幂级数详解

当 x 0时, 当 x 2时,
级数 (1)n 收敛;
n1 n
级数 1 发散;
n1 n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
例
:
求几
何级
数
(
x
)n的
收敛
域,
发
散域
及和
函数
n0 2
二、幂级数及其收敛性
1.定义:
形如 an ( x x0 )n 的级数称为x x0 的幂级数.
n0
当x0 0时, anxn称为x的幂级数
例1 : 求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域
(1)
(1)n
xn
n0 (n 1)3n
(2)
xn
n0 n!
(3) (1)n 2n (x 1)n .
n1
n2
(3) (1)n 2n (x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 R 1 ,
n an n n 1
求
n1
[ (-21n)n
xn
3n xn ]的收敛半径、收敛域
解 : (1)n xn :
n1 2n
lim an1 n an
1
lim 2n1
1
n 1 2n
2
R1 2
3n xn :
n1
lim an1 n an
lim
n
3n1 3n
3
R2
1 3
故R
min{R1 , R2
}
1 3
在x
1 处,原级数 3
例如级数 xn 1 x x2 ,
n0
2.收敛点与收敛域:
如果x0 D,数项级数 un ( x0 )收敛,
n1
则称x0 为级数 un ( x)的收敛点, 否则称为发散点.
n1
函数项级数 un( x)的所有收敛点的全体称为收敛域, n1
所有发散点的全体称为发散域.
3.和函数:
在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数
n0
不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
例3 若幂级数 an (x 1)n在x 3处收敛,则在x 1处( )
n0
(A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)敛散性不定
例4 若幂级数 an (x 3)n在x 5处发散,则在x 0处( )
lim un1(x) lim n 1 1
n un (x)
n n 1 1 x 1 x
(1) 当 1 1, 1 x
1 x 1,
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛.
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
n0
其中an 为幂级数系数.
2、收敛性
考虑 : 幂级数 anxn
n0
假设lim an1 n an
由比值判别法: limun1( x) liman1 x x
当
0时
:
当
x
n
1
un ( x) n an R,绝对收敛,收敛区间为(R,R)
当x
1
Hale Waihona Puke Baidu
R,
发散,
发散区间为(
,
R),
(R,
)
当x
1
R,
s(x),称s(x) 为函数项级数的和函数.
s( x) u1( x) u2( x) un( x) (定义域是?) 函数项级数的部分和 sn ( x),
lim
n
sn
(
x)
s(
x)
(x在收敛域上)
注意 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上 是数项级数的收敛问题.
例 求级数 (1)n ( 1 )n的收敛域. n1 n 1 x 解 由达朗贝尔判别法
2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
故收敛域为(0,1].
收敛
例2 求下列函数的收敛半径
(1)
n0
(2n)! (n!)2
x
2n
解 应用达朗贝尔判别法
( 2n1)!x2n2
lim un1( x) lim n un ( x) n
1 (2x 1)2 2
1
2x 1 2, R 2
2
即 x 1 2 时, 级数收敛, 22
（补充）定理 (Abel 定理)
如果级数 an x n 在x x0 ( x0 0) 处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切x 处绝对收敛;
如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满足
n0
在x 2处( ) (A)条件收敛;(B)绝对收敛;(C)发散;(D)敛散性不定
三、幂级数的运算
1.代数运算性质:
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
则 (anxn bnxn )的收敛半径为 R minR1 ,R2
n0
取R min{ R1 , R2 }
例5
第四节a 幂 级 数
一、函数项级数的一般概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算性质
一、函数项级数的一般概念
1.定义:
设u1( x), u2 ( x),, un ( x),是定义在实数集 D 上的函
数,则 un ( x) u1( x) u2 ( x) un ( x)
n1
称为定义在区间 D 上的(函数项)无穷级数.
[(1)n
n1
1 6n
1]
收敛域为( 1 , 1) 33
发散
在x
1 处,原级数 3
1
[
n1
6n
(1)n ]
代入原
级数
判
定
当 0时 : lim un1( x) 0 1,级数收敛 n un ( x)
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛区间是指开区间(-R,R) 幂级数的收敛域是指下列四个区间之一:
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
规定 (1) 幂级数只在x 0处收敛, R 0, 收敛区间{0};
[( n 1)!]2 ( 2n )! x2 n
[( n!)]2
4x2 1
x 1, 2
R1 2
即 x 1时, 2
级数收敛,
(2) (2x 1)2n1
n1
n2n
缺少偶次幂的项
解 应用达朗贝尔判别法
( 2x1)2n1
lim un1( x) n un ( x)
lim (n1)2n1 n ( 2x1)2n1 n 2n
(2) 幂级数对一切x 都收敛, R , 收敛区间(,).
P486 定理 3 如果幂级数 an x n 的所有系数an 0,
n0
设 lim an1 ,则 n an
(1) 当 0时,R 1 ;
(3) 当 时,R 0 .
(2) 当 0时,R ;
系数模比值法
求幂级数的收敛半径的方法:比值判别法;系数模比值法.