浙教版初中数学初三中考总复习：圆综合复习--巩固练习(基础)

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浙教版-数学-九年级上册-《圆》综合练习

浙教版-数学-九年级上册-《圆》综合练习-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One13.1 圆【基础巩固】1．到定点O的距离为3 cm的点的集合是以点_______为圆心，_______为半径的圆．2．已知矩形ABCD的边AB＝3 cm，AD＝4 cm．(1)若以点A为圆心，4 cm长为半径作⊙A，则点B在⊙A_______，点C在⊙A_______，点D在⊙A_______，AC与BD的交点O在⊙A_______；(2)若作⊙A，使B、C、D三点至少有一个点在⊙A内，至少有一点在⊙A外，则⊙A的半径r的取值范围是_______．3．若⊙O的半径是4 cm，OP＝2 cm，则点P到圆上各点的距离中最短距离为_______，最长距离为_______．4．两等圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且⊙O1经过圆心O2，则∠O1AB＝_______．5．已知AB为⊙O的直径，P为⊙O上任意一点，则点P关于AB的对称点P'与⊙O的位置关系为 ( )A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定6．下列说法中，正确的是 ( )A．两个半圆是等弧B．同圆中优弧与半圆的差必是劣弧C．长度相等的弧是等弧D．同圆中优弧与劣弧的差必是优弧7．下列说法中，正确的是( )A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆8．顺次连接圆内两条相交直径的4个端点，围成的四边形一定是( )A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于 ( )A．53 B．5 C．52 D．610．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠AOD等于 ( )A．70° B．60° C．50° D．40°11．如图，在⊙O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD＝BE点C为AB上一点，连接CD、CE、CO，∠AOC＝∠BOC．求证：CD＝CE．12．如图，⊙O的半径OA、OB分别交弦CD于点E、F，且CE＝DF．求证：△OEF是等腰三角形．13．如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，求∠A的度数．【拓展提优】14．已知点P到圆上各点的距离中最短距离为2cm，最长距离为6 cm，则⊙O 的半径为_______．15．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC的中点，若OD＝4，则BC ＝_______．16．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2．下列说法中不正确的是( )A．当a<5时，点B在⊙A内 B．当1<a<5时，点B在⊙A内C．当a<1时，点B在⊙A外 D．当a>5时，点B在⊙A外17．如图，AD是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为上任意一点，若AD＝5，则四边形ACBP周长的最大值是 ( )A．15 B．20 C．15＋52 D．15＋5518．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条19．已知：如图，BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点，试说明点B、C、D、E在以点M为圆心的同一个圆上．20．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离不大于这个圆的半径，那么称图形A被这个圆所覆盖．例如，图中的三角形被一个圆所覆盖，回答问题：(1)边长为1 cm的正方形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？(2)边长为1 cm的正三角形被一个半径为r的圆所覆盖，r的最小值是多少？(3)半径为1 cm的圆被边长为a的正方形所覆盖，a的最小值是多少？(4)半径为1 cm的圆被边长为a的正三角形所覆盖，a的最小值是多少？21．如图，在□ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．(1)求证：A、E、C、F四点共圆；(2)设线段BD与(1)中的圆交于点M、N．求证：BM＝ND．参考答案【基础巩固】1．O 3 cm2．(1)内外上内 (2)3<r<53．2 cm 6 cm4．30°5．C6．B7．B8．C9．A10．D11．略12．略13．28°【拓展提优】14．4cm或2 cm15．816．A17．C18．B19．略20．(1)2 21．略。

浙教版九年级数学上册练习：3.1 圆

3.1 圆（巩固练习）姓名班级第一部分1、在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AC=3，BC=4，若以C为圆心，以3为半径作⊙C，则点A在⊙C，点B在⊙C，点D在⊙C.2、⊙O的半径为13，圆心O到直线l的距离d=OD=5. 在直线l上有三点P、Q、R，且PD=12，QD=11，RD=13，则点P在⊙O，点Q在⊙O，点R在⊙O.3、如图，CD是⊙O的直径，∠EOD=84°，AE交⊙O于B，且AB=OC，求∠A的度数.4、已知，如图，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：AD=BC.第二部分1. 下列结论正确的是…………………………………………………………………（）A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 半圆是弧D. 过圆心的线段是直径2. 圆上各点到圆心的距离都等于 .3.若经过圆上两点的最长线段长为6，则此圆的面积为 .4.已知⊙O 的面积为16π，若AO =5，则点A 在⊙O （填“内”、“上”或“外”）.5. 写出图2中的一条优弧： .6. 写出图2中的所有弦： .7. 已知⊙O 的半径为7cm ，若OP =3cm ，则点P 在；若OP =7cm ，则点P 在；若OP =10cm ，则点P 在 .8. 已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，延长CD 至E ，使DE =CD ，那么点E 的位置是在⊙O .9. 已知，如图，OA ，OB 为⊙O 的半径，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．求证：∠A =∠B .10. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭. 近A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km 的B 处，正在向西北方向转移（如图所示），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响．问A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？C参考答案第一部分4、已知，如图，大圆的弦AB交小圆于C、D. 求证：AD=BC.【证明】连结OA、OB.∵OA=OB，∴∠A=∠B.又∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD.∴△AOD≌△BOC，∴AD=BC.第二部分1. 下列结论正确的是…………………………………………………………………（）A. 弦是直径B. 弧是半圆C. 半圆是弧D. 过圆心的线段是直径答案：C2. 圆上各点到圆心的距离都等于.答案：半径3.若经过圆上两点的最长线段长为6，则此圆的面积为.答案：9π4.已知⊙O的面积为16π，若AO=5，则点A在⊙O（填“内”、“上”或“外”）.答案：外5. 写出图2中的一条优弧：.答案：填ADC，ACD，BDC，BCD，CAD中的一条即可.6. 写出图2中的所有弦：.答案：AB，BC，BD，CD7. 已知⊙O的半径为7cm，若OP=3cm，则点P在；若OP=7cm，则点P在；若OP=10cm，则点P在.答案：内上外8. 已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置是在⊙O.答案：上9. 已知，如图，OA，OB为⊙O的半径，C，D分别为OA，OB的中点．求证：∠A=∠B.证明：∵OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，∴OD=OC，又∵∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC，∴∠A=∠B.10. 由于过度采伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭. 近A市气象局测得沙尘暴中心在A市正东方向400km 的B处，正在向西北方向转移（如图所示），距沙尘暴中心300km 的范围内将受到影响．问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？解：作AC⊥BD于C.∵∠ABD=45°，AB=400km，∴AC=，即A会受到这次沙尘暴的影响.C。

备战中考数学(浙教版)巩固复习圆的基本性质(含解析)

备战中考数学（浙教版）巩固复习圆的基本性质（含解析）一、单选题1.假如弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，那么这条弧所在的圆的半径是（）A.18B.12C.36D.62.已知线段QP，AP=AQ，以QP为直径作圆，点A与此圆的位置关系是（）A.点A在圆内 B.点A在圆上 C.点A在圆外 D.不能确定3.如图，正六边形螺帽的边长是2cm，那个扳手的开口a的值应是()A.cmB.C.D.1cm4.如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，F是弦BC的中点，∠ABC ＝60°．若动点E以2cm/s的速度从A点动身沿着A→B→A方向运动，设运动时刻为t(s)(0≤t＜3)，连接EF，当△BEF是直角三角形时，t(s)的值为()A.B.1C.或1D.或1或5.若正多边形的一个外角为60°，则那个正多边形的中心角的度数是（）A.30°B.60°C.90°D.120°6.下列结论错误的是（）A.圆是轴对称图形B.圆是中心对称图形 C.半圆不是弧 D.同圆中，等弧所对的圆心角相等7.如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为C1 ，这4个正三角形的周长和为C2 ，则C1和C2的大小关系是（）A.C1＞C2B.C1＜C2C.C1=C2D.不能确定8.如图，三角形ABC内接于圆O，AH BC于点H，若AC=8，AH =6，圆O的半径OC=5，则AB的值为（）.A.5B.C.7D.9.下列结论正确的是（）A.通过圆心的直线是圆的对称轴 B.直径是圆的对称轴C.与圆相交的直线是圆的对称轴D.与直径相交的直线是圆的对称轴10.如图，D是弧AC的中点，则图中与∠ABD相等的角的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个11.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠C=15°，则∠BOC =（）.A.60°B.45°C.30°D.15°二、填空题12.如图，在半径为4cm的⊙O中，劣弧AB的长为2πcm，则∠C=__ ______度．13.如图，三角板ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则点B转过的路径长为________（结果保留π）．14.已知扇形的半径为3，扇形的圆心角是120°，则该扇形面积为___ _____．15.如图，A、B、C、D是圆上的点，∠1=70°，∠A=40°则∠C=___ _____度．16.已知扇形的圆心角为120°，弧长等于一个半径为5cm的圆的周长，则扇形的面积为________．17.如图，半径为2的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________.18.如图，点A、B、C在⊙O上，∠A=50°，则∠BOC度数为______ __．19.已知正六边形的边心距为，则那个正六边形的边长为_______ _．三、解答题20.“不在同一直线上的三点确定一个圆”．请你判定平面直角坐标系内的三个点A(2，3)，B(－3，－7)，C(5，11)是否能够确定一个圆．21如图，BM是⊙O的直径，四边形ABMN是矩形，D是⊙O上的点，DC⊥AN，与AN交于点C，己知AC=15，⊙O的半径为30，求的长．四、综合题22.已知点在⊙上，，仅使用无刻度的直尺作图（保留痕迹）（1）在图①中画一个含的直角三角形；（2）点在弦上，在图②中画一个含的直角三角形.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】弧长的运算【解析】【解答】解：∵l=，∴r==18，故选A．【分析】依照弧长公式l=进行运算即可．2.【答案】D【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】设以QP为直径的圆为⊙O，则⊙O的半径为QP，假如OA＞QP，那么点A在⊙O外；假如OA＝QP，那么点A在⊙O上；假如OA＜QP，那么点A在⊙O内；∵题目没有告诉OA与QP的大小关系，∴以上三种情形都有可能.故选D.【分析】设以QP为直径的圆为⊙O，要判定点A与此圆的位置关系，只需比较OA与⊙O的半径大小即可.3.【答案】A【考点】正多边形和圆【解析】【解答】连接AC ，过B作BD⊥AC于D；∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD=CD；∵此多边形为正六边形，∴∴∠ABD= =60°∴∠BAD=30°，AD=AB·cos30°=∴a= cm故选A【分析】连接AC，作BD⊥AC于D；依照正六边形的特点求出∠ABC的度数，再由等腰三角形的性质求出∠BAD的度数，由专门角的三角函数值求出AD的长，进而可求出AC的长．4.【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【分析】若△BEF是直角三角形，则有两种情形：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情形所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB-BE即可求出A E的长，也就能得出E点运动的距离，依照时刻=路程÷速度即可求得t的值．【解答】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；∴AB=2BC=4cm；①当∠BFE=90°时；Rt△BEF中，∠ABC=60°，则BE=2BF=2cm；故现在AE=AB-BE=2cm；∴E点运动的距离为：2cm，故t=1s；因此当∠BFE=90°时，t=1s；②当∠BEF=90°时；同①可求得BE=0.5cm，现在AE=AB-BE=3.5cm；∴E点运动的距离为：3.5cm，故t=1.75s；③当E从B回到O的过程中，在运动的距离是：2（4-3.5)=1cm，则时刻是：1.75+=．综上所述，当t的值为1s或1.75s和s时，△BEF是直角三角形．故选：D．【点评】此题要紧考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想5.【答案】B【考点】正多边形和圆【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，其中心角为=60°．故选B．【分析】依照正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．6.【答案】C【考点】圆的认识【解析】【解答】A、圆是轴对称图形，说法正确；B、圆是中心对称图形，说法正确；C、半圆不是弧，说法错误；D、同圆中，等弧所对的圆心角相等，说法正确；故选：C【分析】依照圆既是轴对称图形，也是中心对称图形，圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧，进行分析．7.【答案】B【考点】圆的认识【解析】【解答】解：设半圆的直径为a，则半圆周长C1为：aπ+a，4个正三角形的周长和C2为：3a，∵aπ+a＜3a，∴C1＜C2故选B．【分析】第一设出圆的直径，然后表示出半圆的周长与三个正三角形的周长和，比较后即可得到答案．8.【答案】D【考点】三角形的外接圆与外心【解析】试题分析：作直径AE，连接CE，∴∠ACE=90°，∵AH⊥BC，∴∠AHB=90°，∴∠ACE=∠ADB，∵∠B=∠E，∴△ABH∽△AEC，∴，∴AB= ，∵AC=24，AH=18，AE=2OC=26，∴AB=故选：D．9.【答案】A【考点】圆的认识【解析】【解答】A、通过圆心的直线是圆的对称轴，因此A正确；B、直径所在的直线为圆的对称轴，因此B错误；C、与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，因此C错误；D、与直径相交的圆心的直线是圆的对称轴，因此D错误．故选A．【分析】利用直径所在的直线为圆的对称轴对各选项进行判定．10.【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【分析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半。

2022年春浙教版九年级数学中考一轮复习《圆》综合复习训练题(附答案)

2022年春浙教版九年级数学中考一轮复习《圆》综合复习训练题（附答案）1．如图，CB为⊙O的切线，点B为切点，CO的延长线交⊙O于点A，若∠A＝25°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°2．如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°3．如图，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，则∠ABO的度数为（）A．70°B．55°C．45°D．35°4．如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．5．如图，点P是以AB为直径的半圆上的动点，CA⊥AB，PD⊥AC于点D，连接AP，设AP＝x，P A﹣PD＝y，则下列函数图象能反映y与x之间关系的是（）A．B．C．D．6．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝60°，∠C＝70°，OB＝9，则的长为．7．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，OD⊥AC于点D，连接BD，半径OE⊥BC，连接EA，EA⊥BD于点F．若OD＝2，则BC＝．8．如图，AC是⊙O的直径，B，D是⊙O上的点，若⊙O的半径为3，∠ADB＝30°，则的长为．9．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，边长AB＝2，则扇形AOB的面积为．10．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC ＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．11．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，以AB为直径的⊙O交AC，BC于点E，D，连接DE，F是CD上一点，满足∠CEF＝∠CDE．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）过点D作DG⊥AB于点G，AG＝8，BG＝2，求AC的长．12．如图，四边形ABCD为菱形，以AD为直径作⊙O交AB于点F，连接DB交⊙O于点H，E是BC上的一点，且BE＝BF，连接DE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若BF＝2，DH＝，求⊙O的半径．13．如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，以点A为圆心、AB的长为半径的⊙A恰好经过BC的中点E，连接DE，AE，BD，AE与BD交于点F．（1）求证：DE与⊙A相切．（2）若AB＝6，求BF的长．14．如图，△ABC内接于⊙O，AD与BC是⊙O的直径，延长线段AC至点G，使AG＝AD，连接DG交⊙O于点E，EF∥AB交AG于点F．（1）求证：EF与⊙O相切．（2）若EF＝2，AC＝4，求扇形OAC的面积．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，以AD为直径的⊙O与边BC相切于点E，与边AC相交于点G，且＝，连接GO并延长交⊙O于点F，连接BF．（1）求证：①AO＝AG．②BF是⊙O的切线．（2）若BD＝6，求图形中阴影部分的面积．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB 于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．（1）求证：DF是⊙O的切线．（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．17．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为点E，以AE为直径的⊙O与边CD 相切于点F，连接BF交⊙O于点G，连接EG．（1）求证：CD＝AD+CE．（2）若AD＝4CE，求tan∠EGF的值．18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C 两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作▱GDEC．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．19．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且＝，弦MN交AB于点C，BM平分∠ABD，MF⊥BD于点F．（1）求证：MF是⊙O的切线；（2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．20．如图，点M是矩形ABCD的边AD延长线上一点，以AM为直径的⊙O交矩形对角线AC于点F，在线段CD上取一点E，连接EF，使EC＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若cos∠CAD＝，AF＝6，MD＝2，求FC的长．21．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A 作射线交BE的延长线于点C，使∠EAC＝∠EDA．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE＝AE＝2，求阴影部分的面积．22．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．23．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD ⊥MN于点D．（1）求证：∠ABC＝∠CBD；（2）若BC＝4，CD＝4，则⊙O的半径是．24．如图，点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BP并延长交CD于点E，交AD的延长线于点F，⊙O是△DEF的外接圆，连接DP．（1）求证：DP是⊙O的切线；（2）若tan∠PDC＝，正方形ABCD的边长为4，求⊙O的半径和线段OP的长．参考答案1．解：如图：连接OB，∵∠A＝25°，∴∠COB＝2∠A＝2×25°＝50°，∵BC与⊙O相切于点B，∴∠OBC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠BOC＝90°﹣50°＝40°．故选：D．2．解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故选：A．3．解：连接OA、OC，∵∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，∴∠AOB＝2（∠ADC+∠BAC）＝70°，∵OA＝OB（都是半径），∴∠ABO＝∠OAB＝（180°﹣∠AOB）＝55°．故选：B．4．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选：D．5．设：圆的半径为R，连接PB，则sin∠ABP＝，∵CA⊥AB，即AC是圆的切线，则∠P AD＝∠PBA＝α，则PD＝AP sinα＝x×＝x2，则y＝P A﹣PD＝﹣x2+x，图象为开口向下的抛物线，故选：C．6．解：连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝70°，∴∠OAB＝∠OAC﹣∠BAC＝70°﹣60°＝10°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝10°，∴∠AOB＝180°﹣10°﹣10°＝160°，则的长＝＝8π，故答案为：8π．7．解：∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∵BO＝CO，∴AB＝2OD＝2×2＝4，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵OE⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝90°，∴＝，∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°＝45°，∵EA⊥BD，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝4，∴DC＝AD＝4，∴AC＝8，∴BC＝＝＝4．故答案为：4．8．解：由圆周角定理得，∠AOB＝2∠ADB＝60°，∴∠BOC＝180°﹣60°＝120°，∴的长＝＝2π，故答案为：2π．9．解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴扇形AOB的面积＝＝，故答案为：．10．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．11．（1）证明：如图，连接OE，∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠EDB＝180°，∵∠CDE+∠EDB＝180°，∴∠A＝∠CDE，∵∠CEF＝∠CDE，∴∠A＝∠CEF，∴EF∥AB，∴∠FEO＝∠AOE，∵AO＝EO，∠BAC＝45°，∴∠OAE＝∠OEA＝45°，∴∠OEF＝∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴OE⊥EF，∵OE为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：如图，连接OD，过点C作CM⊥AB于点M，∵DG⊥AB，∴∠DGO＝90°，∵AB＝AG+BG＝8+2＝10，∴OD＝OB＝5，∴OG＝OB﹣BG＝5﹣2＝3，在Rt△DGO中，DG＝＝＝4，在△BDG和△BCM中∠BGD＝∠BMC＝90°，∴tan B＝＝＝2，∴CM＝2BM，∵∠AMC＝90°，∠BAC＝45°，∴AM＝CM＝2BM，∵AB＝AM+BM＝10，∴AM＝CM＝，在Rt△AMC中，∠AMC＝90°，∴AC＝＝．12．（1）证明：如图1，连接DF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD∥BC，∠DAB＝∠C，∵BF＝BE，∴AB﹣BF＝BC﹣BE，即AF＝CE，∴△DAF≌△DCE（SAS），∴∠DF A＝∠DEC，∵AD是⊙O的直径，∴∠DF A＝90°，∴∠DEC＝90°∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（2）解：如图2，连接AH，∵AD是⊙O的直径，∴∠AHD＝∠DF A＝90°，∴∠DFB＝90°，∵AD＝AB，DH＝，∴DB＝2DH＝2，在Rt△ADF和Rt△BDF中，∵DF2＝AD2﹣AF2，DF2＝BD2﹣BF2，∴AD2﹣AF2＝DB2﹣BF2，∴AD2﹣（AD﹣BF）2＝DB2﹣BF2，∴，∴AD＝5．∴⊙O的半径为．13．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∵EC＝EB，∴BC＝2BE＝2CE，∵AD＝2AB，∴AB＝BE，∴AB＝BE＝AE，∴△ABE是等边三角形，∴∠ABE＝∠AEB＝60°，∵AB∥CD，∴∠C＝180°﹣∠ABE＝120°，∵CD＝AB，AB＝BE＝CE，∴CD＝CE，∴∠CED＝（180°﹣∠C）＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠AEB﹣∠CED＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切．（2）如图，作BM⊥AE于M．∵△AEB是等边三角形，∴AE＝AB＝6，∵AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴＝＝2，∴AF＝2EF，∴AF＝AE＝4，∵BM⊥AE，BA＝BE，∴AM＝ME＝AE＝3，∴FM＝1，BM＝＝＝3，在Rt△BFM中，BF＝＝2．14．（1）证明：如图1，连接OE，∵OD＝OE，∴∠D＝∠OED，∵AD＝AG，∴∠D＝∠G，∴∠OED＝∠G，∴OE∥AG，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵EF∥AB，∴∠BAF+∠AFE＝180°，∴∠AFE＝90°，∵OE∥AG，∴∠OEF＝180°﹣∠AFE＝90°，∴OE⊥EF，∴EF与⊙O相切；（2）解：如图2，连接OE，过点O作OH⊥AC于点H，∴CH＝，∵∠OHF＝∠HFE＝∠OEF＝90°，∴四边形OEFH是矩形，∴，在Rt△OHC中，OC＝＝＝4，∵OA＝AC＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴S扇形OAC＝＝．15．解：（1）证明：①如图1，连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴∠OEB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠OEB，∴AC∥OE，∴∠GOE＝∠AGO，∵，∴∠AOG＝∠GOE，∴∠AOG＝∠AGO，∴AO＝AG；②由①知，AO＝AG，∴∠AO＝OG＝AG，∴△AOG是等边三角形，∴∠AGO＝∠AOG＝∠A＝60°，∴∠BOF＝∠AOG＝60°，由①知，∠GOE＝∠AOG＝60°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOG﹣∠GOE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FOB＝∠EOB，∵OF＝OE，OB＝OB，∴△OFB≌△OEB（SAS），∴∠OFB＝∠OEB＝90°，∴OF⊥BF，∵OF是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线；（2）如图2，连接GE，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，∴OB＝2OE，设⊙O的半径为r，∵OB＝OD+BD，∴6+r＝2r，∴r＝6，∴AG＝OA＝6，AB＝2r+BD＝18，∴AC＝AB＝9，∴CG＝AC﹣AG＝3，由（1）知，∠EOB＝60°，∵OG＝OE，∴△OGE是等边三角形，∴GE＝OE＝6，根据勾股定理得，CE＝＝＝3，∴S阴影＝S梯形GCEO﹣S扇形OGE＝（6+3）×﹣＝．16．解：（1）连接BD，∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠BDE+∠FDE＝90°，即∠BDF＝90°，∴DF⊥BD，又∵BD是⊙O的直径，∴DF是⊙O的切线．（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝2×4＝8，∴＝4，∵点D是AC的中点，∴，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，∴，在Rt△BCD中，＝＝2，在Rt△BED中，BE＝＝＝5，∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，∴∠FDE＝∠DBE，∵∠DEF＝∠BED＝90°，∴△FDE∽△DBE，∴，即，∴．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AE⊥BC，∴AD⊥OA，∵AO是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线，又∵DF是⊙O的切线，∴AD＝DF，同理可得CE＝CF，∵CD＝DF+CF，∴CD＝AD+CE．（2）解：连接OD，AF相交于点M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC．∵AD＝4CE，∴设CE＝t，则AD＝4t，∴BE＝3t，AB＝CD＝5t，∴在Rt△ABE中，AE＝＝4t，∴OA＝OE＝2t，∵DA，DF是⊙O的两条切线，∴∠ODA＝∠ODF，∵DA＝DF，∠ODA＝∠ODF，∴AF⊥OD，∴在Rt△OAD中，tan∠ODA＝，∵∠OAD＝∠AMD＝90°，∴∠EAF＝∠ODA，∵，∴∠EGF＝∠EAF，∴∠ODA＝∠EGF，∴tan∠EGF＝．18．解：（1）DE是⊙O的切线；理由：连接OD，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠ABC＝45°，∴∠COD＝2∠ABC＝90°，∵四边形GDEC是平行四边形，∴DE∥CG，∴∠EDO+∠COD＝180°，∴∠EDO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）连接OB，∵点B是的中点，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，∴∠COB＝∠BOD＝135°，∴的长＝＝π．19．证明：（1）连接OM，∵OM＝OB，∴∠OMB＝∠OBM，∵BM平分∠ABD，∴∠OBM＝∠MBF，∴∠OMB＝∠MBF，∴OM∥BF，∵MF⊥BD，∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°，∴MF是⊙O的切线；（2）如图，连接AN，ON∵＝，∴AN＝BN＝4∵AB是直径，＝，∴∠ANB＝90°，ON⊥AB∴AB＝＝4∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝＝＝1∴AC＝2+1，BC＝2﹣1∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB∴∴AC•BC＝CM•CN∴7＝3•CM∴CM＝20．（1）证明：连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∵EC＝EF，∴∠DCA＝∠EFC，∵OA＝OF，∴∠CAD＝∠OF A，∴∠EFC+∠OF A＝90°，∴EF⊥OF，∵OF是半径，∴EF是⊙O的切线；（2）连接MF，∵AM是直径，∴∠AFM＝90°，在Rt△AFM中，cos∠CAD＝＝，∵AF＝6，∴＝，∴AM＝10，∵MD＝2，∴AD＝8，在Rt△ADC中，cos∠CAD＝＝，∴＝，∴AC＝，∴FC＝﹣6＝21．（1）证明：连接OA，过O作OF⊥AE于F，∴∠AFO＝90°，∴∠EAO+∠AOF＝90°，∵OA＝OE，∴∠EOF＝∠AOF＝AOE，∵∠EDA＝AOE，∵∠EAC＝∠EDA，∴∠EAC＝∠AOF，∴∠EAO+∠EAC＝90°，∵∠EAC+∠EAO＝∠CAO，∴∠CAO＝90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）解：∵CE＝AE＝2，∴∠C＝∠EAC，∵∠EAC+∠C＝∠AEO，∴∠AEO＝2∠EAC，∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠EAO，∴∠EAO＝2∠EAC，∵∠EAO+∠EAC＝90°，∴∠EAC＝30°，∠EAO＝60°，∴△OAE是等边三角形，∴OA＝AE，∠EOA＝60°，∴OA＝2，∴S扇形AOE＝＝2π，在Rt△OAF中，OF＝OA•sin∠EAO＝2＝3，∴S△AOE＝AE•OF＝3＝3，∴阴影部分的面积＝2π﹣3．22．（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠P AC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝BC＝3，在△DEC和△CFD中，，∴△DEC≌△CFD（AAS）∴DE＝FC＝3，∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE•EC，则EC＝＝，∴AC＝2+＝，∴⊙O的半径为．23．（1）证明：连接OC，∵MN为⊙O的切线，∴OC⊥MN，∵BD⊥MN，∴OC∥BD，∴∠CBD＝∠BCO．又∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC．；（2）解：连接AC，在Rt△BCD中，BC＝4，CD＝4，∴BD＝＝8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝10，∴⊙O的半径是5，故答案为5．24．（1）连接OD，∵正方形ABCD中，CD＝BC，CP＝CP，∠DCP＝∠BCP＝45°，∴△CDP≌△CBP（SAS），∴∠CDP＝∠CBP，∵∠BCD＝90°，∴∠CBP+∠BEC＝90°，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∠OED＝∠BEC，∴∠BEC＝∠OED＝∠ODE，∴∠CDP+∠ODE＝90°，∴∠ODP＝90°，∴DP是⊙O的切线；（2）∵∠CDP＝∠CBE，∴tan，∴CE＝，∴DE＝2，∵∠EDF＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴∠F+∠DEF＝90°，∴∠F＝∠CDP，在Rt△DEF中，，∴DF＝4，∴＝＝2，∴，∵∠F＝∠PDE，∠DPE＝∠FPD，∴△DPE∽△FPD，∴，设PE＝x，则PD＝2x，∴，解得x＝，∴OP＝OE+EP＝．。

浙教版初中数学九年级《直线与圆的位置关系》全章复习与巩固—巩固练习(基础)

《直线与圆的位置关系》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.（2017•曲靖一模）如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA，OB，若∠ABC=65°，则∠A等于（）A．20°B．25°C．35°D．75°2．给出下列说法：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）垂直于圆的半径的直线是圆的切线；（4）过圆的半径的外端的直线是圆的切线．其中正确的说法个数为（）A.1B.2C.3D.43．如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B．如果OP=4，PA=2，那么∠AOB等于（）A.90°B.100°C.110°D.120°4．如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（）A.AB=4，AT=3，BT=5B.∠B=45°，AB=ATC.∠B=55°，∠TAC=55°D.∠ATC=∠B5．如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（）A.40°B.140°C.70°D.80°6．对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图所示，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，若∠CAB＝55°，则∠AOB等于( )．A．55° B．90° C．110° D．120°8. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，CB=8，则△ABC的内切圆半径r为（）.A.1B.2C.1.5D.2.5二、填空题9．（2015秋•北塘区期中）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（填度数）．10．如图，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=___________cm．11．如图，A是⊙O上一点，且PA=12，PB=8，OB=5，则PA与⊙O的位置关系是．12．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为．13．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，若⊙O和三角形三边都相切，则符合条件的⊙O的半径为．14．如图，已知AB是⊙O的直径，AD、BD是半圆的弦，∠PDA=∠PBD，∠BDE=60°，若PD=，则PA的长为．15．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧AB上一点，连接BD，并延长至E，连接AD，若AB＝AC，∠ADE＝65°，则∠BOC＝___ _____．16．已知⊙O的直径为4cm，点P是⊙O外一点，PO＝4cm，则过P点的⊙O的切线长为____ ____cm，这两条切线的夹角是___ _____．三、解答题17．如图，等边△ABC的边长为6cm，AD是高，若以点D为圆心，r为半径作圆，试分别确定⊙D与AB 有怎样的位置关系？（1）r=3cm；（2）r=4.5cm；（3）r=6cm．18．（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=4，∠BCM=60°，求图中阴影部分的面积．19．如图，点P在y轴上，交x轴于A、B两点，连结BP并延长交于C，过点C的直线交轴于，且的半径为，.(1)求点的坐标；(2)求证：是的切线.20.已知：AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙O的半径为，AD=2．①求BC的长；②延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B.【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠OBA=90°﹣∠ABC=90°﹣65°=25°，而OA=OB，∴∠A=∠OBA=25°．故选B．2.【答案】B.【解析】解：（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线，故（1）正确；（2）与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线，故（2）正确；（3）垂直于圆的半径的直线不一定是圆的切线，圆直径也是可以的，故（3）错误；（4）过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线，故（4）错误；综上所述，正确的说法有2个．故选：B．3.【答案】D.【解析】解：∵△APO≌△BPO（HL），∴∠AOP=∠BOP．∵sin∠AOP=AP：OP=2：4=：2，∴∠AOP=60°．∴∠AOB=120°．故选D．4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】解：∵PA是圆的切线．∴∠OAP=90°，同理∠OBP=90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，∴∠ACB=∠AOB=70°．故选C．6.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．7．【答案】C；【解析】能够由切线性质、等腰三角形性质找出数量关系式．由AC切O于A，则∠OAB＝35°，所以∠AOB＝180°-2×35°＝110°．8．【答案】B.【解析】解：∵∠C=90°，AC=6，CB=8，∴AB==10，∴△ABC的内切圆半径r==2．故选B．二、填空题9．【答案】130°.【解析】∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣80°=100°，∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴BO，CO分别为∠ABC，∠BCA的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．故答案为：130°．10．【答案】5.【解析】解：如图，设DC与⊙O的切点为E；∵PA、PB分别是⊙O的切线，且切点为A、B；∴PA=PB；同理，可得：DE=DA，CE=CB；则△PCD的周长=PD+DE+CE+PC=PD+DA+PC+CB=PA+PB=10（cm）；∴PA=PB=5cm，故答案为：5．11．【答案】相切；【解析】解：连接OA，∵PA=12，PB=8，OB=5，∴OP=PB+OB=13，OA=OB=5，∴PA2+OA2=OP2，∴∠PAO=90°，即OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线，即PA与⊙O的位置关系是：相切．故答案为：相切．12．【答案】8cm.解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=4cm，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，NP与NE是从一点出发的圆的两条切线，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=4cm+4cm=8cm，故答案为：8cm．13.【答案】1；【解析】解：Rt△ABC的斜边AC===5，则符合条件的⊙O的半径为：=1．故答案是：1．14.【答案】1；【解析】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵∠BDE=60°，∴∠PDA=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠PBD=∠PDA=30°，∵OA=OD，∴∠DOB=∠PBD=30°，∴∠ADO=60°，∴△ADO为等边三角形，∠ODP=90°，∴∠AOD=60°，∴∠P=30°．在Rt△POD中，PD=，∴OD=1，OP=2，∴OA=1，∴PA=PO﹣OA=2﹣1=1；故答案为：1．15．【答案】100°；【解析】∠ADE＝∠ACB＝65°，∴∠BAC＝180°-65°×2＝50°，∠BOC＝2∠BAC＝100°．在前面的学习中，我们用到了圆内接四边形的性质(对角互补，外角等于内对角)，在解一些客观性题目时，可以使用．16．【答案】 60°；【解析】连接过切点的半径，则该半径垂直于切线．在由⊙O的半径、切线长、OP组成的直角三角形中，半径长2cm，PO＝4cm．由勾股定理，求得切线长为，两条切线的夹角为30°×2＝60°．本题用切线的性质定理得到直角三角形，利用勾股定理和切线长定理求解．三、解答题17.【答案与解析】解：过点D作DE⊥AB于点E，∵等边△ABC的边长为6cm，AD是高，∴AD=ABsin60°=9cm，∠BAD=30°，∴DE=4.5cm，故当（1）r=3cm时，⊙D与AB相离；（2）r=4.5cm时，⊙D与AB相切；（3）r=6cm时，⊙D与AB相交．18.【答案与解析】解：（1）MN是⊙O切线．理由：连接OC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，∴∠BCM=∠BOC，∵∠B=90°，∴∠BOC+∠BCO=90°，∴∠BCM+∠BCO=90°，∴OC⊥MN，∴MN是⊙O切线．（2）由（1）可知∠BOC=∠BCM=60°，∴∠AOC=120°，在RT△BCO中，OC=OA=4，∠BCO=30°，∴BO=OC=2，BC=2∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．19.【答案与解析】(1)连结..，，.是的直径，.，，，，，.(2)过点.当时，，.，，，.，，是的切线.20.【答案与解析】解：①过点D作DF⊥BC于点F，∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线，∴DF=AB=2，BF=AD=2，∵DE与⊙O相切，∴DE=AD=2，CE=BC，设BC=x，则CF=BC﹣BF=x﹣2，DC=DE+CE=2+x，在Rt△DCF中，DC2=CF2+DF2，即（2+x）2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=，即BC=；②∵AB为⊙O的直径，∠A=∠B=90°，∴AD∥BC，∴△ADE∽△GCE，∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，∵AD=DE=2，∴CG=CE=BC=，∴BG=BC+CG=5，∴AE：EG=4：5，在Rt△ABG中，AG==3，∴EG=AG=．。

浙教版初中数学九年级圆周角—巩固练习(基础)

圆周角—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．（2016•张家界）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）A．75°B．60°C．45°D．30°2.如图所示，∠1，∠2，∠3的大小关系是（）．A．∠1>∠2>∠3 B．∠3>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠3 D．∠3>∠2>∠13．如图，AC是⊙O的直径，弦AB∥CD，若∠BAC=32°，则∠AOD等于( )．A．64°B．48°C．32°D．76°4．如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC=27°，∠BEC=64°，则∠AOD等于( )．A．37°B．74°C．54°D．64°（第3题图）（第4题图）（第5题图）5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于( )．A．69°B．42°C．48°D．38°6．△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．160°C．100°D．80°或100°二、填空题7.在同圆或等圆中，两个圆心角及它们所对的两条弧、两条弦中如果有一组量相等，那么_ _________．8.（2016•济宁）如图，在⊙O中，=，∠AOB=40°，则∠ADC的度数是________.9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于H ，BD∥OC，则∠B 的度数是 .10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝BC ，∠BAC ＝30°，AD 为⊙O 的直径，AD ＝2 3 ，则BD ＝ .11．如图，已知⊙O 的直径MN ＝10，正方形ABCD 四个顶点分别在半径OM 、OP 和⊙O 上，且∠POM ＝45°，则AB ＝ .（第11题图）（第12题图）12．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为直径，则∠A+∠B+∠C=________度．三、解答题13. 如图所示，AB ，AC 是⊙O 的弦，AD ⊥BC 于D ，交⊙O 于F ，AE 为⊙O 的直径，试问两弦BE 与CF 的大小有何关系，说明理由．14．如图，AB 是半圆O 的直径，C 、D 是半圆O 上的两点，且OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E ．（1）若∠D=70°，求∠CAD 的度数；（2）若AC=8，DE=2，求AB 的长．15．如图，⊙O 中，直径AB =15cm ，有一条长为9cm 的动弦CD 在上滑动(点C 与A ，点D 与B 不重合)，CF ⊥CD 交AB 于F ，DE ⊥CD 交AB 于E ．（第10题图）(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D【解析】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠OBC=60°，∴∠BAC=180°﹣∠ACB﹣∠ABC=30°．故选D．2.【答案】D；【解析】圆内角大于圆周角大于圆外角.3.【答案】A；【解析】∵弦AB∥CD，∠BAC=32°，∴∠C=∠A=32°，∠AOD=2∠C=64°.4.【答案】B；【解析】∠ACD=64°-27°=37°，∠AOD=2∠ACD=74°.5.【答案】A；【解析】∠BAD=12∠BOD=69°，由圆内接四边形的外角等于它的内对角得∠DCE=∠BAD=69°.6.【答案】D；【解析】如图，∵∠AOC=160°，∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，∵∠ABC+∠AB′C=180°，∴∠AB′C=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°．∴∠ABC的度数是：80°或100°．故选D．二、填空题7．【答案】它们所对应的其余各组量也分别相等；8.【答案】20°.【解析】连接CO，如图：∵在⊙O中，=，∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°.9．【答案】60°；10．11．【答案】；【解析】如图，设AB＝x，在Rt⊿AOD 中:x²+（2x）²＝5²， x＝, 即 AB的长＝.第11题第12题12．【答案】90°；【解析】如图，连结AB、BC，则∠CAD + ∠EBD +•∠ACE=∠CBD +∠EBD +•∠ABE=∠ABC=90°.三、解答题13.【答案与解析】BE=CF．理由：∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC，∴∠ABE=90°=∠ADC，又∠AEB=∠ACB，∴∠BAE=∠CAF，．∴BE CF∴BE=CF．14.【答案与解析】解：（1）∵OA=OD ，∠D=70°，∴∠OAD=∠D=70°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD ﹣∠D=40°，∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C=90°，∵OD ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，即OD ⊥AC ， ∴=，∴∠CAD=∠AOD=20°；（2）∵AC=8，OE ⊥AC ，∴AE=AC=4，设OA=x ，则OE=OD ﹣DE=x ﹣2，∵在Rt △OAE 中，OE 2+AE 2=OA 2，∴（x ﹣2）2+42=x 2，解得：x=5，∴OA=5，∴AB=2OA=10．15.【答案与解析】(1)如图，作OH ⊥CD 于H ，利用梯形中位线易证OF=OE ，OA=OB ，所以AF=BE ，AF+EF=BE+EF ，即AE=BF ．(2)四边形CDEF 的面积是定值.连结OC ，则， 11()2O 6922S CF DE CD H CD =+⋅=⋅⋅⋅=⨯＝54(cm 2)．。

浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2016•自贡）圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm23．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．（2015•贵港）如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O 的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6.如图，在Rt△ABC中，∠B AC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．22 B．4 C．42 D．8二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10.如图，⊙0中，弦AB与弦CD交于E，连接AC，OE，BD，若AE=BE，AC∥0E，则∠CDB=．11．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为______cm.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_______.13.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_______.14.已知正方形ABCD外接圆的直径为2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．16.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.三、解答题17.（2016•上城区二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．18.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AE B；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】D.【解析】底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B；【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8.【答案】C；【解析】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．二、填空题9．【答案】；10.【答案】90°；【解析】∵AE=BE，∴OE⊥AB，即∠OEB=90°，∵AC∥OE，∴∠CAE=∠OEB=90°，∴∠CDB=∠CAE=90°．11.【答案】45；【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴D=BDC，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．12.【答案】2；【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．13.【答案】50°；【解析】∵BC为，⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°.14.【答案】(21)a；2(222)a；【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x ．在Rt △AEL 中，LE ＝x ，AE ＝AL ＝22x ，∴ 222x x a ⨯+=，(21)x a =-，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．16.【答案】72；【解析】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=12CD=3，由勾股定理∴OE=3，OF=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC 的最小值为72．三、解答题 17.【解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．18.【解析】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH2+HO2=EO2，∵EO=5cm，OH=4cm，∴EH===3cm ，∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．19.【解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO 是CD 的垂直平分线， ∴ED=EC， ∵DC=DE， ∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．。

浙教版中考数学复习：圆的综合 (共45张PPT)

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∴直线EO垂直平分AC，∴ AG=CG
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∵ ∠AFC=90°，∴ FG=12AC即2FG=AC
解析：
• 解析：(3)连接OA，∵EG⊥AC，∴∠CGE=90°，∴∠ECG+∠CEG=90°
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∵ FGニ12AC=AG，∴∠AFG=∠FAG
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∵ ∠ECG=∠FAG=∠AFG，∴∠AFG+∠CEG=90°
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求出∠CDB=∠CBD;
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②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出
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∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及
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三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是
• 解.
三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=DC-CI计算即可得
• (1)如图(1)，求证：EA=EC； • (2)如图(2)，连接EO并延长交AC于点G,求证:2FG=AC； • (3)如图(3)，在(2)的条件下,若sin∠FGE=13,DF=2,求四边形FECG的面积.
解析：
• 【分析】(1)要证EA=EC即需证∠EAC=∠ECA,∠EAC有互余的∠OCA,连接 OA得∠OAC=∠OCA,构造∠OAC的余角.由点A为弧BC中点和半径OA,根据垂径定理推论,平分弧的直径(半径)垂直于弧所对的弦,故延长AO交BC于H有 ∠AHC=90°,∠OAC的余角即为∠ECA,根据等角的余角相等,得证.
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浙教版初中数学九年级《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(基础)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1．如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)、B (－2，－2)、C (4，－2)，则△ABC外接圆半径的长度为．【解析】由已知得BC ∥x 轴，则BC 中垂线为2412x -+== 那么，△ABC 外接圆圆心在直线x=1上，设外接圆圆心P(1,a)，则由PA=PB=r 得到：PA 2=PB 2即(1+1)2+(a-3)2=(1+2)2+(a+2)2化简得 4+a 2-6a+9=9+a 2+4a+4 解得 a=0即△ABC 外接圆圆心为P(1,0)则 r PA ===【总结升华】三角形的外心是三边中垂线的交点，由B 、C 的坐标知：圆心P （设△ABC 的外心为P ）必在直线x=1上；由图知：BC 的垂直平分线正好经过（1，0），由此可得到P （1，0）；连接PA 、PB ，由勾股定理即可求得⊙P 的半径长．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理2．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝5cm ，∠DEB ＝60°，求CD 的长．【答案与解析】作OF ⊥CD 于F ，连接OD ．∵ AE ＝1，EB ＝5，∴ AB ＝6． ∵ 32ABOA ==，∴ OE ＝OA-AE ＝3-1＝2．在Rt △OEF 中，∵ ∠DEB ＝60°，∴ ∠EOF ＝30°，∴ 112EF OE ==，∴ OF =．在Rt △DFO 中，OF OD ＝OA ＝3，∴DF ===(cm)． ∵ OF ⊥CD ，∴ DF ＝CF ，∴ CD ＝2DF＝cm ．【总结升华】因为垂径定理涉及垂直关系，所以常常可以利用弦心距（圆心到弦的距离）、半径和半弦组成一个直角三角形，用勾股定理来解决问题，因而，在圆中常作弦心距或连接半径作为辅助线，然后用垂弦定理来解题．作OF ⊥CD 于F ，构造Rt △OEF ，求半径和OF 的长；连接OD ，构造Rt △OFD ，求CD 的长．举一反三：【变式】如图，AB 、AC 都是圆O 的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M 、N ，如果MN ＝3，那么BC ＝．【答案】由OM⊥AB，ON⊥AC，得M 、N 分别为AB 、AC 的中点（垂径定理），则MN 是△ABC 的中位线，BC=2MN=6.3．如图，以原点O 为圆心的圆交x 轴于点A 、B 两点，交y 轴的正半轴于点C ，D 为第一象限内⊙O 上的一点，若∠DAB = 20°，则∠OCD = ．【答案】65°.【解析】连结OD ，则∠D OB = 40°，设圆交y 轴负半轴于E ，得∠D OE= 130°，∠OCD =65°. 【总结升华】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系可求. 举一反三：【变式】如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）N MO C BA（第3题）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°【答案】C.【解析】作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．类型三、图形的旋转4．如图，图B是图A旋转后得到的，旋转中心是，旋转了 .【思路点拨】确定图形的旋转时，首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心，对应点连线的夹角即为旋转角.【答案】X，180°.【解析】解：观察图形中Z点对应点的位置是图A绕旋转中心X按逆时针旋转180°得到的．故答案为：X；180°．【总结升华】本题考查了图形的旋转变化，主要看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，对应点的连线是否过旋转中心，对应点连线的夹角为旋转角．类型四、圆中有关的计算5．（2016•十堰）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A．10cm B．15cm C．10cm D．20cm【思路点拨】根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长，设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到r，然后利用勾股定理计算出圆锥的高．【答案】D．【解析】解：过O作OE⊥AB于E，∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．类型五、圆与其他知识的综合运用6．如图(1)是某学校存放学生自行车的车棚示意图(尺寸如图(1))，车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图(2)是车棚顶部截面的示意图，AB所在圆的圆心为O．车棚顶部用一种帆布覆盖，求覆盖棚顶的帆布的面积(不考虑接缝等因素，计算结果保留π)．【答案与解析】连接OB，过点O作OE⊥AB，垂足为E，交AB于点F，如图(2)．由垂径定理，可知E是AB中点，F是AB的中点，∴ 12AE AB ==EF ＝2．设半径为R 米，则OE ＝(R-2)m ．在Rt △AOE 中，由勾股定理，得222(2)R R =-+．解得R ＝4．∴ OE ＝2，12OE AO =，∴ ∠AOE ＝60°，∴ ∠AOB ＝120°． ∴ AB 的长为120481803ππ⨯=(m)．∴ 帆布的面积为8601603ππ⨯=(m 2)．【总结升华】本题以学生校园生活中的常见车棚为命题背景，使考生在考场上能有一种亲切的感觉，这也体现了中考命题贴近学生生活实际的原则．求覆盖棚顶的帆布的面积，就是求以AB 为底面的圆柱的侧面积．根据题意，应先求出AB 所对的圆心角度数以及所在圆的半径，才能求AB 的长．举一反三：【变式】某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.①请你补全这个输水管道的圆形截面图；②若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm ，水最深的地方的高度为4cm ，求这个圆形截面的半径.【答案】①作法略.如图所示.②如图所示，过O 作OC ⊥AB 于D ，交于C ，∵ OC ⊥AB ，∴.由题意可知，CD=4cm. 设半径为x cm ，则.在Rt △BOD 中，由勾股定理得：∴.∴.即这个圆形截面的半径为10cm.。

2019年精选浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.1 圆复习巩固八

2019年精选浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质3.1 圆复习巩固八第1题【单选题】在研究圆的有关性质时，我们曾做过这样的一个操作“将一张圆形纸片沿着它的任意一条直径翻折，可以看到直径两侧的两个半圆互相重合”．由此说明( )A、圆的直径互相平分B、垂直弦的直径平分弦及弦所对的弧C、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心D、圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴【答案】：【解析】：第2题【单选题】如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是( )A、4B、5C、6D、10【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列条件，可以画出圆的是( )A、已知圆心B、已知半径C、已知不在同一直线上的三点D、已知直径【答案】：【解析】：第4题【单选题】下列语句中，正确的有( )（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧；（4）圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．A、0个B、1个C、2个D、3个【答案】：【解析】：第5题【单选题】下列说法正确的是( )A、弦是直径B、半圆是弧C、长度相等的弧是等弧D、过圆心的线段是直径【答案】：【解析】：第6题【单选题】下列说法错误的是( )A、面积相等的两个圆是等圆B、半径相等的两个半圆是等弧C、直径是圆中最长的弦D、长度相等的两条弧是等弧【答案】：【解析】：第7题【单选题】两圆的圆心都是O，半径分别是3cm，4cm，若3cm＜OP＜4cm，则点P在( )。

浙教版初中数学培优讲义九年级教师版第三章《圆的基本性质》全章复习与巩固—知识讲解(提高)

《圆的基本性质》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1．理解圆及其有关概念，了解点与圆的位置关系.2. 认识图形的旋转，理解图形的旋转的性质.3. 理解圆的性质，垂径定理，圆心角定理，圆周角定理.4. 理解圆内接四边形的性质.5．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.6. 会初步综合应用圆的有关知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角1．圆的定义（1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合.（3）不在同一条直线上的三个点确定一个圆.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；②圆是一条封闭曲线.2.点与圆的位置关系判定一个点P是否在⊙O上设⊙O的半径为，OP=，则有点P在⊙O 外；点P在⊙O 上；点P在⊙O 内.要点诠释：点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系.3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.4．与圆有关的角圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.在同圆或者等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等.5. 圆内接四边形圆内接四边形的对角互补.要点二、图形的旋转在平面内，一个图形绕着一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转.这个定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.图形经过旋转所得的图形和原图形全等.对应点到旋转中心的距离相等.任何一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.要点三、正多边形各边相等，各内角也相等的多边形是正多边形．要点诠释：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．要点四、弧长及扇形的面积圆心角为、半径为R的弧长.圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、圆的基础知识1. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行（或重合）的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则x的取值范围是（）.≤x≤2C．0≤x≤2 D．x＞2 A．－1≤x≤1 B．2【答案】C；【解析】如图，平移过P点的直线到P′，使其与⊙O相切，设切点为Q，连接OQ，由切线的性质，得∠OQP′=90°，∵OA∥P′Q，∴∠OP′Q=∠AOB=45°，∴△OQP′为等腰直角三角形，在Rt△OQP′中，OQ=1，OP′=2，∴当过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点时，0≤OP≤，当点P在x轴负半轴即点P向左侧移动时，结果相同．故答案为：0≤OP≤2．【总结升华】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．举一反三：【变式】如图，已知⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OB平行的直线于⊙O有公共点，设P（x，0），则x的取值范围是（）.A．-1≤x＜0或0＜x≤1 B．0＜x≤1 C．-2≤x＜0或0＜x≤2 D．x＞1【答案】∵⊙O是以数轴的原点为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°，∴过点P′且与OB平行的直线与⊙O相切时，假设切点为D，∴OD=DP′=1，OP′=2，∴0＜OP≤2，同理可得，当OP与x轴负半轴相交时，-2≤OP＜0，∴-2≤OP＜0，或0＜OP≤2．故选C．类型二、弧、弦、圆心角、圆周角的关系及垂径定理=，2．如图所示，已知在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上的点，且CF CB BF交CG于点E，求证：CE＝BE．【答案与解析】证法一：如图(1)，连接BC，=．∵ AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB，∴CB GB∵ CF BC =，∴ CF GB =．∴ ∠C ＝∠CBE ．∴ CE ＝BE ．证法二：如图(2)，作ON ⊥BF ，垂足为N ，连接OE ．∵ AB 是⊙O 的直径，且AB ⊥CG ，∴ CB BG =．∵ CB CF =，∴ CF BC BG ==．∴ BF ＝CG ，ON ＝OD ．∵ ∠ONE ＝∠ODE ＝90°，OE ＝OE ，ON ＝OD ，∴ △ONE ≌△ODE ，∴ NE ＝DE ．∵ 12BN BF =，12CD CG =， ∴ BN ＝CD ，∴ BN-EN ＝CD-ED ，∴ BE ＝CE ．证法三：如图(3)，连接OC 交BF 于点N ．∵ CF BC =，∴ OC ⊥BF ．∵ AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB ，∵ BG BC =，CF BG BC ==．∴ BF CG =，ON OD =．∵ OC ＝OB ，∴ OC-ON ＝OB-OD ，即CN ＝BD ．又∠CNE ＝∠BDE ＝90°，∠CEN ＝∠BED ，∴ △CNE ≌△BDE ，∴ CE ＝BE ．【总结升华】上述各种证明方法，虽然思路各异，但都用到了垂径定理及其推论．在平时多进行一题多解、一题多证、一题多变的练习，这样不但能提高分析问题的能力，而且还是沟通知识体系、学习知识，使用知识的好方法．举一反三：【变式】如图所示，在⊙O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（）A ．19B ．16C ．18D ．20【答案】如图，延长AO交BC于点D,过O作OE⊥BC于E.则三角形ABD为等边三角形，DA=AB=BD=12，OD=AD-AO=4在Rt△ODE中，∠ODE=60°，∠DOE=30°,则DE=12OD=2，BE=BD-DE=10OE垂直平分BC，BC=2BE=20. 故选D类型三、图形的旋转3．如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（）A．4，30°B．2，60°C．1，30°D．3，60°【思路点拨】利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．【答案】B；解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，∴△A′B′C是等边三角形，∴B′C=4，∠B′A′C=60°，∴BB′=6-4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60°．【总结升华】此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．类型四、圆中有关的计算4．如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若OF=4，求AC的长度．【思路点拨】（1）先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出∠DAO=∠DAC，进而根据内错角相等，判定OD∥AE，最后根据DE⊥OD，得出DE与⊙O相切；（2）先连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，根据垂径定理推导可得OH=OF=4，再根据AB是直径，推出OH是△ABC的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．【答案与解析】解：（1）DE与⊙O相切．证明：连接OD、AD，∵点D是的中点，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切．（2）连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，由垂径定理可得：OH⊥BC，==，∴=，∴DG=BC，∴弦心距OH=OF=4，∵AB是直径，∴BC⊥AC，∴OH∥AC，∴OH是△ABC的中位线，∴AC=2OH=8．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．本题也可以根据△ODF与△ABC相似，求得AC的长．举一反三：【变式】如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）【答案】解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．类型五、圆与其他知识的综合运用5．.【答案与解析】延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC∴∠ADB＝∠ACB＝60°∵四边形ABDC是圆内接四边形∴∠ABE＝∠ACD在△AEB和△ADC中，∴△AEB≌△ADC∴AE＝AD∵∠ADB＝60°∴△AED是等边三角形∴AD＝DE＝DB＋BE∵BE＝DC∴DB＋DC＝DA.【总结升华】由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC.本例也可以用其他方法证明.如：（1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA.（2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA.6．如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）.A. 3πB. 6πC. 5πD. 4π【答案】B；【解析】阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．则阴影部分的面积是：=6π故选B．【总结升华】根据阴影部分的面积=以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积-以AB为直径的半圆的面积=扇形ABB′的面积．即可求解．举一反三：【变式】某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案“我的宝贝”，图案的一部分是以斜边长为12cm的等腰直角三角形的各边为直径作的半圆，如图所示，则图中阴影部分的面积为( ).A. B.72 C.36 D.72【答案】本题解法很多，如两个小半圆面积和减去两个弓形面积等.但经过认真观察等腰直角三角形其对称性可知，阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得，所以由已知得直角边为，小半圆半径为(cm)，因此阴影部分面积为.故选C.《圆的基本性质》全章复习与巩固—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.对于下列命题：①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．其中，正确的有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．圆锥的底面半径为4cm，高为5cm，则它的表面积为（）A．12πcm2B．26πcm2C．πcm2 D．（4+16）πcm23．设计一个商标图案，如图所示，在矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=8cm，以A为圆心、AD的长为半径作半圆，则商标图案(阴影部分)的面积等于( ).A.(4π+8)cm2B.(4π+16)cm2C.(3π+8)cm2D.(3π+16)cm24．如图，已知P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M，连接OP，OM．若⊙O的半径为2，OP=4，则线段OM的最小值是（）A．0 B．1 C．2 D．35. “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，AB=10寸，则直径CD的长为( )A．12.5寸 B．13寸 C．25寸D．26寸6.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°．如果将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处．那么旋转的角度等于（）A．55°B．60°C．65°D．80°7．一条弦的两个端点把圆周分成4:5两部分，则该弦所对的圆周角为( )．A．80° B．100° C．80°或100° D．160°或200°8．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A．22．4 C．42 D．8二、填空题9．如下左图，是的内接三角形，，点P在上移动(点P不与点A、C重合)，则的变化范围是__ ________.10.如图，⊙0中，弦AB与弦CD交于E，连接AC，OE，BD，若AE=BE，AC∥0E，则∠CDB=．11．如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为______cm.12.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为_______.13.如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E，连结OD、OE，若∠A=65°，则∠DOE=_______.14.已知正方形ABCD2a，截去四个角成一正八边形，则这个正八边形EFGHIJLK的边长为____ ____，面积为_____ ___．15．如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°，给出以下五个结论：①∠EBC=22.5°；②BD=DC；③AE=2EC；④劣弧是劣弧的2倍；⑤AE=BC，其中正确的序号是．16.如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为_______.三、解答题17.（二模）如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40°，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．18.已知：如图，∠PAQ=30°，在边AP上顺次截取AB=3cm，BC=10cm，以BC为直径作⊙O交射线AQ于E、F两点，求：（1）圆心O到AQ的距离；（2）线段EF的长．19．如图，相交两圆的公共弦长为120cm，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边.求两圆相交弧间阴影部分的面积.20.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC=DE．（1）求证：∠A=∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD，求证：△ABE是等边三角形．【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】任意一个圆的内接三角形和外切三角形都可以作出无数个．①③正确，②④错误，故选B．2.【答案】D.【解析】底面半径为4cm，则底面周长=8πcm，底面面积=16πcm2；由勾股定理得，母线长=cm，圆锥的侧面面积=×8π×=4πcm2，∴它的表面积=16π+4π=（4+16）πcm2，故选D．3．【答案】A.；【解析】对图中阴影部分进行分析，可看做扇形、矩形、三角形的面积和差关系.∵矩形ABCD中，AB=2BC，AB=8cm，∴ AD=BC=4cm，∠DAF=90°，，，又AF=AD=4cm，∴，∴.4．【答案】B.【解析】设OP与⊙O交于点N，连结MN，OQ，如图，∵OP=4，ON=2，∴N是OP的中点，∵M为PQ的中点，∴MN为△POQ的中位线，∴MN=OQ=×2=1，∴点M在以N为圆心，1为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为1，∴线段OM的最小值为1．故选B．5．【答案】D；【解析】因为直径CD垂直于弦AB，所以可通过连接OA(或OB)，求出半径即可.根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，知(寸)，在Rt△AOE中，，即，解得OA=13，进而求得CD=26(寸).故选D.6.【答案】B；【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将该三角形绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，点B1恰好落在边BC的中点处，∴AB1=12BC，BB1=B1C，AB=AB1，∴BB1=AB=AB1，∴△ABB1是等边三角形，∴∠BAB1=60°，∴旋转的角度等于60°．7．【答案】C；【解析】圆周角的顶点在劣弧上时，圆周角为5136010092⨯⨯=°°；圆周角的顶点在优弧上时，圆周角为413608092⨯⨯=°°．注意分情况讨论．8.【答案】C；【解析】∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵圆O的直径AB垂直于弦CD，∴CE=DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．二、填空题9．【答案】；10.【答案】90°；【解析】∵AE=BE，∴OE⊥AB，即∠OEB=90°，∵AC∥OE，∴∠CAE=∠OEB=90°，∴∠CDB=∠CAE=90°．11.【答案】45；【解析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），∴D=BDC，∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE=AF=AC=3（cm），在Rt△DOE中，DE==4（cm），在Rt△ADE中，AD==4（cm）．12.【答案】2；【解析】将△DAF绕点A顺时针旋转90度到△BAF′位置，根据旋转的性质得出∠EAF′=45°，进而得出△FAE≌△EAF′，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF′=FC+BC+BF′=4，得出正方形边长即可．13.【答案】50°；【解析】∵BC为，⊙O的直径，∴∠CEB=∠AEB=90°，∵∠A=65°，∴∠ABE=25°，∴∠DOE=2∠ABE=50°.14.【答案】21)a；2(222)a；【解析】正方形ABCD外接圆的直径就是它的对角线，由此求得正方形边长为a．如图所示，设正八边形的边长为x．在Rt△AEL中，LE＝x，AE＝AL＝22x，∴222x x a⨯+=，21)x a =，即正八边形的边长为(21)a -．222224[(21)](222)AEL S S S a x a a a =-=-=--=-△正方形正八边形．15.【答案】①②④；【解析】连接AD ，AB 是直径，则AD⊥BC，又∵△ABC 是等腰三角形，故点D 是BC 的中点，即BD=CD ，故②正确； ∵AD 是∠BAC 的平分线，由圆周角定理知，∠EBC=∠DAC=∠BAC=22.5°，故①正确； ∵∠ABE=90°﹣∠EBC﹣∠BAD=45°=2∠CAD，故④正确； ∵∠EBC=22.5°，2EC≠BE，AE=BE ，∴AE≠2CE，③不正确； ∵AE=BE，BE 是直角边，BC 是斜边，肯定不等，故⑤错误．综上所述，正确的结论是：①②④．16.【答案】72；【解析】连接OA ，OB ，OC ，作CH 垂直于AB 于H ．根据垂径定理，得到BE=12AB=4，CF=12CD=3，由勾股定理∴OE=3，OF=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，在直角△BCH 中根据勾股定理得到BC=72，则PA+PC 的最小值为72．三、解答题 17.【解析】解：（1）∵∠ADB=∠ACB ，∠BAD=∠BFC ，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF==50°；（2）令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180°﹣2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90°﹣α，∴∠CFD+∠FCD=α+（90°﹣α）=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．18.【解析】解：（1）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，∵OH⊥EF，∴∠AHO=90°，在Rt△AOH中，∵∠AHO=90°，∠PAQ=30°，∴OH=AO，∵BC=10cm，∴BO=5cm．∵AO=AB+BO，AB=3cm，∴AO=3+5=8cm，∴OH=4cm，即圆心O到AQ的距离为4cm．（2）连接OE，在Rt△EOH中，∵∠EHO=90°，∴EH 2+HO 2=EO 2， ∵EO=5cm ，OH=4cm ， ∴EH===3cm ，∵OH 过圆心O ，OH ⊥EF ， ∴EF=2EH=6cm ．19.【解析】解：∵公共弦AB ＝120r R a 6624222212060603=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=.20．【答案与解析】证明：（1）∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠A=∠DCE， ∵DC=DE，∴∠DCE=∠AEB， ∴∠A=∠AEB；（2）∵∠A=∠AEB， ∴△ABE 是等腰三角形， ∵EO⊥CD， ∴CF=DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED=EC，∵DC=DE，∴DC=DE=EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴△ABE是等边三角形．。

浙教版九年级上第三章圆复习

第三章圆的基本性质复习题分点突破知识点1 圆的有关概念1．如图，在⊙O 中，点A ，O ，D 在一条直线上，点B ，O ，C 在一条直线上，那么图中有弦（）A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．(湘西中考)⊙O 的半径为5，点A 到圆心O 的距离OA ＝3 cm ，则点A 与圆O 的位置关系为（）A ．点A 在圆上B ．点A 在圆内C ．点A 在圆外D ．无法确定3．(绍兴中考)如图，已知点A (0，1)，B (0，－1)，以点A 为圆心，AB 为半径作圆，交x 轴的正半轴于点C ，则∠BAC 等于度．知识点2 图形的旋转4．(宜宾中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则B 、D 两点间的距离为（）A .10B ．2 2C ．3D ．2 5知识点3 垂径定理5．(宿迁中考)如图，在△ABC 中，已知∠ACB ＝130°，∠BAC ＝20°，BC ＝2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆交AB 于点D ，则BD 的长为．6．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D ，若AC ＝8 cm ，DE ＝2 cm ，求OD 的长．知识点4 圆心角与圆周角7．(宝山一模)如果在两个圆中有两条相等的弦，那么（）A ．这两条弦所对的圆心角相等B ．这两条弦所对的弧相等C ．这两条弦都被与它垂直的半径平分D ．这两条弦所对的弦心距相等8．如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，∠ABC ＝30°，过圆心O 作OD ⊥BC交BC ︵于点D ，连结DC ，则∠DCB 的度数为（）A ．30°B ．45°C ．50°D ．60°9．(湖州中考)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC .以AB 为直径作半圆O ，交BC 于点D .若∠BAC ＝40°，则AD ︵的度数是度．知识点5 正多边形的计算第3题第4题第5题10．(呼和浩特中考)已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（）A ．3 3B ．3 6C .32 3D .326 11．(泸州中考)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（） A .38 B .34 C .24 D .28知识点6 弧长及扇形面积的计算12．如图，△ABC 是等边三角形，AC ＝6，以点A 为圆心，AB 长为半径画弧DE ，若∠1＝∠2，则弧DE 的长为（C ）A ．πB ．1.5πC ．2πD ．3π13．(赤峰中考)如图，⊙O 的半径为1，分别以⊙O 的直径AB 上的两个四等分点O 1，O 2为圆心，12为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（） A ．π B .12π C .14π D ．2π 中考题型备考演练14．如图，△ABC 中，∠A ＝50°，O 是BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点D ，E ，连结OD ，OE ，测量∠DOE 的度数是（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°15．(龙东中考)如图，⊙O 的半径是2，AB 是⊙O 的弦，点P 是弦AB 上的动点，且1≤OP ≤2，则弦AB 所对的圆周角的度数是（）A ．60°B ．120°C ．60°或120°D ．30°或150°16．(烟台中考)如图，在正方形纸片ABCD 中，EF ∥AD ，M ，N 是线段EF 的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A 与点D 重合，此时，底面圆的直径为10 cm ，则圆柱上M ，N 两点间的距离是 cm ．17．如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O分别交AB 、AC 于点E 、F ，连结EF ，则线段EF 长度的最小值为．18．(青岛中考)如图，圆内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别相交于点E 、F ，且∠A ＝55°，∠E ＝30°，则∠F ＝．19．(天津中考)已知⊙O 的直径为10，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（1）如图1，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（2）如图2，若∠CAB＝60°，求BD 的长．第15题第16题第17题第18题20．(襄阳中考)如图，在正方形ABCD 中，AD ＝2，E 是AB 的中点，将△BEC 绕点B 逆时针旋转90°后，点E 落在CB 的延长线上点F 处，点C 落在点A 处．再将线段AF 绕点F 顺时针旋转90°得线段FG ，连结EF ，CG ．（1）求证：EF ∥CG ；（2）求点C ，点A 在旋转过程中形成的AC ︵，AG ︵与线段CG 所围成的阴影部分的面积．。

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中考总复习：圆综合复习—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是( )A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C．AC BCD．∠BAC＝30°2．如图，⊙O的直径AB长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则CD长为( ) A．7 B．72 C．82 D．9第1题第2题第3题3．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为( ) A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm4．已知：⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，则AB，CD之间的距离为( ) A．17cm B．7cm C．12cm D．17cm或7cm5．（2015•西藏）已知⊙O1与⊙O2相交，且两圆的半径分别为2cm和3cm，则圆心距O1O2可能是（）A．1cm B．3cm C．5cm D．7cm6．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A．1 B．34C．12D．13二、填空题7．在⊙O中直径为4，弦AB＝23，点C是圆上不同于A，B的点，那么∠ACB度数为________．8．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是BAC上一点，则∠D＝________．第8题第9题9．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠C＝70°，则∠BOD的度数是________度．10．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为________．11．（2015•盐城校级模拟）如图，将一个圆心角为120°，半径为6cm的扇形围成一圆锥侧面（OA、OB 重合），则围成的圆锥底面半径是cm．12．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)三、解答题13．（2014秋•北京期末）如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，过点A作AD⊥l于点D，交⊙O于点E．（1）求证：∠CAD=∠BAC；（2）若sin∠BAC=，BC=6，求DE的长．14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1＝∠C．(1)求证：CB∥PD；(2)若BC＝3，3sin5P ，求⊙O的直径．15．如图，已知⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，⊙O1交O1O2于点B，连接AB并延长交⊙O2于点C，连接O2C．(1)求证：O2C⊥O1O2；(2)证明：AB·BC＝2O2B•BO1；(3)如果AB•BC＝12，O2C＝4，求AO1的长．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．O是CD边的中点，以O为圆心，OC长为半径作圆，交BC边于点E．过E作EH⊥AB，垂足为H．已知⊙O与AB边相切，切点为F．(1)求证：OE∥AB；(2)求证：12EH AB=；(3)若1B4BHE=，求BHCE的值．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】∵ OA＝AB＝OB，∴∠AOB＝60°．又∵ CO⊥AB，∴11603022BOC AOB∠=∠=⨯=°°．又∠BOC和∠BAC分别是BC对的圆心角和圆周角，∴11301522BAC BOC∠=∠=⨯=°°．∴ D错．2.【答案】B ；【解析】连接AD，BD，由AB是⊙O的直径得∠ACB＝∠ADB＝90°，故∠ACD＝∠BCD＝45°，BC＝8，AD＝BD＝52ACD∽△OCB，得AC CDCO BC=，即CO·CD＝6×8＝48．由△DOB ∽△DBC ，得CD BD Bd OD =，即OD ·CD ＝525250⨯=． ∴ CO ·CD+OD ·CD ＝(CO+OD)·CD ＝CD 2＝98．∴ 9872CD ==．3.【答案】D ；【解析】连接AO ，由垂径定理知132AD AB ==，所以Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=．所以DC ＝OC-OD ＝OA-OD ＝5-4＝1．4.【答案】D ；【解析】如图，在Rt △OAE 中，222213125OE OA AE =-=-=(cm)．在Rt △OCF 中，222213512OF OC CF =--=(cm)．∴ EF ＝OF-OE ＝12-5＝7(cm)．同理可求出OG ＝12(cm)．∴ EG ＝5+12＝17(cm)．则AB ，CD 的距离为17cm 或7cm ．5.【答案】B ；【解析】两圆半径差为1，半径和为5，两圆相交时，圆心距大于两圆半径差，且小于两圆半径和，所以，1＜O 1O 2＜5．符合条件的数只有B ．6.【答案】C ；【解析】圆锥底面的周长等于其侧面展开图半圆弧的长度，设圆锥底面圆的半径为r ，则12212r ππ=⨯⨯， ∴ 12r =．二、填空题7．【答案】120°或60°；【解析】如图，过O 作OD ⊥AB 于D ，在Rt △ODB 中，OB ＝2，12332BD =⨯=． ∴ 3sin 2BD DOB OB ∠==． ∴ ∠DOB ＝60°，∴ ∠AOB ＝60°×2＝120°．如图中点C 有两种情况：∴ 1120602ACB ∠=⨯=°°或1(360120)1202ACB ∠=-=°°°． 8．【答案】40°；【解析】∵ AC 是⊙O 的直径，∴ ∠ABC ＝90°，∴ ∠A ＝40°，∴ ∠D ＝∠A ＝40°．9．【答案】100；【解析】在△ABC 中，∠A ＝180°-∠B-∠C ＝180°-60°-70°＝50°， ∵ OA ＝OD ，∴ ∠ODA ＝∠A ＝50°，∴ ∠BOD ＝∠A+∠ODA ＝100°．10．【答案】3或17；【解析】显然两圆只能内切，设另一圆半径为r ，则|r-10|＝7，∴ r ＝3或17．11.【答案】2；【解析】设此圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=2cm ．故答案为2．12．2π ；【解析】∠AOB ＝45°+45°＝90°，OA 222222+=． ∴ AB 9022180l ππ⨯==．三、解答题13.【答案与解析】（1）证明：连接OC ，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠CAD=∠ACO．又∵OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠CAD=∠OAC，即∠CAD=∠BAC．（2）过点B作BF⊥l于点F，连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，又AD⊥l于点D，∴∠AEB=∠ADF=∠BFD=90°，∴四边形DEBF是矩形，∴DE=BF．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCF=90°．∵∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠BCF=∠CAD．∵∠CAD=∠BAC，∴∠BCF=∠BAC．在Rt△BCF中，BC=6，sin∠BCF==sin∠BAC=，∴BF==，∴DE=BF=．14.【答案与解析】(1)证明：∵ BD BD =，∴ ∠BCD ＝∠P ．又∵ ∠1＝∠BCD ，∴ ∠1＝∠P ．∴ CB ∥PD ．(2)解：连接AC ．∵ AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°．又∵ CD ⊥AB ，∴ BC BD =．∴ ∠A ＝∠P ，∴ sin A ＝sin P ．在Rt △ABC 中，sin BC A AB=， ∵ 3sin 5P =，∴ 35BC AB =．又∵ BC ＝3，∴ AB ＝5，即⊙O 的直径为5．15.【答案与解析】(1)证明：∵ AO 1是⊙O 2的切线，∴ O 1A ⊥AO 2， ∴ ∠O 2AB+∠BAO 1＝90°．又O 2A ＝O 2C ，O 1A ＝O 1B ，∴ ∠O 2CB ＝∠O 2AB ，∠O 2BC ＝∠ABO 1＝∠BAO 1． ∴ ∠O 2CB+∠O 2BC ＝∠O 2AB+∠BAO 1＝90°． ∴ O 2C ⊥O 2B ，即O 2C ⊥O 1O 2．(2)证明：延长O 2O 1，交⊙O 1于点D ，连接AD ． ∵ BD 是⊙O 1的直径，∴ ∠BAD ＝90°．又由(1)可知∠BO 2C ＝90°，∴ ∠BAD ＝∠BO2C ，又∠ABD ＝∠O 2BC ，∴ 2O B BC AB BD=． ∴ AB ·BC ＝O 2B ·BD ．又BD ＝2BO 1，∴ AB ·BC ＝2O 2B ·BO 1．(3)解：由(2)证可知∠D ＝∠C ＝∠O 2AB ，即∠D ＝∠O 2AB ．又∠AO 2B ＝∠DO 2A ，∴ △AO 2B ∽△DO 2A ．∴ 2222AO O B DO O A=，∴ 2222AO O B O D =．∵ 22O C O A =，∴ 2222O C O B O D =． ①又由(2)AB ·BC ＝O 2B ·BD ． ②由①－②得2222O C AB BC O B -=，即222412O B -=．∴ O 2B ＝2，又O 2B ·BD ＝AB ·BC ＝12，∴ BD ＝6．∴ 2AO 1＝BD ＝6，∴ AO 1＝3．16.【答案与解析】(1)证明：在等腰梯形ABCD 中，AB ＝DC ，∴ ∠B ＝∠C ． ∵ OE ＝OC ，∴ ∠OEC ＝∠C ．∴ ∠B ＝∠OEC ．∴ OE ∥AB ．(2)证明：连接OF ，如图．∵ ⊙O 与AB 切于点F ，∴ OF ⊥AB ．∵ EH ⊥AB ，∴ OF ∥EH ．又∵ OE ∥AB ，∴ 四边形OEHF 为平行四边形． ∴ EH ＝OF ．∵ 1122OF CD AB ==， ∴ 12EH AB =． (3)解：连接DE ，如图．∵ CD 是直径，∴ ∠DEC ＝90°．∴ ∠DEC ＝∠EHB ．又∵ ∠B ＝∠C ，∴ △EHB ∽△DEC ．∴BH BE CE CD=． ∵ 14BH BE =，设BH ＝k ，∴ BE ＝4k ，EH ==，∴ 2CD EH ==．∴15BH CE ==．。