2021版新课标名师导学高考第一轮总复习考点集训(三十四) 第34讲 数列求和

考点集训(三十四) 第34讲 数列求和

对应学生用书p 237

A 组题

1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )

A ．200

B ．－200

C ．400

D ．－400

[解析] S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋…－(4×100－3)

＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]

＝4×(－50)＝－200.

[答案] B

2．数列{}a n 中，a 1＝2，且a n ＋a n －1＝

n a n －a n －1＋2(n ≥2)，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1（a n －1）2前2021项和为( )

A .20211010

B .20211011

C .20191010

D .40402021

[解析] ∵a n ＋a n －1＝n

a n －a n －1＋2(n ≥2)， ∴a 2n －a 2n －1－2()

a n －a n －1＝n ， 整理得：()a n －12－()a n －1－12＝n ，

∴()a n －12－()a 1－12＝n ＋()n －1＋……＋2，又a 1＝2，

∴()a n －12＝n ()

n ＋12， 可得：1()a n －12＝2

n ()n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1

()a n －12前2021项和为： S 2021＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13

＋…＋12021－12022 ＝2⎝⎛⎭⎫1－12022＝20211011.故选B .

[答案] B

3．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－3a n

＝2，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．3×2n －3n －3 B ．5×2n －3n －5

C ．3×2n －5n －3

D ．5×2n －5n －5

[解析] 因为a n ＋1－3a n

＝2，所以a n ＋1＝2a n ＋3，即a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)，则数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝5，公比为2的等比数列，其通项公式为a n ＋3＝5×2n －1，所以a n ＝5×2n －1－3，分组求和可得数列{a n }的前n 项和S n ＝5×2n －3n －5.

[答案] B

4．记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝12，n ＋1a n ＋1＝n a n

＋2n ，则S 100＝( ) A ．2－492100 B ．2－49299 C ．2－512100 D ．2－51299 [解析] 根据题意，由n ＋1a n ＋1＝n a n ＋2n ，得n ＋1a n ＋1－n a n

＝2n ， 则n a n －n －1a n －1＝2n －1，n －1a n －1－n －2a n －2

＝2n －2，…，2a 2－1a 1＝21， 将各式相加得n a n －1a 1

＝21＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 又a 1＝12，所以a n ＝n·12n ， 因此S 100＝1×12＋2×122＋…＋100×12100， 则12S 100＝1×122＋2×123＋…＋99×12100＋100×12101， 将两式相减得12S 100＝12＋122＋123＋…＋12100－100×12101， 所以S 100＝2－⎝⎛⎭⎫1299－100·⎝⎛⎭⎫12100

＝2－51299

. [答案] D

5．已知公差不为零的等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 2，a 5，a 14成等比数列，{a n }的前n 项和为S n ，b n ＝(－1)n S n .则数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝________．

[解析] 由题意，a 1＝1，{a n }是等差数列，a 2，a 5，a 14成等比数列，

可得：(1＋d)(1＋13d)＝(1＋4d)2，

解得：d ＝2，

所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，

S n ＝na 1＋n （n －1）2

×d ＝n 2. 由b n ＝(－1)n S n ＝(－1)n ·n 2，

所以{b n }的前2n 项和T 2n ＝(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋[－(2n －1)2＋(2n)2]＝3＋7＋…＋4n －1＝n(2n ＋1)．

[答案] n(2n ＋1)

6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n ，那么S 100的值为________．

[解析] 当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝0，

所以a n ＝1；

当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，

所以a n ＝n ；

故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，

n ，n 为偶数.

可是S 100＝50＋（2＋100）×502

＝2600. [答案] 2600

7．已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1

，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12

×2＝2a 1＋2， S 4＝4a 1＋4×32

×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，

解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.

(2)b n ＝(－1)n －14n

a n a n ＋1＝(－1)n －14n

（2n －1）（2n ＋1）