周期信号的频谱分析——傅里叶级数(16)

二．指数函数形式的傅里叶级数
第第 页页
1．复指数正交函数集 e jn 1 t n 0 , 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n 1)ejn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
T1 f(t)ejn1t dt
F(n
1)
0
e e dt T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1 T1 f(t)ejn1tdt
ejn1和e－jn1，才能保 f(t)的 证实函数的性质不
X
1166
第第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系 页页 偶函数 奇函数 奇谐函数 偶谐函数 注：指交流分量
X
1177
第第
1．偶函数 页页
信号波形相对于纵轴是对称的
f(t)f(t)
f (t) E
bn 0
T O
T
t
anT 40T 2f(t)cons1tdt0
第第
页页
● 三角函数c形 n~式 ，： n~ 单边频谱
指数函数F 形 n ~式 ， ： n ~ 双边频谱
关系 F (n 1 )1 2 c n n 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 偶频 函谱 数为
F(n1) F(n1)
● 相位频谱为奇函数
(n1)(n1)
X
1155
第第
(3)三个性质 页页
收敛性n： , Fn1
谐 波 性（：离 散 性 ） ，现 频在 n率 1处 只 出
惟 一 性f： (t)的 谱 线 唯 一 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率(n1)，只有数学意义，而无
物理意义。为什么引入负频率?
ft是实函Βιβλιοθήκη Baidu，分解 数成 ，虚 必指 须有共轭对
T1 0
5
X
88
说明
第第 页页
f(t) F(n1)ejn1t n
Fn1
1T 1f(t)ejn 1 tdt T 1 0
4 5
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
的线性组合。
•如给 F (n 1)出 ，ft则 惟一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。
X
99
55
其他形式
第第 页页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
cn an2 bn2
ancncosn bncnsinn
n arctanabnn
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
an bn
andnsinn bndncosn
X
66
幅度频率特性和相位频率特性
第第 页页
周 期 信 号 可， 分基 解 波 为 1）（ 直 和流 各 次 谐 （n1:基 波 角 频 率的 线 整性 数组 倍合 ）。
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
可画出频谱图。
周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性 。
X
77
f (t)
1
O 1
T
t
bnT 20Tf(t)sin n1tdt
4
T
2f(t)s
T0
in1tdt0
F nF (n 1)1 2anjbn1 2jbn
傅 里 叶 级 数 中 量无 ， F(n余 1)为 弦虚 分函 数 。
FnF (n1)1 2anjbn1 2an
n 0
傅里叶级数中不 项含 ，正 只弦 含直流项 项和 。余
F(n1)为实函数。
X
1188
2．奇函数
第第
页页
波形相对于纵对 坐称 标的 f是 (t： )反 f(t)
a0
1 T
T
2 T
2
f(t)dt =0
anT 2T 2T 2 f(t)cons1tdt0 T
三．两种系数之间的关系及频谱图 第第 页页
F(n1)T 10Tf(t)ejn1tdt 利用欧拉公式
T 10 T f(t)cn o1 ts d t jT 10 T f(t)sin n 1 td t
1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) cn o 1 td s t j T 1 0 T f( t) sn i1 n td t
X
1133
第第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 页页
三角形式 指数形式
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1
= c 0 c n c n 1 t o n ) s
n 1
f(t) F(n1) ejn1t n
X
1144
(2)两种频谱图的关系
1 2
an
jbn
F(n1),F(n1)是复数F n 1F (n 1)ejn
X
1100
第第
幅频特性和相频特性 页页
幅频特性
F(n1)1 2 an 2bn 21 2cn
相频特性
n
ar
ctanabnn
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实 取际 正值） 关于 的奇函数（n实 取际 正值） 关于 的偶函数 关于 的奇函数
角1频 2 T 1率
为
f(t)a 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t 1 n 1
称为三角形式的傅里叶级数，其系数
直流分量
a0
1 T
t0T t0
f(t)dt
余弦分量的幅度 anT 2tt00Tf(t)con s1tdt
正弦分量的幅度 bnT 2tt00Tf(t)sin1tdt X
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T
2Tcons1tsinm1t0 T 2T 22cons1tcom s1t T 2 0,,
mn mn
T
2Ts 2
in1ts
im n1t T 2,
0,
mn mn
X
44
第第
2．级数形式
页页
周 期f信 t,周 号期 T1,基 为波
在满足狄氏条件时，可展成
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
22
主要内容
第第
页页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
33
一．三角函数形式的傅里叶级数
第第
页页
1.三角函数集
cn o 1 ts ,sn i1 n t 是一个完备的正交函数集
X
频谱图
幅度频谱
cn ~ 或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
O 1 3 1
相位频谱
n
n ~曲线
O 1 3 1
第第 页页
离散谱，谱线
X
1111
1122
第第
四．总结 页页 （1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质 （4）引入负频率