %求解2!3!4！5！. n2=factorial(2); n3=factorial(3); n4=factorial(4); n5=factorial(5); I=eye(4); disp('取最高次为5时M的值为：') M=I+A*t+(1/n2)*A^2*t^2+(1/n3)*A^3*t^3+ (1/n4)*A^4*t^4+(1/n5)*A^5*t^5 %求解本系统的状态转移矩阵。 B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) ezplot(XT(1,1),[0,2])%画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显 示在左上角。 subplot(2,2,2) ezplot(XT(2,1),[0,2]) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它 显示在右上角。 subplot(2,2,3) ezplot(XT(3,1),[0,2]) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它
运行结果为： 图3为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图3 凯莱—哈密顿定理求单位脉冲响应仿真波形
4、利用约旦标准型法求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
clear clc syms M B N t a0 a1 a2 a3 X0 XT A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; [T,D]=eig(A);%求特征值和特征向量. H=inv(T)*A*T; a0=D(1,1); a1=D(2,2); a2=D(3,3); a3=D(4,4); N=[exp(a0*t) 0 0 0;0 exp(a1*t) 0 0;0 0 exp(a2*t) 0;0 0 0 exp(a3*t)]; M=T*N*inv(T); X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0];
= =
当A的特征根互异时，一般计算方法为： A的特征根均相同时，为时，则
方法4：变换为约旦标准型： （1）的特征根互异，此时，其中是使变换为对角矩阵的变
换阵，。设A的特征根为，i=1,2,3……，n。是A关于的特征向 量，满足。可得到基于n个特征向量构造变换阵T，，则状态方 程可通过奇异变换而化为Jordan标准型。
线性时不变系统的响应=零输入响应+零状态响应。即：， 其中，为初始条件，为输入，所以在输入矩阵、输入信号、初 始状态已知的情况下，只要求出来状态转移阵，就可以求出系 统的输出。例如：线性系统输入为一个脉冲信号时，系统的响 应为脉冲响应。脉冲响应可以描述系统的输入输出特性。当线 性系统初始条件为零时，脉冲响应：。它本质上也是求的系统 的状态转移阵。
XT=M*(X0+B) %其中，M即为所求的结果，B为A矩阵的约旦标准型，T为变换矩阵。 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2]) subplot(2,2,3) %画出x(t)d第三个分量X3(t),并把它显示在左下 角。 ezplot(XT(3,1),[0,2]) subplot(2,2,4) %画出x(t)d第一个分量X4(t),并把它显示在右下 角。 ezplot(XT(4,1),[0,2])
显示在左下角。 subplot(2,2,4) ezplot(XT(4,1),[0,2]) %画出x(t)d第四个分量X1(t),并把它 显示在右下角。
运行结果为： 图1为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
图1 定义法求单位脉冲响应仿真波形
2、利用拉氏反变换法求及仿真
的求解及求系统单位脉冲响应的Matlab程序如下：
通常地，我们将横向运动和纵向运动分开，因为在许多情 况下，横向运动和纵向运动的耦合很弱。因此，控制系统的设 计可以将各个通道独立进行考虑。
飞机机体的轴由X、Y和Z表示，原点选在某些参考点（通常 是飞机的重心）。侧倾、俯仰和偏航运动组成围绕x，y和z轴 的旋转。θ表示在侧视图向上旋转俯仰角的增加；在飞机的顶 视图上，ψ表示偏航角，以逆时针方向增加；在飞机的前视图 上，滚动角φ（以逆时针方向增加）。我们让
==
因为，两边取拉氏变换得：，即 ，所以。对上式两边取拉氏反变换，可得： 。
方法3：利用凯莱—哈密顿定理求： （1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A满足其自身的特征方程， 即 所以有： 它是的线性组合。 同理，可得，以此类推，都可以用线性表示。 （2）在的定义中，用上面的方法可以消去的n及n以上的幂次 项，即
运行结果为： 图4为系统的单位脉冲响应x（t）的四个状态的仿真波形图。
分别表示偏航率、俯仰速率和滚转率。速度矢量V是以U、V 和W为投影分别投射到X、Y和Z轴上的。迎角α是速度向量与X 轴俯仰方向的夹角，侧滑角β是它与X轴偏航方向的夹角。注 意，当角很小的时候，
飞机的俯仰运动通常由叫做升降舵的控制面控制，翻滚由 副翼控制，偏航由方向舵控制。
我们只对其中一些变量感兴趣。作为一个具体的例子，考 虑实际飞机的数字数据，一架AFTI-16（F16战斗机的一个修改