(北师大版)数学必修二课件：2.2.2圆的一般方程

表示圆.
表示(圆x ，12所)2以E2y>01，2
5， 4
答案：E≠0
(3)原方程可化为 答案：
所以圆心为
（x 1）2 (y E )2 E2 ， 24
( 1，1) 22
(x 1 )2 (y 1 )2 3，
2
22
( 1，1). 22
【要点探究】
知识点 圆的一般方程及点与圆的位置关系
【题型示范】 类型一 二元二次方程与圆的关系 【典例1】 (1)(2014·西城高一检测)方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的图形 是( ) A.以(1，-2)为圆心， 为半径的圆 B.以(1，2)为圆心， 为半径的圆 C.以(-1，-2)为圆心， 为半径的圆 D.以(-1，2)为圆心， 为半径的圆
A.内部
B.外部
C.圆上
D.不确定
2.若A(1，1)，B(3，5)，C(4，4)，则△ABC的外接圆方程为________.
3.(1)方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？
(2)方程x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形？
【解析】1.选B.因为22+32-2×2+3+1>0， 所以点在圆的外部. 2.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
( D，E ) 22
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)x2+y2-x+2y=0表示的图形是________. (2)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圆，则E的取值范围是________. (3)圆x2+y2+x-y-1=0的圆心是________.
【解析】(1)原方程可化为 答案：圆 (2)原方程可化为 即E≠0.
1
22
2
11
4 11
4
类型二 圆的一般方程的求法 【典例2】 (1)过点(-1，1)，且圆心与圆x2+y2-6x-8y+15=0的圆心相同的 圆的方程是__________________. (2)已知一个圆过P(4，2)，Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的 线段长为4 ，求圆的方程.
3
【解题探究】 1.在题(1)中，已知圆的一般方程，其圆心坐标是什么？ 2.在题(2)中，若圆与y轴的交点分别为(0，y1)，(0，y2)，那么圆在y轴上截 得的线段长如何求解？ 【探究提示】1.(3，4) 2.利用|y1-y2|求解.
【自主解答】(1)设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由已知该圆圆心为(3，4)，且过点(-1，1)，
故
所以
所以圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.
答案：x2+y2-6x-8y=0
2 D E F 0，
D 2
3，
E 2
4，
D 6， E 8， F 0.
(2)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令x=0，得y2+Ey+F=0. 由已知|y1-y2|=4 ，其中y1，y2是方程y2+Ey+F=0的两根， 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.① 将P，Q两点的坐标分别代入方程， 得
【方法技巧】 1.待定系数法求圆的方程的三个步骤 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程. (2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组. (3)解出a，b，r或D，E，F，代入标准方程或一般方程.
2.圆的一般方程和标准方程的选择技巧 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径来列 方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再利 用待定系数法求出常数D，E，F.
(2)圆x2+y2+ax-2ay=0过原点.( )
(3)圆x2+y2-Dx-Ey+F=0的圆心是
()
( D， E). 22
【解析】(1)错误.因为当D2+E2-4F>0时方程才表示圆. (2)正确.将(0，0)代入验证可知. (3)错误.圆x2+y2-Dx-Ey+F=0的圆心是 . 答案：(1)× (2)√ (3)×
1.对圆的一般方程的三点说明 (1)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0具有以下特征： ①x2项和y2项的系数都相等，且为1； ②方程是二元二次方程且没有xy这样的二次项； ③参数D，E，F满足D2+E2-4F>0.
(2)圆的标准方程明确地表达了圆的圆心与半径，而一般方程则表现出了明显 的代数结构形式，经过一定的代数运算才可以求出圆心与半径. (3)二者可以互化：将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般方程. 将圆的一般方程配方后即得标准方程.
所以r2=1- k2，
所以当k k=0时，r2最大值3为1，此时直线方程为y=-x+2.
则直线的倾斜角α= π.
答案：2 π
4
3
4
3 4 3 4
【补偿训练】判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆 的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.
3
4D 2E F 20，② D 3E F 10.③
解①②③联立的方程组，
得
或
故圆的DEF方程0，12为2，，x2+y2-2xDEF-124=28515054206或5.6，，
x2 y2 106 x 56 y 484 0. 25 5 25
【延伸探究】题(2)条件不变，试判断原点(0，0)与圆的位置
( D， E)， 22
( D ， E )， 2A 2A
D2 E2 4AF . 2A
【微思考】
(1)当圆心在原点时，圆的一般方程是怎样的？ 提示：x2+y2+F=0. (2)二元二次方程与圆是一一对应的吗？ 提示：不是，圆的方程一定是二元二次方程，但二元二次方程不一定表示圆.
【即时练】
1.点(2，3)在圆x2+y2-2x+y+1=0的( )
____________.
(x D )2 (y E )2
2
2
(2)结论：①当D2+E2-4F>0时，表示以_________为圆心，以
D2 E2 4F
_______4______为半径的圆.
( D， E)
22
1 D2 E2 4F 2
②当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解
表示x一个点D2 ，
则有
则△ABC的外接圆方程为：x2+y2-4x-6y+8=0. 答案：x2+y2-4x-6y+8=0
12 12 D E F 0， D 4， 32 52 3D 5E F 0， E 6， 42 42 4D 4E F 0 F 8.
3.(1)因为D2+E2-4F=4+16-4=16>0， 所以方程x2+y2-2x+4y+1=0表示圆. (2)因为D2+E2-4F=4+16-24=-4<0， 所以方程x2+y2-2x+4y+6=0不表示任何图形.
【方法技巧】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法.对形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通过配方变形成 “标准”形式后，观察是否表示圆. (2)运用圆的一般方程的判断方法求解.即通过判断D2+E2-4F是否为正，确定 它是否表示圆. 提醒：在利用D2+E2-4F>0来判断二元二次方程是否表示圆时，务必注意x2 及y2的系数.
_③_(当__DD_，2_+_E_E2_-)_4.F<0时，方程无实数解，所以不表y示任何E2图，形.
当D22+E2-42F>0时，称二元二次方程_______________为圆的
一般方程.
x2+y2+Dx+Ey+F=0
1.判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0一定是某个圆的方程.( )
2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M(x0，y0)和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，则其位置关 系如表：
位置关系 点M在圆外 点M在圆上 点M在圆内
代数关系 x02 y02+Dx0+Ey0+F>0 x02 y02+Dx0+Ey0+F=0 x02 y02+Dx0+Ey0+F<0
11
11
11
11
(2)方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半 径.
【解题探究】
1.题(1)中涉及的圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中，圆心坐标是什么？半
径等于多少？
2.题(2)中涉及的二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时，D，E，F有怎
=2，3所以1 三角形AC
所以三角形AC边上的高所在的直线方程为y-1=2-(1x-4)，即
x+2y-6=0为所求.
1
(2)因为直线AC的方程为y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0，
所以三角形AC边上的高的长度为
2
1
2
| 2411| 6 5 . 22 （1Leabharlann Baidu2 5
(3)设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则12+12+D·1+E·1+F=0①，42+12+D·4+E·1+F=0②， 22+32+D·2+E·3+F=0③，
【变式训练】已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大面积，则直线 y=(k-1)x+2的倾斜角α=________. 【解题指南】要求圆的最大面积只需求半径的最大值，由此得到k的值，从 而解得直线的倾斜角.
【解析】由圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0得：
(x+ )2+(y+1)2=1- k2，
【变式训练】(2014·济南高一检测)已知△ABC的顶点坐标分别是A(1，1)， B(4，1)，C(2，3). (1)求该三角形AC边上的高所在的直线方程. (2)求该三角形AC边上的高的长度. (3)求△ABC外接圆的方程.
【解析】(1)因为直线AC的斜率为kAC= 边上的高所在的直线的斜率k=- ，
【知识拓展】
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(A>0)表示圆，系数A，B，C，D，E，F
应满足的条件及圆心和半径.
(1)当B=0，A=C=1时，若D2+E2-4F>0，才表示圆，圆心为
半径为
(2)当B=0，A=C≠1时，若D2+E2-4AF>0，才表示圆，
圆心为
半径为
D2 E2 4F； 2
解①②③联立的方程组得，D=-5，E=-3，F=6. 所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-5x-3y+6=0.
【补偿训练】在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图 像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求： (1)实数b的取值范围. (2)圆C的方程.
可知D=-4m，E=2m，F=20m-20，
所以D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2，
因D半2此径+12E，为2-r当44=F4m>=02原1时方1，, 程D表2+示E2圆-4的F=方0程，，原此方时程，表圆示的一圆个心点为，(当2mm，≠-2m时)，，
1 D2 E2 4F 5 m 2 . 2
样的关系？
【探究提示】1.圆心坐标是
半径r=
2.D2+E2-4F>0.
( D， E)， 22
1 D2 E2 4F. 2
【自主解答】(1)选D.因为D2+E2-4F=4+16+24=44>0，
所以方程x2+y2+2x-4y-6=0表示圆，圆心为(-1，2)，
r=
故选D.
(2)由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0，
关系.
【解析】(1)若圆的方程为x2+y2-2x-12=0，
因为02+02-2×0-12=-12<0，
所以原点(0，0)在圆内.
(2)若圆的方程为
因为
所以原点(0，0)在圆外.
x2 y2 106 x 56 y 484 0. 25 5 25
02 02 106 0 56 0 484 484＞0. 25 5 25 25
【解析】(1)将原方程变为x2+y2-x+3y+ =0， 故D=-1，E=3，F= .因为D2+E2-4F=1>0，
9
所以此方程表示圆，圆心 半径r= .
4
(2)将原方程化为x2+y29-x+3y+ =0，
故D=-1，E=3，F= .
D2+E2-4F=-1<0，所以4 此方程不表示圆.
(1， 3)，
2.2 圆的一般方程
1.圆的方程除了标准方程的形式外，还有没有 问题 其他的表现形式？如果有，是什么形式？ 引航 2.二元二次方程是否一定表示圆？在什么条件
下表示圆？
二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 (1)变形：把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得______________