2018 2019高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程22椭圆221椭圆的标准方程讲义含解析苏教版选修

2．2.1 椭圆的标准方程

P20][对应学生用书

DABC(02,0)，，－(2,0)，2)(0,2)，在平面直角坐标系中，已知．(－yxxyPPAPBP，，)(问题1：若动点满足，＋则＝6，设满足的关系式是什么？的坐标为提示：由两点间距离公式得2222yxyx62)＋(，＋2)＋＋(＝－22yx1.

＋＝化简得59yxyPDPxPPC、的坐标为(，问题2：若动点满足什么关系？满足)＋＝6，设，则提示：由两点间距离公式得2222yxxy＝6，＋＋((－2) ＋＋2)22xy1.

化简得＋＝59

椭圆的标准方程

aba，．标准方程中的两个参数，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件．和1222cbcbcaba. 大小不确定，且满足，三者之间＝最大，，＋2．两种形式的标准方程具有共同的特征：方程右边为1，左边是两个非负分式的和，xxy轴上当椭圆焦点在项的分母大；并且分母为不相等的正值．当椭圆焦点在含轴上时，yab>0这个条件．> 时，含项的分母大，已知椭圆的方程解题时，应特别注意

[对应学生用书P20]

待定系数法求椭圆标准方程

1] 求适合下列条件的椭圆的标准方程：[例??14?? 2)，－，(1)经过两点；(2，－1??222

xy ＝1有相同的焦点．(2)过点(3，－5)，且与椭圆＋ 925yx 轴上两种情[思路点拨] (1)由于

椭圆焦点的位置不确定，故可分焦点在轴上和在22

BAxByBABAA .(2)，)，况进行讨论．也可利用椭圆的一般方程＋>0＝1(其中，直接求>0，≠ba ，5)代入，即可求出，则标准方程易得．求出焦点，然后设出相应方程，将点(3，－x [精解详析] (1)法一：若焦点在轴上，设椭圆的标准方程为22

yxba 1(>0)>．＋＝

22

ba

1421

????，＋＝1，＝

222

aba 8

?? 由已知条件得解得11114????.＝1＋，＝

222

bba 4422

yx 1.

所以所求椭圆的标准方程为＋＝ 4822

xybya >0)轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(．若焦

点在>

22

ba

1214

????，，＝＋＝1

222

bba 8

?? 由已知条件得

解得11114

????.＝＋＝1，

222

aba 442222

bababa 8，则><>0即，与题设中＝4，矛

盾，舍去．＝22

yx 1.

＋＝综上，所求椭圆的标准方程为

48??1422

??BABAAxBy ，2)．将两点法二：设椭圆的一般

方程为＋(21(＝－>0，>0，≠，)，1－??2 代入， 1

?

BAA ?，1＋2＝4，＝? ?8?

?

解得得14BA 1，＋＝1?

??4B ?，＝

4．

22

yx 1.

＝所以所求椭圆的标准方程为＋

4822

yx 的焦点相同，

(2)因为所求椭圆与椭圆＋＝1

9252

cy 16.

25－9所以其焦点在轴上，且＝＝22

xyba 设它的标准方程为＋＝1(>0)>． 22

ba

222222

baaccb －

①，故16，且＝＝－因为16.＝)(22

5－3)( 在椭圆上，所以，＝1又点＋(3，－5)22

ba 35 ②＋

即＝1.

22

ab 22ab ，

4，＝由①②得20＝22

xy 1. ＝所以所求椭圆的标准方程为＋ 420[一

点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：

1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)，(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； 111????????QP ，－，0. (2)经过两点， ????332ca ＝，5. ＝4解：(1)由已知得：222

cba ＝25－16－＝9.

＝22

yx 1.

＝故所求椭圆方程为＋

92522

BBAAByAx ) ，

，1.(＝设椭圆方程为(2)＋>0>0≠ 由已知得，

11?BA ?

，1＝＋

99B ，4＝??? 解得：?A ，1＝5???B ?

，＝1 422

xy 1.

故所求椭圆方程为＋＝

11 54 ．求适合下列条件的椭圆的方程．2x ；和点(1)焦点

在(0,1)轴上，且经过点(2,0)PPyy 到它较近的一个焦点的距离等轴上，与10)轴的一个交点为，

(0，－(2)焦点在2.

于x 轴上，解：(1)因为椭圆的焦点在22

yxab >0)．1( >所以可设它的标准方程为＋＝

22

ba

∵椭圆经过点(2,0)和(0,1)，

2

02

??，1＋＝

22

ba 2

a ，＝4??? ∴∴?2

b ，101＝??

??，＋＝1

22

ba 2

x 2

y 1. 故

所求椭圆的标准方程为＋＝ 422

xyyab >0)．＝1(

(2)∵椭圆的焦点在>轴上，所以可设它的标准方程为＋

22

baPa ＝在椭圆上，

∴10. (0，－∵10)P 到它较近的一个焦点的距离等于2又∵，