2020年秋期湘教版数学初三(九年级)上册第一学期期末测试卷

第一学期期末测试卷一、选择题(每题3分，共24分)
1．方程x2－2x＝0的根是()
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
2．下列各点中，在函数y＝12
x图象上的是()
A．(－2，6) B．(3，－4) C．(－2，－6) D．(－3，4)
3．为了比较甲、乙两种水稻秧苗谁出苗更整齐，每种秧苗各随机抽取100株，分别量出每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙的方差分别是0.32，
1.5，则下列说法正确的是()
A．甲秧苗出苗更整齐B．乙秧苗出苗更整齐
C．甲、乙出苗一样整齐D．无法确定甲、乙出苗谁更整齐
4．已知函数y＝kx＋b的图象如图所示，则一元二次方程x2＋x＋k－1＝0的根的存在情况是()
A．没有实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
5．已知反比例函数y＝6
x的图象上有两点A(1，m)，B(2，n)，则m与n的大小关
系是()
A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．不能确定
6．某地修建高速公路，要从B地向C地修一座隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为()
A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D.100 3
3m
7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于点E ，若AC ＝8，BC ＝6，DE ＝3，则AD 的长为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
8．如图，已知等腰三角形ABC 中，顶角∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，则AD AC 的值为( )
A.1
2 B.5－12 C ．1 D.5＋12 二、填空题(每题4分，共32分) 9．若x y ＝23，则y x ＋y
＝____________．
10．某校在一次期末考试中，随机抽取七年级30名学生的数学成绩进行分析，其中5名学生的数学成绩达90分以上．据此估计该校七年级360名学生中期末考试数学成绩达90分以上的学生约有____________． 11．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝125，则sin A ＝________．
12．某楼盘2017年房价为每平方米10 000元，经过两年连续降价后，2019年房价为每平方米8 100元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为________________．
13．利用标杆CD 测量建筑物的高度的示意图如图所示，若标杆CD 的高为1.5米，测得DE ＝2米，BD ＝18米，则建筑物的高AB 为________米．
14．如图，点A 在反比例函数y ＝k
x 的图象上，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且S △AOB ＝4，则k ＝________．
15．已知关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋3)x ＋m 2＝0有两个实数根，且满足x 1
＋x 2＝m 2，则m 的值是____________．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以O 为位似中心，将边长为8的等边三角形OAB 作n 次位似变换，经第一次变换后得到等边三角形OA 1B 1，其边长OA 1缩小为OA 的1
2，经第二次变换后得到等边三角形OA 2B 2，其边长OA 2缩小为OA 1的1
2，经第三次变换后得到等边三角形OA 3B 3，其边长OA 3缩小为
OA 2的1
2，…，按此规律，经第n 次变换后，所得等边三角形OA n B n 的顶点A n
的坐标为(1
28 ，0)，则n 的值是____________．
三、解答题(17，18题每题6分，19，20题每题8分，21～24题每题9分，共64分)
17．计算：(1)(－1)2 021－2－1＋cos 60°＋(π－3.14)0；
(2)sin 45°·tan 45°＋tan 60°·tan 30°－2sin 30°·cos 45°.
18．用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x＋3＝0；(2)－x2＋8x＋4＝0.
19．如图，A，B是双曲线y＝k
x上的点，点A的坐标是(1，4)，B是线段AC的中
点．
(1)求k的值；
(2)求点B的坐标；
(3)求△OAC的面积．
20．某校体育处为了解该校2019～2020学年度七年级同学对排球、乒乓球、羽毛球、篮球和足球五种球类运动项目的喜爱情况(每名同学必须且只能选择最喜爱的一种运动项目)，进行了随机抽样调查，并将调查结果统计后绘制成了如下不完整的统计图表．
(1)m＝________，并请你补全条形统计图；
(2)若2019～2020学年度七年级学生总人数为920人，请你估计2019～2020学
年度七年级学生喜爱羽毛球运动项目的人数．
样本人数分布表
类别人数百分比
排球 3 6%
乒乓球14 28%
羽毛球15 m
篮球20%
足球8 16%
合计100%
21．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A处到E处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为45°，条幅底端E点的俯角为30°，若甲、乙两楼的水平距离BC为21米，求条幅AE的长约是多少米．(结果精确到0.1米，3≈1.732)
22．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米． (1)当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(2)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
23．如图，直线y ＝ax ＋1与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与双曲线y ＝k
x (x ＞0)交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC ＝2，点A 的坐标为(－2，0)． (1)求双曲线的表达式；
(2)若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且Q H ⊥x 轴于H ，当以点Q ，C ，H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标．
24．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.
(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：DE
CF＝
AD
CD；
(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么
关系时，使得DE
CF＝
AD
CD成立？并证明你的结论．
答案
一、1.C 2.C
3．A ：方差反映一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，∵甲、乙方差分别是0.32，1.5，即s 甲2＜s 乙2，∴甲秧苗出苗更整齐． 4．C ：根据函数y ＝kx ＋b 的图象可得k ＜0，b ＜0，
在一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0中，Δ＝12－4×1×(k －1)＝5－4k ＞0， 则一元二次方程x 2＋x ＋k －1＝0的根的存在情况是有两个不相等的实数根． 5．A ：∵k ＝6＞0，∴在反比例函数y ＝6
x
中，在每个象限内y 随x 的增大而
减小．∵反比例函数y ＝6
x 的图象上有两点A (1，m )，B (2，n )，1＜2，∴m ＞n .
6．A ：根据题意得∠ABC ＝30°，AC ⊥BC ，AC ＝100 m ， 在Rt △ABC 中，BC ＝AC tan ∠ABC
＝100 3 m.
7．C ：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝10. ∵DE ⊥AB ，∴∠AED ＝∠C .又∵∠A ＝∠A ，
∴△ADE ∽△ABC ，则DE BC ＝AD AB ，即36＝AD 10，∴AD ＝3×106＝5.
8．B ：设AB ＝AC ＝m ，AD ＝x ，则CD ＝m －x ，∵∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，∴∠CBD ＝12∠ABC ＝12×12×(180°－36°)＝36°.在△ACB 和△BCD 中，⎩
⎨⎧∠C ＝∠C ，∠A ＝∠CBD ＝36°， ∴△ACB ∽△BCD ，
∴AC ∶BC ＝BC ∶DC ，易知BC ＝BD ＝DA ＝x ，∴m ∶x ＝x ∶(m －x )，∴x 2＋mx －m 2＝0, 解得x ＝
5－12m (已舍去负根)，∴AD ∶AC ＝5－1
2.
二、9.35 ：∵x y ＝23，∴x ＋y y ＝x y ＋1＝53，∴y x ＋y ＝3
5.
10．60名 ：由题意可得5
30×360＝60(名)．
11.1213 ：∵tan A ＝a b ＝12
5，设a ＝12k ，则b ＝5k ，
∴c ＝a 2＋b 2＝13k ，∴sin A ＝a c ＝12
13. 12．10 000(1－x )2＝8 100 13．15 ：∵AB ∥CD ， ∴△EDC ∽△EBA ， ∴CD AB ＝ED EB ，即1.5AB ＝2
2＋18
， ∴AB ＝15米．
14．8 ：设A (a ，b )，则OB ＝a ，AB ＝b ，∵S △AOB ＝4，∴1
2ab ＝4，∴ab ＝8＝k .
15．3 ：根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝2m ＋3，∵x 1＋x 2＝m 2，∴m 2＝2m ＋3，解得m ＝3或－1.又∵方程有两个实数根，∴[－(2m ＋3)]2－4m 2≥0，即m ≥－3
4，∴m ＝3. 16．11
三、17.解：(1)原式＝－1－12＋1
2＋1＝0.
(2)原式＝22×1＋3×33－2×12×22＝22＋1－
2
2＝1. 18．解：(1)分解因式得(x －1)(x －3)＝0， 可得x －1＝0或x －3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. (2)∵a ＝－1，b ＝8，c ＝4，
∴Δ＝64＋16＝80，∴x ＝－8±4 5
－2＝4±2 5，
则x 1＝4－2 5，x 2＝4＋2 5.
19．解：(1)把(1，4)代入y ＝k x 得4＝k
1，解得k ＝4.
(2)由B 是AC 的中点可得B 点的纵坐标是A 点纵坐标的一半，即y ＝2，把y ＝2代入y ＝4x 得2＝4
x ，解得x ＝2，故点B 的坐标为(2，2)．
(3)由点A ，B 的坐标求得直线AB 的表达式为y ＝－2x ＋6，令y ＝0，求得x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，0)，∴△OAC 的面积为12×3×4＝6.
20．解：(1)30%
补全条形统计图如下：
(2)920×30%＝276(人)．∴估计2019～2020学年度七年级学生喜爱羽毛球运动项
目的有276人．
21．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F.
在Rt△ADF中，DF＝21米，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF×tan 45°＝21米．
在Rt△EDF中，DF＝21米，∠EDF＝30°，
∴EF＝DF×tan 30°＝7 3米．
∴AE＝AF＋EF＝21＋7 3≈33.1(米)．
答：条幅AE的长约为33.1米．
22．解：因为围成的矩形一边长为x米，所以矩形的邻边长为(16－x)米．(1)依题意得x(16－x)＝60，即(x－6)(x－10)＝0.
解得x1＝6，x2＝10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米．
(2)不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：当养鸡场面积为70平方米
时，x(16－x)＝70，即x2－16x＋70＝0.
因为Δ＝(－16)2－4×1×70＝－24＜0，
所以该方程无解．
即不能围成面积为70平方米的养鸡场．
23．解：(1)把(－2，0)代入y＝ax＋1中，求得a＝1
2，∴y＝
1
2x＋1，
∵PC＝2，∴P点纵坐标为2，把y＝2代入y＝1
2x＋1，得x＝2，即P(2，2)，
把P点坐标代入y＝k
x得k＝4，则双曲线表达式为y＝
4
x.
(2)如图，设Q(m，n)，
∵Q(m，n)在双曲线y＝4
x上，∴n＝
4
m，
当△QCH∽△BAO时，可得CH
AO＝
QH
BO，即
m－2
2＝
n
1，
∴m－2＝2n，即m－2＝8
m，解得m＝4或m＝－2(舍去)．当m＝4时，n＝1.
∴Q(4，1)；
当△QCH∽△ABO时，可得CH
BO＝
QH
AO，即
m－2
1＝
n
2，
整理得2m－4＝4
m，解得m＝1＋3或m＝1－3(舍去)，当m＝1＋3时，n
＝2 3－2，
∴Q(1＋3，2 3－2)．
综上，Q(4，1)或Q(1＋3，2 3－2)．
24．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°.
∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE＋∠DFC＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，
∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴DE
CF＝
AD
CD.
(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE
CF＝
AD
CD成立．
证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°.
∵∠B＋∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD.
∵∠EDA＝∠FDG，∴△DEA∽△DFG，
∴DE
DF＝AD
DG，即
DE
AD＝
DF
DG.
∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF.
∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，
∴DF
DG＝CF
CD，∴
DE
AD＝
CF
CD，
∴DE
CF＝
AD
CD，
即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE
CF＝
AD
CD成立．。