北师大版数学高二选修2试题 第1章 1 归纳与类比

第一章 §1归纳与类比

一、选择题

1．下面几种推理是合情推理的是( )

①由圆的周长为C ＝πd 类比出球的表面积为S ＝πd 2；

②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；

③某次考试，张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；

④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，归纳出n 边形的内角和是(n －2)·180°.

A ．①②

B ．①③④

C ．①②④

D ．②④

由合情推理的概念知①②④符合题意．

2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……

A ．1 111 110

B ．1 111 111

C ．1 111 112

D ．1 111 113 利用归纳推理，由已知可推测等号右侧应有7个1.

3．三角形的面积为S ＝1

2(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半

径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )

A ．V ＝1

3abc

B ．V ＝1

3

Sh

C ．V ＝1

3(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)

D ．V ＝1

3

(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)

设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝1

3

(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .

4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高

2，可推知扇形面积

公式S 扇等于( )

A ．r 2

2

B ．l 2

2

C ．lr

2

D ．不可类比

由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 5．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3

2

a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )

A ．4

3a B ．6

3a C ．

5

4

a D ．

64

a 将正三角形一边上的高

32a 类比到正四面体一个面上的高6

3

a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．

二、填空题

6．观察下列等式 1－12＝1

2

1－12＋13－14＝13＋14

1－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……

据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n .故答案为1－12＋1

3－

14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2

＋…＋12n . 7．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1； ②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；

③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；

④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1； ⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________.

观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m ，构成一个等比数列，公比为4，故m ＝128×4＝512.

观察每一个等式中cos 2α的系数：2，－8,18，－32，p ，规律是1×2，－2×4,3×6，－4×8，故p ＝5×10＝50.

每一个式子中的系数和为1，故m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1， 代入m 和p ，可求得n ＝－400， 故m －n ＋p ＝512＋400＋50＝962. 8．设函数f (x )＝x

x ＋2

(x >0)，观察： f 1(x )＝f (x )＝

x

x ＋2， f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x

3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x

7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x

15x ＋16

，

……

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝x

x ＋2＝

x

2－1x ＋2

，

f 2(x )＝x

3x ＋4＝

x

22－1x ＋22

，

f 3(x )＝x

7x ＋8＝

x 23－1

x ＋23

， f 4(x )＝x

15x ＋16

＝

1

24－1x ＋24

.