2019年大连市高三一模文科数学

2019年大连市高三第一次模拟考试
数学（文科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题
1. D
2. A
3. A
4. B
5. C
6. B
7. D 8. C 9. A 10. B 11. D 12. C
二、填空题
13. 8 14. 2 15. 32-
16. 212n n - 三、解答题
17.解：
6sinC
= 所以sin 1C =，2C π∠=
，………………………………3分 所以
2BC =
=
所以1S 22
=⨯⨯=………………………………………………6分 （Ⅱ）设DC x =，则2BD x
=，所以
(
)
22222
226x x +-+-=
解得：3x =
所以3BC DC ==12分
18. 解：（I ）估计第一车间生产时间小于75min 的人数为62006020
⨯=（人）……..2分 估计第二车间生产时间小于75min 的人数为
400(0.0250.05)10300⨯+⨯=（人）…………………………………………………….4分
（II ）第一车间生产时间平均值约为
60270480109047820
x ⨯+⨯+⨯+⨯==第一车间（min ）…………………………………….5分 第二车间生产时间平均值约为
600.25700.5800.2900.0570.5x =⨯+⨯+⨯+⨯=第二车间（min ）…………………………..6分 ∵x x >第一车间第二车间，∴第二车间工人生产效率更高………………………………………..8分
（III ）由题意得，第一车间被统计的生产时间小于75min 的工人有6人，其中生产时间小于65min 的有2人，分别用A 1、A 2代表生产时间小于65min 的工人，用B 1、B 2、B 3、B 4代表生产时间大于或等于65min ，且小于75min 的工人.
抽取2人基本事件空间为Ω={（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），
（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}共15个基本事件，……………………………………………..9分
设事件A =“2人中至少1人生产时间小于65min ”，
则事件A ={（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4）}共9个基本事件…………………………………………………10分 ∴93()155P A =
=…………………………………………………………………………12分
19. （I ）证明：在等腰梯形ABCD 中，连接BD ，交AE 于点O ，
,AB CE AB CE =，∴四边形ABCE 为平行四边形，
∴AE=BC=AD=DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD 中，3C A D E π∠=∠=，23DAB ABC π∠=∠= ∴在等腰ADB ∆中，6ADB ABD π∠=∠= ∴2362
DBC πππ∠=-=即BD BC ⊥，∴BD AE ⊥，…2分 翻折后可得：,OP AE OB AE ⊥⊥，又OP POB ⊂平面，
OB POB ⊂平面，OP OB O =，AE POB ∴⊥平面……4分
PB POB ⊂平面，AE PB ∴⊥；………5分
（II ）设点C 到平面PAB 的距离为d ，
大，………6由题意得，O P A B C E ⊥平面时，四棱锥P -ABCE 体积最
分
OP OB ==
PB ∴=，1AP AB ==，
PAB S ∴=，……………………………………7分
1211sin 23ABC S π=⨯⨯⨯=……………………8分
111338
P ABC ABC V OP S -=⨯⨯==，……………10分 O E D C B A P
O E C B A A B C E O P
P ABC C PAB V V --=
33P ABC
PAB V d S -∴===…………………………12分
20．解：（I ）2e =
，a ∴=，又26b =，且222a b c =+， 218a ∴=，2
9b =，因此椭圆C 的方程为22
1189x y +=.……………4分 （II ）法一：设000(,)(0)M x y x ≠，11(,)N x y ，11MB NB ⊥，22MB NB ⊥， ∴直线1NB ：0033
x y x y +=-+……① 直线2NB ：0033x y x y -=--……② 由①，②解得：2010
9y x x -=，又22001189x y +=，012x x ∴=-，……………8分 四边形21MB NB 的面积1210013||(||||)3||22
S B B x x x =+=⨯，……………10分 20018x <≤，∴当20
18x =时，S 的最大值为
2.………………………12分 法二：设直线1MB ：3(0)y kx k =-≠，则直线1NB ：13y x k
=--……① 直线1MB 与椭圆C ：221189
x y +=的交点M 的坐标为2221263(,)2121k k k k -++，……6分 则直线2MB 的斜率为222263312112221
MB k k k k k
k --+==-+， ∴直线2NB ：23y kx =+……②
由①，②解得N 点的横坐标为2621
N k x k =-
+，…………………………8分 四边形21MB NB 的面积
12222112||6||||(||||)3()22121
54||541212
2||||
M N k k S B B x x k k k k k k =+=⨯+++==≤++， ……………………………………………………………………………………10分
当且仅当||k =S
.………………………………12分 21.解：(Ⅰ)22()(0)a f x x x x
'=-
+>……………………………………………………1分 ∵0a >，∴当14a x =时，()f x '取最大值28a ，∴2=28a ， ∵0a >，∴4a =……………………………………………………………………2分 ∴此时222442()x f x x x x
-'=-+=，在1(0,)2上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1(,+)2∞上，()0f x '>，()f x 单调递增，∴()f x 的极小值点为12
x =，无极大值点. …………4分 （Ⅱ）∵22()ax f x x -'= 其中0x >且0a >， ∴在2(0,)a 上，()0f x '<，()f x 单调递减，在2(,+)a
∞上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴22()()ln f x f a a a a
≥=+………………………………………………………………6分 ∵关于x 的不等式()2f x <有解，∴2ln 2a a a
+<，∵0a >，∴22ln 10a a +-<………7分 令()ln 1g x x x =+-，∴11()1x g x x x
-'=-=，………………………………………9分 在(0,1)上，()0g x '>，()g x 单调递增，在(1,+)∞上，()0g x '<，()g x 单调递减， ∴()(1)0g x g ≤=，………………………………………………………………………10分 ∴22ln 10a a +-<等价于20a >且21a
≠ ∴a 的取值范围是0a >且2a ≠.………………………………………………………12分
22.解：（Ⅰ）直线1l 的参数方程为2cos301sin 30x t y t ⎧=+⎪⎨=+⎪
⎩
，
即2112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）………………………………………2分
设()()11,,,N M ρθρθ,()10,0ρρ>>
11
12ρρθθ=⎧⎨=⎩,即312cos ρθ=，即4cos ρθ=， 所以()22400x x y x -+=≠.……………………………………………5分
（Ⅱ）将1l 的参数方程代入C 的直角坐标方程中，
2
21242102t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………………7分 即230t t +-=,12,t t 为方程的两个根，所以123t t =-，………………9分 所以1233AP AQ t t ==-=.…………………………………………10分
23.解：（Ⅰ）①当12x <时，21()324,32
f x x x =-+≤∴-≤<………1分 ②当112x ≤<时，1()4,12
f x x x =≤∴≤<………………2分 ③当1x ≥时，()324,f x x =-≤∴12x ≤≤………………3分
综上：()4f x ≤的解集为223x x ⎧
⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭
……………………………5分 （II ）法一：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，，min 1(),2f x ∴=即
12
m =
………………………………………………………………………6分 又,,,a b c R +∈且12
a b c ++=，则2221a b c ++=
，设x =
y
z ， 222x y xy +≥，2222121222xy x y a b a b ∴≤+=+++=++，
同理：2222yz b c ≤++，2222zx c a ≤++，
2222222222228xy yz zx a b b c c a ∴++≤++++++++=，……8分 2222()22221212
x
y z x y z
xy yz zx
a b c
∴++=+++++≤+++++，
x y z ∴++≤
≤9分
当且仅当16a b c ===时，取得最大值……………………10分
法二：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
，， min 1(),2f x ∴=即12
m =……………………………………………………6分 ∴,,,a b c R +∈且12
a b c ++=，
444212121333()2222a b c =++++++≤++= ………………………………………………………………………………9分 当且仅当16
a b c ===
时，取得最大值……………………10分 法三：由（I ）可知13+221(),1232,1x x f x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪-≥⎪⎪⎩
，， min 1(),2f x ∴=即12
m =…………………………………………6分 12
a b c ∴++=，(21)(21)(21)4a b c ∴+++++=…………7分 由柯西不等式可知
()(
))2222222111111++⋅++≥
9分 当且仅当212121a b c +=+=+， 即16a b c ===
时，取得最大值………………………………10分。