抛物型方程的差分方法资料

数，使满足
(x,t) u (a(x,t) u ) b(x,t) u c(x,t)u
t x
x
x
u(x,0) (x) x
( x, t )
(x) 为给定的初始函数。
(2) 初边值问题(或称混合问题)
在区域上 (x,t) | 0 x 1,0 t T求函数u(x,t)
u x
)nm
h2 2!
2u ( x2
)
n m
h3 3!
3u ( x3
)
n m
I
h 1!
Dx
h2 2!
Dx2
umn
exp( hDx )umn I为恒等算子
由
un m1
Txumn
得
Tx exp( hDx )
或者 同理有
hDx ln Tx
Tx1 exp( hDx )
hDx ln Tx1
因为 故 同理 因为
1 2
un m
1
)
2
其中: un m
1
2
u(xm
h 2 ,tn)
Dx
x
为
x
方向偏导数算子
前差算子: x ,
xu
n m
un m 1
umn
后差算子: x
,
xumn
umn
u
n m
1
中心差算子: x
,
xumn
un m 1
un m
1
2
2
建立差分算子和导数算子之间的关系
un m1
umn
h 1!
(
(
u x
)nm
u(xm1, tn ) u(xm , tn ) h
un m1
umn
h
向前差商
(
u x
)nm
u(xm , tn ) u(xm1, tn ) h
umn
un m1
h
(
u x
)nm
u(xm1, tn ) u(xm1, tn ) 2h
un m1
un m1
2h
向后差商 中心差商
显然，用差商近似导数存在误差，令
由Taylor展开，有
u(xm1, tn
)
u ( xm
,tn
)
h 1!
( u x
)nm
h2 2!
( 2u x 2
)
n m
h3 3!
( 3u x3
)
n m
u(xm1, tn
)
u(xm , tn
)
h 1!
( u x
)nm
h2 2!
(
2u x2
)nm
h3 3!
(
3u x3
)
n m
则u在(xm,tn )处对x 的一阶偏导数有三个可能的近似:
抛物型方程的差分解法
众所周知，一维线性抛物型方程的一般形式为
(x,t) u (a(x,t) u ) b(x,t) u c(x,t)u
t x
x
x
其中, (x,t),a(x,t) 0,c(x,t) 0,(x,t), 为xt平面上某 一区域。
通常考虑的定解问题有：
(1) 初值问题
在区域 (x,t) | x ,0 t T上求函
利用这些关系式就可给出偏导数的差分表达式
x
1 2
2x
1 3
3x
umn
h(
u x
)nm
x
1 2
2 x
1 3
3x
umn
x
x
1 6
( x
x
)3
3 40
( x
x
)5
umn
又由
h2Dx2 ln(I x )2
h2Dx2 ln(I x )2
h 2 Dx2
2ar
s
inh(
1 2
x
)
，使满足
(x,
t
)
u t
(a(x,t) u ) b(x,t) u
x
x
x
u(x,0) (x)
c(x,t)u 0 x 1
(x,t)
u(0,t) 1(t),u(1,t) 2 (t) 0 t T
差分格式的建立
为了构造微分方程的有限差分逼近，首先将 求解区域 用二组平行于 t 轴和 x轴的直线构成的 网格覆盖，网格边长在方向 t为t k ，在 x 方向 为x h。h,k 分别称为空间方向和时间方向的步长， 网格线的交点称为网格的结点。
则
x Tx I , Tx x I
hDx
ln( I
x
)
x
1 2
2x
1 3
3x
hDx
ln(I
x)
x
1 2
2x
1 3
3x
1
1
x Tx2 Tx 2
x
x
exp(
1 2
hDx
1
)
exp(
2sinh(2 hDx )
1 2
hDx
)Hale Waihona Puke Baidu
hDx
2ar
sinh(
1 2
x
)
x
1 223!
3 x
32 24 5!
5 x
Emn
(
u x
)nm
un m1
umn
h
则截断误差 Emn
h 2
2u ( x2 ) x ,tn
xm x xm1
现记
Tx 为x 方向位移算子，Txumn umn 1,Tx1umn umn 1
1
, Tx2umn
un m
1
2
Tx
1 2
umn
un m
1
2
为x 方向平均算子， x
xumn
1 2
(u n m
xumn
umn 1
umn
且
h( u x
)
n m
(umn 1
umn
)
1 2
2xumn
1 3
3xumn
又由二阶导数的前差表达式，得
因此
h
2
(
2u x 2
)nm
2xumn
Emn
(
u x
)nm
1 h
(umn 1
umn )
O(h)
即截断误差阶O(h)为。
现在研究构造微分方程的差分方程的方法， 为此记微分方程为
u t
L( x, t,
Dx ,
Dx2 )u
L 是关于Dx , Dx2的线性算子，Dx x 。包括二个相 邻时间层的网格结点的差分方程可以从Talor 展开
式推出
u( x, t
k)
(1
k 1!
t
k2 2!
2 t 2
k3 3!
3 t 3
)u( x, t )
exp(k )u(x,t) t
现在，对抛物型方程的几种特殊情况，从方程 出发，构造微分方程的有限差分近似。
r
1 15
)
6 x
umn
其中r k h2 为步长比。
在上式中，如果仅仅保留二阶中心差分，且设
U
n m
为相应差分方程解在结点(mh,nk) 上的值，则
U
n1 m
(1
r
2 x
)U
n m
代入
2 x
的表达式，则得差分方程
U
n1 m
rU
n m1
(1
2r
)U
n m
rU
n m1
将格式应用于解初值问题
u 2u t x2
2
可得二阶偏导数的差分表达式
h
2
(
2u x 2
)
n m
2x
3x
11 12
4x
umn
2 x
3 x
11 12
3x
umn
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
umn
从以上这些偏导数的差分表达式，我们可以 得到偏导数的各种精度的近似表达式。
在
h(
u x
)
n m
的前差表达式中取第一项，则有
h(
u x
)
n m
显式格式
首先考虑一维热传导方程
u t
2u x 2
的差分近似。
由 L Dx2 ，方程为
umn1 exp( kDx2 )umn
1
k Dx2
1 2
k
2 (Dx2
)2
umn
代入
Dx2
1 h2
(
2 x
1 12
4 x
1 90
6 x
)
则
u n1 m
1
r
2 x
1 2
r(r
1 )
6
4 x
1 6
r(r
2
1 2
u(x,0) 0 (x)
x ,0 t T x
此差分格式也可简单地由导数的差商近似表达式